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2014届(浙江)高考数学(理)二轮专题训练:第1部分 专题一 第1讲 集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)

时间:2014-04-17


第一讲 集合、常用逻辑用语?选择、填空题型?

考 点 集合的概念及运算

考 情 1.高考对集合的考查主要是集合的含义、 集合之间的基本关系 和集合的运算,并且以集合的运算为主.试题往往与不等式的解

命题及逻辑联结词
网]

[来源:学科网 ZXXK][来源:学科

集、函数的定义域和值域、方程的解集、平面上的点集等相互交 汇,如 2013 年浙江 T2 等.试题难度不大,但涉及的知识面较广, 同时还应注意在集合中常以创新题的形式考查考生分析问题和解 决问题的能力.
[来源:学。科。网]

充要条件

2.高考对常用逻辑用语的考查主要是命题、充要条件和逻辑联结 词,并且以充要条件的判断、命题真假的判断为主,如 2013 年安 徽 T4,湖北 T3 等.这两类问题通常把逻辑的有关知识与具体数学 知识结合在一起考查.
[来源:学_科_网]

1.(2013· 重庆高考)已知全集 U={1,2,3,4},集合 A={1,2},B={2,3},则?U(A∪B)= ( A.{1,3,4} C.{3} B.{3,4} D.{4} )

解析:选 D ∵A={1,2},B={2,3},∴A∪B= {1,2,3},∴?U(A∪B)={4 }. 2.(2013· 浙江高考)设集合 S={x|x>-2},T={x|x2+3x-4≤0},则(?RS)∪T=( A.(-2,1] C.(-∞,1] 解析:选 C {x|x≤1}. 3.(2013· 陕西高考)设全集为 R,函数 f(x)= 1-x的定义域为 M,则?RM 为( A.(-∞,1) C.(-∞,1] B.(1,+∞) D.[1,+∞) ) B.(-∞,-4] D.[1,+∞) T= {x|-4≤x≤1},根据补集定义,?RS={x| x≤-2},所以(?RS)∪T= )

解析:选 B 函数 f(x)的定义域 M=(-∞,1],则?RM=(1,+∞).

4.(2013· 安徽高考)“a≤0” 是“函数 f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的 ( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

解析:选 C f(x)=|(ax-1)x|在(0,+∞)内单调递增等价于 f(x)=0 在区间(0,+∞)内无 1 实根,即 a=0 或 <0,也就是 a≤0,故“a≤0”是“函数 f(x)=|(ax-1)x|在(0,+∞)内单 a 调递增”的充要条件. 5.(2013· 湖北高考)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设命题 p 是“甲降 落在指定范围”, q 是“乙降落在指定范围”, 则命题“至少有一位学员没有降落在指定范 围”可表示为( ) B.p∨(綈 q) D.p∨q

A.(綈 p)∨(綈 q) C.(綈 p)∧(綈 q)

解析: 选 A 由题意可知, “至少有一位学员没有降落在指定范围”意味着“甲没有或 乙没有降落在指定范围”,使用“非”和“或”联结词即可表示该复合命题为(綈 p)∨(綈 q).

1.集合的运算性质与结论 (1)A∪A=A,A∪?=A,A∪B=B∪A. (2)A∩A=A,A∩?=?,A∩B=B∩A. (3)A∩(?UA)=?,A∪(?U A)=U. (4)A∩B=A?A?B,A∪B=A?B?A. 2.四种命题的关系 (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;

(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. 3.充分条件与必要条件 (1)若 p?q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件;若 p?q,则 p,q 互为充要条件; (2)充要条件与集合的关系:设命题 p 对应集合 A,命题 q 对应集合 B,则 p?q 等价于 A?B,p?q 等价于 A=B. 4.复合命题真假的判断方法 命题 p∧q,p∨q 及綈 p 真假可以用下表来判定: p 真 q 真 p∧q 真 p∨q 真 綈p 假

真 假 假

假 真 假

假 假 假

真 真 假

假 真 真

口诀记忆:p∨q,一真则真;p∧q,一假则假;綈 p 与 p 真假相反.

热点一

集合的概念及运算

[例 1] (1)(2012· 山东高考)已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y|x∈A,y∈A}中元素 的个数是( A.1 C.5 ) B.3 D.9

(2)(2013· 太原模拟)已知全集 U={0,1,2,3,4}, A={1,2,3}, B={2,4}, 则如图阴影部分表示的集合为( A.{0,2} C.{1,3,4} ) B.{0 ,1,3} D.{2,3,4}

(3)(2013· 合肥模拟)已知集合 A={x|x2-2x-3≤0,x∈R},B={x|x2-2mx+m2-4≤0, x∈R,m∈R},若 A∩B=[0,3],则实数 m 的值为________. [自主解答] (1)逐个列举可得.x=0,y=0,1,2 时,x-y=0,-1,-2;x=1,y=0,1,2 时,x-y=1,0,-1;x=2,y=0,1,2 时,x-y=2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合 B 的元素为-2,-1,0,1,2,共 5 个. (2)由于?U(A∪B)={0},A∩B={2},故阴影部分所表示集合为{0,2}. (3) 由已知得 A = {x| - 1≤x≤3} , B = {x|m - 2≤x≤m + 2} ,因为 A∩B = [0,3] ,所以
? ? ?m-2=0, ?m=2, ? 即? 故 m=2. ?m+2≥3, ? ? ?m≥1,

[答案] (1)C 互动探究

(2)A (3)2

在本例(3)中,若 A∩(?RB)=A,求 m 的取值范围. 解:因为 A∩(?RB)=A,所以 A??RB. 又?RB={x|x<m-2 或 x>m+2}, 所以 m-2>3 或 m+2<-1, 即 m>5 或 m<-3, 所以 m 的取值范围为(-∞,-3)∪(5,+∞).

——————————————————规律· 总结——————————————

解答集合的概念及运算问题的一般思路 (1)正确理解各个集合的含义,认清集合元素的属性、代表的意义. (2)根据集合中元素的性质化简集合. (3)依据元素的不同属性采用不同的方法求解,此时常用到以下技巧: ①若已知的集合是不等式的解集,用数轴求解; ②若已知的集合是点集,用数形结合法求解; ③若已知的集合是抽象集合,用 Venn 图求解.

1.已知集合 A={x∈R||x|≥2},B={x∈R|x2-x-2<0},且 R 为实数集,则下列结论正 确的是( ) B.A∩B≠? D.A?(?RB)

A.A∪B=R C.A?(?RB)

解析:选 C 集合 A={x|x≥2 或 x≤-2},B={x|-1<x<2},所以 A?(?RB). 2.设整数 n≥4,集合 X={1,2,3,?,n}.令集合 S={(x,y,z)|x,y,z∈X,且三条 件 x<y<z,y<z<x,z<x<y 恰有一个成立}.若(x,y,z)和(z,w,x)都在 S 中,则下列选项正 确的是( )

A.(y,z,w)∈S,(x,y,w)?S B.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S C.(y,z,w)?S,(x,y,w)∈S D.(y,z,w)?S,(x,y,w)?S 解析:选 B 题目中 x<y<z,y<z<x,z<x<y 恰有一个成立说明 x,y,z 是互不相等的三 个正整数,可用特殊值法求解,不妨取 x=1,y=2,z=3,w=4 满足题意,且(2,3,4)∈S, (1,2,4)∈S,从而(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S 成立.

热点二

命题及逻辑联结词

[例 2] (1)命题“若函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数, 则 loga2<0”的 逆否命题是( )

A.若 loga2<0,则函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数

B.若 loga2≥0,则函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数 C.若 loga2<0,则函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数 D.若 loga2≥0,则函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数 1?x ?1?-x ?1? (2)(2013· 贵阳模拟)已知命题 p1:函数 y=? ?2? -?2? 在 R 上为减函数,p2:函数 y=?2?
x

1?-x +? ?2? 在 R 上为增函数,则在命题 q1:p1∨p2 ,q2:p1∧p2,q3:(綈 p1)∨p2 和 q4:p1∧(綈 ) B.q2,q3 D.q2,q4 (1)注意命题“若函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数,则

p2)中,真命题是( A.q1,q3 C.q1,q4 [自主解答]

loga2<0”的条件与结论,可知其逆否命题为“若 loga2≥0,则函数 f(x)=logax(a>0,a≠1) 在其定义域内不是减函数”. 1?x x (2)因为函数 y=? ?2? -2 是 R 上的减函数,所以命题 p1 是真命题;因为 x=1 和 x=-1 1?x 1 5 x 时,都有 y= +2= ,所以函数 y=? ?2? +2 不是 R 上的增函数,故 p2 是假命题,所以 p1 2 2 ∨p2 是真命题,p1∧p2 是假命题,(綈 p1)∨p2 是假命题,p1∧(綈 p2)是真命题, 所以真命题 是 q1,q4. [答案] (1)B (2)C

——————————————————规律· 总结———— ——————————

三步辨明“或”“且”“非”命题的真假性 (1)弄清构成命题的 p 和 q 的真假性; (2)弄清结构形式; (3)根据真值表判断构成新命题的真假性.

3.已知命题 p:对于 x∈R,恒有 2x+2 x≥2 成立,命题 q:奇函数 f(x)的图像必过原


点,则下列结论正确的是( A.p∧q 为真 C.(綈 p)∨q 为真

) B.p∧(綈 q)为真 D.綈 p 为真


解析:选 B “命题 p:对于 x∈R,恒有 2x+2 x≥2 成立”为真命题,“命题 q:奇函 数 f(x)的图像必过原点”为假命题,所以只有选项 B 正确.

0 x+a+2 <0,a ? 0? 4.设集合 A= ? ?x ? ,命题 p:2 013 ∈A,命题 q:log24∈A,若 p∨q 为 x-a
? ? ? ? ? ?

真命题,p∧q 为假命题,则 a 的取值范围是________. x+a+2 解析:因为 a>0,故由 <0,解得-a-2<x<a,即 A={x|-a-2<x<a,a>0}. x-a 由 2 0130∈A,即 1∈A,得-a-2<1<a,解得 a>1,所以 p:a>1;由 log24∈A,即 2∈ A,得-a-2<2<a,解得 a>2,即 q:a>2. 因为 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,所以 p 真 q 假或 p 假 q 真. 当 p 真 q 假时,a 的取值范围是{a|a>1}∩{a|a≤2}={a|1<a≤2}; 当 p 假 q 真时,a 的取值范围是{a|a≤1}∩{a|a>2}=?. 所以 a 的取值范围是(1,2]. 答案:(1,2]

热点三

充 要 条 件

[例 3] (1)(2013· 浙江高考)已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈R),则“f(x)是 π 奇函数”是“φ= ”的( 2 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

(2)已知命题 p:x2+2x-3>0;命题 q:x>a,且綈 q 的一个充分不必要条件是綈 p,则 a 的取值范围是( A.[1,+∞) C.[-1,+∞) ) B.(-∞,1] D.(-∞,-3]

π π [自主解答] (1)若 f(x)是奇函数,则 φ= +kπ(k∈Z),且当 φ= 时,f(x)为奇函数. 2 2 (2)由 x2+2x-3>0,得 x<-3 或 x>1,故綈 p:-3≤x≤1,綈 q:x≤a. 由綈 q 的一个充分不必要条件是綈 p,可知綈 p 是綈 q 的充分不必要条件,故 a≥1. [答案] (1)B 互动探究 在本例(2 )中,若 p 是 q 的既不充分也不必要条件,求 a 的取值范围. 解:由 x2+2x-3>0,得 x<-3 或 x>1,借助数轴可知,若 p 是 q 的既不充分也不必要 条件,则 a<1 ,即 a 的取值范围是(-∞,1). (2)A

——————————————————规律· 总结——————————————

判断充分、必要条件时应关注三点 (1)要弄清先后顺序:“A 的充分不必要条件是 B”是指 B 能推出 A,且 A 不能推出 B; 而“A 是 B 的充分不必要条件”则是指 A 能推出 B,且 B 不能推出 A. (2)要善于举出反例:当从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时,可以通 过举出恰当的反例来说明. (3)要注意转化:綈 p 是綈 q 的必要不充分条件?p 是 q 的充分不必要条件;綈 p 是綈 q 的充要条件?p 是 q 的充要条件.

5.设 a,b∈R,则“(a-b)a2<0”是“a<b”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

)

解析:选 A 若(a-b)· a2<0,则 a≠0,且 a<b,所以充分性成立;若 a<b,则 a-b<0, 当 a=0 时,(a-b)a2=0,所以必要性不成立.故“(a-b)a2<0”是“a<b”的充分而不必要条 件. 6.命题 p:(x-m)2>3(x-m)是命题 q:x2+3x-4<0 成立的必要不充分条件,则实数 m 的取值范围为( )

A.(-∞,-7)∪(1,+∞) B.(1,+∞) C.(-7,1) D.(-∞,-7]∪[1,+∞) 解析:选 D 解不等式(x-m ) >3(x-m),得 x>m+3 或 x<m,解不等式 x +3x-4<0,得 -4<x<1.因为命题 p 是命题 q 成立的必要不充分条件, 所以命题 q 中不等式的解集是命题 p 中不等式的解集的真子集,即 m+3≤-4 或 m≥1,解得 m≤-7 或 m≥1.
2 2


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