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数学奥林匹克高中训练题15


2008 年第 6 期

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数学奥林匹克高中训练题 ( 15)
第 一 试
一, 选择题 ( 每小题 6 分 ,共 36 分) 5 2 1. 若集合 M = { x | x x + a <0,x ∈ 4 R , a 为某个给定的实数}与集合 log (2 - x) 2 1 N= x > 1 , x ∈R

2 ) 的交集为空集 ,则 a 的取值范围为 ( . 3 3 (A) a ≤(B) a ≥2 2 1 1 ( C) a ≤ (D) a ≥ 4 4 2. 若 k 是一个给定的实数 , 使得下列关 于 a , 的方程组 b a +3b - 1 =0 , 2 2 a + b - 4 a - 6 b + 13 - k = 0 ) 有实数解 ,则 k 的取值范围是 ( . (A) k ≥ (B) k ≥ 10 12 ≥ ( C) k 15 (D) k ∈R 3. 如图 1 ,在四棱 锥 P - ABCD 中 , AB ‖ CD , ∠ADC = 90° , PD ⊥平 面 ABCD . 若 PD = AD = AB = 1 , CD = 2 , 则 平 面 PAD 图1 与平面 PBC 所成的二 面角的平面角θ 的正 ) 弦值 sin θ等于 ( .
7 30 31 2 2 (A) (B) ( C) (D) 3 6 6 3 4. 记 [ x ] 表示不超过实数 x 的最大整 数 ,{ x }表示 x 的小数部分 . 则使得 2 007 x + 2 008{ x } = 2 009 的所有实数 x 的 个 数 是 ( . ) (A) 0 (B) 1 ( C) 2 (D) 3 5. 设 a1 = b1 = 1 , an + 1 = 2 bn + 1 , ) bn + 1 = 2 a n - 1 ( n = 1 ,2 , … . 若 d 是一个实常数 ,使得对于每一个正

整数 k ( k ≥ ) ,都有 2 a2 k + a2 k - 1 ≥d ( a2 k + 2 + a2 k + 1 ) , ) 则 d 的最大值等于 ( . 2 1 1 (A) (B) ( C) (D) 1 7 4 2 6. 在正方体的 8 个顶点 , 条棱的中 12 点 , 个侧面的中心点 , 个体的中心点 , 这 6 1 27 个 点 中 , 共 球 面 的 8 点 组 的 个 数 是 ( . ) (A) 4 462 (B) 4 584 ( C) 4 590 (D) 4 602 二, 填空题 ( 每小题 9 分 ,共 54 分) 1 + sin θ cos θ 1. 若 θ 为实数 , 且 < , 1 + cos θ 1 - sin θ θ θ 则 y = sin - cos 的取值范围是 2 2 ( 用关于 y 的不等式表示) . 2. 设 k 是复数 , 关于 x 的一元二次方程 1 2 x + kx = 0 的两个复数根为 x1 , 2 . 若 x 2 3 x1 + 2 x2 = k , 则 k = . 2 2 3. 设实常数 k 使得方程 2 x + 2 y - 5 xy + x + y + k = 0 在平面直角坐标系 xOy 中表 示两条相交的直线 , 交点为 P . 若点 A , 分 B 别在这两条直线上 , 且 PA = PB = 1 , 则 PA · = PB . 4. 如图 2 , 边长为 2 的正 △ABC 的内切 圆 ⊙I 及 边 BC 上 的 旁 切 圆 ⊙Ia 与 直 线 AC 围 成 的 曲 边 三 角 形绕边 BC 的垂直平 分线旋转一周所形成 的旋 转 体 的 体 积 为 图2 . 2 3 5. 函数 f ( x ) = (6 - x ) ( x - 1) 3 (1 ≤x ≤ ) 6 的最大值等于 .
6. 方程 2 x + 6 x + 12 x + 8 + x + ( x + 2)
3 3 2 3

x +1

2

( x + 2) 2 + 1 = 0 的所有两两不

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中 等 数 学

同的实数解的个数为 . ( 三 ,20 分) 设 m ( m ≥ ) 是正整数 , m 个 2 正数 a1 , a2 , …, am 满足条件 : (1 + n) a2n = na n - ( n + 1) a n + 1 ( n = 1 ,2 , …, m - 1) . 1 求证 : an < ( n = 1 ,2 , …, m ) .
n

( 四 ,20 分 ) 设 k 是一个给定的非零实 数 ,在平面直角坐标系 xOy 中 , 曲线 C1 的方
x y 程为 x ≠ y 且 = ,点 A ( k , k ) . k- x k+ y (1) 设 P 是 C1 上的任意一点 , 试求线段 A P 的中点 Q 的轨迹 C2 的方程 , 并指出曲线 C2 的类型和位置 ; (2) 求出 C1 , 2 在它们的交点 B 处的各 C 自切线之间的夹角θ( 锐角 ) ( 用反三角函数 式表示) . ( 五 ,20 分 ) 设 N = 0 ,1 ,2 , … , 给定一 个 k ∈N. 试求出所有的函数 f : N →N , 使得 对于每一个 n ∈N ,都有 f ( n) < f ( n + 1) ,及 f ( f ( n) ) = n + 2 k .
2 2

限多个 ? 其中 , m , 均为大于 100 且小于 n 170 的正整数 , 且 m - n ≥ ; a1 , a2 , …, am , 50 b1 , b2 , …, bn 均为两两不相等的小于 6 的正 有理数 ,且 a1 < a2 < … < am , b1 < b2 < … < bn ; x1 , x2 , …, x m , y1 , y2 , …, y n 均为大于 1 x x 且小 于 5 的 正 整 数 , 同 时 , a1 1 , a2 2 , …, x y y y 2 am m , b1 1 , b2 2 , …, bn n 两两不相等 , 且 a i + 1 2 2 2 2 2 - b1 , a i + 2 - b2 , …, a i + n - b n ( i = 0 ,1 , …, m - n) 也两两不相等 . 请说明理由 .

参考答案
第一试
, D. 一 1.
N=

=

1 > 1 , x ∈R 2- x x 1 < x < 2 , x ∈R .
x

由 M ∩N =

,得 x 2

2

5 x + a <0在 4

1 < x < 2 上无解 ,即 x -

5 x+ a≥ 在1< x 0 4

第 二 试
( 一 , 50 分 ) 如 图 3 , ⊙O 是正方形 ABCD 的外接圆 ,点 P 在劣弧
AB 上 ( P 不与 A , 重 B 合) , DP 分别交 AO , AB 于点 Q , , ⊙O 在点 P T 处的切线交 DA 的延长

图3

线于点 E , 劣弧 BC 的 中点为 F. (1) 问 : 何时 F , , 三点共线 ?请说明 T E 理由 .
PE ( 2) 求比值 的取值范围 . PQ

< 2 上恒成立 . 则必有 5 2 a ≥- ( x x) 4 5 2 25 ) + ( 1 < x < 2) . = - (x8 64 5 2 25 ) + ( 1 < x < 2) 故 f ( x) = - ( x 8 64 3 1 1 的取值范围为 ( , ) . 从而 , a ≥ . 2 4 4 2. A. 2 2 注意到 a + b - 4 a - 6 b + 13 - k = 0 ,即 ( a - 2) 2 + ( b - 3) 2 = k ( k ≥ ) . 0 于是 ,方程组有实数解

( 二 ,50 分) ( 1) 求证 : 存在无限多组正整 2 2 数 x , ,使得 x - 101 y = - 1. y ( 2) 已知 0. 301 02 < lg 2 < 0. 301 03 , 0. 322 20 < lg 2. 1 < 0. 322 21. 101 试求出数 ( 10 + 101 ) 的小数点前面 的 6 位数字及小数点后面的 131 位数字 ( 不 得使用计算器等工具) . ( 三 ,50 分 ) 试问 : 能否把 2 008 表示成 x x x y y y 1 + a 2 + …+ a m a1 b11 - b22 - … - bnn 2 m 的形式 ? 如果可以 , 这种表示方式是否有无

90°联结 BD . 由勾股定理得 BD = 2 , PB = .

) 3 , PC = 5 , BC = 2 ( 显然 , ∠PDB = 90°. 2 2 2 注意到 BC + PB = PC , 所以 , ∠PBC = 90°又 △PBC 在平面 PAD 上的投影恰好 . 是 △PAD ,因此 ,

Ζ k ≥ 且 k 大于或等于圆心 (2 ,3) 到直 0 线 a + 3 b - 1 = 0 的距离 . 3 Ζ k ≥ 2 + 3 × - 1 = 10 2 1 +3 Ζk≥ 10. 3. B. 由 AB ‖CD 且 ∠ADC = 90°得 ∠DAB = ,

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S △PAD cos θ= = S △PBC 1

2

1 = . 6 ×2 ×3
2

1 2 × 1 2

即 a2 k - 1 =

2× 4

k- 1

+1

3

(k ≥). 1



①+ ② 得
a2 k + a2 k - 1 =

故 sin θ=
4. C.

30 1 - cos θ = . 6

10 2 k- 1 (k ≥). × 4 + 1 3 3

1 . 3 1 1 从而 , an + 1 = 4 an - 1 . 3 3 1 1 故 a2 k = 4 a2 ( k - 1) = … 3 3 1 1 k- 1 k- 1 =4 a2 ×1 =4 33 3 8 2 k- 1 k =4 × = × , 4 3 3 2 1 k (k ≥). 即 a2 k = × + 4 1 ① 3 3 1 1 又 a2 k - 1 = 4 a2 ( k - 1) - 1 = … 3 3 1 1 k- 1 k- 1 =4 a2 ×1 - 1 =4 a1 3 3 1 2 k- 1 k- 1 =4 1= × 4 , 3 3

因为 x = [ x ] + { x } ,由题设得 2 007[ x ] + 4 015{ x } = 2 009. 2 009 - 2 007[ x ] 从而 ,{ x } = . 4 015 因为 0 ≤ x } < 1 ,所以 , { 2 009 - 2 007[ x ] 0≤ <1 4 015 ≤ Ζ 2 007[ x ] 2 009 , 2 009 - 2 007[ x ] < 4 015 2 Ζ - 2 006 < [ x ] ≤ 009 . 2 007 2 007 故 [ x ] = 0 或 1. 2 009 2 009 当 [ x ] = 0 时 ,{ x } = ,x = ; 4 015 4 015 2 4 017 当 [ x ] = 1 时 ,{ x } = ,x = . 4 015 4 015 综上 ,满足题设的 x 共有 2 个 . 5. B. 显然 , a1 = 1 , b1 = 1 , a2 = 2 b1 + 1 = 3 , an + 1 = 2 bn + 1 = 2(2 an - 1 - 1) + 1 = 4 an - 1 - 1 ( n ≥ ) . 2 令 d 为一个待定常数 ,则
an + 1 + d = 4 an - 1 + d - 1 = 4 an - 1 + d- 1 d- 1

4

.

再令 d =

4

,得 d = -

代入题中的不等式得 2 2 ( 5 × k - 1 + 1) ≥d · ( 5 × k + 1) , 4 4 3 3 k- 1 k 5× 4 +1 5 × +4 4 即 d ≤ = k k 5 × +1 4 4 ( 5 × + 1) 4 3 1 ( k = 1 ,2 , … . ) 1+ = k 4 5 × +1 4 3 1 又 lim = 0 ,故 d 的最大值为 . k k →+ ∞ × 4 5 4 +1 6. B. 将立方体放入空间直角坐标系中 , 以体 中心 为 原 点 , 8 个 顶 点 分 别 为 ( 2 , 2 , 2 ) , ( - 2 , - 2 , - 2) ,2 ,2 , - 2 ) ,2 , - 2 , - 2 ) , 其 ( ( 中 , ( a , b , c) 表示 ( a , b , c) 及其置换 . 由 z = 0 , = ± 这三个平面将 27 个点 z 2 分成三层 . 对每个共球面的八点组 ,其在任一 层上至多有 4 个点 ( 因每层上的 9 个点中无 5 点共圆) ,至少在某一层上至少有 3 个点 . 此 3 点的外接圆圆心 ( x , y ) 只可能在 ( 0 ,0) ; ( 1 ,1) , ( - 1 , - 1) , ( 1 , - 1) ; ( 0 ,2) , ( 0 , - 2) ; ( 0 ,1) , (0 , - 1) ; 1 1 0, , 0,; 2 2 ( 1 ,3) , ( 1 , - 3) , ( - 1 ,3) , ( - 1 , - 3) ; 1 1 1 1 1 1 , , ,, ,. 3 3 3 3 3 3 故八点共球面的球心只可能在 ( 1) ( 0 ,0 ,0) ; ( 2) ( 1 ,1 ,1) , ( - 1 , - 1 , - 1) , ( 1 ,1 , - 1) , (1 , - 1 , - 1) ; ( 3) ( 0 ,0 ,2) , ( 0 ,0 , - 2) ; ( 4) ( 0 ,0 ,1) , ( 0 ,0 , - 1) ; ( 5) ( 0 ,1 ,1) , ( 0 ,1 , - 1) , ( 0 , - 1 , - 1) ; 1 1 ( 6) 0 ,0 , , 0 ,0 , ; 2 2 ( 7 ) ( 1 ,1 ,3 ) , ( 1 ,1 , - 3 ) , ( 1 , - 1 ,3 ) , ( 1 , - 1 , - 3) , ( - 1 , - 1 ,3) , ( - 1 , - 1 , - 3) ; 1 1 1 1 1 1 ( 8) , , , ,,, 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 , ,, ,,. 3 3 3 3 3 3 下面记以点 X 为球心 , 为半径的球面 r

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中 等 数 学

为 S ( X , r) . 该球面上包含 27 个点中的点的 个数为| S ( X , r) | . ( 1) A ( 0 ,0 ,0) . | S ( A , 2 ) | = 6 , | S ( A , 2 2 ) | = 12 , S ( A ,2 3 ) | = 8 ; | ( 2) B ( 1 ,1 ,1) . | S ( B , 3 ) | = 8 ,| S ( B , 11 ) | = 12 ; ( 3) C ( 0 ,0 ,2) . | S ( C ,2) | = 5 ,| S ( C ,2 2 ) | = 8 , | S ( C ,2 3 ) | = | S ( C ,2 5 ) | = | S ( C ,2 6 ) | = 4 ; ( 4) D ( 0 ,0 ,1) . | S ( D ,1) | = 2 ,| S ( D , 5 ) | = 8 , | S ( D ,3) | = 9 , | S ( D , 13 ) | = | S ( D , 17 ) | = 4 ; ( 5) E ( 1 ,1 ,0) . | S ( E , 2 ) | = | S ( E , 10 ) | = 4 , | S ( E , 6 ) | = | S ( E , 14 ) | = 8 ; 1 ( 6) F 0 ,0 , . 2 1 3 S F, = S F, =1 , 2 2 S F , 17 = S F , 33 =4 , 2 2 5 S F, = 5 , S F , 41 =8; 2 2 ( 7) G ( 1 ,1 ,3) . | S ( G , 3 ) | = 4 ,| S ( G , 11 ) | = 8 , | S ( G , 19 ) | = | S ( G ,3 3 ) | = 5 ; 1 1 1 ( 8) H , , . 3 3 3 S H, 3 = 1 ,| S ( H , 3 ) | = 3 , 3 S H , 51 = | S ( H , 11 ) | = 6 , 3 S H ,5 3 = 7. 3 综上 ,共球面的八点组共有 ( C8n + 1) + 8 ( 1 + C8 ) + 6 + 6 ( 1 + C8 ) + 12 9 ( 1 + 1) + 6 + 24 12 = 4 584 ( 个) . 二 , ( - 2 ,0) ∪( 0 , 2 ) . 1. 1 + sin θ cos θ < 1 + cos θ 1 - sin θ

≠ ≠ ≠ Ζ cos θ 2 - 1 ,sin θ 1 , Ζ sin θ 1 , 2 1 - sin θ< cos θ+ cos θ cos θ> 0 Ζ 2 k - π < θ< 2 k + π ( k ∈Z) π π 2 2 π θ π Ζk π π < <k + . 4 2 4 θ π 而 y = 2sin , 2 4 π θ π π π k < <k , 2 2 4 故 y ∈( - 2 ,0) ∪( 0 , 2 ) . 3 3 2. 0 或 i 或 i. 2 2 1 2 因为 x2 + kx2 = 0 ,所以 , 2 1 3 2 x2 + kx2 x = 0. 2 2 1 3 2 从而 , x2 = - kx2 + x2 2 1 1 = - k - kx2 + + x2 2 2 1 k 2 = k + x2 . 2 2 3 代入 x1 + 2 x2 = k ,得 2 x1 + (2 k + 1) x2 - k = k ] - k + 2 k2 x2 = 2 k ] ( 2 kx2 - 3) k = 0 ] k = 0 或 x2 = 3 ( 当 k ≠ 时) . 0 2k 3 1 2 当 k ≠ 时 ,把 x2 = 代入 x2 + kx2 0 2k 2 9 3 1 = 0 ,得 2 + = 0. 2 2 4k 3 解得 k = ± i . 2 3 综上所述 , k = 0 或 ± i . 2 4 3. ± . 5 由题设知 ,关于 x , 的二次多项式 y 2 2 2 x + 2 y - 5 xy + x + y + k = 0 可以分解为两个一次因式的乘积 . 2 2 因 2 x + 2 y - 5 xy = ( - 2 x + y ) ( - x + 2 y ) , 2 2 所以 ,2 x + 2 y - 5 xy + x + y + k = ( - 2 x + y + a) ( - x + 2 y + b) , 其中 , a , 为待定的常数 . b 将上式展开后比较对应项的系数得 ab = k , - a - 2 b = 1 , b + 2 a = 1. 解得 a = 1 , b = - 1 , k = - 1.

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再由

- 2x + y +1 =0 , 得两直线斜率为 - x +2y - 1 =0 ,

上式等号成立 .
3

1 k1 = , k = 2 ,交点 P ( 1 ,1) . 2 2 设两直线的夹角为 θ(θ为锐角) . 则 k2 - k1 3 4 tan θ= = ,cos θ= . 1 + k2 k1 4 5 故 PA· = | PA | · PB | cos θ PB | 或 PA| · PB | cos (180° θ | | - ) 4 = ± PA| · PB | cos θ= ± . | | 5 3 4. π. 3 如图 4 , 内 切圆半径 r = ID = tan 30°= 3 , 3

故 f ( x ) max =
3 × 5 4 11 6. 1. =
x + x
3 3 6 3 3

2 × 3

2

18

5 11

12

11 × 5

1 100 .

将方程改写为
x + 1 + ( x + 2) +
2 3

( x + 2) 3 = x (1 +
3

( x + 2) 2 + 1 = 0.
3 3



令 f ( x) = x + x
2

x +1

2

x + 1) .

旁切 圆 半 径 ra = Ia D = tan 60°
= 3. 易知
KIa = DK =

3 , 2

图4

3 3 3 , GK = , AD = 3 , QD = , 2 2 2

1 3 3 3 , AQ = ,AK = . 2 2 2 1 2 由球缺体积公式 V 球缺 = πh ( 3 R - h ) 3 ( 其中 , R 为球半径 , h 为球缺的高) 得 V旋转体 DEH = V圆锥 AGH - V球缺 GDH - V球缺 FDE - V圆锥AFE
FQ = QE =

则式 ① 可改写为 f ( x + 2) = - f ( x ) . ② 显然 , f ( - x ) = - f ( x ) . ③ 由式 ②, 得 ③ f ( x + 2) = f ( - x ) . ④ ( x ) = x3 为增函数 , 且 h ( x ) = 1 显然 g 2 + x + 1 在 x ≥ 时为增函数 ,在 x ≤ 时为 0 0 ( x ) ≥ ( x ∈R) . 所以 , 当 x ≥ 减函数 ,且 h 2 0 时 , f ( x ) = g ( x ) h ( x ) 为增函数 ; 当 x ≤ 时 , 0 f ( x ) = g ( x ) h ( x ) 也为增函数 . 若 x2 < 0 < x1 ,则 f ( x2 ) < f ( 0) < f ( x1 ) . 因此 , f ( x ) 在 R 上是增函数 . 从而 ,由式 ④ 可得 x + 2 = - x ,即 x = - 1. 显然 , x = - 1 满足式 ① 故题给方程有 . 且仅有唯一的实根 x = - 1. 三, 将题给等式改写为
n an - an + 1 ( n = 1 ,2 , …, m - 1) . n +1 2 从而 , a n < an - an + 1 , ① an =
2

1 3 = π 3 2

2

3 3 1 - π 3 2 3 2

2

3 32

3 2 3 2

1 3 3 - 1π 1 π 3 3 3 3 2 2 3 2 π 9 - 5 - 1 - 1 = 3 . π = 3 8 8 8 24 3 6 3 3 × 3 5 5. 1 100. 4 11 ( f ( x ) ) 3 = ( 6 - x ) 9 ( x - 1) 2 1 1 9 2 = 9 ( 12 - 2 x ) ·2 ( 9 x - 9) 2 9 1 9 ( 12 - 2 x ) + 2 ( 9 x - 9) ≤9 2 11 2 × 9 11 11 11 11 9 × 2 5 5 2 18 = 9 =2 × 3 . 2 11 2 × 9 11

2



an 1 1 < . an + 1 an + 1 an



由式 ① 易知 an + 1 < an , 以及 0 < an + 1 <
a n ( 1 - a n ) ,即 0 < a n < 1. 因此 ,

0 < an + 1 < an < 1.


1
an + 1

由式 ③ ② 和 易知 1 < 则1<
11

-

1
an

. ,

1
an + 1

-

1
an

,1 <

1
an

-

1
an - 1

…… 1 1 1 1 1< ,1 < .
a3

a2 a2 a1 将以上 n 个不等式相加得 n<

当且仅当 12 - 2 x = 9 x - 9 , 即 x =

21 时, 11

1
an + 1

-

1
a1

.

34

中 等 数 学

从而 , an + 1 <

1
an + 1

> n+ .

1
a1

> n + 1 ,即

k

1
n +1

又 a1 < 1 ,故 an <
2 2

1
n

.

( 四 ,1)

Ζ y = kx = - k + k k- x k- x Ζ ( x - k) ( y + k) = - k2 ( x ≠ 且 x ≠ k) . 0 2 故曲线 C1 是在一条等轴双曲线 ( x - k ) ( y + k ) = - k2 上挖去点 ( 0 ,0) 和 ( 2 k , - 2 k ) 所得的曲线 . 设 PA 的中点为 Q ( X , Y) ,则 x+ k y+ k X= ,Y= . 2 2 从而 , x = 2 X - k , y = 2 Y - k . 2 代入方程 ( x - k ) ( y + k ) = - k 得 2 k k 3 ( X - k) Y = ( X ≠ 且 X ≠ k) . 2 2 2 因此 , Q 的轨迹 C2 的方程为 2 k k 3 ( x - k) y = ( x ≠ 且 x ≠ k) , 2 2 2 它的中心点为 ( k ,0 ) , 渐近线为 x = k 及 y = 0 ,即 C2 是在一条等轴双曲线
2 3 k 上挖去点 ( , ) 和 ( k , - ) 所得的曲线 . 2 2 2 2 ( 2) 联立方程组
k k

( x - k) y = -

1 k 解得 y = k ,代入式 ② x = . 得 3 4

故 C1 与 C2 的交点为 B ( 对 ( x - k) y = k
2

的导数得

Ζ x2 ( k + y) = y2 ( k - x) ( x ≠k 且 y ≠- k) Ζ ( x + y ) ( y - x ) k = ( x + y ) xy Ζ ( y - x) k = xy (由| x| ≠ y| ,得 x + y ≠ ) | 0 Ζ y ( k - x ) = kx
2

x y = k- x k+ y

- k 4 2 再对 ( x - k ) ( y + k ) = - k 的两边求关 dy 于 x 的导数得 ( x - k ) + y + k = 0 ,即 dx
k

dy dx

= B

y x- k
B

= -

3
k

=

4 . 9

dy dx

B

y+ k = x- k

= B

3
k

+k = - k

16 . 9

4

C1 与 C2 在交点 B 处的各自的切线的

k

2

, 2 ( x - k ) ( y + k ) = - k2 . y+ k ②÷① 得 = 4.
y

( x - k) y = -

k

2

① ②

k

4

,

k

3

).

2

的两边求关于 x

dy ( x - k ) + y = 0 ,即 dx

夹角 ( 锐角) 的正切值为 16 4 9 9 9× 12 108 tan θ= = = . 16 4 81 + 64 145 1+ × 9 9 108 故 θ= arctan . 145 五, 先证明下面的引理 . 引理 若函数 f : N →N 对于每一个 n ∈N 都有 f ( n) < f ( n + 1) ,则对于任何的 m , ∈ n N , m ≥n ,必有 f ( m ) - f ( n) ≥m - n ,且 f ( m ) ≥m . 引理的证明 : 因为 f ( n ) < f ( n + 1 ) , 且 f ( n) ,( n + 1) 都是非负整数 ,所以 , f f ( n + 1) - f ( n) ≥ , 1 f ( n + 2) - f ( n + 1) ≥ , 1 …… f ( m ) - f ( m - 1) ≥ 1. 将以上 m - n 个不等式相加得 f ( m ) - f ( n) ≥m - n . 上式中取 n = 0 得 f ( m ) ≥m + f ( 0) ≥m . 下面证明原题 . 由 f ( f ( n) ) = n + 2 k 及引理得 n + 2 k - f ( n) = f ( f ( n)) - f ( n) ≥ ( n) - n , f ≤n + k ( n ∈N) . 即 f ( n) ① 在式 ① ,把 n 换为 f ( n) 得 中 n + 2 k = f ( f ( n ) ) ≤f ( n) + k , 即 f ( n) ≥n + k ( n ∈N) . ② 由式 ①, 得 f ( n) = n + k ( n ∈N) . ② 显然 ,此函数满足题目要求 . 综上 ,所求的函数只有 f ( n) = n + k ( n ∈N) .

2008 年第 6 期

35

第 二 试
( 一 ,1 ) 如图 5 , 不 妨设正方形 ABCD 的 边长为 1 , 记 ∠ADP = θ( 0° θ< 45°. 则 ) < AT = ADtan θ = tan θ, ∠AOP = 2θ. 图5 设直线 FO 交 AD 于点 K. 则 1 1+ 2 K = A , KF = . 2 2 又 EP 切 ⊙O 于 P ,由弦切角定理得 ∠A PE = ∠ADP = θ. 因为 ∠DPA = ∠DBA = 45°所以 , , ∠PAE = 45° θ, ∠PAT = ∠PDB = 45° θ, + ) ∠A EP = 180° θ- (θ+ 45° = 135° 2θ . 由正弦定理得 A P = 2 OA sin θ= 2sin θ, sin ∠A PE sin θ AE = AP = 2sin θ ) sin ∠A EP sin (2θ+ 45° 2 2sin θ = . ) sin ( 2θ+ 45° 设直线 FT 交直线 DA 于点 G.

及 = , sin 2θ sin ( 45° θ + ) 2 sin 2θ 即 PQ = · ( . 于是 , 2 sin 45° θ + ) PE sin (45°θ + ) sin (45° θ + ) = 2sin θ ( ·2 PQ sin 45° 2θ + ) sin 2θ 2 sin ( 45° θ + ) = cos θ sin ( 45° 2θ · + ) 2 sin (45° θ + ) = cos θ[ sin (45° θ · θ+ cos (45° θ · θ] + ) cos + ) sin sin ( 45° θ + ) = sin θ cos ( 45° θ · + ) cos θ cos θ+ sin ( 45° θ + )
2 ( sin θ+ cos θ ) 2 = sin θ cos θ cos θ+ ( 45° θ tan + ) 1 1 + tan θ = · ) 2cos θ 1 + tan θ( 1 - tan θ 1 + tan θ ( 1 + tan θ 2 ) 1 = · 2 θ - tan θ+ 2tan θ+ 1 2cos 2 2tan θ 1 1+ = 2 - tan θ+ 2tan θ+ 1 2cos θ =

由 AT ‖KF 得
1 + AG 2

KG KF = ,即 AG AT

1 2 + 2 2 = . AG tan θ tan θ sin θ 故 AG = = . 1 + 2 - 2tan θ (1 + 2) cos θ- 2sin θ 下面证明 : AG > A E , 从而 G 与 E 不重 合 ,即 F , , 三点不可能共线 . T E AG > A E sin θ 2sin θ > ) sin ( 2θ+ 45° ( 1 + 2 ) cos θ- 2sin θ Ζ sin (2θ+ 45° > 2sin θ[ (1 + 2) cos θ- 2sin θ] ) ) (由 θ的取值知 sin θ, (2 + 45° > 0) sin θ 1 Ζ ( sin 2θ+ cos 2θ ) 2 > 2sin θ[ ( 1 + 2 ) cos θ- 2sin θ]

Ζ

2

均为大于 0 的严格递增函数 , 因此 ,

) 于变量θ( 0° θ < 45°的大于 0 的严格递增 < 函数 .

Ζ 2sin θ cos θ+ 1 - 2sin2 θ · 2 > 2 ( 1 + 2 ) sin θ cosθ- 4sin θ · Ζ 1 + 2sin2θ- 2 2sin θ cos θ> 0 ·

Ζ ( cos θ- 2sin θ 2 + sin2θ> 0. ) 上式显然成立 . 故 F , , 三点不可能共线 . T E ( 2) 由正弦定理得
sin ( 45° θ + ) sin ( 45° 2θ + ) sin ( 45° θ + ) PE = 2sin θ , sin ( 45° 2θ + )
PQ OP PE

=

AP

,

2 1 1+ . 2 - 1 + 2cot θ+ cot θ 2cos θ 1 2 显然 , 和1+ 2 - 1 + 2cot θ+ cot θ 2cos θ
PE 是关 PQ

所以 ,

PE 2 的值域是 ( ,2) . PQ 2
2n- 1

2n- 1 ( 二 ,1) 记 A 2 n - 1 = ( 101 - 10) ,

101 + 10) 则 A 2 n - 1 B 2 n - 1 = 1.

B2 n - 1 = (

( n = 1 ,2 , … . )



又记 B 2 n - 1 = x2 n - 1 + y2 n - 1

101 , 其中 ,

36

中 等 数 学
101 所以 , B 101 = ( 101 + 10 ) 的小数点前 面的 6 位数字是 402 020. 101 综上所述 ,数 ( 101 + 10) 的小数点前 面的 6 位数字是 402 020 , 而小数点后面的 131 个数字都是 0. 三, 满足题目要求的表示方式是存在的 , 且有无限多个 . 理由如下 . 为方便计 ,试取 x1 = x2 = …= xm = y1 = y2 = …= y n = 2 ,考虑和式 2 2 2 2 2 2 S n = 1 + 2 + …+ n - ( n + 1) - ( n + 2) - …- (2 n)
n n

x2 n - 1 ,2 n - 1 ∈N+ . 由二项式定理知 y A 2 n - 1 = - x2 n - 1 + y2 n - 1

101.

把 A 2 n - 1 与 B 2 n - 1 代入式 ① 得 2 2 x2 n - 1 - 101 y2 n - 1 = - 1. 因此 ,有无限多组正整数 X = x2 n - 1 , Y = ) y2 n - 1 ( n = 1 ,2 , … ,使得 2 2 X - 101 Y = - 1. ( 2) 由 ( 1) 得 B 2 n - 1 - A 2 n - 1 = 2 x2 n - 1 ,即 B 2 n - 1 = 2 xn + A2 n - 1 . 而 2 x n ∈Z , 所以 , A 2 n - 1 是 B 2 n - 1 的小数 部分 ,2 x2 n - 1 是 B 2 n - 1 的整数部分 . 故 1 1 1 1 < 101 - 10 = < = 21 10 + 10 20 101 + 10 101 1 - 101 101 ] 21 = < A 101 = ( 101 - 10) 21 101 1 - 101 < = 20 20 ] - 101 ( 1 + lg 211) = - 101lg 21 < lg A 101 < 101lg 20 = - 101 ( 1 + lg 2) ] - 1331543 21 = - 101 × 1322 21 1 < lg A 101 < - 101 × 1301 02 1 = - 1311403 02 ] 10 - 134 × 01456 79 < A 101 < 10 - 132 × 01596 98 . 10 10 因此 , A 101 的小数点后面的 131 位连续数
101 字全为 0. 从而 , B 101 = ( 101 + 10 ) 的小数 点后面的 131 位连续数字全是 0. 6 下面求 2 x101 被 10 除所得的余数 . 由二项式定理得 2 x101 101 2 99 96 48 5 = 2 (10 + C101 × × + …+ C101 × 101 10 101 × + 10 98 49 3 100 50 101 × C 101 × + C101 × 10 101 × ) 10 100 99 98 97 ≡ 101 × × × × × 48 × 5 + 2 101 10 5× × × 4 3 2 101 × × 100 99 (100 + 1) 49 × 3 + 10151 × (mod 106 ) 10 10 3× 2 ≡ × × × × 48 × 6 + 101 33 49 97 101 10 50 5 51 6 ×(100 + 1) × + 2 × 33 10 101 × (mod 10 ) 10 ≡ × 5 + 2 ×(100 + 1) 51 × (mod 106 ) 33 10 10 ≡ × 5 + 2 (1 + 100 × + 1002 C2 ) × (mod 106 ) 3 10 51 10 51 5 5 51 × ≡ × + 20 + 2 000× + 2 × × 50 (mod 106 ) 3 10 51 10 2 ≡ × 5 + 20 + 102 000 ( mod 106 ) 3 10 ≡ 000 + 20 + 102 000 ( mod 106 ) 300 ≡ 020 ( mod 106 ) . 402

=

k=1



2 2 [ k - ( n + k) ] =
n

k=1 n

∑k =1

n ( n + 2 k)
n

= - n

k =1


2

( n + 2 k) = - n



n +2
2

k =1

∑k)

= - n [ n + n ( n + 1) ] = - n ( 2 n + n ) 2 = - n ( 2 n + 1) . ①

注意到
2 2 2 2 007 = 3 × = 3 (222 + 1) = 3 (2 × + 1) 223 111 2 = 3 ( 2 × × + 1) , 3 37 2 2 则 × 007 = ( 3 × ) ( 2 × × + 1) 37 2 3 37 37 2 = 111 ×( 2 × + 1) . 111 ②

由式 ①, 得 ②
37 × 007 2 2 2 2 2 2 2 = 112 + 113 + …+ 222 - 1 - 2 - …- 111 . 2 2 2 112 113 222 故 2 007 = + + …+ 37 37 37 2 2 2 1 2 111 - …37 37 37 2 2 2 112 113 221 2 = + + …+ +6 37 37 37 2 2 2 1 2 110 2 - …- 3 37 37 37 2 2 2 112 113 221 = + + …+ 37 37 37 2 2 2 1 2 110 - …+ 27. 37 37 37 2 2 2 112 113 221 则 2 008 = + + …+ 37 37 37 2 2 2 1 2 110 - …+ 28 37 37 37 2 2 2 112 113 221 = + + …+ 37 37 37 2 2 2 1 2 110 - …+ 37 37 37 2 2 2 2i i -1 + 2 , 2 i +1 i +1 i = 2 t ,2( t + 1) , …,2( t + 27) 这里 t = 5 ,6 , …( t 的取法有无限多个 , 表示 式也有无限多个) .
2



2008 年第 6 期

37

竞赛之窗

2007 年新知杯上海市高中数学竞赛
说明 : 解答本试卷不得使用计算器 . 一, 填空题 ( 第 1~4 小题 ,每题 7 分 ,第 5 ~8 小题 ,每题 8 分 ,共 60 分) 1. 方程
x1 - 1 + 2 x2 - 4 + 3 x3 - 9

( 法则 f : P ( m , n) →P′ m , n ) ( m ≥ , n ≥ 0 ) . 若一段曲线在对应法则 f 下对应椭圆的 0

一段弧

x y ≥ , y ≥ ) ,则这段曲线 0 0 2 + 2 = 1( x a b

2

2

的方程是

.

1 ( x + x2 + x 3 ) 2 1 的实数解 ( x1 , x2 , x3 ) = = 2. 如 图 1 , 有 一 条 长度为 1 的线段 EF ,其 端点 E , 在边长为 3 F

6. 已知 f ( n ) = cos .

. 计算 : 4 f ( 1) f ( 3) …f ( 2 n - 1) = .
xn - 1 + xn - 2

π n

7. 已知数列{ x n } 满足
x1 = 0 , x 2 = 1 , x n =

2
2

(n≥). 3 .
2

的正方形 ABCD 的四边 上滑动 . 当 EF 绕 着 正 方形 的 四 边 滑 动 一 周 时 , EF 的中点 M 所形 成的轨迹的长是 . 3. 复数数列{ an }满足

则数列{ x n }的通项公式 x n =
图1

8. 已知 ⊙M : ( x - 1 ) + ( y - 3 ) = 4 , 过 x 轴上的点 P ( a ,0) 存在 ⊙M 的割线 PBA ,使

a1 = 0 , a n = a n - 1 + i ( n ≥ ) . 2
2

则它的前 2 007 项的和为 . 4. 已知 α - l - β 是大小为 45° 的二面 β 角 , C 为二面角内一定点 , 且到半平面 α, β 的距离分别为 2 , , A , 分别是半平面α, 6 B 内 的 动 点 . 则 △ABC 周 长 的 最 小 值 为 . 5. 已知平面直角坐标系中点与点的对应 正项 ( ai i ) 共有 110 + 28 × = 166 个 , 而 2 负项 ( - b ) 共有 110 个 , a1 , a2 , …, am , b1 , b2 , …, bn 均为两两不等的小于 6 的正有理
y i i x

得 PB = PA . 则点 P 的横坐标 a 的取值范围 是 . 二, 解答题 ( 共 60 分) 9. (14 分) 对任意正整数 n ,用 S ( n ) 表示 1 1 1 满足不定方程 + = 的正整数对 ( x , y )
x y n

1 的正整数对有 2 (6 ,3) , ( 4 ,4) , ( 3 ,6) 三个 , 则 S ( 2 ) = 3 ) . 求出 使得 S ( n) = 2 007 的所有正整数 n . 10. ( 14 分) 已知关于 x 的方程 3 2 x sin θ- ( sin θ+ 2) x + 6 x - 4 = 0

的个数 ( 例如 ,满足

1

x

+

1

y

=

数 ( 注意到
2

2 i ≠i - 1 , 因为 i 为偶数 ; 又 2 i +1 i +1
2 2 2

2

2 i 与 i + 1 互质 , i - 1 与 i + 1 互质 , 也是
2 因为 i 为偶数 ; 另外 , i + 1 > 100 , 因为 i ≥ x x x y y y 10) ,从而 , a11 , a22 , …, amm , b11 , b22 , …, bnn 两

两不相等 . 显然 m = 166 , n = 110 满足 "大于 100 且小于 170 , m - n ≥ "另外 , 也容易验 50 . 2 2 2 证 :以上的表示方式都满足 a i + 1 - b1 , a i + 2 " 2 2 2 b2 , …, a i + n - b n ( i = 0 ,1 , …, m - n ) 也 两 两 不相等" . 综上所述 , 以上所构造的 2 008 的表示 式完全符合题目要求 ,且表示式有无限多个 . ( 吴伟朝 广州大学数学与信息科学学 院 ,510006)

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