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2016年江苏省高中数学联赛初赛【Word】

时间:2016-08-24


2016 年江苏省高中数学联赛初赛解析版

2016 年江苏省高中数学联赛初赛解析版
考试时间:2016 年 5 月 8 日(星期日)上午 8:00-10:00

注:内容来源于网络
一、填空题(本题共 10 小题,满分 70 分,每小题 7 分.要求直接将答案写在横线上. ) 1.若关于 x 的不等式|x?a| <

;b 的解集为{x | 2 <x< 4},则 ab 的值是. 【答案】?3 【解析】由题设,b> 0,不等式|x?a| <b 等价于?a?b<x<?a?b,
??a ? b ? 2, ?a ? ?3, ?? ? ab ? ?3 . 从而 ? ??a ? b ? 4 ?b ? 1

2.从 1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取两个不同的数,则取出的两数之和为偶数的概率是. 【答案】
C2 ? C2 4 4 【解析】取出两数之和为偶数的概率为 5 2 4 ? . C9 9 9

3. 已知 f (x)是周期为 4 的奇函数,且当 x ? (0, 2) 时, f ( x) ? x2 ? 16x ? 60 ,则 f (2 10) 的 值是. 【答案】?36 【解析】注意到 8 ? 2 10 ? (0,2) ,由题意,得

f (2 10) ? f (2 10 ? 8) ? ? f (8 ? 2 10) ? 4 ? (8 ? 2 10 ? 8)2 ? ?36 .
4. 已知直线 l 是函数 f (x) ? 2lnx?x2 图象的切线,当 l 的斜率最小时,l 的方程是. 【答案】4x?y? 3 ? 0 【解析】函数 f ( x) ? 2ln x ? x2 的导函数 f ?( x) ?
2 ? 2x, x ? 0 ,从而 x

f ?( x) ?

2 ? 2 x ? 4 ,当且仅当 x? 1 时等号成立. 所以直线 l 的斜率最小值为 4,此时切点为 x

(1,1),切线方程为 4x?y? 3 ? 0. 5. 在平面直角坐标系 xOy 中, 如果直线 l 将圆 x2?y2? 2x? 4y? 0 平分, 且不经过第四象限, 那么 l 的斜率的取值范围是. 【答案】[0,2] 【解析】 圆 x2?y2? 2x? 4y? 0 的圆心坐标为(1,2). 由题设,直线 l 过点(1,2), 其方程为 y? 2 ?k(x? 1),即 y?kx? 2 ?k,注意到 l 不经过第四象限,则 k ≥ 0,且 2 ?k ≥ 0, 解得 0 ≤ k ≤ 2.

??? ? 1 ??? ? ???? ???? ??? ? 1 ??? ? 6. 已知等边△ABC 的边长为 2,若 AP ? ( AB ? AC ) , AQ ? AP ? BC ,则△APQ 的面积 3 2
是.
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??? ? 1 ??? ? ???? 3 2 3 【答案】 【解析】 由 AP ? ( AB ? AC ) 得, 点 P 是等边三角形 ABC 的中心, 所以 AP ? , 3 3 3 ???? ??? ? 1 ??? ? ??? ? 1 ??? ? 3 又由 AQ ? AP ? BC 得 PQ ? BC ,且 AP ? PQ ,因此△APQ 的面积为 . 3 2 2
7. 已知正方体 ABCD?A1B1C1D1 的棱长为 1,点 P 在棱 BC 上,点 Q 为棱 CC1 的中点. 若 过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面为五边形,则 BP 的取值范围为.

1 【答案】 ( ,1) 2

【解析】如图,当点 P 为 BC 中点时,有 PQ∥AD1,此时截面为四边形 APQD1. 从而,当 BP<
1 1 1 时,截面为四边形,当 ? BP ? 1 时,截面为五边形. 因此,BP 的取值范围为 ( ,1) . 2 2 2

8. 已知数列{an}的奇数项依次构成公差为 d1 的等差数列,偶数项依次构成公差为 d2 的等 差数列, 且对任意 n∈N*, 都有 an<an? 1. 若 a1? 1, a2? 2, 且数列{an}的前 10 项和 S10? 75, 则 a8?. 【答案】11 【解析】因为对任意 n∈N*,都有 an<an? 1,故 d1?d2. 结合 S10? 75, 75 ? 5 ? 10d1? 10 ? 10d2? 15 ? 20d1 ? d1?d2? 3 ? a8?a2? 3d2? 11. 9. 已知正实数 x,y 满足 【答案】4 【解析】法一:将题设条件式通分并整理,得 x(x? 2)2 + y(y? 2)2? 16xy? 0 ? x(x? 2)2?y (y? 2)2? 8(x?y)2? 0
( x ? 2) 2 ( y ? 2) 2 ? ? 16 ,则 x?y?. y x

? x?y? 2 ? x?y? 4.
法二:因为 x,y 为正实数,所以 16 ?
( x ? 2)2 ( y ? 2)2 8 x 8 y x y ? ? ? ? 8? 2 ? ? 16 , y x y x y x

等号成立的条件为 x = y? 2,从而 x?y? 4. 法三:因为 16 ?
( x ? 2)2 ( y ? 2) 2 ( x ? y ? 4) 2 ? ? , y x x? y

所以 16(x?y) ≥ (x?y)2? 8(x?y) ? 16,即(x?y? 4)2 ≤ 0,则 x?y? 4.
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法四:由
? 4?(

( x ? 2) 2 ( y ? 2) 2 x2 y 2 4 4 4x 4 y ? ?( ? ? ? )?( ? ) y x y x y x y x

x2 y 2 4 4 1 ? ? ? ) 4 ? 2 ? 4 ? 16 ,等号成立的条件是 x?y? 2,从而 x?y? 4. y x y x

10. 设 M 表示满足下列条件的正整数 n 的和:n 整除 20162,且 2016 整除 n2,那么 M 的所 有不同正因子的个数为. 【答案】360 【解析】因为 n | 20162,2016 | n2,所以 n 与 2016 的素因子相同,而 2016 ? 25· 32· 7,故可 设 n? 25· 32· 7. 这样我们由题设条件可得 x ≤ 10,y ≤ 4,z ≤ 2,且 2x ≥ 5,2y ≥ 2,2z ≥ 1. 从而有 3 ≤ x ≤ 10,1 ≤ y ≤ 4,1 ≤ z ≤ 2, 故 M? (23? 24? … ? 210) (3 ? 32? 33? 34)(7 ? 72) ? 29· 32· 52· 7· 17, 所以,M 的所有不同正因子的个数为(9 ? 1)(2 ? 1)(2 ? 1)(1 ? 1)(1 ? 1) ? 360. 二、解答题(本大题共 4 小题,每小题 20 分,共 80 分) 11.已知

1 1 35 ? ? ? , ? ? (0, ) ,求 tan ? . sin ? cos ? 12 2

【解析】解法一:由题设知 12(sin ? ? cos? ) ? 35sin ? cos? . 令 sin ? ? cos ? ? t ,则 t ? (1, 2] ,且 sin ? cos? ? 则 12t ? 35 ?

t2 ?1 , 2

t2 ?1 7 5 ,即 35t 2 ? 24t ? 35 ? 0 ,解得 t ? 或 t ? ? (舍), 5 7 2

7 12 即有 sin ? ? cos? ? ,sin ? cos? ? . 5 25

4 3 3 4 4 3 所以 sin ? ? ,cos? ? 或 sin ? ? ,cos? ? ,从而 tan ? ? 或 . 5 5 5 5 3 4
解法二:由题设,可得

352 1 1 2 1 1 2 ?( ? ) ? 2 ? ? 2 2 12 sin ? cos? sin ? cos ? sin ? cos?
? ? sin 2 ? ? cos2 ? sin 2 ? ? cos2 ? 2(sin 2 ? ? cos2 ? ) ? ? sin 2 ? cos2 ? sin ? cos? 1 2(tan 2 ? ? 1) 1 2 1 2 ? tan ? ? 2 ? ? (tan ? ? ) ? 2(tan ? ? ), tan 2 ? tan ? tan ? tan ?
1 25 4 3 ? (舍负),进一步解得 tan ? ? 或 . tan ? 12 3 4

注意到 tan ? ? 0 ,解得 tan ? ?

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12. 如图,点 P 在△ABC 的边 AB 上,且 AB? 4AP,过点 P 的直线 MN 与△ABC 的外接圆 交于点 M,N,且点 A 是弧 MN 的中点. 求证: (1) △ABN∽△ANP; (2) BM?BN? 2MN.

【解析】(1) 证明:因为点 A 是弧 MN 的中点,所以∠AMN?∠ANM, 又∠AMN?∠ABN,所以∠ABN?∠ANP. 又因为∠BAN?∠NAP,所以△ABN∽△ANP. (2) 证明:由(1)知, 所以 AN? 2AP,从而

AB AN BN ,又 AB? 4AP, ? ? AN AP NP BN ? 2 ,即 BN? 2NP, NP

同理,BM? 2MP. 所以,BM?BN? 2MN.

13. 在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 F,过点 F 的直线 l 与 a 2 b2

双曲线 C 交于 A,B 两点. 若 OF· AB?FA· FB,求双曲线 C 的离心率 e. 【解析】因为双曲线 C 的右焦点 F 的坐标为(c,0),设直线 l 的倾斜角为 ? ,则直线 l 的方
? x ? c ? t cos ? , 程即为 ? 其中 t 为参数. ? y ? t sin ? ,

代入双曲线方程,并整理,得 (c2 cos2 ? ? a2 )t 2 ? 2b2 c cos ? ? t ? b4 ? 0 . 则有 t1t2 ?

2b b4 , t1 ? t2 ? 2 2 2 c cos ? ? a

2

c2 cos2 ? ? (c2 cos2 ? ? a2 ) c2 cos2 ? ? a2

?

2ab2 , c2 cos2 ? ? a2

因为 OF· AB?FA· FB,则有

2ab2 c b4 ? , c 2 cos2 ? ? a 2 c 2 cos2 ? ? a 2

从而 2ac?b2,即 e2? 2e? 1 ? 0,因为 e> 1,故 e ? 1 ? 2 .

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14. 已知凸九边形的任意 5 个内角的正弦与其余 4 个内角的余弦之和都等于某个常数值 ? . 若九个内角中有一个角等于 120° ,试求常数 ? 的值. 【解析】九个内角中任选 5 个,记为 x1,x2,x3,x4,x5,其余 4 个记为 y1,y2,y3,y4, 由题意 ? ? sin x1 ? sin x2 ? sin x3 ? sin x4 ? sin x5 ? cos y1 ? cos y2 ? cos y3 ? cos y4 , 且 ? ? sin y1 ? sin x2 ? sin x3 ? sin x4 ? sin x5 ? cos x1 ? cos y2 ? cos y3 ? cos y4 , 所以, sin x1 ? cos y1 ? sin y1 ? cos x1 ,即 sin x1 ? cos x1 ? sin y1 ? cos y1 , 所以 2 sin( x1 ? 45? ) ? 2 sin( y1 ? 45? ) ? y1 ? x1 或 y1 ? 45? ? x1 ? 45? ? 180? , 即有 y1?x1 或 y1? 270°?x1. 设 y1? 120° , 由内角的任意可交换性可知, 九个角的度数只有两 种:120° 和 150° . 设有 k 个 120° ,9 ?k 个 150° ,则由内角和公式知 k· 120°? (9 ?k)· 150°? (9 ? 2)· 180° ? k? 3. 所以, ? ? 5sin150? ? cos150? ? 3cos120? ? 1 ?
3 . 2

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