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全国高中数学联赛模拟卷(1)


全国高中数学联赛模拟卷(1)第一试
(考试时间:80 分钟 学校 .姓名 满分:120 分) .得分 .

一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分)
w ?1

( 1 ) 设 实 数 x, y, z, w 满 足 x ? 2 y ? 3 z ? 6 ,
(x ? y ? 3 z)

/>w

x ?1 ?

2y ?1 ?

3 z ? 1 ? 2 ? 2010

,则

?



( 2 ) 设 a n ? 0 , a1 ? 2 , 且 当 n ? 2 时 , 有 a n ? a n ?1 ?
an ?

n a n ? a n ?1

? 2 , 则 数列 {a n } 的 通 项 公式



(3) 四面体 A B C D 中,△ A D B 为等腰三角形,? A D B ? 90 ,A D ? 1 , ? B D C ? ? A D C ? 6 0 , 且 则异面直线 A B 与 C D 的距离为
?
8

?

?


?
8

(4)已知 sin ( x ?
2

) ? co s ( x ?
2

)?

1 4

,且 x ? (

? ?
, 4 2

) ,则 tan x 的值为



(5)椭圆 是

x

2

?

y

2

16

9

? 1 上任意两点连线的垂直平分线如果和 x 轴相交于点 P ( x 0 , 0 ) ,则 x 0 的取值范围



(6)设 ? x ? 为不超过 x 的最大整数,则方程 ?

? 5 ? 6 x ? 15 x ? 7 的实数解为 ? ? 5 ? 8 ?



2009 ?? ? ? (7) 已知 ? , ? 是方程 ax ? bx ? c ? 0( a , b , c ? R ) 的两根, ? 是虚数, 且 是实数, ? ? ? 的 则 ? k ?0 ? ? ?

2

k

2

值是



(8)将六个身高互不相同的人排成一行,对于每个人,要求他要么比相邻的人都高,要么比相邻的 人都矮,则不同的排法有 种.

1

二、解答题(本大题共 3 小题,第 9 题 16 分,第 10 题、第 11 题 20 分,共 56 分) (9)设 f ( x ) ? a x ? b x ? c , a ? 2 .求证:最多有 2 个整数 x ,使 | f ( x ) |? 1 .
2

2

(10)已知双曲线 C : y ? x ? 1 ,取定 x 轴上点 P0 ,按如下方式作点列 Pn :设 l k 是过 Pk 且斜率为 1
2 2

的直线,则 Pk ? 1 是 l k 与 C 的交点在 x 轴上的投影,若 Pk ? 0 ,则序列结束. 试求使得 P0 ? P2 0 0 9 的 P0 的个数.

3

(11)已知 a , b , c ? R , a b c ? 1 .求证:
+

1 a

?

1 b

?

1 c

?

3 a?b?c

? 4.

4

全国高中数学联赛模拟卷(1)加试
(加试时间:150 分钟 学校 一、 (本题满分 40 分) 已知锐角 △ A B C ,以 A C 为直径的圆分别与 A B , B C 相交于点 K 和 L ,C K , A L 分别于 △ A B C 的外 接圆交于另一点 F 和 D , E 为劣弧 A C 上一点,且满足 A F ? B D ? C E ? A E ? C D ? B F .记
2 2 2 2 2 2

满分:180 分) .得分 .

.姓名

B E ? A C ? N ,求证: ? K N B ? ? L N B .
A F

K

N

E

B

L D

C

5

二、 (本题满分 40 分)
10 ? 10 方格表的每个方格中均写有一个属于 {1, 2, 3, ? , 9,1 0} 的数,任意两个相邻或共顶点方格中的

数互素.求证:必有一数在表中出现不少于 17 次.

6

三、 (本题满分 50 分) 已知常数 c ? (0, 2 ) ,数列 { a n } 定义如下: a1 ? 1 , a 2 ? c , a k ? 2 ? ca k ? 1 ? a k ( k ? N ) .
*

求证:当正整数 n ?

?
2 arcco s c 2

时,恒有 a n ?

3 3

3

( 2 n ? 1) 4 .

7

四、 (本题满分 50 分) 求所有的正整数 n ,使得存在正整数数列 a1 , a 2 , ? , a n 满足:对任意 2 ? k ? n ? 1 ,均有
a k ?1 ? ak ? 1
2

a k ?1 ? 1

?1.

8

9

10

11

12


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