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高中数学人教A版必修4第一章《1.1.2 弧度制》获奖教学设计

时间:2017-07-07




目:“弧度制”教学设计

学 校

北京十中

姓 名





联系方式

13611107069

1

课题:1.1.2 弧度制
一、教材分析: 1、教材

地位与作用: 本节课是普通高中实验教科书人教 A 版必修 4 第一章第一节第二课时。 本节课起着承上启下的作用: 在前面学生在初中已经学过角的度量单位 “度” , 并且上节课学了任意角的概念,将角的概念推广到了任意角;本节课作为三 角函数的第二课时,该课的知识还是后继学习任意角的三角函数等知识的理 论准备,因此本节课还起着启下的作用。通过本节弧度制的学习,我们很容 易找出与角对应的实数而且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为 简单形式。另外弧度制为今后学习三角函数带来很大方便。 2、教材内容分析: 新的教育理念认为: 数学教学过程就是学生对有关的数学内容进行探索, 实践与思考的过程,所以学生应当成为学习活动的主体,教师应成为学习活 动的组织者、引导者与合作者。在教学中教师首先应考虑的是要充分调动学 生的主动性与积极性,引导学生开展观察、比较、概括、推理、交流等多种 形式的活动,使学生通过这些活动,掌握基本的数学知识与技能。教师在发 挥组织、引导作用的同时,又是学生的合作者。 教材遵循了由浅入深、循序渐进的原则.从学生熟悉的基本单位转换入 手,体会不同的单位制能给解决问题带来方便,引导学习去思考寻找另一种 的单位制度量角,接下来用四点来分析教材的内容: (1)要弄清 1 弧度的意义。弧度制与角度制一样,只是度量角的一种方 法,但由于学生有先入为主的想法,所以学起来有一定的困难,首先必须清 楚 1 弧度的概念,它与所在圆的半径大小无关。其次弧度制与角度制相比有 一定的优点,一是在进位上角度制在度、分、秒上是 60 进制,而弧度制却是 十进制,其二在弧长和扇形的面积的表示上弧度制也比角度制简单: (2)通过实例和几何画板演示,来讲述 1 弧度的含义,这样便于学生概 念的理解,通过弧度制与角度制对比来分析、说明应用弧度制的度量比应用 角度制的度量方法是否具有优越性; (3)关于弧度与角度二者的换算,教学时应抓住: 1? ?

?
180

弧度; 1 弧
2

度? (

180

?

)?

(4) 由问题 3 应让学生知道,无论是利用角度制还是弧度制,都能在 已知弧长和半径的情况下推出扇形面积公式,但利用弧度制来推 导要简单中些. 二、学情分析 在本节课中,学生已具备了以下学习条件: 1、知识基础:学生在初中已经学过角的度量单位“度” 并且上节课学了任 意角的概念,学生已掌握了角的概念的推广,也具备角度制下的一些结论, 如 1 度的角、弧长公式和扇形面积公式,这是学习本节课的知识基础。 2、心理准备:目前只知道角可以用度为单位进行度量,在寻找另一种的单 位制度量角的时候思维受挫是学生学习本节课的内在动机。 3、材料基础:教材内容的组织由浅入深、循序渐进。 三、教学目标: 1.理解1弧度的角的意义,了解弧度制的概念,领会定义的合理性;了解角 的集合与实数集合之间可以建立一一对应关系; 2.在亲历知识的建构过程中,渗透数形结合、特殊到一般等思想方法; 3.体验角度制与弧度制的区别、联系与转化,能进行角度与弧度的换算, 牢记特殊角的弧度数。 四、教学重点与难点: 1、教学重点:弧度制的概念;弧度与角度的换算 2、教学难点:弧度制的概念 五、教学策略与手段: 采用探究式教学,以问题串的形式引导学生得到弧度制的概念、深入理解概 念并应用概念。利用 PPT 和几何画板课件静态动态相结合,展示 1 弧度的角,帮 助学生深入理解概念。 六、教学基本流程:

3

创设 情境

探究新知 得到概念

深入探究 理解概念

巩固新知 应用概念

总结归纳 提高升华

七、教学过程: (一)复习引入 1、上节课我们把角的概念推广到了任意角,包括正角、负角和零角。这些 角都是用“度”来度量的,这种用“度”作单位来度量角的制度称为角度制。回 忆一下,在角度制中,1 度的角是如何定义的?弧长公式与扇形面积公式是什 么? 2、在我们度量长度时,有时用“米”作单位,有时用“尺”作单位,有不 同的单位制,度量重量时,可以使用“千克”、“磅”等不同的单位制,角的度 量除了角度制外,是否也能用不同的单位制呢? (二)新课讲授 问题一:圆心角 n ? 30? ,当半径 r 为 1,2,3,4 时,计算圆心角 n 所对弧
l 长 l 与半径 r 的比值 。 r
n ? 30?
l
r ?1 r?2

r?3

r?4

l r

用几何画板演示:
l (1)当圆心角不变,半径变化时, 是定值;(比值是一个实数,因此是 r

10 进制,比角度的 60 进制用起来更习惯)
l (2)若半径不变,圆心角变化时, 随圆心角的变化而变化。 r l 因此,弧长与半径的比 只与圆心角的大小有关,与半径大小无关,我们可 r

以用这个比值来度量角,这就是度量角的另一种单位制——弧度制。 与角度制中先定义 1 度角的大小一样,我们也要先定义 1 弧度的角: 定义:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,用符号 rad
4

表示,读作弧度。 几何画板演示:
l (1)1 弧度的角 =1,此时 l ? r (是一个比 60 ? 的角略小的角)。 r

(2)观察 2 弧度、3 弧度的角,根据定义思考它们所对的弧长与半径是什 么关系? (思考:若 ? ? 2 弧度,则弧长与半径的数量关系是?) (3)思考:若 l ? 1.5r ,则圆心角是多少弧度?
B y

问题二:根据定义,如何度量一个角的弧度数? 请填写下面的表格并思考: 如图,半径为 r 的圆,圆心与原点重合,角 ? 的始边与 x 轴 的非负半轴重合,交圆于点 A,终边与圆交于点 B,填写下表:
AB 弧的长
O A x

OB 旋转的方向
逆时针方向 逆时针方向

?AOB 的弧度数

?AOB 的角度数

?r
2?r

r
2r

1 -2

??
0
90 ?

270 ?

思考问题: 1.OB 旋转的方向决定了角 ?AOB 的_______,也决定了 ?AOB 的弧度数的 _______。 2.若一个半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对的弧长是 l ,则 ? 的弧度数是多少? 3.角度与弧度都用来度量角,它们之间一定可以换算。那么它们的关系是 什么?如何换算? 学生讨论,填表,回答问题,老师引导得出下列结论: 结论:
5

1.正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是 零。 这样就在角的集合与实数集之间建立了一一对应关系。 2.如果半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,那么角 ? 的弧度数的绝对
l 值是 | ? |? 。 即 ? 的值就是弧长中有多少个半径。 这里, ? 的正负由角 ? 的 r

终边的旋转方向决定。 3. 360 ? ? 2? 弧度, 180 ? ? ? 弧度。 练习: 填写特殊角的度数与弧度数的对应表 度 弧度
0? 30 ? 45 ? 120 ? 135 ? 150 ? 360 ?

? 3

? 2
180

?

3? 2

问: 1? 的角等于多少弧度?1 弧度的角等于多少度? ( 1? ?

?
180

弧度 ? 0.01745 弧度; 1 弧度 ? (

?

)? ? 57.30? )

你能完成下面的换算吗? 例 1 (1)把下列角度化为弧度 (2)把下列弧度化为角度 (学生板演) 解:(1) 67?30? ? (
135 135 ? 3 )? ? ? 弧度= ? 弧度 2 2 180 8 135 ? 3 ? ( 67?30? ? 67.5? ? 弧度= ? 弧度) 8 2 180 ? 7 ? 210 ? ? ?210 ? 弧度= ? ? 弧度 180 6 180 )? ? 114 .6? (2)2 弧度= 2 ? (
67 ?30? ; ? 210 ? 。

2 弧度;

? 弧度。 12

? ? 180 ? ?( )? ? 15? 弧度 ? 12 ? 12

注:用弧度制表示角时,“弧度”可略去不写。如 ? ? 2 表示 2 弧度的角, 表示

? 弧度的角;角度表示角时,单位“度”不能省略。 3

? 就 3

问题三:在弧度制下, 弧长公式和扇形面积公式可以写成什么形式?你能推 导吗?(用 R 表示半径,l 表示弧长, S 表示扇形面积,? 表示圆心角的弧度数,
6

( 0 ? ? ? 2? ) (学生思考,展示推导过程)
l 弧长公式:由公式 | ? |? 及 0 ? ? ? 2? 可得: l ? ? ? R 。 r

扇形面积公式: 解:因为 ? ?
n? R n? ,l ? ,其中 n 表示圆心角的度数, 180 180

n? R 2 1 n? 1 ? ? ? R 2 ? ? R 2 。(用圆心角的弧度数表示扇形面积) 所以 S ? 360 2 180 2
l , R 1 所以有 S ? lR (用弧长表示扇形面积)。 2

又因为 ? ?

注:弧度制下,弧长公式和扇形面积公式简单了,这也是引入弧度制的好处。

例 2(1)写出与角

? 终边相同的角的集合; 6

(2)终边在 y 轴上的角的集合。 解:(1)与角

? ? 终边相同的角的集合: {? ? ? ? 2k? , k ? Z } 6 6 ? (2)终边在 y 轴上的角的集合: {? ? ? ? k? , k ? Z , k ? Z } 。 2

注:在同一个式子中,角度与弧度不能混用。

(三)课堂小结: 今天我们学习了一种新的度量角的单位制—弧度制: (1)我们定义了 1 弧度的角,在这个定义下,角的弧度数的绝对值 | ? |? (2)弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系; (3)角度制与弧度制是度量角的两种单位制,它们之间可以进行换算; (6 世纪,印度人孕育着最早的弧度制概念,1748 年,数学家欧拉明确提出了 弧度制思想,简化了三角公式及计算,从弧长公式与扇形面积公式可见一斑。今 后的学习中,我们将尽量采用弧度制。) (四)课后作业:
l : r

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(五)板书设计: 弧度制 一、1 弧度的角定义 二、公式 | ? |?
l r

例题

三、 180 ? ? ? 弧度 八、教学反思: 弧度制是一节概念课,学生理解起来是比较困难的,这也给上课带来了一定 的难度。如何突破难点,让学生接受弧度这一新的单位制,比较顺畅的理解概念 并能应用是我备课中重点考虑的问题。 基于上述考虑,我在备课中设计了几个环节:
l (1)引入:通过让学生亲自计算,再用几何画板展示,让学生体会用 度 r

量角的合理性,从而比较顺利的引出 1 弧度角的概念。 (2)概念理解:通过用几何画板演示 1 弧度角的大小,观察 2 弧度角,3 弧度角,让学生直观理解 1 弧度角的概念。 (3)探究活动:让学生填写表格,并提出思考问题,在填表过程中让学生 总结归纳出角的弧度绝对值公式以及角度与弧度的换算关系。 (4)知识应用,在应用过程中让学生体会引入弧度制的必要性。 (5)弧度制是一种新的度量角的单位制,其中蕴含着丰富的数学文化,教 材的旁白中也有体现。在教学设计中充分利用了教材中的旁白,渗透数学文 化教育。

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