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2015年安徽省学业水平测试真题·数学


2015 年安徽省普通高中学业水平测试





本试卷分为第 I 卷和第 II 卷两部分,第 I 卷为选择题,共 2 页;第 II 卷为非选择题, 共 4 页。全卷共 25 小题,满分 100 分。考试时间为 90 分钟。

第 I 卷(选择题 共 54 分)
注意事项: 1.答题前,

请先将自己的姓名、座位号用钢笔或圆珠笔填写在答题卡上,并用 2B 铅笔 在答题卡规定的位置上将自己的座位号、考试科目涂黑。考试结束时,将试卷和答题卡一并 交回。 2.选出每小题的答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑,如需改动,要用 橡皮擦干净后, 再选涂其他答案。 请注意保持答题卡整洁, 不能折叠。 答案写在试卷上无效。 一、选择题(本大题共 18 小题,每小题 3 分,满分 54 分。每小题 4 个选项中,只有 1 个选项符合题目要求。 )

1,2,3}, N ? {0,1,2,5}, 则 M ? N 等于 1.已知集合 M ? {
A.{1,2} B.{0,2} C.{2,5} D. {3,5}

2.下列几何体中,主(正)视图为三角形的是

3.

sin 210? 等于
A.

3 2

B.

?

3 2

C.

1 2

D. ?

1 2

4. 函数 f ( x) ? lg( x ? 1) 的定义域为 A.

( 0, ? ? )

B. D.

?0 , ? ? )

C. ( ? 1, ? ? )

??1, ? ? )
D.9

5. 执行如图所示程序框图,输出结果是 A. 3 B. 5 C.7

? ? ? ? 6. 已知 a ? (3,?5),b ? (?6,?2) ,则 a ? b 等于
A. ? 36 B.

? 10

C. ? 8

D.6

7.下列四个函数图象,其中为 R 上的单调函数的是
第 1 页 共 6 页

8. 如果实数 x , y 满足 x ? 0, y ? 0 ,且 x ? y ? 2 ,那么 xy 的最大值是 A.

1 2

B.1

C.

3 2

D. 1

9. 已知直线 l1 : x ? y ? 0, l2 : x ? y ? 0 ,则直线 l1 与 l2 的位置关系是 A.垂直 B. 平行 C. 重合 D.相交但不垂直 10. 某校有 2000 名学生,其中高一年级有 700 人,高二年级有 600 人。为了解学生对防 震减灾知识的掌握情况,学校用分册抽样的方法抽取 20 名学生召开座谈会,则应抽取高三 年级学生的人数为 A. 5 B.6 C. 7 D. 8

? x ? 0, ? y ? 0, 所表示的平面区域的面积等于 11. 不等式组 ? ?x ? y ? 4 ? 0 ?
A. 4 B.8 C. 12 D. 16 12. 右图是一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图, 则该运动员 在这五场比赛中得分的中位数为 A. 10 B.11 C. 12 D. 13 13. 已知圆 C 的圆心坐标是(0,0) ,且经过点(1,1) ,则圆 C 的方程是 A. x ? y ? 1
2 2

B. ( x ?1) ? ( y ?1) ? 1
2 2

C. x ? y ? 2
2 2

D. ( x ?1) ? ( y ?1) ? 2
2 2

14. 某校有第一、第二两个食堂,三名同学等可能地选择一个食堂就餐,则他们恰好都选 择第一食堂的概率为 A.

1 8
2

B.

1 4

C.

3 8

D.

1 2

15. 函数 f ( x) ? x ? x ? 5( x ? 0) 的零点所在区间为 A. ( 0 ,

1 ) 2

B.

1 ( ,1 ) 2

C.

3 (1, ) 2

D. (

3 ,2 ) 2

16. 下列命题正确的是
第 2 页 共 6 页

A.如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行,则这两个平面平行 B.如果两个平面垂直于同一个平面,那么这两个平面平行 C. 如果一条直线与平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行 D.如果两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 17. 将函数 f ( x) ? sin ?x(? ? 0) 的图象向右平移

? ? 3? ? 个单位, 所得图象经过点 ? 则 ,0 ? , 4 ? 4 ?

? 的最小值是
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 18. 在股票交易过程中,经常用两种曲线来描述价格变化情况,一种是即时价格曲线

y ? f ( x) ,另一种是平均价格曲线 y ? g ( x) 。如 f (2) ? 3 表示股票开始交易后 2 小时的即
时价格为 3 元;g (2) ? 3 表示 2 小时内的平均价格为 3 元, 下四个图中, 实线表示 y ? f ( x) 的图象,虚线表示 y ? g ( x) 的图象,其中正确的是

第 II 卷(非选择题 共 46 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分,把答案填在题中的横线上.) 19. 幂函数 f ( x) ? x? ( ? 是常数)的图象经过点(2 , 4) ,则 f ( x) ? 20. 数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ) ,则 a4 ? 。 。

21. 如图,在正方形 ABCD 中,E,F,G,H 分别为四边中点,现将均匀的粒 子随机撒落在正方形 ABCD 中, 则粒子落在四边形 EFGH 区域内的概率 为 。 22. 在 ?ABC 中 , 点 D 在 边 BC 上 , 且 BD ? 2DC , 若

AD ? ? AC ? ? AB ,则

? ? ?



第 3 页 共 6 页

三、解答题(本大题共 3 小题,满分 30 分.解答题应写出文字说明及演算步骤.) ?ABC 的三边 a, 23. (本题满分 10 分) b, c 所对的角分别为 A,B,C。 已知 b cos C ? c cos B 。 (1)求证: ?ABC 为等腰三角形; (2)若 a ? 2 2 , b ? 2 ,点 D 为边 AC 的中点,求 BD 的长。

24. (本题满分 10 分) 如图, 在 ?ABC 中, AB=AC,EC ? 平面ABC ,DA ? 平面ABC , 且 EC=2DA,M 为 BE 的中点。 (1)证明: DM // 平面ABC ; (2)证明: 平面EBD ? 平面EBC 。

25.(本题满分 10 分)投资商一次性投资 72 万元建一个有机蔬菜种植基地。在经营过程中, 第一年共支出 12 万元,以后每年支出比上一年增加 4 万元,从第一年起每年蔬菜销售收入 50 万元。设 f ( n) 表示前 n 年的纯利润总和(注:前 n 年的纯利润总和=前 n 年的总收入— 前 n 年的总支出—投资额) 。 (1)写出 f ( n) 关于 n 的表达式; (2)该种植基地从第几年开始盈利? (3)若干年后,投资商为开发新项目,对该种植基地有两种处理方案:① 年平均纯利润达 到最大时,以 48 万元出售该种植基地;② 纯利润总和达到最大时,以 10 万元出售该种植基 地,你认为哪种方案更合算?

第 4 页 共 6 页

2015 年安徽省普通高中学业水平考试 数学试题参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 18 小题,每小题 3 分,满分 54 分.) 1 2 3 4 5 6 7 题号 A D D C B C B 答案 8 B 9 A 10 C

11 12 13 14 15 16 17 18 题号 B C C A D D B C 答案 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分,把答案填在题中的横线上.) 19. x
2

20.15

21.

1 2

22. 2

三、解答题(本大题共 3 小题,满分 30 分.解答题应写出文字说明及演算步骤.) ? b cosC ? c cos B, 由正弦定理得 sin B cos C ? cos B sin C 。 23. (1) 证法一: ......... 2 分

?sin B cosC ? cos B sin C ? 0,?sin(B ? C ) ? 0. ? 0 ? B ? ? ,0 ? C ? ? ,? ?? ? B ? C ? ? , ? B ? C ? 0 , ? B ? C, .......................................................... 4 分 ? ?A B C为等腰三角形。.......................................................... 5 分 a 2 ? b2 ? c2 c2 ? a 2 ? b2 ? c? 证法二:? b cosC ? c cos B, 由余弦定理得 b ? ,......... 2 分 2ab 2ca 整理得 2b 2 ? 2c 2 ,?b ? c ,.......................................................... 4 分 ? ?A B C为等腰三角形。.......................................................... 5 分 证法三:由证法一得 sin B cos C ? cos B sin C ,......... 2 分 ? B, C 均为锐角,两边同除以 cos B cos C 得 tan B ? tan C , ? B ? C, .................... 4 分 ? ?A B C为等腰三角形。.......................................................... 5 分
(2)由(1)知 c=b=2,

? a 2 ? 8 ? 4 ? 4 ? b 2 ? c 2 ,由勾股定理得逆定理可得 A ? 90? 。............. 7 分 1 ? 点 D 为边 AC 中点,? AD ? AC ? 1 。 2 2 2 2 2 2 在 Rt ?ABD 中,由勾股定理得 BD ? AB ? AD ? 2 ? 1 ? 5 , ........................................................... 10 分 ? BD ? 5 .
24. (1)取 BC 中点 N, 连接 AN,MN,......... 1 分

? M 为 BE 中点,? ?BEC 中, MN // EC , 且MN ?
又 EC ? 平面 ABC,DA ? 平面 ABC,EC=2DA,

1 EC . ......... 2 分 2

? DA // EC , DA ?

? DA // MN,且 DA=MN, ? 四边形 MNAD 为平行四边形, ? DM //AN,DM ? 平面 ABC,AN ? 平面 ABC, ? DM//平面 ABC。 ............................ 5 分

1 EC , 2

(2) ?ABC 中,AB=AC,N 为 BC 中点,则 AN ? BC。 又 EC ? 平面 ABC,且 AN ? 平面 ABC,得 AN ? EC. EC ? BC=C,? AN ? 平面 EBC. .......... 7 分
?

而 AN//DM, ? DM ? 平面 EBC,DM ? 平面 EBD,
第 5 页 共 6 页

? 平面 EBD ? 平面 EBC 。................................ 10 分
25. (1)由题意知:

f (n) ? 50 n ? [12 n ?

n(n ? 1) ? 4] ? 72 ? ?2n 2 ? 40 n ? 72(n ? N * ) 。 ....................... 3 分 2 (2)由 f (n) ? 0得: ? 2n2 ? 40n ? 72 ? 0 ,解得:2 < n < 18 。 * 由 n ? N 知,从第三年开始盈利。 ........................... 6 分

f ( n) 16 36 ? 40 ? 2(n ? ) ? 40 ? 2 ? 12 ? 16 。 当且仅当 n ? , n n n 即 n=6 时等号成立。故方案?共获利 6 ?16 ? 48 ? 144 (万元) 。 .............. 8 分
(3) 方案?: 年平均纯利润

方案? : f (n) ? ?2n2 ? 40n ? 72 ? ?2?n ?10? ? 128,当 n=10 时, f (n)max =128。
2

故方案?共获利 128+10=138(万元) 。

比较两种方案,选择第?种方案更合算。 ........................... 10 分
(以上各题其他解法请参照以上评分标准酌情赋分)

第 6 页 共 6 页


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