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2015高考复习函数的基本性质(教师)


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函数及其表示
基础梳理 1.函数的基本概念 (1)函数的定义:设 A、B 是非空数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的 一个数 x,在集合 B 中都有 确定的数 f(x)和它对应,那么称 f:A→B 为从集合 A 到

集合 B 的一个函数,记作:y=f(x),x∈A. (2)函数的定义域、

值域 在函数 y=f(x),x∈A 中,x 叫自变量,x 的取值范围 A 叫做 ,与 x 的值对应的 y 值叫函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫值域.值域是集合 B 的子集. (3)函数的三要素:定义域、值域和对应关系. (4)相等函数:如果两个函数的定义域和 断两函数相等的依据. 2.函数的三种表示方法 表示函数的常用方法有:解析法、列表法、 3.映射的概念 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的 任意一个元素 x,在集合 B 中都有 应,那么就称对应 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射. (2)函数的定义域、值域 在函数 y=f(x),x∈A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的 值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 集合 B 的子集. (3)函数的三要素: (4)相等函数:如果两个函数的 这是判断两函数相等的依据. 一个方法 求复合函数 y=f(t),t=q(x)的定义域的方法: ①若 y=f(t)的定义域为(a,b),则解不等式得 a<q(x)<b 即可求出 y=f(q(x))的定义域;②若 y=f(g(x))的定义域为(a,b),则求出 g(x)的值域即为 f(t)的定义域. 两个防范 (1)解决函数问题,必须优先考虑函数的定义域. (2)用换元法解题时,应注意换元前后的等价性. 、 和 和 . 完全一致,则这两个函数相等, ;与 x 的 .显然,值域是 确定的元素 y 与之对 . 完全一致,则这两个函数相等;这是判

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三个要素 函数的三要素是: 定义域、 值域和对应关系. 值域是由函数的定义域和对应关系所确定的. 两 个函数的定义域和对应关系完全一致时,则认为两个函数相等.函数是特殊的映射,映射 f: A→B 的三要素是两个集合 A、B 和对应关系 f. 双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)函数 f(x)=log2(3x+1)的值域为( A.(0,+∞) C.(1,+∞) 解析 ∵3x+1>1, ∴f(x)=log2(3x+1)>log21=0. 答案 A 2.(2011· 江西)若 f(x)= 1 ,则 f(x)的定义域为( 1 log ?2x+1? 2 1 ? B. ? ?-2,0? ). ). B.[0,+∞) D.[1,+∞)

1 ? A. ? ?-2,0?

1 ? C. ? ?-2,+∞?

D.(0,+∞)

1 1 解析 由 log (2x+1)>0,即 0<2x+1<1,解得- <x<0. 2 2 答案 A 3.下列各对函数中,表示同一函数的是( A.f(x)=lg x2,g(x)=2lg x x+1 B.f(x)=lg ,g(x)=lg(x+1)-lg(x-1) x-1 C.f(u)= 1+ u ,g(v)= 1- u 1+v 1-v ).

D.f(x)=( x)2,g(x)= x2 答案 C 4.(2013· 陕西)某学校要召开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表,当各班人数除 以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的 函数关系用取整函数 y=[x]([x]表示不大于 x 的最大整数)可以表示为( x? A.y=? ?10? B.y=? x+3? ? 10 ? C.y=? x+4? ? 10 ? ). D.y=? x+5? ? 10 ?

解析 根据规定各班每 10 人推选一名代表, 当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名 代表,即余数分别为 7、8、9 时可增选一名代表.因此利用取整函数可表示为 y=? 故选 B. 答案 B
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x+3? ? 10 ?.

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5.函数 y=f(x)的图象如图所示.那么,f(x)的定义域是________;值域是________;其中只 与 x 的一个值对应的 y 值的范围是________.

解析 任作直线 x=a,当 a 不在函数 y=f(x)定义域内时,直线 x=a 与函数 y=f(x)图象没有 交点;当 a 在函数 y=f(x)定义域内时,直线 x=a 与函数 y=f(x)的图象有且只有一个交点. 任作直线 y=b,当直线 y=b 与函数 y=f(x)的图象有交点,则 b 在函数 y=f(x)的值域内;当 直线 y=b 与函数 y=f(x)的图象没有交点,则 b 不在函数 y=f(x)的值域内. 答案 [-3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5] 考向一 求函数的定义域 【例 1】?求下列函数的定义域: (1)f(x)= |x-2|-1 ; log2?x-1? (2)f(x)= ln?x+1? -x2-3x+4 .

[审题视点] 理解各代数式有意义的前提,列不等式解得.

|x-2|-1≥0, ? ? 解 (1)要使函数 f(x)有意义,必须且只须?x-1>0, ? ?x-1≠1. 解不等式组得 x≥3,因此函数 f(x)的定义域为[3,+∞).
? ?x+1>0, (2)要使函数有意义,必须且只须? 2 ? ?-x -3x+4>0, ? ?x>-1, 即? 解得:-1<x<1. ??x+4??x-1?<0, ?

因此 f(x)的定义域为(-1,1). 求函数定义域的主要依据是 (1)分式的分母不能为零;(2)偶次方根的被开方式其值非负;(3)对数式中真数大于零,底数 大于零且不等于 1.
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1 1? 1? 2 【训练 1】 (2014· 天津耀华中学月考)(1)已知 f(x)的定义域为? 求函数 y=f? ?-2,2?, ?x -x-2? 的定义域; (2)已知函数 f(3-2x)的定义域为[-1,2],求 f(x)的定义域.
? 1 1 1? - ≤t≤ ?, 解 (1)令 x2-x- =t,知 f(t)的定义域为?t? 2 2? ?? 2

1 1 1 ∴- ≤x2-x- ≤ , 2 2 2
2 ? ? ? ?x -x≥0, ? 整理得 2 ??1- 5 1+ 5 ?x -x-1≤0 ? ≤x≤ , ?

x≤0或x≥1,

? 2

2

∴所求函数的定义域为?

?1- 5 ?∪? 1+ 5?. ? ? ? ? 2 ,0? ?1, 2 ?

(2)用换元思想,令 3-2x=t,f(t)的定义域即为 f(x)的定义域, ∵t=3-2x(x∈[-1,2]),∴-1≤t≤5, 故 f(x)的定义域为[-1,5]. 考向二 求函数的解析式 2 ? 【例 2】?(1)已知 f? ?x+1?=lg x,求 f(x); (2)定义在(-1,1)内的函数 f(x)满足 2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求函数 f(x)的解析式. [审题视点] (1)用代换法求解;(2)构造方程组求解. 2 2 解 (1)令 t= +1,则 x= , x t-1 ∴f(t)=lg 2 2 ,即 f(x)=lg . t-1 x-1

(2)x∈(-1,1)时,有 2f(x)-f(-x)=lg(x+1).① 以-x 代 x 得,2f(-x)-f(x)=lg(-x+1).② 由①②消去 f(-x)得 2 1 f(x)= lg(x+1)+ lg(1-x),x∈(-1,1). 3 3 求函数解析式的方法主要有:(1)代入法;(2)换元法;(3)待定系数法;(4)解函数方程等. 【训练 2】 (1)已知 f(x)是二次函数,若 f(0)=0,且 f(x+1)=f(x)+x+1,试求 f(x)的表达式. 1 (2)已知 f(x)+2f( )=2x+1,求 f(x). x 解 (1)由题意可设 f(x)=ax2+bx(a≠0),则 a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1 ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1

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宝蕾家教中心印发 ? ?2a+b=b+1, 1 1 ∴? 解得 a= ,b= . 2 2 ?a+b=1, ?

1 1 因此 f(x)= x2+ x. 2 2

? ?f?x?+2f? ?x?=2x+1, (2)由已知得? 1? 2 + 2 f ? x ? = +1, ?f? x ? ? x

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1? 4+x-2x 消去 f? ?x?,得 f(x)= 3x .

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考向三 分段函数
?21 x,x≤1, ? 【例 3】?设函数 f(x)=? ?1-log2x,x>1, ?


则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是( A.[-1,2] B.[0,2]

). D.[0,+∞)

C.[1,+∞)

[审题视点] 对于分段函数应分段求解,最后再求其并集.
? ? ?x≤1, ?x>1, 解析 f(x)≤2?? 1-x 或? ?0≤x≤1 或 x>1,故选 D. ?2 ≤2 ?1-log2x≤2 ? ?

答案 D 分段函数是一类重要的函数模型.解决分段函数问题,关键抓住在不同的段内研究问题,如 本例中,需分 x≤1 和 x>1 时分别解得 x 的范围,再求其并集.
?2x+a,x<1, ? 【训练 3】 (2011· 江苏)已知实数 a≠0,函数 f(x)=? 若 f(1-a)=f(1+a),则 ? ?-x-2a,x≥1.

a 的值为________. 解析 分类讨论: (1)当 a>0 时,1-a<1,1+a>1.这时 f(1-a)=2(1-a)+a=2-a; f(1+a)=-(1+a)-2a=-1-3a. 由 f(1-a)=f(1+a),得 2-a=-1-3a, 3 解得 a=- ,不符合题意,舍去. 2 (2)当 a<0 时,1-a>1,1+a<1,这时 f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a; f(1+a)=2(1+a)+a=2+3a, 由 f(1-a)=f(1+a),得-1-a=2+3a, 3 解得 a=- . 4 3 综合(1),(2)知 a 的值为- . 4 阅卷报告 1——忽视函数的定义域
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【问题诊断】 函数的单调区间是函数定义域的子区间,所以求解函数的单调区间,必须先 求出函数的定义域.如果是复合函数,应该根据复合函数单调性的判断方法,首先判断两个 简单函数的单调性,根据同增异减的法则求解函数的单调区间.由于思维定势的原因,考生 容易忽视定义域,导致错误. 【防范措施】 研究函数的任何问题时, 把求函数的定义域放在首位, 即遵循“定义域优先” 的原则. 1 【示例】? 求函数 y=log (x2-3x)的单调区间. 3 正解 设 t=x2-3x,由 t>0,得 x<0 或 x>3,即函数的定义域为(-∞,0)∪(3,+∞). 3 函数 t 的对称轴为直线 x= , 2 故 t 在(-∞,0)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增. 1 1 而函数 y=log t 为单调递减函数,由复合函数的单调性可知,函数 y=log (x2-3x)的单调递 3 3 增区间是(-∞,0),单调递减区间是(3,+∞). 【试一试】 求函数 f(x)=log2(x2-2x-3)的单调区间. [尝试解答] 由 x2-2x-3>0,得 x<-1 或 x>3, 即函数的定义域为(-∞,-1)∪(3,+∞). 令 t=x2-2x-3,则其对称轴为 x=1,故 t 在(-∞,-1)上是减函数,在(3,+∞)上是增 函数. 又 y=log2t 为单调增函数. 故函数 y=log2(x2-2x-3)的单调增区间为(3,+∞),单调减区间为(-∞,-1).

函数的单调性与最值
基础梳理 1.函数的单调性

增函数

减函数 两

一般地,设函数 f(x)的定义域为 I.如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的 个自变量的值 x1,x2 定义 当 x1<x2 时, 都有 那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数 , 当 x1<x2 时,都 有

,那么就

说函数 f (x )在区间 D 上是减函数

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(1)单调函数的定义

图象 描述

自左向右图象是上升的 2.函数的最值 前提 ① 条件 ② 结论

自左向右图象是下降的

设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 对于任意 x∈I,都有 f(x)≤M; x0∈I,使得 f(x0)=M M 为最大值 ① 对于任意 x∈I,都 有 ②存在 x0∈I,使得 M 为最小值 ;

一个防范 1 函数的单调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的限制.例如函数 y= 分别在(-∞, x 0),(0,+∞)内都是单调递减的,但不能说它在整个定义域即(-∞,0)∪(0,+∞)内单调 递减,只能分开写,即函数的单调减区间为(-∞,0)和(0,+∞),不能用“∪”连接. 两种形式 设任意 x1,x2∈[a,b]且 x1<x2,那么 f?x1?-f?x2? f?x1?-f?x2? ① >0?f(x)在[a,b]上是增函数; <0?f(x)在[a,b]上是减函数. x1-x2 x1-x2 ②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 ?f(x)在[a,b]上是增函数;(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 ?f(x)在[a,b] 上是减函数. 两条结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在端 点取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.

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四种方法 函数单调性的判断 (1)定义法:取值、作差、变形、定号、下结论. (2)复合法:同增异减,即内外函数的单调性相同时,为增函数,不同时为减函数. (3)导数法:利用导数研究函数的单调性. (4)图象法:利用图象研究函数的单调性. 双基自测 1.设 f(x)为奇函数,且在(-∞,0)内是减函数,f(-2)=0,则 xf(x)<0 的解集为( A.(-2,0)∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) 答案 C 2.(2011· 湖南)已知函数 f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3.若有 f(a)=g(b),则 b 的取值范围为 ( ). B.(2- 2,2+ 2) C.[1,3] D.(1,3) B.(-∞,-2)∪(0,2) D.(-2,0)∪(0,2) ).

A.[2- 2,2+ 2]

解析 函数 f(x)的值域是(-1,+∞),要使得 f(a)=g(b),必须使得-x2+4x-3>-1.即 x2 -4x+2<0,解得 2- 2<x<2+ 2. 答案 B

?1?? 3.(2014· 保定一中质检)已知 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f? ??x ??<f(1)的实数 x 的取值范围
是( ). B.(0,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) A.(-1,1) C.(-1,0)∪(0,1)

? ?|x|<1, 1? ? 解析 由已知条件:? >1 ,不等式等价于 解得-1<x<1,且 x≠0. ? x? ?x≠0, ?

答案 C 4.(2013· 江苏)函数 f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是______. 1 解析 要使 y=log5(2x+1)有意义,则 2x+1>0,即 x>- ,而 y=log5u 为(0,+∞)上的增 2 1 1 ? 函数,当 x>- 时,u=2x+1 也为增函数,故原函数的单调增区间是? ?-2,+∞?. 2 1 ? 答案 ? ?-2,+∞? 2 5.若 x>0,则 x+ 的最小值为________. x 2 解析 ∵x>0,则 x+ ≥2 x 2 x·=2 x 2

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2 当且仅当 x= ,即 x= x 答案 2 2

2 2时,等号成立,因此 x+ 的最小值为 2 x

2.

考向一 函数的单调性的判断 【例 1】?试讨论函数 f(x)= x 的单调性. x2+1

[审题视点] 可采用定义法或导数法判断. 解 法一 f(x)的定义域为 R,在定义域内任取 x1<x2,

?x1-x2??1-x1x2? x1 x2 都有 f(x1)-f(x2)= 2 - 2 = 2 , x1+1 x2+1 ?x1+1??x2 2+1?
2 其中 x1-x2<0,x2 1+1>0,x2+1>0.

①当 x1,x2∈(-1,1)时,即|x1|<1,|x2|<1,∴|x1x2|<1, 则 x1x2<1,1-x1x2>0,f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2),∴f(x)为增函数. ②当 x1,x2∈(-∞,-1]或[1,+∞)时, 1-x1x2<0,f(x1)>f(x2),∴f(x)为减函数. 综上所述,f(x)在[-1,1]上是增函数,在(-∞,-1]和[1,+∞)上是减函数. x x2+1-x?x2+1?′ 法二 ∵f′(x)=?x2+1?′= ? ? ?x2+1?2 x2+1-2x2 1-x2 = 2 = 2 , ?x +1?2 ?x +1?2 ∴由 f′(x)>0 解得-1<x<1.由 f′(x)<0 解得 x<-1 或 x>1, ∴f(x)在[-1,1]上是增函数, 在(-∞,-1]和[1,+∞)上是减函数. 判断(或证明)函数单调性的主要方法有: (1)函数单调性的定义;(2)观察函数的图象;(3)利用函数和、差、积、商和复合函数单调性 的判断法则;(4)利用函数的导数等. 【训练 1】 讨论函数 f(x)= ax (a≠0)在(-1,1)上的单调性. x-1 1 x-1+1 ? =a 1+x-1?, ? ? x-1

解 设-1<x1<x2<1,f(x)=a

1 1 f(x1)-f(x2)=a?1+x -1?-a?1+x -1? ? ? ? ? 1 2 =a x2-x1 ?x1-1??x2-1?

当 a>0 时,f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2),函数 f(x)在(-1,1)上递减; 当 a<0 时,f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),函数 f(x)在(-1,1)上递增. 考向二 利用已知函数的单调区间求参数的值(或范围)
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x2+a 【例 2】?已知函数 f(x)= (a>0)在(2,+∞)上递增,求实数 a 的取值范围. x [审题视点] 求参数的范围转化为不等式恒成时要注意转化的等价性.
2 x2 x2-x1 1+a x2+a 解 法一 设 2<x1<x2,由已知条件 f(x1)-f(x2)= - =(x1-x2)+a =(x1- x1 x2 x1x2

x1x2-a x2) <0 恒成立.即当 2<x1<x2 时,x1x2>a 恒成立.又 x1x2>4,则 0<a≤4. x1x2 a a 法二 f(x)=x+ ,f′(x)=1- 2>0 得 f(x)的递增区间是(-∞,- a),( a,+∞),根据 x x 已知条件 a≤2,解得 0<a≤4. 已知函数的解析式,能够判断函数的单调性,确定函数的单调区间,反之已知函数的单调区 间可确定函数解析式中参数的值或范围,可通过列不等式或解决不等式恒成立问题进行求 解. x-5 【训练 2】 函数 y= 在(-1,+∞)上单调递增,则 a 的取值范围是( x-a-2 A.a=-3 B.a<3 C. a≤-3 D.a≥-3 ).

? ?a-3<0, x-5 a-3 解析 y= =1+ ,需? x-a-2 x-?a+2? ?a+2≤-1, ? ? ?a<3, 即? ∴a≤-3. ?a≤-3, ?

答案 C 考向三 利用函数的单调性求最值 【例 3】?已知函数 f(x)对于任意 x,y∈R,总有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0 时,f(x)<0, 2 f(1)=- . 3 (1)求证:f(x)在 R 上是减函数; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. [审题视点] 抽象函数单调性的判断,仍须紧扣定义,结合题目作适当变形. (1)证明 法一 ∵函数 f(x)对于任意 x,y∈R 总有 f(x)+f(y)=f(x+y), ∴令 x=y=0,得 f(0)=0. 再令 y=-x,得 f(-x)=-f(x).在 R 上任取 x1>x2,则 x1-x2>0, f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2). 又∵x>0 时,f(x)<0,而 x1-x2>0,∴f(x1-x2)<0,即 f(x1)<f(x2). 因此 f(x)在 R 上是减函数. 法二 设 x1>x2,则 f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2). 又∵x>0 时,f(x)<0,而 x1-x2>0,
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∴f(x1-x2)<0,即 f(x1)<f(x2), ∴f(x)在 R 上为减函数. (2)解 ∵f(x)在 R 上是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上也是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分别为 f(-3)与 f(3). 而 f(3)=3f(1)=-2,f(-3)=-f(3)=2. ∴f(x)在[-3,3]上的最大值为 2,最小值为-2. 对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义,结合题目所给性质和相应的条件, f?x1? 对任意 x1,x2 在所给区间内比较 f(x1)-f(x2)与 0 的大小,或 与 1 的大小.有时根据需要, f?x2? x1 需作适当的变形:如 x1=x2· 或 x1=x2+x1-x2 等. x2 x1? 【训练 3】 已知定义在区间(0, +∞)上的函数 f(x)满足 f? 且当 x>1 时, f(x) ?x ?=f(x1)-f(x2),
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<0. (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的单调性; (3)若 f(3)=-1,求 f(x)在[2,9]上的最小值. 解 (1)令 x1=x2>0, 代入得 f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故 f(1)=0. x1 (2)任取 x1,x2∈(0,+∞),且 x1>x2,则 >1, x2 x1? 由于当 x>1 时,f(x)<0,所以 f? ?x ?<0,
2

即 f(x1)-f(x2)<0,因此 f(x1)<f(x2), 所以函数 f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数. (3)∵f(x)在[0,+∞)上是单调递减函数. ∴f(x)在[2,9]上的最小值为 f(9). x1? ?9? 由 f? ?x ?=f(x1)-f(x2)得,f?3?=f(9)-f(3),
2

而 f(3)=-1,所以 f(9)=-2. ∴f(x)在[2,9]上的最小值为-2. 不等式恒成立问题 【问题研究】 在恒成立的条件下,如何确定参数的范围是历年来高考考查的重点内容,近 年来在新课标地区的高考命题中,由于三角函数、数列、导数知识的渗透,使原来的分离参

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数法、 根的分布法增添了思维难度, 因而含参数不等式的恒成立问题常出现在综合题的位置. 【解决方案】 解决这类问题的关键是将恒成立问题进行等价转化,使之转化为函数的最值 问题,或者区间根的分布问题,进而运用最值原理或者区间根原理使问题获解,常用方法还 有函数性质法,分离参数法等. 【示例】? (本题满分 12 分)已知函数 f(x)=x2-2ax+2,当 x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a 恒成 立,求 a 的取值范围. 利用函数性质求 f(x)的最值,从而解不等式 f(x)min≥a,得 a 的取值范围.解题过 程中要注意 a 的范围的讨论. [解答示范] ∵f(x)=(x-a)2+2-a2,∴此二次函数图象的对称轴为 x=a(1 分) (1)当 a∈(-∞,-1)时,f(x)在[-1,+∞)上单调递增, ∴f(x)min=f(-1)=2a+3.(3 分) 要使 f(x)≥a 恒成立,只需 f(x)min≥a,即 2a+3≥a, 解得 a≥-3,即-3≤a<-1.(6 分) (2)当 a∈[-1,+∞)时,f(x)min=f(a)=2-a2.(8 分) 要使 f(x)≥a 恒成立,只需 f(x)min≥a, 即 2-a2≥a(10 分) 解得-2≤a≤1,即-1≤a≤1.(11 分) 综上所述,实数 a 的取值范围为[-3,1](12 分) 本题是利用函数的性质求解恒成立问题, 主要的解题步骤是研究函数的性质, 由于导数知识 的运用,拓展了这类问题深度和思维的广度,因此,解答问题时,一般的解题思路是先通过 对函数求导,判断导函数的符号,从而确定函数在所给区间上的单调性,得到区间上对应的 函数最值. 【试一试】 当 x∈(1,2)时,不等式 x2+mx+4<0 恒成立,则 m 的取值范围是________. 4? 解析 法一 当 x∈(1,2)时,不等式 x2+mx+4<0 可化为:m<-? ?x+x?, 4? 又函数 f(x)=-? ?x+x?在(1,2)上递增, 则 f(x)>-5, 则 m≤-5. 法二 设 g(x)=x2+mx+4 m 3 当- ≤ ,即 m≥-3 时,g(x)<g(2)=8+2m, 2 2 m 3 当- > ,即 m<-3 时,g(x)<g(1)=5+m 2 2
? ? ?m≥-3, ?m<-3, 由已知条件可得:? 或? ?8+2m≤0, ? ? ?5+m≤0. 12

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解得 m≤-5 答案 (-∞,-5]

函数的奇偶性与周期性
基础梳理 1.奇、偶函数的概念 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于 y 轴对称. 2.奇、偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 调性 . ,偶函数在关于原点对称的区间上的单 ,那么函数 f(x)就叫做偶函数. ,那么函数 f(x)就叫做奇函数.

(2)在公共定义域内 ①两个奇函数的和是 ②两个偶函数的和、积都是 ③一个奇函数,一个偶函数的积是 3.周期性 (1)周期函数: 对于函数 y=f(x), 如果存在一个非零常数 T, 使得当 x 取定义域内的任何值时, 都有 ,那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. ,两个奇函数的积是 ; . ;

(2)最小正周期:如果在周期函数 f(x)的所有周期中 的正数,那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期. 一条规律 奇、偶函数的定义域关于原点对称. 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件. 两个性质 (1)若奇函数 f(x)在 x=0 处有定义,则 f(0)=0. (2)设 f(x),g(x)的定义域分别是 D1,D2,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. 三种方法 判断函数的奇偶性,一般有三种方法:(1)定义法;(2)图象法;(3)性质法. 三条结论 (1)若对于 R 上的任意的 x 都有 f(2a-x)=f(x)或 f(-x)=f(2a+x),则 y=f(x)的图象关于直线 x=a 对称. (2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a-x)=f(x),且 f(2b-x)=f(x)(其中 a<b),则:y=f(x)是以
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2(b-a)为周期的周期函数. (3)若 f(x+a)=-f(x+b)(a≠b),那么函数 f(x)是周期函数,其中一个周期为 T=2|a-b|.

双基自测
5? 1.设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1-x),则 f? ?-2?=( 1 A.- 2 1 B.- 4 1 C. 4 1 D. 2 ).

5? 1 ?5? ?1? 解析 因为 f(x)是周期为 2 的奇函数,所以 f? ?-2?=-f?2?=-f?2?=-2.故选 A. 答案 A 1 2.(2012· 福州一中月考)f(x)= -x 的图象关于( x A.y 轴对称 C.坐标原点对称 ).

B.直线 y=-x 对称 D.直线 y=x 对称 1 ? 1 -(-x)=-? ? x-x?=-f(x),则 -x

解析 f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),又 f(-x)= f(x)为奇函数,图象关于原点对称. 答案 C

3.设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( A.f(x)+|g(x)|是偶函数 C.|f(x)|+g(x)是偶函数 B.f(x)-|g(x)|是奇函数 D.|f(x)|-g(x)是奇函数

).

解析 由题意知 f(x)与|g(x)|均为偶函数,A 项:偶+偶=偶;B 项:偶-偶=偶,B 错;C 项与 D 项:分别为偶+奇=偶,偶-奇=奇均不恒成立,故选 A. 答案 A 4.(2014· 福建模拟)对于函数 f(x)=asin x+bx+c(其中,a,b∈R,c∈Z),选取 a,b,c 的 一组值计算 f(1)和 f(-1),所得出的正确结果一定不可能是( A.4 和 6 B.3 和 1 C.2 和 4 ). D.1 和 2

解析 ∵f(1)=asin 1+b+c,f(-1)=-asin 1-b+c 且 c∈Z,∴f(1)+f(-1)=2c 是偶数, 只有 D 项中两数和为奇数,故不可能是 D. 答案 D 5.(2013· 浙江模拟)若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数 a=________. 解析 法一 ∵f(-x)=f(x)对于 x∈R 恒成立,∴|-x+a|=|x+a|对于 x∈R 恒成立,两边平 方整理得 ax=0 对于 x∈R 恒成立,故 a=0. 法二 由 f(-1)=f(1),得|a-1|=|a+1|,得 a=0. 答案 0 考向一 判断函数的奇偶性
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【例 1】?下列函数: ①f(x)= =lg 1-x2+ x2-1;②f(x)=x3-x;③f(x)=ln(x+ x2+1);④f(x)= ). D.5 3x-3 x ;⑤f(x) 2


1-x .其中奇函数的个数是( 1+x B.3 C.4

A.2

[审题视点] 利用函数奇偶性的定义判断. 解析 ①f(x)= 1-x2+ x2-1的定义域为{-1,1},又 f(-x)=± f(x)=0, 则 f(x)= 1-x2+ x2-1是奇函数,也是偶函数; ②f(x)=x3-x 的定义域为 R, 又 f(-x)=(-x)3-(-x)=-(x3-x)=-f(x), 则 f(x)=x3-x 是奇函数; ③由 x+ x2+1>x+|x|≥0 知 f(x)=ln(x+ x2+1)的定义域为 R, 又 f(-x)=ln(-x+ ?-x?2+1)=ln -ln(x+ x2+1)=-f(x), 则 f(x)为奇函数; 3x-3 x ④f(x)= 的定义域为 R, 2


1 = x+ x2+1

3 x-3x 3x-3 x 又 f(-x)= =- =-f(x), 2 2
- -

则 f(x)为奇函数; 1-x 1-x ⑤由 >0 得-1<x<1,f(x)=ln 的定义域为(-1,1), 1+x 1+x 1+x ?1-x?-1=-ln1-x=-f(x), 又 f(-x)=ln =ln? ? 1-x 1+x ?1+x? 则 f(x)为奇函数. 答案 D 判断函数的奇偶性的一般方法是:(1)求函数的定义域;(2)证明 f(-x)=f(x)或 f(-x)=-f(x) 成立;或者通过举反例证明以上两式不成立.如果二者皆未做到是不能下任何结论的,切忌 主观臆断. 【训练 1】 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)= 4-x2 ; |x+3|-3 (2)f(x)=x2-|x-a|+2.

?4-x2≥0, ? 解 (1)解不等式组? ? ?|x+3|-3≠0,

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得-2≤x<0,或 0<x≤2, 因此函数 f(x)的定义域是[-2,0)∪(0,2], 4-x2 则 f(x)= . x 4-?-x?2 4-x2 f(-x)= =- =-f(x), x -x 所以 f(x)是奇函数. (2)f(x)的定义域是(-∞,+∞). 当 a=0 时,f(x)=x2-|x|+2, f(-x)=x2-|-x|+2=x2-|x|+2=f(x). 因此 f(x)是偶函数; 当 a≠0 时,f(a)=a2+2, f(-a)=a2-|2a|+2, f(-a)≠f(a),且 f(-a)≠-f(a). 因此 f(x)既不是偶函数也不是奇函数. 考向二 函数奇偶性的应用 1 1 【例 2】?已知 f(x)=x?2x-1+2?(x≠0).

?

?

(1)判断 f(x)的奇偶性;(2)证明:f(x)>0. [审题视点] (1)用定义判断或用特值法否定;(2)由奇偶性知只须求对称区间上的函数值大于 0. (1)解 法一 f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)
x

1 1 x 2 +1 ∵f(x)=x?2x-1+2?= ·x . ? ? 2 2 -1 -x 2 x+1 x 2x+1 ∴f(-x)= ·-x = ·x =f(x). 2 2 -1 2 2 -1


故 f(x)是偶函数. 法二 f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞), 3 3 ∵f(1)= ,f(-1)= ,∴f(x)不是奇函数. 2 2 1 1 1 1 ∵f(x)-f(-x)=x?2x-1+2?+x?2-x-1+2?

?

?

?

?

1 2 ?1-2 ? =x?2x-1+1-2x+1?=x? x +1?=x(-1+1)=0, ? ? ?2 -1 ? ∴f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数.

x

x

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(2)证明 当 x>0 时,2x>1,2x-1>0, 1 1 所以 f(x)=x?2x-1+2?>0.

?

?

当 x<0 时,-x>0,所以 f(-x)>0,又 f(x)是偶函数, ∴f(-x)=f(x),所以 f(x)>0. 综上,均有 f(x)>0. 根据函数的奇偶性, 讨论函数的单调区间是常用的方法. 奇函数在对称区间上的单调性相同; 偶函数在对称区间上的单调性相反. 所以对具有奇偶性的函数的单调性的研究, 只需研究对 称区间上的单调性即可. 【训练 2】 已知奇函数 f(x)的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]内递减,求满足:f(1-m) +f(1-m2)<0 的实数 m 的取值范围. 解 ∵f(x)的定义域为[-2,2],
?-2≤1-m≤2, ? ∴有? 2 ? ?-2≤1-m ≤2,

解得-1≤m≤ 3.① 又 f(x)为奇函数,且在[-2,0]上递减, ∴在[-2,2]上递减, ∴f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1)?1-m>m2-1, 即-2<m<1.② 综合①②可知,-1≤m<1. 考向三 函数的奇偶性与周期性 【例 3】?已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且 f(x)的图象关于 x=1 对称,当 x∈[0,1] 时,f(x)=2x-1, (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x∈[1,2]时,求 f(x)的解析式; (3)计算 f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2013)的值. [审题视点] (1)只需证明 f(x+T)=f(x),即可说明 f(x)为周期函数; (2)由 f(x)在[0,1]上的解析式及 f(x)图象关于 x=1 对称求得 f(x)在[1,2]上的解析式; (3)由周期性求和的值. (1)证明 函数 f(x)为奇函数,则 f(-x)=-f(x),函数 f(x)的图象关于 x=1 对称,则 f(2+x) =f(-x)=-f(x),所以 f(4+x)=f[(2+x)+2]=-f(2+x)=f(x),所以 f(x)是以 4 为周期的周期 函数. (2)解 当 x∈[1,2]时,2-x∈[0,1], 又 f(x)的图象关于 x=1 对称,则 f(x)=f(2-x)=22 x-1,x∈[1,2].


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(3)解 ∵f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0, f(3)=f(-1)=-f(1)=-1 又 f(x)是以 4 为周期的周期函数. ∴f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2013) =f(2 012)+f(2 013)=f(0)+f(1)=1. 判断函数的周期只需证明 f(x+T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数,且周期为 T,函数 的周期性常与函数的其他性质综合命题,是高考考查的重点问题. 【训练 3】 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数, g(x)是定义在 R 上的奇函数, 且 g(x)=f(x-1), 则 f(2 013)+f(2 015)的值为( A.-1 B.1 ). C.0 D.无法计算

解析 由题意,得 g(-x)=f(-x-1), 又∵f(x)是定义在 R 上的偶函数, g(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴g(-x)=-g(x), f(-x)=f(x), ∴f(x-1)=-f(x+1), ∴f(x)=-f(x+2),∴f(x)=f(x+4), ∴f(x)的周期为 4, ∴f(2 013)=f(1),f(2 015)=f(3)=f(-1), 又∵f(1)=f(-1)=g(0)=0, ∴f(2 013)+f(2 015)=0. 答案 C 如何解决奇偶性、单调性、周期性的交汇问题 【问题研究】 函数的奇偶性、单调性、周期性是函数的三大性质,它们之间既有区别又有 联系,高考作为考查学生综合能力的选拔性考试,在命题时,常常将它们综合在一起命制试 题. 【解决方案】 根据奇偶性的定义知,函数的奇偶性主要体现为 f?-x?与 f?x?的相等或相反关 系, 而根据周期函数的定义知, 函数的周期性主要体现为 f?x+T?与 f?x?的关系, 它们都与 f?x? 有关,因此,在一些题目中,函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到.函数的奇偶性体现 的是一种对称关系,而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律,因此,在 解题时, 往往需借助函数的奇偶性或周期性来确定函数在另一区间上的单调性, 即实现区间 的转换,再利用单调性来解决相关问题. 【示例】?(2014· 沈阳模拟)设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x. (1)求 f(π)的值; (2)当-4≤x≤4 时,求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积; (3)写出(-∞,+∞)内函数 f(x)的单调增(或减)区间.

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第(1)问先求函数 f(x)的周期,再求 f(π); 第(2)问,推断函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称,再结合周期画出图象,由图象易求面 积; 第(3)问,由图象观察写出. [解答示范] (1)由 f(x+2)=-f(x)得, f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x), 所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数,(2 分) ∴f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π) =-(4-π)=π-4.(4 分) (2)由 f(x)是奇函数与 f(x+2)=-f(x), 得:f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)], 即 f(1+x)=f(1-x). 故知函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称.(6 分) 又 0≤x≤1 时,f(x)=x,且 f(x)的图象关于原点成中心对称,则 f(x)的图象如图所示.(8 分) 当-4≤x≤4 时,f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S,则 1 ? S=4S△OAB=4×? ?2×2×1?=4.(10 分) (3)函数 f(x)的单调递增区间为[4k-1,4k+1](k∈Z),单调递减区间[4k+1,4k+3](k∈Z).(12 分) 关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题,关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问 题转化为已知区间上的问题. 【试一试】 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数, 则( ). B.f(80)<f(11)<f(-25) D.f(-25)<f(80)<f(11)

A.f(-25)<f(11)<f(80) C.f(11)<f(80)<f(-25)

[尝试解答] 由函数 f(x)是奇函数且 f(x)在[0,2]上是增函数可以推知,f(x)在[-2,2]上递增, 又 f(x-4)=-f(x)?f(x-8)=-f(x-4)=f(x),故函数 f(x)以 8 为周期,f(-25)=f(-1),f(11) =f(3)=-f(3-4)=f(1),f(80)=f(0),故 f(-25)<f(80)<f(11).故选 D. 答案 D

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