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高中排列组合讲解,已排版好


高中数学排列组合问题常用的解题方法
排列组合是高中数学的重点和难点之一,是进一步学习概率的基础。排列组合问 题通常联系实际,生动有趣,并且能够锻炼同学们的逻辑推理能力和思维的缜密性,但 题型多样,思路灵活,不易掌握。实践证明,备考有效方法是题型与解法归类、识别模 式、熟练运用,现将高中阶段常用的排列问题和组合问题的解题方法归纳如下: 一、相邻问题捆绑法 题目中规定相邻的

几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列. 例 1 五人并排站成一排,如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边,那么不同的排法 种数有 种。

二、相离问题插空法 元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定相离的 几个元素插入上述几个元素间的空位和两端. 例2 七个人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同排法的种数 是 。

三、定序问题缩倍法 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序,可用缩小倍数的方法. 例 3 A、B、C、D、E 五个人并排站成一排,如果 B 必须站 A 的右边(A、B 可不相 邻),那么不同的排法种数有 。

四、标号排位问题分步法 把元素排到指定号码的位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元 素,如此继续下去,依次即可完成. 例 4 将数字 1、2、3、4 填入标号为 1、2、3、4 的四个方格里,每格填一个数, 则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有 。

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五、有序分配问题逐分法 有序分配问题是指把元素按要求分成若干组,可用逐步下量分组法。 例 5 有甲、乙、丙三项任务,甲需 2 人承担,乙丙各需 1 人承担,从 10 人中选 出 4 人承担这三项任务,不同的选法总数有 。

六、多元问题分类法 元素多,取出的情况也有多种,可按结果要求,分成不相容的几类情况分别计算, 最后总计。 例 6 由数字 0,1,2,3,4,5 组成且没有重复数字的六位数,其中个位数字小 于十位数字的共有 个。

例 7 从 1,2,3,?100 这 100 个数中,任取两个数,使它们的乘积能被 7 整除, 这两个数的取法(不计顺序)共有多少种?

例 8 从 1,2,?100 这 100 个数中,任取两个数,使其和能被 4 整除的取法(不 计顺序)有多少种?

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七、交叉问题集合法 某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集合中求元素个数公式

n( A ? B) ? n( A) ? n( B) ? n( A ? B) 。
例 9 从 6 名运动员中选出 4 个参加 4×100m 接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑 第四棒,共有多少种不同参赛方法?

八、定位问题优先法 某个(或几个)元素要排在指定位置,可先排这个(几个)元素,再排其他元素。 例 10 1 名老师和 4 名获奖同学排成一排照像留念,若老师不在两端,则有不同的 排法有_______ _种。

九、多排问题单排法 把元素排成几排的问题,可归结为一排考虑,再分段处理。 例 11 6 个不同的元素排成前后两排,每排 3 个元素,那么不同的排法种数 是 。

例 12 8 个不同的元素排成前后两排, 每排 4 个元素, 其中某 2 个元素要排在前排, 某 1 个元素要排在后排,有多少种排法?

十、 “至少”问题间接法 关于“至少”类型组合问题,用间接法较方便。 例 13 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取出 3 台,其中至少要甲型和乙型电视 机各一台,则不同取法共有 种。

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十一、选排问题先取后排法 从几类元素中取出符合题意的几个元素,再安排到一定位置上,可用先取后排法。 例 14 四个不同的球放入编号为 1,2,3,4 的四个盒中,则恰有一个空盒的放法 共有_____ ___种

例 15 9 名乒乓球运动员,其中男 5 名,女 4 名,现在要进行混合双打训练,有多 少种不同分组法?

十二、部分合条件问题排除法 在选取总数中,只有一部分合条件,可从总数中减去不合条件数,即为所求。 例 16 以一个正方体顶点为顶点的四面体共有 个。

例 17 四面体的顶点和各棱中点共 10 点,在其中取 4 个不共面的点,不同的取法共有 种。

十三、复杂排列组合问题构造模型法 例 18 马路上有编号为 1,2,3?9 九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关掉相邻的二 盏或三盏,也不能关掉两端的两盏,求满足条件的关灯方案有多少种?

十四、利用对应思想转化法 对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法,它可以将复杂的问题转化为简单问题 处理。 例 19 圆周上有 10 点,以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个?

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