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江西省南昌市第十九中学2016-2017学年高二数学下学期期末考试试题


南昌十九中2014~2015学年度第二学期高二年级期末考试
数学(理科)试题

第I卷(选择题) 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.在某次测量中得到的A样本数据如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样 本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得

数据,则A,B两样本的下列数字特征 对应相同的是(  ) A.众数 B.平均数 C.中位数 D.标准差

2.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为 c(a,b,c ∈(0,1)),已知他投篮一次得分的数学期望为2(不计其他得分情况),则ab的最 大值为(  )
1 48 A. 1 24 B. 1 12 C. 1 D.6

3.已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(2≤X≤4)=0.682 6,则P(X>4)等于(  ) A.0.1588 B.0.1587 C.0.1586 D.0.1585

4.某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加某高校自主招生考试,若这4人中必 须既有男生又有女生,则不同的选法共有 (  ) A.140种 B.120种 C.35种 D.34种 1

5.某四面体的三视图如图所示.该四面 体的六条棱的长度中,最大的是( A. 2 5 B. 2 6 C. 2 7 )

D. 4 2

6.从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个 数之差的绝对值为2的概率是(  )
1 1 1 1

A.2 B.3 C.4 D.6 7.甲乙两人一起去游“2011西安世园会”,他们约定,各自独立地从1到6号景点 中任选4个进行游览,每个景点参观1小时,则最后一小时他们同在一个景点的 概率是(  )
1 36 A. 1 B.9 5 36 C. 1 D.6

8. ( 2 ? 3 3 )100 的展开式中,无理数项的个数是( A.84 B.85 C.86

) D.87

9.已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上, ?ABC 是边长为 1 的正三角 形, SC 为球 O 的直径,且 SC ? 2 ,则此棱锥的体积为( A.
2 6


2 2

B.

3 6

C.

2 3

D.

? 1 ? 3, x ? (?1, 0] ? 10.已知函数 f ( x) ? ? x ? 1 , 且在( g ( x) ? f ( x) ? mx ? m ? x ? (0,1] ? x,

? 1,1] 内有且仅

有两个不同的零点,则实数 m 的取值范围是(
9 1 A. (? , ?2] ? (0, ] 4 2 9 2 C. (? , ?2] ? (0, ] 4 3

)
11 1 , ?2] ? (0, ] 4 2

B. (?

D. (? 2

11 2 , ?2] ? (0, ] 4 3

第II卷(非选择题) 二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分) 11.某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛,9位评委为参赛作品A 给出的分数如茎叶图所示.记分员在去掉一个最高分和一个最低分 后,算得平均分为91,复核员在复核时,发现有一个数字(茎叶图中的x)无法 看清,若 记分员计算无误,则数字x应该是__________. 12.花园小区内有一块三边长分别是5 m,5 m,6 m的三角形绿化地,有一只小花猫在其内部玩耍,若不考虑猫的大小,则在任 意指定的某时刻,小花猫与三角形三个顶点的距离均超过2 m的概率是________. 13.某班级有一个7人小组,现任选其中3人相互调整座位,其余4人座位不变,则 不同的调整方案的种数为________. 14.已知 a ? b ,且 ab ? 1 ,则
a 2 ? b2 ? 1 的最小值是 a ?b

.

15.正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 内接于半径为1的球,则当该棱柱体积最大时,高 h ? 。

三、解答题:(本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤) 16.(本小题满分12分) 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1 | ? | 2 x ? a | , g ( x) ? x ? 3 3

(1)当 a ? ?2 时,求不等式 f ( x) ? g ( x) 的解集;
a 1 (2)设 a ? ?1 ,且当 x ? [? , ] )时, f ( x) ? g ( x) ,求 a 的取值范围. 2 2

17. (本小题满分12分) 从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i个家庭的月收入xi(单位:千元)与月储蓄y
10 10 10 10

i(单位:千元)的数据资料,算得 i=1 i=80, i=1 i=20, i=1 iyi=184, i=1

∑x

∑y

∑x

∑x

i =720. 2

(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a; (2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关; (3)若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄. 附:线性回归方程y=bx+a中,
n

∑xiyi-nx y
i=1 n

b=

∑x2i-nx2
i=1

,a=y-bx,其中- ,- 为样本平均值. x y

18.(本小题满分12分) 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生,将其数学成绩(均为整数
50,60 ?… ? 90,100?后画出如下部分频率分布直方图.观察图形 )分成六段 ?40,50 ?, ?

的信息,回答下列问题: (1)求第四小组的频率,补全这个频率分布直方图;并估计该校学生的数学成绩 的中位数。 4

(2) 从数学成绩是70分以上(包括70分)的学生中选两人,求他们在同一分数段的概 率. (3)若从全市参加高一年级期末考试的学生中,任意抽取4个学生,设这四个学生 中数学成绩为80分以上(包括80分)的人数为X,(以该校学生的成绩的频率估 计概率),求X的数学期望.

19.(本小题满分12分) 某青年教师专项课题进行“学生数学成绩与物理成绩的关系”的课题研究,对于 高二年级 800名学生上学期期末数学和物理成绩,按优秀和不优秀分类得结果:数学和物理 都优秀的有60人,数学成绩优秀但物理不优秀的有140人,物理成绩优秀但数学不 优秀的有100人. (1)能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩 有关系?

(2)将上述调查所得到的频率视为概率,从全体高二年级学生成绩中,有放回地 随机抽取3

5

名学生的成绩,记抽取的3个成绩中数学、物理两科成绩至少有一科优秀的次数为

X,
求 X 的期望 E ? X ? . 附: P(K2≥k 0.010 K2=Error!
0)

0.00 0.001 5 7.87 6.635 9 10.828

k0

20.(本小题满分13分) 如图,四棱锥 S ? ABCD 的底面是正方形, SD ? 平面 ABCD , SD ? 2a , AD ? 2a , 点 E 是 SD 上的点,且 DE ? ? a (0 ? ? ? 2) . (1) 求证: 对任意的 ? ? (0, 2] ,都有 AC ? BE . (2)设二面角 C ? AE ? D 的大小为 ? ,直线 BE 与 平面 ABCD 所成的角为 ? ,若 tan ? ? tan ? ? 1 ,求 ? 的值。

21.(本小题满分14分) 已知三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面ABC , ?ACB ? 900 , BC ? 1, AC ? 2 .如图,从由任 何二个顶点确定的向量中任取两个向量,记变量 X 为所取两个向量的数量积的绝 对值。 (1)当 PA ? 2 时,求 P ( X ? 4) 的值。 (2)当 PA ? 1 时,求变量 X 的分布列与期望。 6 A C P

B

7

南昌十九中2014~2015学年度第二学期 高二年级期末考试 数学(理科)试题答案 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 题号 答案 1 D 2 D 3 B 4 D 5 C 6 B 7 D 8 A 9 A 10 A

第II卷(非选择题) 二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
π

11、 13、

1 70

12、 14、

1-6 15、
2 3 3

三、解答题:(本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤) 答案: 16.解:(1)当 a ? ?2 时,不等式 f ( x) ? g ( x) 化为 | 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 2 | ? x ? 3 ? 0 . 设函数 y ?| 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 2 | ? x ? 3 ,则

1 ? ?? 5 x , x ? 2 ? 1 ? y ? ?? x ? 2, ? x ? 1 2 ? ?3 x ? 6, x ? 1 ? ?

其图象如图所示,

8

从图象可知,当且仅当 x ? (0,2) 时, y ? 0 .所以原不等式的解集是

{x | 0 ? x ? 2} .
………………… 6分
a 1 (2)当 x ? [? , ] 时, f ( x) ? 1 ? a . 2 2

不等式 f ( x) ? g ( x) 化为 1 ? a ? x ? 3 .

a 1 a 4 所以 x ? a ? 2 对 x ? [? , ] 都成立,故 ? ? a ? 2 ,即 a ? . 2 2 2 3
4 从而 a 的取值范围为 (?1, ] …………………12分 3
10 10

17.

1 x 80 1 y 20 x y n 10 i 1 解:(1)由题意知n=10, = = i= =8, =n i=1 i=10=2,
10 10





i -nx2=720-10×82=80, i=1 iyi-nx 又 i=1 2
10

∑x

∑x

y=184-10×8×2=24,

∑xiyi-nx y
i=1 10

由此得b=

∑x2i-nx2
i=1

24

=80=0.3,

a=y-bx=2-0.3×8=-0.4, 故所求回归方程为y=0.3x-0.4. …………………6分 (2)由于变量y的值随x的值增加而增加(b=0.3>0),故x与y之间是正相关. ……………… …9分

9

(3)将x=7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7-0.4=1.7(千 元). ……………… …12分 18.解:(1)因为各组的频率和等于1,故第四组的频率:

f 4 ? 1 ? (0.025 ? 0.015 ? 2 ? 0.01 ? 0.005) ?10 ? 0.3
直方图如右所示……………… ……………….2分

???? ×é?à

0.03 0.025 0.015 0.01 0.005 40 50 60 70 80 90 100 ·???

0.1 ? 73.33 中位数是 xc ? 70 ? 10 ? 0.3

计这次考试的中位数是73.33分…………………….4分 (2) [70, 80) , [80, 90) , [90, 100] ”的人数是18,15,3。所以从成绩是70分以上(包括70分)的学生中 选两人,他们在同一分数段的概率
2 2 C18 ? C15 ? C32 87 P? ? 2 210 C36

………………………8分

(3) 因为 X ? B (4, 0.3) ,所以数学期望为 EX ? np ? 4 ? 0.3 ? 1.2 ...................... ........12分 19.解:(1)由题意可得列联表: 物理优 秀 数学优秀 数学不优 60 100 10 物理不优 秀 140 500 总 计 160 640

秀 总计 200 600 800

因为k=Error!=16.667>10.828.

………………8分

所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的数学成绩与物理成绩有关 . (2)每次抽取1名学生成绩,其中数学物理两科成绩至少一科是优秀的频率0.3 75.将频率视为概率,即每次抽取1名学生成绩,其中数学物理两科成绩至
3 3 9

少一科是优秀的概率为8.由题意可知X?B(3,8),从而E (X)=np=8. ……………12分 20.解: (Ⅰ)证法1:如图1,连接BE、BD,由地面ABCD是正方形可得AC⊥BD.
? SD⊥平面ABCD,? BD是BE在平面ABCD上的射影,? AC⊥BE

6分

(Ⅱ)解法1:如图1,由SD⊥平面ABCD知,∠DBE= ? , 11

? SD⊥平面ABCD,CD ? 平面ABCD, ? SD⊥CD.

又底面ABCD是正方形,? CD⊥AD,而SD ? AD=D,CD⊥平面SAD. 连接AE、CE,过点D在平面SAD内作DE⊥AE于F,连接CF,则CF⊥AE, 故∠CDF是二面角C-AE-D的平面角,即∠CDF= ? . 在Rt△BDE中,? BD=2a,DE= ? a ? tan ? ?
DE ? ? BD 2

在Rt△ADE中, ? AD ? 2a, DE ? ? a,? AE ? a ? 2 ? 2 从而 DF ?

AD ? DE 2? a ? AE ?2 ? 2
CD ?2 ? 2 ? . w.w.w..c.o.m DF ?

在 Rt?CDF 中, tan ? ?

由 tan ? ? tan ? ? 1 ,得

?2 ? 2 ? . ?1 ? ?2 ? 2 ? 2 ? ?2 ? 2 . ? 2

由 ? ? (0, 2] ,解得 ? ? 2 ,即为所求. 13分 ??? ? ???? ??? ? 证法2:以D为原点, DA, DC , DS 的方向分别作为x,y,z轴的正方向建立如 图2所示的空间直角坐标系,则 D(0,0,0),A( 2 ,0,0),B( 2a , 2a ,0),C(0, 2a ,0),E(0,0 ? a ), ???? ??? ? ? AC ? (? 2a, 2a, 0), BE ? (? 2a, ? 2a, ? a ) ???? ??? ? AC ? BE ? 2a 2 ? 2a 2 ? 0 ? ? a ? 0 ,即 AC ? BE . …………………6分 ? (I) 解法2: ??? ? ??? ? ??? ? 由(I)得 EA ? ( 2a, 0, ?? a ), EC ? (0, 2a, ?? a ), BE ? (? 2a, ? 2a, ? a ) . ??? ? ??? ? 设平面ACE的法向量为n=(x,y,z),则由 n ? EA,n ? EC 得 ??? ? ? ?n ? EA ? 0, ? ? 2x ? ? z ? 0, 即取,得 z? 2 n( ? , ? , 2) . ? ? ??? ? 2y ? ? z ? 0, ?n ? EC ? 0, ? ? ? 12

易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为 ??? ? ??? ? . DS ? (0, 0, 2a )与( DC 0, ? 2 , 0) a ???? ??? ? ??? ? DC ? n ? DS ? BE ? .… ……………11分 ? sin ? ? ??? , cos ? ? ???? ? ? ??? ? ? DS ? BE DC ? n ?2 ? 4 2? 2 ? 2 .? 0< ? , ? ?

?
2

,? ? 0 ,

? tan ? ? tan ? ? ? ? ? ?

?
2

? sin ? ? cos ? ?

? ? ?4
2

?

?
2? ? 2
2

? ?2 ? 2 .

由于 ? ? (0, 2] ,解得 ? ? 2 ,即为所求. …………………13分

21.解:(1) P ( X ? 4) ? …………………6分

4 15

(2)X的取值为0,1,2,3 P 0
5 15

1
4 15

2
4 15

3
2 15

X
EX ? 1?

4 4 2 6 ? 2 ? ? 3? ? 15 15 15 5

…………………14分

13


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