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6-4复合函数的求导法则

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第四节 复合函数的求导法则
------链式法则 链式法则

一、多元复合函数求导的链式法则
情形一:中间变量为一元函数 情形一 中间变量为一元函数

定理  定理 如果函数 u = φ (t ) 及 v = ψ (t ) 都在点t 可 导,函数 z = f (u, v ) 在对应点(u, v ) 具有连续偏 导数,

导数,则复合函数 z = f [φ (t ),ψ (t )]在对应点t 可 且其导数可用下列公式计算: 导,且其导数可用下列公式计算:

dz z du z dv . = + dt u dt v dt
证 设 t 获得增量 t,
则 u = φ ( t + t ) φ ( t ), v = ψ ( t + t ) ψ ( t );

由于函数 z = f ( u , v ) 在点 ( u , v ) 有连续偏导数

z z z = u + v + ε 1 u + ε 2 v , u v
当 u → 0 , v → 0 时, ε 1 → 0 ,ε 2 → 0

z z u z v u v = + + ε1 + ε2 t u t v t t t
当 t → 0时, u → 0 ,v → 0

u du → , dt t

dv v → , dt t

dz z z du z dv = lim = + . dt t →0 t u dt v dt
定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. 定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况 如

z

dz z du z dv z dw = + + dt u dt v dt w dt
dz 称为全导数 全导数. 以上公式中的导数 称为全导数. dt

u v w

t

口诀 : 单路全导, 叉路偏导 单路全导,

dz 例1:z = uvw , u = x , v = sin x , w = cos x , 求 dx 2 x 2 解:法一 z = x sin x cos x = sin 2x 2
2

∴ z ' = x sin 2x + x 2 cos 2x

dz z ' z ' z ' w ( x) 法二 = u ( x) + v ( x) + dx u v w

= vw 2x + uw cos x + uv ( sin x)
= 2x sin x cos x + x 2 cos 2 x x 2 sin 2 x = x sin 2x + x 2 cos 2x

情形二: 情形二 中间变量为多元函数

z = f [φ ( x , y ),ψ ( x , y )]
如果 u = φ ( x , y ) 及 v = ψ ( x , y ) 都在点( x , y ) 的偏导数, 具有对 x 和 y 的偏导数,且函数 z = f ( u, v )在对应 点( u, v )具有连续偏导数,则复合函数 具有连续偏导数,

z = f [φ ( x , y ),ψ ( x , y )]在对应点( x , y ) 的两个偏
导数存在, 导数存在,且可用下列公式计算 存在

z z u z v z z u z v = + = + , . y u y v y x u x v x

链式法则如图示

u

x

z
v

y

z z u z v = + , x u x v x
z z u z v = + . y u y v y

在树形图中,函数有几个自变量, 可见:在树形图中,函数有几个自变量, 就有几个导数公式,有几个中间变量, 就有几个导数公式,有几个中间变量, 就有几项之和, 就有几项之和,每项的构成都是函数对 中间变量的导数再乘以中间变量对自变 量的导数。 量的导数。

关键:在于函数的复合结构,主要搞清楚 在于函数的复合结构, 在于函数的复合结构
“谁对谁”求导,哪些是中间变量,哪 谁对谁”求导,哪些是中间变量, 些 是自变量, 是自变量,明确每次求导是对哪一层次 的变量求导,为直观显示,可结合“ 的变量求导,为直观显示,可结合“树 形图” 另应注意何时为全导数, 形图”,另应注意何时为全导数,何时 为偏导数。 为偏导数。

类似地再推广, 类似地再推广,设u = φ ( x , y ) 、v = ψ ( x , y )、

w = w( x , y ) 都在点( x , y ) 具有对 x 和 y 的偏导数,复合 的偏导数,
函数 z = f [φ ( x , y ),ψ ( x , y ), w( x , y )]在对应点( x , y ) 两个偏导数存在, 两个偏导数存在,且可用下列公式计算

z z u z v z w , = + + x u x v x w x z z u z v z w . = + + y u y v y w y
特别 : 若 z =
z x = f
'

z

u v w

x

y

f ( u ), u = u ( x , y ), 则
(u ) u , x z y = f
'

(u )

u y

例 2 设 z = e u sin v ,而 u = xy , v = x + y ,

z z 求 和 . x y


z z u z v = + x u x v x

= e u sin v y + e u cos v 1 = e u ( y sin v + cos v ),
z z u z v = + y u y v y u u u = e sin v x + e cos v 1 = e ( x sinv + cosv).

z z 可微, 例 3:z = f ( x + x y ),且f ( u)可微,求 , x y
2 2

z ' 2 z 解: = f (1 + 2xy ), = f ' 2x 2 y x y

情形三:中间变量既有一元函数 又有多元函数 情形三 中间变量既有一元函数,又有多元函数 中间变量既有一元函数 z=f(x,y), x=u(s,t) ,y=v(t) ,则 则

z f x = s x s z f x f dy = + x t t y dt

特殊地 z = f ( u, x , y ) 其中 u = φ ( x , y ) 即 z = f [φ ( x , y ), x , y ], 令 v = x ,
w = y,

v = 1, x

w = 0, x

v = 0, y

w = 1. y

区 别 类 似

z f u f = + , x u x x

z f u f = + . y u y y

z = f ( u, x , y )

z = f [φ ( x , y ), x , y ] 中


u x

y

y

x
z = f (u, x, y ) = ue xy , u = x 2 y

例 4 设 z = uv + sin t ,而 u = e t , v = cos t ,

dz 求全导数 . dt


dz z du z dv z = + + dt u dt v dt t

= ve u sin t + cos t
t

= e cos t e sin t + cos t
t t

= e t (cos t sin t ) + cos t .

例 5 设 w = f ( x + y + z , xyz ) , f 具有二阶

w w 连续偏导数, 连续偏导数,求 和 . x x z
2



令 u = x + y + z, 记

v = xyz;

f ( u , v ) f1′ = , u ′′ f11 ,

2 f ( u, v ) ′′ f12 = , u v ′′ f 22 .

同理有 f 2′,

w f u f v = + = f1′ + yzf 2′; x u x v x

f1′ f 2′ w ( f1′ + yzf 2′) = ; + yf 2′ + yz = z z xz z f1′ f1′ u f1′ v ′′ ′′ + = f11 + xyf12 ; = u z v z z
2

f 2′ f 2′ u f 2′ v ′′ ′′ = f 21 + xyf 22 ; = + u z v z z 2w ′′ ′′ ′′ ′′ = f11 + xyf12 + yf 2′+ yz( f 21 + xyf 22 ) 于是 xz
′′ ′′ ′′ = f11 + y( x + z ) f12 + xy 2 zf 22 + yf 2′.

2z 2z 例6:z = f ( x 2 , xy ), 求 2 及 yx x
z ' ' z ' 解: = f1 2x + yf 2 , = f 2 x y x

2z '' '' '' '' = 2f1' + 2x(f11 2x + f12 y ) + y (f 21 2x + f 22 y ) x 2 ' 2 '' '' '' 2 '' = 2f1 + 4x f11 + 2xy(f12 + f 21 ) + y f 22 2z z '' '' ’ = ( ) = f 2 + x(f 21 2x + f 22 y ) y x x y
= f + 2x f + xyf
’ 2 2 '' 21 '' 22

课 堂 练 习 题
1 1.设z = f (xy) + y(x + y), 其中f , 具有二阶连续导数, x 2z . 求 xy y 2z 2.设f = f (x, ),f ∈ c(2) , 求 2 . x x x y 3.u = yf ( ) + xg( ),f ,g具有二阶连续导数, 求 y x xu xx + yu xy .

x 2z 4. z = sin( xy ) + ( x , ), ( u, v ) ∈ c 2 , 求 . y xy 2z 5. z = f ( x 2 + y 2 , x 2 y 2 ), f具有二阶连续偏导数 , 求 . xy 6. z = f ( 2 x y , y cos x ), f具有二阶连续偏导数 , 求 z z z , , . x y xy z z xy 7. z = x 求 , x y
2

二、小结
分三种情况) 链式法则(分三种情况) (特别要注意课中所讲的特殊情况) 特别要注意课中所讲的特殊情况)

思考题
设 z = f ( u, v , x ) ,而u = φ ( x ) ,v = ψ ( x ) ,

dz f du f dv f = + + , 则 dx u dx v dx x dz f 是否相同?为什么? 试问 与 是否相同?为什么? dx x

思考题解答
不相同. 不相同
的函数, 等式左端的 z 是作为一个自变量x 的函数,
而 等 式 右 端 最 后 一 项 f 是 作 为 u , v, x 的 三 元 函 数 ,

写出来为

dz dx

x

f = u

du f ( u ,v , x ) x + dx v

dv ( u ,v , x ) dx

x

f + x

( u ,v , x )

.

练习题
一、填空题: 填空题: x cos y z 1、 ________________; 1、设 z = ,则 = ________________; y cos x x z ________________. = ________________. y x 2 ln( 3 x 2 y ) z _______________; 2 、设 z = ,则 = _______________; 2 x y z = ________________. y dz sin t 2 t 3 3、 3、设 z = e ,则 = ________________. dt v z z 2 2 u 二、设 z = ue ,而 u = x + y , v = xy ,求 , . x y

dz 三、设 z = arctan(xy ) ,而 y = e ,求 . dx
x

四、设 z = f ( x 2 y 2 , e xy ), (其中f具 有一阶连续偏导

z z 数),求 , . x y ,(其 五、设 u = f ( x + xy + xyz ) ,(其中f具 有一阶连续偏导 u u u ),求 数),求 , , . x y z x ,(其 有二阶连续偏导数), ),求 六、设 z = f ( x , ) ,(其中f具 有二阶连续偏导数),求 y 2z 2z 2z , , 2. 2 x xy y

y 其中为可导函数, , 其中为可导函数, 2 2 f (x y ) 1 z 1 z z 验证: 验证: + = 2. x x y y y 具有二阶导数, 八、设 z = φ [ x + ( x y ), y ], 其中 φ , 具有二阶导数,求 2z 2z , 2. 2 x y

七、设 z =

练习题答案
cos y(cos x + x sin x ) x cos x ( y sin y + cos y ) 一、1、 ; , 2 2 2 y cos x y cos x 2x 3x2 2、 2、 2 ln( 3 x 2 y ) + , 2 y (3 x 2 y ) y 2x2 2x2 ; 3 ln( 3 x 2 y ) 2 y (3 x 2 y ) y 3(1 4t 2 ) . 3、 3、 3 2 1 ( 3t 4t )

2x y z x2 + y2 ]e , 二、 = [2 x + y 2 2 2 x (x + y )y
2

xy

2y x z ( x2 + y2 ) ]e . = [2 y + x 2 2 y (x + y )
2

xy

dz e x (1 + x ) 三、 = . 2 2x dx 1 + x e z z ′ + ye xy f 2′ , = 2 yf 1′ + xe xy f 2′ . 四、 = 2 xf 1 x y u u u = f ′( x + xz ), = xyf ′. 五、 = f ′(1 + y + yz ), x y z 2 1 2z ′′ + f 12 + 2 f 22 , ′′ ′′ 六、 2 = f 11 y y x x 1 1 2z ′′ ′′ = 2 ( f 12 + f 22 ) 2 f 2′ , y x y y y x2 2z 2x ′′ = 3 f 2′ + 4 f 22 . 2 y y y

2z 八、 2 = φ 11 (1 + ′ ) 2 + φ 1 ′′, x 2z = φ 11 ( ′ ) 2 φ 12 ′ + φ 1 ′′ φ 21 ′ + φ 22 . y 2