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江苏省淮安、宿迁、连云港、徐州四市2015届高三第一次模拟考试(数学)扫描版


苏北四市高三年级第一次模拟考试
数学参考答案与评分标准(定稿)
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需写出解题过程,请把答案直 接填写在答题卡相应位置上 ) ........ 1.6; 8.22; 2. ? 3 ; 9.18;
14 ; 3 1 10. ; 2

3.

/>4.

5 ; 6

5.7;

6.

3 π; 3

7. ?2 ; 14.3.

11.2;

12.25 ; 13. (??, 3] ;

二、解答题: 本大题共 6 小题, 15~17 每小题 14 分,18~20 每小题 16 分,共计 90 分.请在 答题卡指定的区域内作答 ,解答时应写出文字说明 、 证 明 过程或演算步骤 . ........... .......... . . . ....... 15.(1)因为 a ? b ,所以 a b =0 , …………………………………………………………2 分 所以 2sin ? ? sin ? ? ?

? ?

5 3 π? cos ? ? 0 . ? ? 0 ,即 sin ? ? 2 2 3?
3 . 5

…………………4 分

因为 cos ? ? 0 ,所以 tan ? ? ? (2)由 a ∥ b ,得 2sin ? sin ? ? ?
2 即 2sin ? cos

…………………………………………6 分

? ?

π? ? ? 1, ………………………………………………8 分 3?

π π 1 3 ? 2sin ? cos ? sin ? 1 ,即 ?1 ? cos 2? ? ? sin 2? ? 1 , 3 3 2 2

整理得, sin ? 2? ? 又 ? ? ? 0, 所以 2? ?

? ?

π? 1 ?? 6? 2

……………………………………………………11 分

? ?

π? π ? π 5π ? ? ,所以 2? ? ? ? ? , ? , 2? 6 ? 6 6 ?
π π π ? ,即 ? ? . 6 6 6
…………………………………………………14 分 平面 ABC ? BC , AB ? 平面 ABC ,

16. (1)因为平面 PBC ⊥平面 ABC ,平面 PBC

AB ⊥ BC ,所以 AB ⊥平面 PBC . …………………………………………………2 分
因为 CP ? 平面 PBC ,所以 CP ⊥ AB . ………………………………………………4 分 又因为 CP ⊥ PB ,且 PB
AB ? B , AB, PB ? 平面 PAB ,

所以 CP ⊥平面 PAB ,…………………………………………………………………6 分 又因为 PA ? 平面 PAB ,所以 CP ⊥ PA .……………………………………………7 分 (2)在平面 PBC 内过点 P 作 PD ⊥ BC ,垂足为 D .…………………………………8 分 因为平面 PBC ⊥平面 ABC ,又平面 PBC ∩ 平面 ABC =BC,

PD ? 平面 PBC ,所以 PD ⊥平面 ABC .…………………………………………10 分
又 l ⊥平面 ABC ,所以 l // PD .……………………………………………………12 分

又 l ? 平面 PBC , PD ? 平面 PBC , l //平面 PBC .……………………………14 分 P

A D B 17.(1) 因为 A(?3, 4) ,所以 OA ?

C

(?3) 2 ? 4 2 ? 5 ,…………………………………1 分

又因为 AC ? 4 ,所以 OC ? 1 ,所以 C (? , ) ,…………………………………3 分 由 BD ? 4 ,得 D(5, 0) ,…………………………………………………………… 4 分

3 4 5 5

4 5 ??1 所以直线 CD 的斜率 , ………………………………………………5 分 7 ? 3? 5??? ? ? 5? 0?
所以直线 CD 的方程为 y ? ? ( x ? 5) ,即 x ? 7 y ? 5 ? 0 .…………………………6 分 (2)设 C (?3m, 4m)(0 ? m ≤1) ,则 OC ? 5m .…………………………………………7 分 则 AC ? OA ? OC ? 5 ? 5m , 因为 AC ? BD ,所以 OD ? OB ? BD ? 5m+4 , 所以 D 点的坐标为 (5m+4, 0) ………………………………………………………8 分 又设 ?OCD 的外接圆的方程为 x2 ? y 2 ? Dx+Ey ? F ? 0 ,

1 7

? F ? 0, ? ? 2 2 则有 ?9m ? 16m ? 3mD ? 4mE ? F ? 0, ……………………………………………10 分 ? 2 ? ?? 5m ? 4 ? ? ? 5m ? 4 ? D ? F ? 0.
解之得 D ? ?(5m ? 4), F ? 0 , E ? ?10m ? 3 , 所以 ?OCD 的外接圆的方程为 x2 ? y 2 ? (5m ? 4) x ? (10m ? 3) y ? 0 ,…………12 分 整理得 x2 ? y 2 ? 4 x ? 3 y ? 5m( x ? 2 y) ? 0 , 令?

? x 2 ? y 2 ? 4 x ? 3 y =0, ? x+2 y =0

,所以 ?

? x ? 0, ? x ? 2, (舍)或 ? ? y ? 0. ? y ? ?1.

所以△ OCD 的外接圆恒过定点为 (2, ?1) .…………………………………………14 分

18.(1)如图,以 A 为坐标原点 O , AB 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系,则 C 点坐标 为 (2, 4) .……………………………………………………………………………1 分 设边缘线 AC 所在抛物线的方程为 y = ax 2 , 把 (2, 4) 代入,得 4 = a 22 ,解得 a = 1 , 所以抛物线的方程为 y = x2 .…………………………………………………………3 分 因为 y ?= 2 x ,……………………………………………………………………………4 分 所以过 P(t , t 2 ) 的切线 EF 方程为 y = 2tx - t 2 .………………………………………5 分

t 2 1 t 2 所以 S ? (2 ? )(4t ? t ) ,…………………………………………………………8 分 2 2 1 3 2 所以 S ? (t ? 8t ? 16t ) ,定义域为 (0, 2] .………………………………………9 分 4 1 2 3 4 (2) S ? ? (3t ? 16t ? 16) ? (t ? 4)(t ? ) ,……………………………………………12 分 4 4 3 4 由 S ?(t ) ? 0 ,得 0 ? t ? , 3 4 4 所以 S ?(t ) 在 (0, ) 上是增函数,在 ( , 2] 上是减函数,…………………………14 分 3 3 4 64 所以 S 在 (0, 2] 上有最大值 S ( ) ? . 3 27 64 17 ? 3? ? 3, 又因为 27 27 所以不存在点 P ,使隔离出的△BEF 面积 S 超过 3 km 2 .…………………………16 分
D y C F

令 y = 0 ,得 E ( ,0) ;令 x = 2 ,得 F (2,4t - t 2 ) ,…………………………………7 分

P

O(A)

E
(第 18 题)

B x

19. (1)因为 an ? an?2 ? ? ? 2an?1,a1 ? a2 ? 1, 所以 a3 ? 2a2 -a1 +? ? ? ? 1 , 同理, a4 ? 2a3 -a2 +? ? 3? ? 1 , a5 ? 2a4 -a3 +? ? 6? ? 1 , ……………………2 分

又因为 a4 ? a1 ? 3? , a5 ? a4 ? 3? ,…………………………………………………3 分 所以 a4 ? a1 ? a5 ? a4 , 故 a1 , a4 , a5 成等差数列.…………………………………………………………4 分 (2) 由 an ? an?2 ? ? ? 2an?1 ,得 an?2 ? an?1 ? an?1 ? an +? ,…………………………5 分 令 bn ? an?1 ? an ,则 bn?1 ? bn ? ? , b1 ? a2 ? a1 ? 0 , 所以 ?bn ? 是以 0 为首项,公差为 ? 的等差数列, 所以 bn ? b1 ? (n ? 1)? ? (n ?1)? ,…………………………………………………6 分 即 an?1 ? an ? (n ?1)? , 所以 an?2 ? an ? 2(an?1 ? an ) ? ? ? (2n ?1)? , 所以 cn ? 2an?2 ?an ? 2(2n?1) ? . ………………………………………………………8 分

Sn ? c1 ? c2 ? L ? cn ? 2? ? 23? ? 25? ? L ? 2(2n?1)?
当 ? ? 0时,Sn ? n , 当 ? ? 0 时,Sn ? 2 ? 2
?

……………………………………………………………9 分
3?

? 25? ? L ? 2(2 n ?1) ? ?

2? (1 ? 22 n? ) .………………10 分 1 ? 22 ?

(3)由(2)知 an?1 ? an ? (n ?1)? , 用累加法可求得 an ? 1+

(n ? 1)(n ? 2) ? ? n ≥ 2? , 2 (n ? 1)( n ? 2) ? ? n ? N? ? 当 n ? 1 时也适合,所以 an ? 1+ 2

……………………12 分

假设存在三项 as ?1 ?1, at ?1 ?1, ap?1 ?1 成等比数列,且 s , t , p 也成等比数列, 则 (at ?1 ?1) ? (as?1 ?1)(ap?1 ?1) ,即
2

t 2 (t ? 1)2 s( s ? 1) p( p ? 1) ? , ………14 分 4 4

2 因为 s , t , p 成等比数列,所以 t ? sp ,

所以 (t ? 1) ? (s ?1)( p ?1) ,
2 2 化简得 s ? p ? 2t ,联立 t ? sp ,得 s ? t ? p .

这与题设矛盾. 故不存在三项 as ?1 ?1, at ?1 ?1, ap?1 ?1 成等比数列,且 s , t , p 也成等比数列.…16 分 20. (1)因为 f (1) ? 1 ?

a ? 0 ,所以 a ? 2 ,………………………………………1 分 2 此时 f ( x) ? ln x ? x2 ? x, x ? 0 ,
1 ?2 x 2 ? x ? 1 ? 2x ?1 ? ( x ? 0) x x
……………………………………… 2 分

f ?( x) ?

由 f ?( x) ? 0 ,得 2 x 2 ? x ? 1 ? 0 , 又 x ? 0 ,所以 x ? 1 . 所以 f ( x ) 的单调减区间为 (1, ??) . ………………………………………… 4 分

(2)方法一:令 g ( x) ? f ( x) -(ax ? 1) ? ln x ?

1 2 ax ? (1 ? a) x ? 1 , 2

所以 g ?( x) ?

1 ?ax 2 ? (1 ? a) x ? 1 . ? ax ? (1 ? a) ? x x

当 a ≤ 0 时,因为 x ? 0 ,所以 g ?( x) ? 0 . 所以 g ( x) 在 (0, ??) 上是递增函数, 又因为 g (1) ? ln1 ?

1 3 a ?12 ? (1 ? a) ? 1 ? ? a ? 2 ? 0 , 2 2

所以关于 x 的不等式 f ( x) ≤ ax ? 1 不能恒成立.……………………………………6 分

1 a( x ? )( x ? 1) ?ax ? (1 ? a) x ? 1 当 a ? 0 时, , a g ?( x) ? ?? x x
2

令 g ?( x) ? 0 ,得 x ?

1 . a 1 a

所以当 x ? (0, ) 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? ( , ??) 时, g ?( x) ? 0 ,

1 a

因此函数 g ( x) 在 x ? (0, ) 是增函数,在 x ? ( , ??) 是减函数.

1 a

1 a

故函数 g ( x) 的最大值为 g ( ) ? ln

1 a

1 1 1 1 1 ? a ? ( ) 2 ? (1 ? a) ? ? 1 ? ? ln a . a 2 a a 2a

……………………………………………………………………8 分 令 h( a ) ?

1 ? ln a , 2a 1 1 ? 0 , h(2) ? ? ln 2 ? 0 ,又因为 h(a) 在 a ? (0, ??) 是减函数. 2 4

因为 h(1) ?

所以当 a ≥ 2 时, h(a) ? 0 . 所以整数 a 的最小值为 2. …………………………………………………………10 分

方法二: (2)由 f ( x) ≤ ax ?1 恒成立,得 ln x ?

1 2 ax ? x ≤ ax ? 1 在 (0, ??) 上恒成立, 2

ln x ? x ? 1 问题等价于 在 (0, ??) 上恒成立. 1 2 x ?x 2 ln x ? x ? 1 g ( x) ? 令 ,只要 a ≥ g ( x)max .………………………………………… 6 分 1 2 x ?x 2 1 ( x ? 1)(? x ? ln x) 1 2 因为 g ?( x) ? ,令 g ?( x) ? 0 ,得 ? x ? ln x ? 0 . 1 2 ( x 2 ? x) 2 2 a≥
设 h( x ) ? ?

1 1 1 x ? ln x ,因为 h?( x) ? ? ? ? 0 ,所以 h( x) 在 (0, ??) 上单调递减, 2 x 2

不妨设 ?

1 x ? ln x ? 0 的根为 x0 . 2

当 x ? (0, x0 ) 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? ( x0 , ??) 时, g ?( x) ? 0 , 所以 g ( x) 在 x ? (0, x0 ) 上是增函数;在 x ? ( x0 , ??) 上是减函数.

1 1 ? x0 ln x0 ? x0 ? 1 1 2 ? ? .………………………8 分 所以 g ( x) max ? g ( x0 ) ? 1 2 1 x0 ? x0 x0 (1 ? x0 ) x0 2 2 1 1 1 因为 h( ) ? ln 2 ? ? 0 , h(1) ? ? ? 0 2 4 2
所以

1 1 ? x0 ? 1 ,此时 1 ? ? 2 ,即 g ( x)max ? (1, 2) . x0 2

所以 a ≥ 2 ,即整数 a 的最小值为 2.……………………………………………… 10 分 (3)当 a ? ?2 时, f ( x) ? ln x ? x2 ? x, x ? 0

2 2 由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 x2 ? 0 ,即 ln x1 ? x1 ? x1 ? ln x2 ? x2 ? x2 ? x1x2 ? 0

从而 ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? x1 ? x2 ? ln( x1 ? x2 )
2

………………………………… 13 分

令 t ? x1 ? x2 ,则由 ? (t ) ? t ? ln t 得, ? ?(t ) ?

t ?1 t

可知, ? (t ) 在区间 (0,1) 上单调递减,在区间 (1, ??) 上单调递增. 所以 ? (t ) ≥? (1) ? 1 ,
2

………………………………………………………15 分

所以 ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ≥1 , 因此 x1 ? x2 ≥

5 ?1 成立.………………………………………………………… 16 分 2


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