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2016届高考数学二轮复习 第一部分 专题五 解析几何 第二讲 椭圆、双曲线、抛物线课件 文


第 一 部 分

知识专题部分

专 题 五

解析几何

第二讲

椭圆、双曲线、抛物线(选择、填空题型)

———————————名师指南—————————— [核心考点] 圆锥曲线的定义与标准方程、圆锥曲线的几何性质、直 线与圆锥曲线的位置关系. [

高考解密] 圆锥曲线中的基本问题一般以椭圆、双曲线、抛物线的 定义、标准方程、几何性质等作为考查的重点,多为选择题 或填空题,解答题侧重考查直线与圆锥曲线的位置关系,特 别是相交的情况.

重点透析 难点突破

考向一 圆锥曲线的定义与标准方程 1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|); (2)双曲线:||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|); (3)抛物线:|PF|=|PM|,点 F 不在直线 l 上,PM⊥l 于 M. 2.求解圆锥曲线标准方程“先定型,后计算” 所谓“定型”,就是曲线焦点所在的坐标轴的位置;所谓 “计算”,就是指利用待定系数法求出方程中的 a2,b2,p 的值.

x2 y2 (1)(2015· 银川第二次模拟)P 为椭圆 4 + 3 =1 上一点,F1,F2 → → 为该椭圆的两个焦点,若∠F1PF2=60° ,则PF1· PF2等于( A.3 B. 3 C.2 3 D.2 )

(2)(2015· 新课标全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4, 3), 且渐近线 1 方程为 y=± 2x,则该双曲线的标准方程为________. [思路引导] (1)应用椭圆的定义求解;(2)根据条件列出关于

a,b 的方程求解.

[解析]

(1)由椭圆方程知 a=2,b= 3,c=1,

?|PF1|+|PF2|=4, ? 2 2 ∴?|PF1| +|PF2| -4 ?=2|PF ||PF |cos 60° ? 1 2 ∴|PF1||PF2|=4. 1 → → → → ∴PF1· PF2=|PF1||PF2|cos 60° =4×2=2.

1 (2)解法一:因为双曲线过点(4, 3),且渐近线方程为 y=± 2 1 x2 x,故点(4, 3)在直线 y= x 的下方.设该双曲线的标准方程为 2 2 a ?42 ? 3?2 ?a2- b2 =1, y2 - b2= 1(a>0 , b>0),所以 ? ?b=1, ?a 2 x2 2 曲线方程为 -y =1. 4
? ?a=2, 解得 ? ? ?b=1,

故双

1 解法二:因为双曲线的渐近线方程为 y=± 2x,故可设双曲线 x2 2 42 为 -y =λ(λ≠0),又双曲线过点(4, 3),所以 -( 3)2=λ,所 4 4 x2 2 以 λ=1,故双曲线方程为 -y =1. 4
[答案] x2 2 (1)D (2) 4 -y =1

准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质, 注 意焦点在不同坐标轴上时,椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表 示形式.

[举一反三] x 2 y2 1.若椭圆 C:9 + 2 =1 的焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆 C 上, 且|PF2|=4 则∠F1PF2 等于( A.30° C.120° B.60° D.150° )

[解析] 由题意得 a=3,c= 7,所以|PF1|=2. 42+22-?2 7?2 在△F2PF1 中,由余弦定理可得 cos∠F2PF1= 2×4×2 1 =- 2 . 又因为∠ F2PF1 ∈ (0° , 180° ) ,所以∠ F2PF1 = 120° ,故选 C.

[答案] C

2.已知 O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y2=4 2x 的焦点,P 为 C 上一点,若|PF|=4 2,则△POF 的面积为( A.2 C.2 3 B.2 2 D.4 )

[解析] 利用抛物线定义求解点 P.因为抛物线 C:y2= 4 2x 的准线方程是 x=- 2,所以由|PF|=4 2得 xp=3 2, 1 1 代入抛物线方程得 yp=± 2 6,所以△POF 的面积为2|OF||yp|=2 × 2×2 6=2 3,故选 C.
[答案] C

x2 y 2 3.(2014· 天津卷)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的一条渐近 线平行于直线 l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线 l 上,则 双曲线的方程为( x 2 y2 A. 5 -20=1 3 x 2 3y 2 C. 25 -100=1 ) x2 y2 B.20- 5 =1 3x2 3y2 D.100- 25 =1

b [解析] 由题意可得a=2,c=5,所以 c2=a2+b2=5a2=25,
2 2 x y 解得 a2=5,b2=20,则所求双曲线的方程为 5 -20=1,故选 A.

[答案] A

考向二 圆锥曲线的几何性质 1.椭圆、双曲线中,a,b,c 之间的关系 c (1)在椭圆中:a =b +c ,离心率为 e=a=
2 2 2

?b? 1-?a?2; ? ? ? b? 1+?a?2. ? ?

c (2)在双曲线中:c =a +b ,离心率为 e=a=
2 2 2

x2 y2 b 2.双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=± x. a b a

(1)(2015· 新课标全国卷Ⅰ)已知椭圆 E 的中心在坐标原点, 离 1 心率为2,E 的右焦点与抛物线 C:y2=8x 的焦点重合,A,B 是 C 的准线与 E 的两个交点,则|AB|=( A.3 C .9 B.6 D.12 )

x2 y2 (2)(2015· 湖南卷)若双曲线 2- 2=1 的一条渐近线经过点(3, a b -4),则此双曲线的离心率为( 7 A. 3 4 C.3 5 B. 4 5 D.3 )

[思路引导] 应用圆锥曲线的几何性质求解.

[解析]

(1)解法一: 因为抛物线 C: y2=8x 的焦点坐标为(2,0),

准线 l 的方程为 x=-2,① x2 y2 设椭圆 E 的方程为a2+b2=1(a>b>0), 所以椭圆 E 的半焦距 c 1 =2,又椭圆 E 的离心率为2,所以 a=4,b=2 3,椭圆 E 的方 x2 y2 程为16+12=1,② 联立①②解得 A(-2,3),B(-2,-3),或 A(-2,-3),B(- 2,3),所以|AB|=6,选 B.

解法二:因为抛物线 C:y2=8x 的焦点坐标为(2,0),准线 l 的方程为 x=-2,① x2 y2 设椭圆 E 的方程为a2+b2=1(a>b>0), 所以椭圆 E 的半焦距 c 1 =2,又椭圆 E 的离心率为2,所以 a=4,b=2 3,由于准线 x =-2 过椭圆 E 的左焦点,所以 AB 为椭圆 E 的通径,所以|AB| 2b2 = a =6,选 B.

b (2)由已知可得双曲线的渐近线方程为 y=± ax,点(3,-4)在 b 4 16 2 25 2 2 2 2 2 2 渐近线上,∴ = ,又 a +b =c ,∴c =a + a = a ,∴e a 3 9 9 c 5 = = ,选 D. a 3
[答案] (1)B (2)D

应用圆锥曲线的性质应明确两点 (1)明确圆锥曲线中 a,b,c,e 各量之间的关系是求解问题 的关键. (2)在求解有关离心率的问题时,一般并不是直接求出 c 和 a 的值,而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点,建立关于 参数 c,a,b 的方程或不等式,通过解方程或不等式求得离心率 的值或范围.

[举一反三] 1.已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的双曲线的渐近 3 线方程为 y=± 4x,则此双曲线的离心率为( 5 A.4 5 5 C.4或3 5 B.3 4 3 D.5或5 )

[解析]

b 3 c 若双曲线的焦点落在 x 轴上,则a=4,故 e=a= a 3 b 4 y 轴上,则b=4,a=3,故 e C.

?b? 5 1+?a?2=4;若双曲线的焦点落在 ? ?

c =a=

?b? 5 2 ? ? 1+ a =3.综上所述,故选 ? ?

[答案] C

x2 y2 2.(2014· 北京海淀区期末)已知椭圆 C: 4 + 3 =1 的左、右 焦点分别为 F1、 F2, 椭圆 C 上点 A 满足 AF2⊥F1F2.若点 P 是椭圆 → → C 上的动点,则F1P· F2A的最大值为( 3 A. 2 9 C.4 3 3 B. 2 15 D. 4 )

b2 3 → → [解析] 设向量F1P,F2A的夹角为 θ.由条件知|AF2|= a =2, → → 3 → → → → 则F1P· F2A=2|F1P|cos θ,于是F1P· F2A要取得最大值,只需F1P在 → 向量F2A上的投影值最大,易知此时点 P 在椭圆短轴的上顶点, 3 3 → → 3 → 所以F1P· F2A=2|F1P|cos θ≤ 2 ,故选 B.
[答案] B

y2 x2 3.(2015· 洛阳二练)双曲线 4 -b2=1(b>0)的离心率为 2,则 此双曲线的焦点到渐近线的距离为________.
[解析] y2 x2 ∵双曲线方程为 4 -b2=1,∴a=2,又∵离心率为

2,∴c=2 2,∴b2=c2-a2=4,焦点坐标为(0,± 2 2),渐进 2 2 线方程为 x± y=0,∴焦点到渐近线的距离为 =2. 2
[答案] 2

考向三 直线与圆锥曲线的位置关系 1.解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程,利用根与 系数的关系,“设而不求”的思想,弦长公式等简化计算,涉及 中点弦问题时,也可用“点差法”求解. 2.斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1,y1), P2(x2 , y2) , 则 所 得 弦 长 |P1P2| = 1+k2 |x2 - x1| = 1+k2 ?x1+x2? -4x1x2 或 |P1P2| = ?y1+y2?2-4y1y2.
2

1 1+k2 |y2 - y1| =

1 1+k2

(2015· 湖南卷)已知抛物线 C1:x2=4y 的焦点 F 也是椭圆 C2: y2 x2 a2+b2=1(a>b>0)的一个焦点,C1 与 C2 的公共弦的长为 2 6.过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A,B 两点,与 C2 相交于 C,D 两点,且 → → AC与BD同向.

(1)求 C2 的方程; (2)若|AC|=|BD|,求直线 l 的斜率. [思路引导] (1)由抛物线的焦点坐标可求 c,又由两曲线的

公共弦长为 2 6得出 a,b 的关系式,从而求得椭圆方程;(2)利 用方程的思想,得出各交点坐标之间的关系,构造关于斜率 k 的 方程.

[ 解]

(1)由 C1:x2=4y 知其焦点 F 的坐标为(0,1),因为 F 也

是椭圆 C2 的一个焦点,所以 a2-b2=1,① 又 C1 与 C2 的公共弦的长为 2 6,C1 与 C2 都关于 y 轴对称, 且 C1 的方程为 x2=4y, 3 由此易知 C1 与 C2 的公共点的坐标为± 6,2, 9 6 所以4a2+b2=1,②
2 2 y x 联立①②得 a2=9,b2=8,故 C2 的方程为 9 + 8 =1.

(2)如图,设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).

→ → → → 因为AC与BD同向,且|AC|=|BD|,所以AC=BD,从而 x3- x1=x4-x2,即 x1-x2=x3-x4,于是(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2- 4x3x4.③

设直线 l 的斜率为 k,则 l 的方程为 y=kx+1.
? ?y=kx+1, 由? 2 ? ?x =4y,

得 x2-4kx-4=0,

而 x1,x2 是这个方程的两根,所以 x1+x2=4k,x1x2=-4, ④ y=kx+1, ? ? 2 2 由?x y + =1 ? ?8 9 得(9+8k2)x2+16kx-64=0,而 x3,x4 是这

16k 64 个方程的两根,所以 x3+x4=- ,x x =- ,⑤ 9+8k2 3 4 9+8k2

2 2 4×64 16 k 2 将④⑤代入③,得 16(k +1)= + ,即 ?9+8k2?2 9+8k2 2 2 16 × 9 ? k +1? 2 16(k +1)= , ?9+8k2?2

6 6 所以(9+8k ) =16×9, 解得 k=± , 即直线 l 的斜率为± . 4 4
2 2

解答圆锥曲线的综合问题时,要注意通性、 通法的应用,加强解题的规范性.答题重在对常规方法的熟练掌 握,贵在学会数形结合,关键在于良好的代数式变换技巧和对代 数式之间特征关系的敏锐观察力.

[举一反三] x2 y2 (2015· 沈阳二模)已知点 A(0, -2), 椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0) a b 3 2 3 的离心率为 ,F 是椭圆 E 的右焦点,直线 AF 的斜率为 ,O 2 3 为坐标原点. (1)求 E 的方程; (2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点,当△OPQ 的 面积最大时,求 l 的方程.

[解]

(1)设 F(c,0),由条件知,

2 2 3 c= 3 ,得 c= 3. c 3 又 = ,所以 a=2,b2=a2-c2=1. a 2 x2 2 故 E 的方程为 4 +y =1. (2)当 l⊥x 轴时不合题意,故设 l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2, y2), x2 2 将 y=kx-2 代入 +y =1, 4 得(1+4k2)x2-16kx+12=0.

3 当 Δ=16(4k -3)>0,即 k >4时,
2 2

8k± 2 4k2-3 x1,2= . 4k2+1 从而|PQ|= k2+1|x1-x2| 4 k2+1· 4k2-3 = . 4k2+1 2 又点 O 到直线 PQ 的距离 d= 2 , k +1 所以△OPQ 的面积

4 4k2-3 1 S△OPQ=2d· |PQ|= . 4k2+1 设 4k2-3=t,则 t>0, 4t 4 S△OPQ= 2 = 4. t +4 t+ t 4 因为 t+ ≥4,当且仅当 t=2, t 7 即 k=± 2 时等号成立,且满足 Δ>0. 7 7 所以, 当△OPQ 的面积最大时 l 的方程为 y= 2 x-2 或 y=- 2 x-2.

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圆锥曲线中的焦点弦问题 (2015· 长春一模)如图, 过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点

F 的直线交抛物线于点 A, B, 交其准线 l 于点 C, 若|BC|=2|BF|, 且|AF|=3,则此抛物线的方程为( A.y2=9x B.y2=6x C.y2=3x D.y2= 3x )

[审题程序] 第一步:由抛物线的定义把焦点弦进行转化; 第二步:由几何图形确定数量关系; 第三步:确定与 p 有关的方程,得出结果.

[规范解答]

如图,分别过 A,B 作 AA1⊥l 于 A1,BB1⊥l 于

B1,由抛物线的定义知,|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|.① ∵|BC|=2|BF|,∴|BC|=2|BB1|,∴∠BCB1=30° ,∴∠A1AF =60° .

连接 A1F,则△A1AF 为等边三角形, 过 F 作 FF1⊥AA1 于 F1,则 F1 为 AA1 的中点, 1 设 l 交 x 轴于 N,则|NF|=|A1F1|=2|AA1|= 1 2|AF|,② 3 即 p=2,∴抛物线方程为 y2=3x,故选 C.③

[模型构建] 解决此类问题的模型示意图如下:

[感悟体验] x 2 y2 1.已知椭圆 4 +b2=1(0<b<2),左,右焦点分别为 F1,F2, 过 F1 的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,若|BF2|+|AF2|的最大值为 5, 则 b 的值是( A.1 3 C.2 ) B. 2 D. 3

[解析]

由椭圆的方程, 可知长半轴长 a=2; 由椭圆的定义,

可知|AF2|+ |BF2|+ |AB|= 4a= 8,所以 |AB|=8 - (|AF2|+ |BF2|)≥3. 2b2 由椭圆的性质,可知过椭圆焦点的弦中,通径最短,即 a =3, 可求得 b2=3,即 b= 3,故选 D.

[答案] D

x2 y2 2.(2015· 吉林一模)已知点 F 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0) a b 的左焦点, 点 E 是右顶点, 过 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交 于 A,B 两点,若△ABE 是锐角三角形,则双曲线的离心率 e 的 取值范围是( ) B.(1,2) D.(2,1+ 2)

A.(1,+∞) C.(1,1+ 2)

[解析]

点 F 的坐标为(-c,0),将 x=-c 代入双曲线方程,

b2 a b2 b2 得 y=±a ,不妨设点 A 的纵坐标为 a ,故 tan∠AEF= <1,c2 c+a -ac-2a2<0,即 e2-e-2<0,解得-1<e<2.又由 e>1,得 1<e<2.
[答案] B


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