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南京市2011-2012学年第一学期高二期末调研理科数学卷

时间:2013-01-19


南京市 2011-2012 学年度第一学期高二期末调研

理科数学卷
注意事项:

2012.01

1.本试卷共 4 页,包括填空题(第 1 题~第 14 题) 、解答题(第 15 题~第 20 题)两部分.本试卷满分 为 100 分,考试时间为 100 分钟. 2.答题前,请务必将自己的姓名、学校、班级、学

号写在答卷纸的密封线内.试题的答案写在答卷纸上 ... 对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答卷纸. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分.请把答案填写在答卷纸相应位置上 ....... 1.命题“?x∈R,x2≥0”的否定是 x2 y2 2.双曲线 - =1 的焦点坐标是 5 4 . . .

3.顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线经过点(2,2),则此抛物线的方程为 4.已知函数 f (x)=ln(2x-1),则 f ′(x)= . 象限.

2+i 5.复数 z= (i 为虚数单位) ,则 z 对应的点在第 1+i

6.设向量 a=(2,2m-3,n+2) ,b=(4,2m+1,3n-2) ,且 a∥b,则 mn= y2 7.已知双曲线 x2- 2=1(b>0)的一条渐近线的方程为 y=2x,则 b 的值是 b 1 8.函数 f (x)= x-sinx 在区间[0,π]上的最小值为 2 . .



x2 y2 9.设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的右准线与 x 轴的交点为 M,以椭圆的长轴为直径作圆 O,过点 M 引圆 O a b 的切线,切点为 N,若△OMN 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为 10.如图,直线 l 是曲线 y=f(x)在 x=4 处的切线,则 f ′(4)= .
y l 5 3



11.若圆 x2+y2=r2(r>0)与圆(x+3)2+(y-4)2=36 相
O 4 第 10 题图 x

交,则 r

的取值范围是 12.给出下列命题



①“a>b”是“a2>b2”的充分不必要条件;

②“lga=lgb”是“a=b”的必要不充分条件; ③若 x, y∈R,则“|x|=|y|”是“x2=y2”的充要条件; ④△ABC 中, “sinA>sinB”是“A>B”的充要条件. 其中真命题是 . (写出所有真命题的序号)

13.观察下列等式:1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,?从中可归 纳得出第 n 个等式是 .

14.设函数 f(x)在其定义域 D 上的导函数为 f′(x).如果存在实数 a 和函数 h(x),其中 h(x)对任意的 x∈D 都 1 有 h(x)>0,使得 f′(x)=h(x)(x2-ax+1),则称函数 f(x)具有性质 P(a).给出下列四个函数:①f(x)= x3 3 -x2 +x+1;②f(x)=lnx+ 是 x2+x 4 ;③f(x)=(x2 -4x+5)ex;④f(x)= ,其中具有性质 P(2)的函数 x+1 2x+1

.(写出所有满足条件的函数的序号)

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 58 分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明 ........ 过程或演算步骤. 15. (本题满分 8 分)已知命题 p:函数 y=logax 在(0,+∞)上是增函数;命题 q:关于 x 的方程 x2-2ax +4=0 有实数根.若 p∧q 为真,求实数 a 的取值范围.

16. (本题满分 8 分)设直线 l:4x+3y+a=0 和圆 C:x2+y2+2x-4y=0. (1)当直线 l 过圆 C 的圆心时,求实数 a 的值; (2)当 a=3 时,求直线 l 被圆 C 所截得的弦长.

17. (本题满分 10 分)如图,长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AA1=AD=1, AB=2,点 E 是 C1D1 的中点. (1)求证:DE⊥平面 BCE; (2)求二面角 A—EB—C 的大小.
A1 D1 E C1

B1 D

C B

A

18. (本题满分 10 分)某公司需制作容积为 216 ml 的长方体形饮料盒,饮料盒底面的长是宽的 2 倍.当饮 料盒底面的宽为多少时,才能使它的用料最省?

19. (本题满分 10 分)将圆 x2+y2=4 上点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的一半,所得曲线设为 E. (1)求曲线 E 的方程; (2)若曲线 E 与 x 轴、y 轴分别交于点 A(a,0),B(-a,0),C(0,b),其中 a>0,b>0.过点 C 的直线 l 与曲线 E 交于另一点 D,并与 x 轴交于点 P,直线 AC 与直线 BD 交于点 Q.当点 P 异于点 B 时,求 → → 证:OP?OQ为定值 y

-2

O

2

x

1 20. (本题满分 12 分)已知函数 f(x)=alnx+ x2+(a+1)x+1. 2 (1)当 a=-1 时,求函数 f(x)的单调增区间; (2)若函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围; (3)若 a>0,且对任意 x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,都有| f(x1)-f(x2)|>2| x1-x2|,求实数 a 的最小值.

南京市 2011-2012 学年度第一学期高二期末调研 理科数学参考答案及评分标准卷
2012.01
说明: 1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果 后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数. 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分) 1.? x∈R,x2<0 π 3 8. - 6 2 9. 2 2 2.(±3,0) 1 10. 2 3.y2=4x 11.(1,11) 4. 2 2x-1 5.一 6.21 7.2

12.③④

13.n+(n+1)+(n+2)+?+[n+2(n-1)]=(2n-1)2(n?N*) 14.①②③ 二、解答题(本大题共 6 小题,共 58 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本题满分 8 分) 解: 当 p 为真命题时,a>1. ???????????2 分 2 当 q 为真命题时,△=4a -16≥0. 解得 a≤-2 或 a≥2. ????????????????4 分 因为 p∧q 为真,所以 p 和 q 都是真命题.
?a>1, ? ?a≤-2或a≥2.

?????????????6 分 ?????????8 分

所以实数 a 的取值范围是[2,+∞).

16. (本题满分 8 分) 解: (1)由 x2+y2+2x-4y=0,得(x+1)2+(y-2)2=5. 所以圆 C 的圆心为(-1,2),半径为 5. ??????????2 分 因为直线 l 过圆 C 的圆心,所以-4+6+a=0. 解得 a=-2. ???????????????????4 分 (2)当 a=3 时,圆心(-1,2)到直线 l:4x+3y+3=0 的距离为 |4× (-1)+3× 2+3| d= =1. ??????????????????6 分 2 2 4 +3 则 2 r2-d2=4. 所以直线 l 被圆 C 所截得的弦长为 4. 17. (本题满分 10 分) ????????????8 分

解: (1) 建立如图所示的空间直角坐标系,则 D(0,0,0),E(0,1,1),B(1,2,0), → → C(0,2,0),DE=(0,1,1),BE=(-1,-1,1), → BC=(-1,0,0). → → → → 因为DE·BE=0,DE·BC=0,
D z D1 E C1

A1

B1

→ → → → 所以DE⊥BE,DE⊥BC. 则 DE⊥BE,DE⊥BC. x 因为 BE?平面 BCE,BC?平面 BCE,BE ∩BC=B, 所以 DE⊥平面 BCE. ???????????4 分 (2)设平面 AEB 的法向量为 n=(x,y,z),


C B

y

A

?→ → =0, ?y=0, ? n·AB 则? 即? ?-x+y+z=0. ?→ → ? n·BE=0.
所以平面 AEB 的法向量为 n=(1,0,1).


????????6 分

→ 因为 DE⊥平面 BCE,所以DE就是平面 BCE 的法向量.
→ → n·DE 1 → → 因为 cos< n,DE>= = , → → 2 | n|×|DE|

???????????9 分 ?????????10 分

由图形可得二面角 A—EB—C 的大小为 120° .

18. (本题满分 10 分) 解:设饮料盒底面的宽为 x cm,高为 h cm,则底面长为 2x cm. 根据 V=x·2x·h,可得 h = 216 .??????????2 分 2x2

所以,表面积 S(x)=2(x·2x+x·h+2x·h) 216 162 =2(2x2+3x· 2 )=4(x2+ ) (x>0) ??????????4 分 2x x 162 由 S ?(x)=4(2x- 2 )=0, ???????????????????6 分 x 得 x=3 3. ???????????????????????8 分 当 0<x<3 3时,S?(x)<0,函数 S(x) 在(0,3 3)是减函数; 当 x>3 3时,S?(x) >0,函数 S(x) 在(3 3,+∞)是增函数. 所以,当 x=3 3时,S(x)取得极小值,且是最小值. 答:当饮料盒底面的宽为 3 3 cm 时,才能使它的用料最省.??????10 分

19. (本题满分 10 分) x2 解: (1) +y2=1. (说明:没有过程得 2 分) 4 ????????????4 分

?y=kx+1, ?2 (2)根据题意可设直线 l 的方程为 1,由?x 可得(4k2+1)x2+8kx=0. +y2=1. ? ?4
-8k -8k 1-4k2 解得 x=0 或 x= 2 ,代入直线 l 方程得 D 点坐标为( 2 , 2 ) .?6 分 4k +1 4k +1 4k +1 1+2k x 又直线 AC 的方程为 +y=1,直线 BD 的方程为 y= (x+2), 2 2-4k

?2+y=1, 联立? 1+2k ?y=2-4k(x+2).
x
?x=-4k, 解得? ?y=2k+1.

?????????8 分

1 因此 Q(-4k,2k+1) ,又 P(- ,0) , k 1 → → 所以OP?OQ=(- ,0) -4k,2k+1)=4. ( ? k → → 故OP?OQ为定值. ????????????10 分 20. (本题满分 12 分) 1 解: (1)当 a=-1 时,f(x)=-lnx+ x2+1. 2 1 则 f′(x)=- +x. ?????????????2 分 x 令 f′(x)>0,得 x<0 或 x>1. 所以函数函数 f(x)的单调增区间为(1,+∞).?????4 分 (2)因为函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数, x2+(a+1) x+a (x+1)( x+a) 所以 f′(x)== = ≥0 对 x∈(0,+∞)恒成立. ??6 分 x x 即 x+a≥0 对 x∈(0,+∞)恒成立. 所以 a≥0. ???????????????8 分 即实数 a 的取值范围是[0,+∞). (3)因为 a>0,所以函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数. 因为 x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,不妨设 x1>x2,所以 f(x1)>f(x2). 由| f(x1)-f(x2)| 2| x1-x2|恒成立,可得 f(x1)-f(x2)>2(x1-x2), 即 f(x1)-2x1>f(x2)-2x2 恒成立. 令 g(x)=f(x)-2x,则在(0,+∞)上是增函数. ?????????10 分 x2+(a-1) x+a a 所以 g′(x)= +x+(a+)-2= ≥0 对 x∈(0,+∞)恒成立. x x 即 x2+(a-1) x+a≥0 对 x∈(0,+∞)恒成立.

x2-x 即 a≥- 对 x∈(0,+∞)恒成立 x+1 x2-x 2 2 因为- =-(x+1+ -3)≤3-2 2(当且仅当 x+1= 即 x= 2-1 时取等 x+1 x+1 x+1 号) , 所以 a≥3-2 2. 所以实数 a 的最小值为 3-2 2. ??????????????12 分

南京市 2011-2012 学年度第一学期高二期末调研

答卷纸(理科数学)
2012.01
题号 得分 1-14 15 16 17 18 19 20 总分 核分人 复核人

得分 评卷人

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分.请把答案填写在 答卷纸相应位置上. ....... 2. 5. 8. 11. 14. 3. 6. 9. 12.

1. 4. 7. 10. 13.

二、解答题:本大题共 6 小题,共 58 分.请在答卷纸指定区域内作答,解答时应写出文字 ........ 说明、证明过程或演算步骤. 得分 评卷人 15. (本小题满分 8 分)

得分 评卷人

16. (本小题满分 8 分)

得分 评卷人 17.(本小题满分 10 分)

D1

E

C1

A1

B1 D

C B

A

得分 评卷人

18. (本小题满分 10 分)

得分 评卷人

19.(本小题满分 10 分)

得分 评卷人 期工程

20.(本小题满分 12 分)


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