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揭阳市2016-2017学年度高中三年级学业水平考试数学试卷(理)及答案

时间:2017-01-11


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揭阳市 2016-2017 学年度高中三年级学业水平考试

数学(理科)
本试卷共 4 页,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 答题前,考生务必将自己的姓 名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题

卡上对应题目的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮搽干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效. 3. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,答在本试题上无效. 4. 考试结束,将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷
一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.
2 (1)已知集合 A ? ??3, ?2, ?1,0,1,2? , B ? x x ? 3 ,则 A ? B ?

?

?

(A) ?0, 2?

(B) ??1,0,1?

(C) ??3, ?2, ?1,0,1, 2? (D) ? 0, 2?

(2)复数 z 满足(1+i)z=i+2,则 z 的虚部为 (A)

3 2

(B)

1 2

(C) ?

1 2

(D) ?

1 i 2

(3)已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 2S3 ? 3S2 ? 15 ,则数列 {an } 的公差为

??? ? ??? ? ???? (4)设 D 为△ABC 所在平面内一点,且 BC ? 3BD ,则 AD ? ? 1 ???? ? 2 ???? ? 1 ???? ? 5 ???? 2 ??? 1 ??? 4 ??? 2 ??? (A) AB ? AC (B) AB ? AC (C) AB ? AC (D) AB ? AC 3 3 3 3 3 3 3 3 (5)若空间四条直线 a、b、c、d,两个平面 ? 、 ? ,满足 a ? b , c ? d , a ? ? , c ? ? ,则
(A) b // ? (B) c ? b (C) b // d (D)b 与 d 是异面直线 (6)若命题: “ ?x0 ? R, ax2 ? ax ? 2 ? 0 ”为假命题,则 a 的取值范围是 (A) (??, ?8] ? [0, ??) (B) (?8, 0) (C) (??, 0] (D) [?8, 0] (7)函数 y ? x ? sin | x |, x ? [?? , ? ] 的大致图象是 揭阳市 2016-2017 学年度高中三年级学业水平考试数学(理科)试题 第 1 页(共 4 页)

(A)3

(B)4

(C)5

(D)6

π -π

y π O -π π x -π

y -π O -π (B) π x

π

y -π O -π π x

π

y

O -π (D)

π

x

(A)

(C)

( 8 ) 已 知 a ? 0 且 a ? 1 ,函 数 f ? x ? ? ?

?log 1 x, x ? 0 ? 3 ? ? a ? b, x ? 0
x

满 足 f ? 0? ? 2 , f ? ?1? ? 3 ,则

f ? f ? ?3? ? ?
(A) ?3 (B) ?2 (C)3 (D)2 (9)阅读如图 1 所示的程序框图,运行相应程序,输出的结果是 (A)1234 (B)2017 (C)2258 (D)722 (10)六个学习小组依次编号为 1、2、3、4、5、6,每组 3 人,现需从中 任选 3 人组成一个新的学习小组,则 3 人来自不同学习小组的概率为 (A)

5 204

(B)

45 68

(C)

15 68

(D)

5 68

(11)直线 l : x ? 4 y ? 2 与圆 C : x2 ? y 2 ? 1 交于 A、B 两点,O 为坐标 原点,若直线 OA 、OB 的倾斜角分别为 ? 、 ? ,则 cos ? ? cos ? = (A) 图1

18 17

(B) ?

12 17
2 2

(C) ?

4 17

(D)
2

4 17
2

(12)已知 a、b ? R, 且 2ab ? 2a ? 2b ? 9 ? 0 ,若 M 为 a ? b 的最小值,则约束条件

? x 2 ? y 2 ? 3M , 所确定的平面区域内整点(横坐标纵坐标均为整数的点)的个数为 ? ?| x | ? | y |? 2 M .
(A)29 (B)25 (C)18 (D)16

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生 都必须做答.第(22)题~第(23)题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把正确的答案填写在答题 卡相应的横线上.
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(13)在 ( x ?

1 8 ) 的展开式中,常数项是 x



(14)设椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两焦点与短轴一端点组成一正三角形三个顶点,若焦点到 a 2 b2

椭圆上点的最大距离为 3 3 ,则分别以 a , b 为实半轴长和 虚半轴长,焦点在 y 轴上的双曲线标准方程为 (15)一几何体的三视图如图 2 示,则该几何体的体积为 (16)已知正项数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,且对一切的正整数 n ,
2 均有: (n ? 1)an?1 ? nan ? (n ? 1)anan?1 ? nan ? 0 ,则数

. .

图2

列 {an } 的通项公式 an ?

.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17) (本小题满分 12 分) 在△ABC 中, a 、 b 、 c 分别为角 A 、 B 、 C 所对的边, b=1 ,且 2 cos C ? 2a ? c ? 0 . (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)求△ABC 外接圆的圆心到 AC 边的距离. (18) (本小题满分 12 分) 如图 3,在四棱锥 P ? ABCD 中, O ? AD ,AD∥BC,AB⊥AD, AO=AB=BC=1,PO= 2 , PC ? 3 . (Ⅰ)证明:平面 POC⊥平面 PAD; (Ⅱ)若 AD=2,PA=PD,求 CD 与平面 PAB 所成角的余弦值. (19) (本小题满分 12 分) 某商场举行促销活动,有两个摸奖箱,A 箱内有一个“1”号球、两个“2”号球、三个“3”号球、 四个无号球,B 箱内有五个“1”号球、五个“2”号球,每次摸奖后放回.消费额满 100 元有一次 A 箱内摸奖机会,消费额满 300 元有一次 B 箱内摸奖机会,摸得有数字的球则中奖,“1”号球奖 50 元、“2”号球奖 20 元、“3”号球奖 5 元,摸得无号球则没有奖金. (Ⅰ)经统计,消费额 X 服从正态分布 N (150, 625) ,某天有 1000 位顾客,请估计消费额 X (单位:元)在区间(100,150]内并中奖的人数;
2 附:若 X ~ N (?, ? ) ,则 P(? ? ? ? X ? ? ? ? ) ? 0.6826,

图3

P(? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0.9544.
(Ⅱ)某三位顾客各有一次 A 箱内摸奖机会,求其中中奖人数 ? 的分布列; (Ⅲ)某顾客消费额为 308 元,有两种摸奖方法,方法一:三次 A 箱内摸奖机会;方法二: 一次 B 箱内摸奖机会.请问:这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大. 揭阳市 2016-2017 学年度高中三年级学业水平考试数学(理科)试题 第 3 页(共 4 页)

(20)(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-1, 0) 、B(1, 0) 、C(0, -1) ,N 为 y 轴上的点,MN 垂直于 y 轴,且点 M 满足 AM ? BM ? ON ? CM (O 为坐标原点) ,点 M 的轨迹为曲线 T. (Ⅰ)求曲线 T 的方程; (Ⅱ)设点 P(P 不在 y 轴上)是曲线 T 上任意一点, 曲线 T 在点 P 处的切线 l 与直线 y ? ?

???? ? ???? ?

???? ???? ?

5 4

交于点 Q, 试探究以 PQ 为直径的圆是否过一定点?若过定点, 求出该定点的坐标, 若不过定点, 说明理由. (21) (本小题满分 12 分) 设 a >0,已知函数 f ( x) ?

x ? ln(x ? a) (x>0).

(Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)试判断函数 f ( x) 在 (0, ??) 上是否有两个零点,并说明理由. 请考生在第(22) 、 (23)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一个题目计分. (22) (本小题满分 10 分)选修 4 ? 4:坐标系与参数方程 已知直线 l 的参数方程为 ?

? x ? ?1 ? t cos? ( t 为参数) .以 O 为极点, x 轴的非负半轴为 ? y ? 1 ? t sin ?

极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? ? cos? ? 2 . (Ⅰ)写出直线 l 经过的定点的直角坐标,并求曲线 C 的普通方程; (Ⅱ)若 ? ?

?
4

,求直线 l 的极坐标方程,以及直线 l 与曲线 C 的交点的极坐标.

(23) (本小题满分 10 分)选修 4 ? 5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? 1 | ?m | x ? 2 | . (Ⅰ)若 m ? 1 ,求函数 f ( x) 的值域; (Ⅱ)若 m ? ?1 ,求不等式 f ( x) ? 3x 的解集.

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数学(理科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主 要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后续部分的解答未改变该题的内容和 难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的 解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.

一、选择题:
题号 答案 1 B 2 C 3 C 4 A 5 B
2

6 D
9

7 C

8 B

9 A

10 B

11 D

12 A

解析: (9) 输出结果为: 211 ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 211 ?

210 ? 1 ? 1234 ; 2 ?1

y
β A (x1, y1)

C 3 (C1 )3 45 (10) P ? 6 3 3 ? ; C18 68 (11)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由三角函数的定义得:

B (x2, y2)

o

α

x

? x ? 4 y ? 2, 2 消去 y 得: 17 x ? 4 x ? 12 ? 0 , cos ? ? cos ? ? x1 ? x2 ,由 ? 2 2 x ? y ? 1. ? 4 4 则 x1 ? x2 ? ,即 cos ? ? cos ? ? . 17 17 2 2 2 2 (12)由 2ab ? 2a ? 2b ? 9 ? 0 结合 2ab ? a ? b 得

3(a2 ? b2 ) ? 9 ? a2 ? b2 ? 3 (当且仅当 a ? b 时等号成立)
故 M ? 3 ,故约束条件确定的平面区域如右图阴影所示,在 区域内,由 x ? ?2, y ? ?2 围成的矩形区域(含边界)整点 有 25 个,加上圆 x2 ? y 2 ? 32 与坐标轴的交点 4 个,共 29 个.

二、填空题:
题号 答案 13
2

14
2

15

16

1 y x 30 ? ?1 n 12 9 1 3 3 解析: (15) V ? V长方体 ? V长方体 = V长方体 = ? 5 ? 2 ? 2=30 . 2 2 2 2 (16)由 (n ? 1)an?1 ? nan ? (n ? 1)an an?1 ? nan ? 0 ? (n ? 1)an?1 (1 ? an ) ? nan (1 ? an ) ? 0 ,
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? (1 ? an )[(n ? 1)an?1 ? nan ] ? 0 ?
1 . n 三、解答题: ? an ?

an ?1 an an?1 a2 n ? 1 n ? 2 n 1 ,则 ? ? ? ? ? ? , an n ?1 an?1 an? 2 a 1 n n ? 1 2

(17)解: (Ⅰ)由 2 cos C ? 2a ? c ? 0 , b=1 结合余弦定理得:

a2 ? 1 ? c2 ? 2a ? c ? 0 ,-------------------------------------------------------------------------------2 分 a ? a 2 ? c 2 ? 1 ? ?ac ,----------------------------------------------------------------------------------3 分 a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? c 2 ? 1 1 ? ? ? ,-----------------------------------------------------5 分 则 cos B ? 2ac 2ac 2 2? ∵0 ? B ?? ∴B ? . ---------------------------------------------------------------------------7 分 3
(Ⅱ) 设△ABC 外接圆的半径为 R,由正弦定理知

b 1 2 ,-------------------------------------------------------------------9 分 ? ? sin B sin 2? 3 3 1 故R? ,-------------------------------------------------------------------------------------------10 分 3 2R ?
则△ABC 外接圆的圆心到 AC 边的距离

b 1 1 3 .---------------------------------------------------------------12 分 d ? R 2 ? ( )2 ? ? ? 2 3 4 6
(18)解: (Ⅰ)在四边形 OABC 中, ∵AO//BC,AO=BC,AB⊥AD, ∴四边形 OABC 是正方形,得 OC⊥AD,-----------------------2 分 在△POC 中,∵ PO ? OC ? PC ,∴OC⊥PO,-------4 分
2 2 2

又 PO ? AD ? O ,∴OC⊥平面 PAD, 又 OC ? 平面 POC,∴平面 POC⊥平面 PAD;-------------6 分 (Ⅱ)解法 1:由 O 是 AD 中点,PA=PD,得 PO⊥AD; 以 O 为原点,如图建立空间直角坐标系 O-xyz, ---------- 7 分 得 A(0,?1,0) , B(1,?1,0) , P(0,0, 2 ) , C (1,0,0) , D(0,1,0) , 得 CD ? (?1,1,0) , PA ? (0,?1,? 2 ) , AB ? (1,0,0) , 设 m ? ( x, y, z ) 是平面 PAB 的一个法向量,

?

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? ? ?m ? ? PA ? ? y ? 2 z ? 0 ? m ? PA ? 则? ? ,得 ? ? ,取 z=1, ? ? ? m ? AB ? x ? 0 ?m ? AB ? 得 m ? (0,? 2 ,1) , ----------------------------------------------------------------------------------10 分 设 CD 与平面 PAB 所成角为 ? , ? ? | CD ? m | 2 3 则 sin ? ?| cos ? CD , m ?|? , ? ? ? 3 2? 3 | CD | ? | m |
∴ cos? ?

6 6 ,即 CD 与平面 PAB 所成角的余弦值为 . ------------------------------12 分 3 3
∴BCDO 为平行四边形,∴OB//CD, ----------------------------7 分

【解法 2:连结 OB, ∵OD//BC,且 OD=BC 由(Ⅰ)知 OC⊥平面 PAD,∴AB⊥平面 PAD, ∵AB ? 平面 PAB ,∴平面 PAB⊥平面 PAD,----------------------------------------------------8 分 过点 O 作 OE⊥PA 于 E,连结 BE,则 OE⊥平面 PAB, ∴∠OBE 为 CD 与平面 PAB 所成的角,----------------------10 分 在 Rt△OEB 中,∵ OE ?

PO ? AO 2 , OB ? 2 , ? PA 3
6 9 ? 6, 3 2

E

∴ cos ?OBE ?

BE ? OB

2?

6 . --------------------------------------------------12 分】 3 2 (19)解: (Ⅰ)依题意得 ? ? 150, ? ? 625,得 ? ? 25 , 100 ? ? ? 2? , ------------ 1 分
即 CD 与平面 PAB 所成角的余弦值为 消费额 X 在区间(100,150]内的顾客有一次 A 箱内摸奖机会,中奖率为 0.6,--------- 2 分 人数约为 1000? P( ? ? 2? ? X ? ? ) ? 1000 ?

0.9544 =477 人, 2

------------------------3 分

其中中奖的人数约为 477× 0.6=286 人; -------------------------------------------------------- 4 分 (Ⅱ)三位顾客每人一次 A 箱内摸奖中奖率都为 0.6, 三人中中奖人数 ? 服从二项分布 B(3, 0.6) ,
k (k=0, 1, 2, 3) ----------------------------------------------------6 分 P(? ? k ) ? C3 0.6 k ? 0.43?k ,

故 ? 的分布列为

?
P

0 0.064(或

1

2

3

8 ) 125

0.288(或

36 ) 125

0.432(或

54 ) 125

0.216(或

27 ) 125
-----------8 分

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(Ⅲ)A 箱摸一次所得奖金的期望值为 50×0.1+20×0.2+5×0.3=10.5,-------------------------9 分 B 箱摸一次所得奖金的期望值为 50×0.5+20×0.5=35,---------------------------------------10 分 方法一所得奖金的期望值为 3×10.5=31.5,方法二所得奖金的期望值为 35, 所以这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大.-----------------------------------------------12 分 (20)解: (Ⅰ)设点 M ( x, y ) ,依题意知 N (0, y) , ∵ AM ? ( x ? 1, y), BM ? ( x ?1, y), ON ? (0, y), CM ? ( x, y ?1) ,---------------------------2 分 由 AM ? BM ? ON ? CM 得 x2 ?1 ? y 2 ? y( y ? 1) ,即 y ? x2 ?1 , ∴所求曲线 T 的方程为 y ? x ?1 ------------------- 4 分
2

???? ?

???? ?

????

???? ?

???? ? ???? ?

???? ???? ?

y

(Ⅱ)解法 1:设 P( x0 , y0 )( x0 ? 0) , 由 y ? x2 ? 1 得 y ' ? 2 x 则 kl ? y ' |x? x0 ? 2 x0 ---------------------------5 分 ∴直线 l 的方程为: y ? y0 ? 2x0 ( x ? x0 )

P o 5 y=4

x

5 4x ?1 4x ?1 5 得x? ,即点 Q 的坐标为 ( , ? ) --------6 分 4 8x0 8 x0 4 ??? ? ???? 设 G( x, y) 是以 PQ 为直径的圆上任意一点,则由 PG ? QG ? 0 ,
令y??
2 0 2 0

Q

l

2 4 x0 ?1 5 得以 PQ 为直径的圆的方程为: ( x ? x0 )( x ? ) ? ( y ? y0 )( y ? ) ? 0 ------①-----------8 分 8x0 4

在①中,令 x0 ? ?1, y0 ? 0 得 ( x ? 1)( x ? ) ? y ( y ? ) ? 0 ,------------------------②

3 8

5 4

3 5 ( x ? 1)( x ? ) ? y ( y ? ) ? 0 , -----------------------------------------------------------③ 8 4 x ? 0, ? ? x ? 0, ? ? 由②③联立解得 ? 3 或 ? 1 --------------------------------------------------------------10 分 y ? ? . y ? ? . ? ? ? 4 ? 2 4 x2 ? 1 3 1 1 3 3 5 ? (? ? y0 )(? ? ) ? y0 ? y0 ? 0 =右边, 将 x ? 0, y ? ? 代入①式,左边= 0 4 2 2 8 4 4 4 3 即以 PQ 为直径的圆过点 (0, ? ) ,--------------------------------------------------------------------11 分 4 1 将 x ? 0, y ? ? 代入①式,左边 ? 右边, 2 3 ∴以 PQ 为直径的圆恒过点,该定点的坐标为 (0, ? ) --------------------------------------------12 分 4
揭阳市 2016-2017 学年度高中三年级学业水平考试数学(理科)试题 第 8 页(共 4 页)

【解法 2:设 P( x0 , y0 )( x0 ? 0) ,由 y ? x2 ?1 得 y ' ? 2 x 则 kl ? y ' |x? x0 ? 2 x0 -----------------------------------------------------------------------------------------5 分 ∴直线 l 的方程为: y ? y0 ? 2 x0 ( x ? x0 )
2 2 5 4 x0 ?1 4 x0 ?1 5 令y ?? 得x? ,即点 Q 的坐标为 ( , ? ) -------------------------------------------6 分 4 8x0 8 x0 4 ??? ? ???? 设 G( x, y) 是以 PQ 为直径的圆上任意一点,则由 PG ? QG ? 0 , 2 4 x0 ?1 5 ) ? ( y ? y0 )( y ? ) ? 0 ------①------------8 分 8x0 4 y

得以 PQ 为直径的圆的方程为: ( x ? x0 )( x ? 假设以 PQ 为直径的圆过定点 ( a, b) , 则 (a ? x0 )(a ?

1 1 5 x0 ? ) ? (b ? y0 )(b ? ) ? 0 , 2 8 x0 4
P o 5 y=4 x

a2 ?

1 2 3 a 1 5 2 x0 ? ax0 ? ? ? (b ? x0 ? 1)(b ? ) ? 0 , 2 2 8 x0 8 4

1 2 3 a 1 5 2 5 a ? x0 ? ax0 ? ? ? (b ? ) x0 ? (b ? 1)(b ? ) ? 0 , 2 2 8 x0 8 4 4
2

Q

3 1 1 3 2 5 a 2 ? a( x0 ? ) ? ? (b ? ) x0 ? (b ? 1)(b ? ) ? 0 , 2 8 x0 8 4 4
令 a ? 0, b ? ?

l

3 ,上式恒成立, 4
3 4

∴以 PQ 为直径的圆恒过定点,该点的坐标为 (0, ? ) ----------------------------------------------12 分】 【解法 3:设 P( x0 , y0 )( x0 ? 0) ,由 y ? x ?1 得 y ' ? 2 x
2

则 kl ? y ' |x? x0 ? 2 x0 ------------------------------------------------------------------------------------------5 分 ∴直线 l 的方程为: y ? y0 ? 2 x0 ( x ? x0 )
2 2 5 4 x0 ?1 4 x0 ?1 5 令y ?? 得x? ,即点 Q 的坐标为 ( , ? ) ------------------------------------------6 分 4 8x0 8 x0 4 假设以 PQ 为直径的圆恒过定点 H,则根据对称性,点 H 必在 y 轴上,设 H (0, t ) , 2 ???? ???? 4 x0 ?1 5 则由 PH ? QH ? 0 得 x0 ? ? (t ? y0 )(t ? ) ? 0 ------① --------------------------------------8 分 8 x0 4

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1 3 5 5 3 1 y0 ? ? t (t ? ) ? y0 (t ? ) ? 0 , (t ? )(t ? ? y0 ) ? 0 , 2 8 4 4 4 2 3 3 ∴ t ? ? ,即以 PQ 为直径的圆恒过定点,该点的坐标为 (0, ? ) --------------------------12 分】 4 4 1 1 ? (21)解: (Ⅰ) f ' ( x) ? ,----------------------------------------------------------------1 分 2 x x?a

f ' ( x) ? 0 ? x ? a ? 2 x ? x 2 ? 2(a ? 2) x ? a 2 ? 0 ,
f ' ( x) ? 0 ? x 2 ? 2(a ? 2) x ? a 2 ? 0 ,
设 g ( x) ? x 2 ? 2(a ? 2) x ? a 2 ,则 ? ? 16(1 ? a) , ①当 a ? 1 时, ? ? 0 , g ( x) ? 0 ,即 f ' ( x) ? 0 , ∴ f ( x) 在 (0, ? ?) 上单调递增; -----------------------------------------------------------------3 分 ②当 0 ? a ? 1 时, ? ? 0 , 由 g ( x) ? 0 得 x1 ?

4 ? 2a ? 4 1 ? a ? 2 ? a ? 2 1? a , 2

x2 ? 2 ? a ? 2 1 ? a , -----------------------------------------------------------------------------4 分
可知 0 ? x1 ? x2 ,由 g ( x) 的图象得:

f ( x) 在 (0, 2 ? a ? 2 1 ? a ) 和 (2 ? a ? 2 1 ? a , ? ?) 上单调递增; --------------------5 分 f ( x) 在 (2 ? a ? 2 1 ? a , 2 ? a ? 2 1 ? a ) 上单调递减.
(Ⅱ)解法 1:函数 f ( x) 在 (0, ??) 上不存在两个零点 假设函数 f ( x) 有两个零点,由(Ⅰ)知, 0 ? a ? 1 , 因为 f (0) ? ? ln a ? 0 ,则 f ( x2 ) ? 0 ,即 x2 ? ln(x2 ? a) , 由 f ' ( x2 ) ? 0 知 x2 ? a ? 2 x2 ,所以 x2 ? ln , (2 x2) 设 x2 ? t ,则 t ? ln(2t ) (*) , -----------------------------------------------------------------9 分 由 x2 ? 2 ? a ? 2 1 ? a ? (1, 4) ,得 t ? (1, 2) , ---------------------------------6 分

----------------------------------------------7 分

1 ? 0 , -------------------------------------------------10 分 t 所以 h(t ) 在 (1, 2) 递增,得 h(t ) ? h(1) ? 1 ? ln 2 ? 0 ,即 t ? ln(2t ) ,
设 h(t ) ? t ? ln(2t ) ,得 h' (t ) ? 1 ? 这与(*)式矛盾, ---------------------------------------------------------------------------------11 分 所以上假设不成立,即函数 f ( x) 没有两个零点. ------------------------------------------12 分 【解法 2:函数 f ( x) 在 (0, ??) 上不存在两个零点; -------------------------------------------------7 分 由(Ⅰ)知当 a ? 1 时,函数 f ( x) 在 (0, ? ?) 上单调递增, 揭阳市 2016-2017 学年度高中三年级学业水平考试数学(理科)试题 第 10 页(共 4 页)

∴函数 f ( x) 在 (0, ? ?) 上至多有一个零点; -----------------------------------------------------8 分 当 0 ? a ? 1 时,∵ f (0) ? ? ln a ? 0 , 由(Ⅰ)知当 x ? x2 时, f ( x ) 有极小值,

f ( x)极小 =f ( x2 ) ? x2 ? ln( x2 ? a) ? 1 ? a ?1 ? ln[2( 1 ? a ?1)] ,---------------------9 分
令 1 ? a ? 1 ? t, 则 1 ? t ? 2 , f ( x)极小 ? t ? ln(2t ) , 设 h(t ) ? t ? ln(2t ) ,得 h' (t ) ? 1 ?

1 ? 0 ,------------------------------------------------------10 分 t

∴ h(t ) 在 (1, 2) 单调递增,得 h(t ) ? h(1) ? 1 ? ln 2 ? 0 ,即 f ( x)极小 ? 0 , 可知当 0 ? a ? 1 时,函数 f ( x) 在 (0, ??) 不存在零点; 综上可得函数 f ( x) 在 (0, ??) 上不存在两个零点.-------------------- -----------------------12 分】 选做题: (22)解: (Ⅰ)直线 l 经过定点 (?1, 1) ,-----------------------------------------------------------------2 分 由 ? ? ? cos? ? 2 得 ? 2 ? ( ? cos? ? 2) 2 , 得曲线 C 的普通方程为 x ? y ? ( x ? 2) ,化简得 y ? 4 x ? 4 ;---5 分
2 2 2 2

? x ? ?1 ? ? ? ? (Ⅱ)若 ? ? ,得 ? 4 ? y ? 1? ? ?

2 t 2 ,的普通方程为 y ? x ? 2 ,----------------------------------6 分 2 t 2

则直线 l 的极坐标方程为 ? sin ? ? ? cos? ? 2 ,------------------------------------------------8 分 联立曲线 C : ? ? ? cos? ? 2 . 得 sin ? ? 1 ,取 ? ?

?
2

,得 ? ? 2 ,所以直线 l 与曲线 C 的交点为 ( 2,

?
2

) .------------10 分

(23)解: (Ⅰ)当 m ? 1 时, f ( x) ?| x ? 1 | ? | x ? 2 | -------------------------------------------------1 分 ∵ | | x ? 1 | ? | x ? 2 | |?| ( x ? 1) ? ( x ? 2) |? 3 ,-------------------------------------------------3 分

? ?3 ?| x ? 1 | ? | x ? 2 | ? 3 ,函数 f ( x) 的值域为 [?3, 3] ;------------------------------ 5 分
(Ⅱ)当 m=-1 时,不等式 f ( x) ? 3x 即 | x ? 1 | ? | x ? 2 |? 3x ,------------------------------- -6 分

1 ,? x ? ?1 ; --------------------- 7 分 5 ②当 ? 1 ? x ? 2 时,得 x ? 1 ? x ? 2 ? 3x ,解得 x ? 1 ,? ?1 ? x ? 1 ; --------------- 8 分 ③当 x ? 2 时,得 x ? 1 ? x ? 2 ? 3x ,解得 x ? ?1 ,所以无解; ------------------------9 分
①当 x ? ?1 时,得 ? x ? 1 ? x ? 2 ? 3x ,解得 x ? 综上所述,原不等式的解集为 (??, 1) . -----------------------------------------------------10 分

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