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高中数学课程标准实验教材分析第二章函数概念与基本初等函数Ι


               中学数学月刊          2005 年第 4 期 ?4 ?

高中数学课程标准实验教材分析

第二章 函数概念与基本初等函数
张松年  ( 南 京 金 陵 中 学 210005) 葛 军  ( 南京师范大学数学系 210024)   我们生活的世界时刻都在发生变化, 变 化无处不在. 函数正是描

述客观世界变化规 律的重要数学模型, 通过函数模型可以帮助 我们科学地预测将发生什么, 进而解决实际 问题. 因此, 学习函数知识对研究客观世界、 掌握事物变化规律具有重要的意义. 章有针对性地进行如下设计: 为了使学生了 解函数概念产生的背景, 丰富函数的感性认 识, 获得认识客观世界的体验, 本章采用 “突 出主题, 螺旋上升, 反复应用” 的方式, 以实际 问题为主线, 由浅入深, 将函数的知识串联起 来, 既完善了知识体系的完整性、 系统性, 又 体现了知识之间的有机联系和一以贯之的研 究手段. 函数引入中的三个问题, 既与初中时学 习的函数内容相联系, 又蕴含了函数的三种 表示方法—— 列表法、 解析法、 图象法, 起到 了承上启下的作用. 为了适应学生个性发展的需要, 教材在 练习的基础上, 将习题分为 “感受?理解、 思 考?运用、 探究?拓展” 三个部分. “感受?理 解” 面向全体学生, 体现了本章的基本要求, 初步理解函数知识, 并用来解决一些简单的 问题;“思考?运用” 面向多数学生, 深化对函
( 4) 了解幂函数的概念和性质; ( 5) 知道指数函数、 对数函数、 幂函数是

1 本章教育目标
函数是本章的核心概念, 也是中学数学 中的基本概念. 函数的思想方法将贯穿高中 数学课程的始终. 本章的教育目标是: ( 1) 了解函数概念产生的背景, 学习和掌 握函数的概念和性质, 能借助函数的知识表 述、 刻画事物的变化规律; ( 2) 理解有理指数幂的意义, 掌握幂的运 算性质; 掌握指数函数的概念、 图象和性质; ( 3) 理解对数的概念和意义, 掌握对数的 运算性质; 掌握对数函数的概念、 图象和性 质;

数概念的理解, 并能运用函数知识解决一些 较复杂问题;“探究?拓展” 为学生提供一些 富有挑战性的问题, 以激发学习兴趣, 拓宽视 野, 提高数学素养 . 为了使学生掌握函数的基本研究方法, 本章多次设计了让学生观察、 思考、 判断和探 索的情境, 以培养学生的创新意识与探究能 力 .

描述客观世界变化规律的重要数学模型; ( 6) 了解函数与方程之间的关系, 会利用 二分法求一些简单方程的近似解; 了解函数 模型及其意义 . 在本章教学中, 应注意培养学生的理性 思维能力、 辩证思维能力、 分析问题和解决问 题的能力、 创新意识与探究能力、 数学建模能 力以及数学交流能力; 注意现代信息技术的 合理应用; 让学生体验数学的文化价值, 感受 数学的美.

3 本章的教学建议
对于函数概念的引入, 教材通过具体实 例, 让学生体会函数是数集之间的一种特殊 的对应关系. 教学应从学生已有的函数知识 入手, 引导学生联系自己的生活经历和实际 问题, 尝试列举各种各样的变化, 构建函数 .

2 本章设计意图
围绕本章教育目标和数学思想方法, 本

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如:
( 1) 汽车行驶中, 耗用的汽油与路程的关

系;
( 2) 中国的国内生产总值逐年变化; ( 3) 打电话时, 通话费用与通话时间之间

的关系; 等等. 在教学过程中, 应突出本章的核心—— 函数, 其本质是两个变量之间的依赖关系, 体 现函数对应法则的 “输入、 输出” 功能, 函数的 性质常和函数定义域有关, 离开了函数的定 义域谈函数的性质是没有意义的. 应重视问 题提出的背景, 充分发挥这些问题的载体作 用, 体现它们的数学价值. 形式化、 符号化是数学的重要特征. 如用 y = f ( x ) 来表示函数关系, 又如用符号语言 “当 x 1 < x 2 时, 都有 f ( x 1 ) < f ( x 2 ) ” 表示函数 单调增加, 等等. 教学时应使学生养成运用符 号语言的习惯 . 本章注重信息技术与相关知识的整合, 多次利用 Excel 等现代信息技术, 并且通过 旁白、 阅读等作了使用信息技术的提示, 鼓励 学生运用计算机、 计算器等进行探索和发现, 感受现代技术手段在数学学习中的作用, 促 进学习, 帮助学生认识数学的本质. 教学中, 教师应有意识地利用适当的信息技术辅助教 学 . 本章的教学大约安排 32 课时. 具体如 下: 2. 1 函数的概念与图象  约 10 课时 2. 2 指数函数 约 5 课时 2. 3 对数函数 约 5 课时 2. 4 幂函数 约 2 课时 2. 5 函数与方程 约 3 课时 2. 6 函数模型及其应用 约 3 课时 数学探究案例——钢琴与指数曲线 约 1 课时 实习作业 约 1 课时 小结与复习 约 2 课时

章头图、 引言 本章章头图和引言揭示了变化着的世 界 . 引言中的三个基本问题为本章的主线, 贯 穿本章内容的学习. 211 函数的概念与图象 ( 1) 函数的概念 函数概念的教学要从实际背景和定义两 个方面帮助学生理解函数概念的本质. 函数 概念的引入, 一般有两种方式, 一种方式是先 学习映射, 再学习函数; 另一种方式是通过具 体实例, 体会两个非空数集之间的一种特殊 的对应关系 ( 单值对应) , 即函数. 考虑到多数 高中学生的认知特点, 为了有助于他们对函 数概念本质的理解, 教材采用后一种方式, 从 学生已掌握的具体函数和函数的描述性定义 入手, 引导学生联系自己的生活经历和实际 问题, 尝试列举各种各样的函数, 构建函数的 一般概念. 在函数的定义教学时, 需突出以下几点: ( a ) 集合A 与集合B 都是非空数集; ( b ) 对应法则的方向是从A 到B ; ( c) 强调 “非空” 、 “每一个” 、 “惟一” 这三 个关键词. 符号 f ( x ) 是一个抽象的概念, 是对函数 概念的深化, 可以理解为对应法则 f 作用于 自变量 x. f ( a ) 是 f ( x ) 在 x = a 时的函数值. 教学时注意发展学生的数感、 符号感. 使学生进一步体会对应关系 ( 对应法则) 在刻画函数概念中的核心作用. 一般地, 如果 函数的对应法则与定义域都确定了, 那么, 函 数的值域也确定了. 在本节的习题中, 注意了复合函数概念 的渗透. ( 2) 函数的表示法 第 2. 1. 2 节仍然以第 2. 1. 1 节开头的三 个问题为背景, 引入列表法、 解析法和图象法 三种常用的函数表示方法, 体现知识情境呈 现的一致性. 中学阶段研究的函数主要是用解析式表 示的函数, 在教学中注意回顾与复习初中所

4 本章教材分析

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               中学数学月刊          2005 年第 4 期 ?6 ? 学的内容, 如一次函数、 二次函数、 反比例函 数等, 为后面学习建立函数模型研究实际问 题打基础. 在实际情境中了解图象法是描述两个变 量之间函数关系的一种重要方法. 图象法的 优点是能直观地反映函数变化的趋势 . 了解简单的分段函数的特点及应用. 分 段函数是一个函数, 分段是对于定义域而言 的, 将定义域分成几段, 各段的对应法则不一 样 . 教学过程中, 可让学生收集一些实例, 诸 如邮资、 出租车费、 电话费等资料, 使学生感 受到函数就在身边. ( 3) 函数的简单性质 以本节开头问题中的气温曲线引出函数 的单调性. 函数的单调性是对定义域内某个区间而 言的, 函数在某个区间上单调, 并不能说明函 数在定义域上也单调. 让学生通过已学过的函数特别是二次函 数, 体会函数最大 ( 小) 值与单调性之间的关 系及其几何意义, 引导学生通过函数的单调 性研究最大 ( 小) 值. 由实例, 通过观察图象, 抽象出函数奇偶 性的定义. 在教学中要注意展现出探索过程, 引导学生关注函数图象的对称性与函数奇偶 性的关系. ( 4) 映射概念 了解映射的概念. 在讲解映射的概念时 应指出, 映射是函数概念的推广, 函数是一类 特殊的映射, 即函数是两个非空数集之间的 映射. 关于映射中象与原象的概念, 以及映射 的分类, 一般不要涉及 . 2. 2 指数函数 ( 1) 分数指数幂 教材通过细胞的分裂的实例, 了解指数 函数模型的实际背景, 体现学习指数运算、 指 数函数的必要性, 激发学生的学习热情. 细胞 的分裂实验是本节的重要背景. 结合具体实例, 引入有理指数幂及其运 算性质, 并类比得出实数指数幂的意义及其 运算性质. 对第 47 页的阅读材料中的逼近思 想教学中应予以重视与介绍. 通过实例, 了解分数指数幂的意义, 以及 分数指数幂与根式之间的关系, 从而引导学 生在进行根式运算时, 先将根式化成有理数 幂, 再进行运算. ( 2) 指数函数 利用计算机 ( 器) 作不同的指数函数的图 象, 通过观察, 探索并理解指数函数的单调性 与特殊点. 并关注指数增长趋势与底数的关 系 . 比较两个同底数幂大小, 可以利用指数 函数的单调性来解决. 对一般的函数图象平移变换来说, h > 0 时, 将 y = f ( x ) 的图象向右平移 h 个单位以 后, 得到y = f ( x - h ) 的图象; 向左平移h 个单 位以后, 得到 y = f ( x + h ) 的图象. 类似地, 还 考虑函数 y = f ( x ) ±h 与 y = f ( x ) 的图象之 间的关系. 利用某种放射性物质变化的函数图象, 求出它的半衰期, 为后面学习利用函数的图 象解方程做铺垫. 教材给出三个解决实际问题的例题, 让 学生进一步体会学习指数函数的重要性, 感 受到指数函数是现代科技、 生活中具有广泛 用途的重要数学模型. 在这几个例题的讲解 过程中, 应体现从具体到抽象, 从特殊到一般 的思维过程, 体会归纳、 总结的一般方式、 方 法 . 还可以让学生自己举一些体现指数函数 模型在实际生活中应用的例子, 进一步让学 生感受到学习指数函数的重要性, 以及现代 科学技术手段在分析问题、 解决问题中的作 用 . 2. 3 对数函数 ( 1) 对数 教材通过具体实例说明研究对数的必要 性 . 使学生能熟练地进行指数式与对数式的 互化, 理解指数式与对数式的相互关系.

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通过具体实例, 借助计算机或计算器, 探 索对数的两个运算性质. 要注意对数的运算 性质成立的条件, 并能灵活地用来简化对数 的运算. 教学时要让学生掌握对数换底公式, 会 用换底公式将一般的对数化为常用对数或自 然对数, 并进行一些简单的化简与证明. “阅读” 让学生了解对数的发明过程及其 对简化运算的作用, 激发学生学习数学的兴 趣 .
( 2) 对数函数

教学中应利用计算机等工具, 让学生感 受幂函数与指数函数、 对数函数的本质差异 . 2. 5 函数与方程 ( 1) 二次函数与一元二次方程 教材通过观察函数图象, 给出二次函数 与一元二次方程的关系. 在判断一元二次方程的实根个数时, 应 结合二次函数图象的顶点位置以及开口方 向, 说明判别式的符号与方程根的个数的关 系 . ( 2) 用二分法求方程的近似解 根据具体函数的图象, 能够借助计算器 用二分法求相应方程的近似解. 用二分法求 方程的近似解的理论根据是连续函数的零点 存在定理, 因此在求解过程中应保持探索区 间 [m , n ] 两端点的函数值异号. 2. 6 函数模型及其应用 教材从实例出发, 让学生体验用函数描 述实际问题的价值, 感受到函数是描述客观 世界变化规律的基本数学模型, 体验一次函 数、 正 ( 反) 比例函数、 二次函数、 指数函数、 对 数函数等函数与现实世界的密切联系及其在 刻画现实问题中的作用. 在教学过程中, 函数模型的建立应尽量 利用 Excel 等现代信息技术手段. 鼓励学生收集一些社会生活中普遍使用 的函数模型 ( 指数函数、 对数函数、 幂函数、 分 段函数等) 的实例进行探索实践. 探究案例 钢琴与指数曲线 通过钢琴曲线这一实例, 体验数学与现 实世界有着密切联系, 是分析、 研究客观世界 变化规律的重要工具, 这既利于培养学生探 究、 解决问题的能力, 又利于激发学生用数学 知识研究现实世界的欲望 . 本章回顾 主要对本章学习的内容、 知识生长的过 程、 重要的研究问题方法与思想方面进行反 思与总结. 教学中应该让学生结合教材的树 形图, 对本章的知识、 数学方法和思想进行归 纳和总结, 这是一个由厚到薄的过程 .

教材再次以细胞分裂实验为背景, 直观 了解对数函数模型所刻画的数量关系, 初步 理解对数函数的概念, 并感受研究对数函数 的意义. 对照指数函数图象, 画出对数函数的图 象 . 根据函数y = log a x 图象的特征, 说明其性 质, 指出 y 轴是函数 y = log a x 图象的 “渐近 线” . 通过对指数函数、 对数函数相互关系的 研究, 加深对函数概念的理解. 通过对对数函数图象的观察发现对数函 数的性质, 提高学生的识图能力, 并通过对数 函数性质的应用, 加深对对数函数性质的理 解 . 关于求函数的反函数知识, 只要求以具 体函数为例进行解释和直观理解, 不要求一 般地讨论形式化的反函数定义, 对求已知函 数的反函数也不作要求. 通过阅读链接材料, 知道反函数的含义, 了解一个函数的反函数的求法以及记法, 了 解函数与其反函数的定义域、 值域之间的关 系 .
2. 4 幂函数

教材通过实例引出幂函数的概念, 使学 生了解幂函数是一类重要的函数. 教材通过 几个常见的幂函数 y = x , y = x 2 , y = x 3 , y = 1 1 , y = x 2 的图象, 观察、 总结出幂函数的变
x

化情况和性质, 培养学生的抽象概括能力 .

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