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课时跟踪检测(二十七) 平面向量的基本定理及坐标表示


课时跟踪检测(二十七) 平面向量的基本定理及坐标表示 一、选择题 1.如图, 在平行四边形 ABCD 中, E 为 DC 边的中点, 且 AB =a,AD =b,则 BE =( 1 A.b- a 2 1 C.a+ b 2 ) 1 B.b+ a 2 1 D.a- b 2

2.已知平行四边形 ABCD 中, AD =(3,7), AB =(-2,3),对角线 A

C 与 BD 交于点 O, 则 CO 的坐标为( 1 ? A.? ?-2,5? 1 ? C.? ?2,-5? ) 1 ? B.? ?2,5? 1 ? D.? ?-2,-5?

3.在平面直角坐标系 xOy 中,四边形 ABCD 的边 AB∥DC,AD∥BC.已知 A(-2,0), B(6,8),C(8,6),则 D 点的坐标为( A.(0,-2) C.(16,14) ) B.(-4,2) D.(0,2)

4.设向量 a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量 4a,4b-2c,2(a-c),d 的有向线段首尾相连能构成四边形,则向量 d=( A.(2,6) C.(2,-6) )

B.(-2,6) D.(-2,-6)

5.已知向量 OA =(1,-3), OB =(2,-1), OC =(k+1,k-2),若 A,B,C 三点不 能构成三角形,则实数 k 应满足的条件是( A.k=-2 C.k=1 ) 1 B.k= 2 D.k=-1

6.(2015· 山西四校联考)在△ABC 中,点 D 在线段 BC 的延长线上,且 BC =3 CD ,点 O 在线段 CD 上(与点 C,D 不重合),若 AO =x AB +(1-x) AC ,则 x 的取值范围是( 1? A.? ?0,2? 1 ? C.? ?-2,0? 二、填空题 7.设 e1,e2 是平面内一组基向量,且 a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量 e1+e2 可以表 示为另一组基向量 a,b 的线性组合,即 e1+e2=________a+________b. 1? B.? ?0,3? 1 ? D.? ?-3,0? )

8.已知两点 A(1,0),B(1,1),O 为坐标原点,点 C 在第二象限,且∠AOC=135° ,设 OC =- OA +λ OB (λ∈R),则 λ 的值为________. 9. 在△ABC 中, 点 P 在 BC 上, 且 BP =2 PC , 点 Q 是 AC 的中点, 若 PA =(4,3), PQ― → =(1,5),则 BC =________. 10.(2015· 九江模拟)P={a|a=(-1,1)+m(1,2),m∈R},Q={b|b=(1,-2)+n(2,3),n ∈R}是两个向量集合,则 P∩Q 等于________. 三、解答题 11.已知 a=(1,0),b=(2,1).求: (1)|a+3b|; (2)当 k 为何实数时,ka-b 与 a+3b 平行,平行时它们是同向还是反向?

12.已知点 O 为坐标原点,A(0,2),B(4,6), OM =t1 OA +t2 AB . (1)求点 M 在第二或第三象限的充要条件; (2)求证:当 t1=1 时,不论 t2 为何实数,A,B,M 三点共线.

答案 1.选 A 2.选 D 1 1 BE = BA + AD + DE =-a+b+ a=b- a. 2 2
AC = AB + AD =(-2,3)+(3,7)=(1,10).

1 ? 1 ∴ OC = AC =? ?2,5?. 2 1 ? ∴ CO =? ?-2,-5?.故选 D. 3.选 A 设 D(x,y),由题意知 BD = BA + BC , 即(x-6,y-8)=(-8,-8)+(2,-2)=(-6,-10),
? ? ?x-6=-6, ?x=0, ∴? ∴? 故选 A. ?y-8=-10, ?y=-2. ? ?

4.选 D 设 d=(x,y),由题意知 4a=(4,-12),4b-2c=(-6,20),2(a-c)=(4,- 2),又 4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,所以(4,-12)+(-6,20)+(4,-2)+(x,y)=(0,0),解 得 x=-2,y=-6,所以 d=(-2,-6). 5.选 C 若点 A,B,C 不能构成三角形, 则向量 AB , AC 共线, ∵ AB = OB - OA =(2,-1)-(1,-3)=(1,2),
AC = OC - OA =(k+1,k-2)-(1,-3)=(k,k+1),

∴1×(k+1)-2k=0,解得 k=1. 4 6. 选 D 依题意, 设 BO =λ BC , 其中 1<λ< , 则有 AO = AB + BO = AB +λ BC = AB 3 +λ( AC - AB )=(1-λ) AB +λ AC . 1 - ,0?,即 x 的 又 AO =x AB +(1-x) AC ,且 AB , AC 不共线,于是有 x=1-λ∈? ? 3 ? 1 - ,0?. 取值范围是? ? 3 ? 7.解析:由题意,设 e1+e2=ma+nb. 因为 a=e1+2e2,b=-e1+e2, 所以 e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2.

? ?m-n=1, 由平面向量基本定理,得? ?2m+n=1, ?

?m=3, 所以? 1 ?n=-3.
2 1 答案: - 3 3 8.解析:由∠AOC=135° 知,点 C 在射线 y=-x(x<0)上,设点 C 的坐标为(a,-a), 1 a<0,则有(a,-a)=(-1+λ,λ),得 a=-1+λ,-a=λ,消掉 a 得 λ= . 2 1 答案: 2 9.解析: AQ = PQ - PA =(-3,2), ∴ AC =2 AQ =(-6,4).
PC = PA + AC =(-2,7),

2

∴ BC =3 PC =(-6,21). 答案:(-6,21) 10.解析:P 中,a=(-1+m,1+2m), Q 中,b=(1+2n,-2+3n).
?-1+m=1+2n, ?m=-12, ? ? 则? 得? ?1+2m=-2+3n. ?n=-7. ? ?

此时 a=b=(-13,-23). 答案:{?-13,-23?} 11.解:(1)因为 a=(1,0),b=(2,1),所以 a+3b=(7,3), 故|a+3b|= 72+32= 58. (2)ka-b=(k-2,-1),a+3b=(7,3), 因为 ka-b 与 a+3b 平行, 1 所以 3(k-2)+7=0,即 k=- . 3 7 ? 此时 ka-b=(k-2,-1)=? ?-3,-1?, a+3b=(7,3),则 a+3b=-3(ka-b), 即此时向量 a+3b 与 ka-b 方向相反. 12.解:(1) OM =t1 OA +t2 AB =t1(0,2)+t2(4,4)=(4t2,2t1+4t2).当点 M 在第二或第三 象限时,

? ?4t2<0, 有? ?2t1+4t2≠0, ?

故所求的充要条件为 t2<0 且 t1+2t2≠0. (2)证明:当 t1=1 时,由(1)知 OM =(4t2,4t2+2). ∵ AB = OB - OA =(4,4), = OM - OA =(4t2,4t2)=t2(4,4)=t2 AB , ∴A,B,M 三点共线.


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