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2004年第21届物理奥赛复赛试题


第 21 届全国中学生物理竞赛复赛题试卷
题号 得分 阅卷人 本卷共七题,满分 140 分. 一、 (20 分 )薄膜材料气密性能的优劣常用其透气系数来加以评 判.对于均匀薄膜材料,在一定温度下,某种气体通过薄膜渗透 一 二 三 四 五 六 七 总分

E P0 V0

I K3 C? G

?PSt 过的气体

分子数 N ? k ,其中 t 为渗透持续时间,S 为薄膜 d 的面积,d 为薄膜的厚度, ?P 为薄膜两侧气体的压强差.k 称为 C
该薄膜材料在该温度下对该气体的透气系数.透气系数愈小,材 料的气密性能愈好.
F

P1 V 1

K2 图为测定薄膜材料对空气的透气系数的一种实验装置示意 K1 H 图.EFGI 为渗透室,U 形管左管上端与渗透室相通,右管上端 封闭;U 形管内横截面积 A=0.150cm2.实验中,首先测得薄膜 的厚度 d =0.66mm,再将薄膜固定于图中 CC ? 处,从而把渗透室 分为上下两部分,上面部分的容积 V0 ? 25.00cm 3 ,下面部分连 同 U 形管左管水面以上部分的总容积为 V1, 薄膜能够透气的面积 S =1.00cm2.打开开关 K1、K2 与大气相通,大气的压强 P1=1.00atm,此时 U 形管右管中气柱长 度 H ? 20.00cm , V1 ? 5.00cm 3 .关闭 K1、K2 后,打开开关 K3,对渗透室上部分迅速充气至气 体压强 P0 ? 2.00atm ,关闭 K3 并开始计时.两小时后, U 形管左管中的水面高度下降了 ?H ? 2.00cm .实验过程中,始终保持温度为 0 ? C .求该薄膜材料在 0 ? C 时对空气的透气系 数. (本实验中由于薄膜两侧的压强差在实验过程中不能保持恒定,在压强差变化不太大的情况 下,可用计时开始时的压强差和计时结束时的压强差的平均值 ?P 来代替公式中的 ?P .普适气 体常量 R = 8.31Jmol-1K-1,1.00atm = 1.013×105Pa) .

二、(20 分) 两颗人造卫星绕地球沿同一椭圆轨道同向运动,它们通过轨道上同一点的时间相差 半个周期.已知轨道近地点离地心的距离是地球半径 R 的 2 倍,卫星通过近地点时的速度 v ? 3GM 4R ,式中 M 为地球质量,G 为引力常量.卫星上装有同样的角度测量仪,可测出卫 星与任意两点的两条连线之间的夹角.试设计一种测量方案,利用这两个测量仪测定太空中某星 体与地心在某时刻的距离. (最后结果要求用测得量和地球半径 R 表示) 三、(15 分)?子在相对自身静止的惯性参考系中的平均寿命 ? 0 ? 2.0 ? 10?6 s .宇宙射线与大气在 高空某处发生核反应产生一批?子, 以 v = 0.99c 的速度 (c 为真空中的光速) 向下运动并衰变. 根 据放射性衰变定律,相对给定惯性参考系,若 t = 0 时刻的粒子数为 N(0), t 时刻剩余的粒子数为 N(t),则有 N ?t ? ? N ?0?e ?t ? ,式中?为相对该惯性系粒子的平均寿命.若能到达地面的?子数为原 来的 5%,试估算?子产生处相对于地面的高度 h.不考虑重力和地磁场对?子运动的影响.

1

四、(20 分)目前,大功率半导体激光器的主要结构形式是由许多发光区等距离地排列在一条直线 上的长条状,通常称为激光二极管条.但这样的半导体激光器发出的是很多束发散光束,光能分 布很不集中,不利于传输和应用.为了解决这个问题,需要根据具体应用的要求,对光束进行必 需的变换(或称整形) .如果能把一个半导体激光二极管条发出的光变换成一束很细的平行光束, 对半导体激光的传输和应用将是非常有意义的.为此,有人提出了先把多束发散光会聚到一点, 再变换为平行光的方案,其基本原理可通过如下所述的简化了的情况来说明. 如图,S1、S2、S3 是等距离(h)地 排列在一直线上的三个点光源,各自向 垂直于它们的连线的同一方向发出半顶 用三个完全相同的、 焦距为 f = 1.50h、 半 径为 r =0.75 h 的圆形薄凸透镜, 经加工、 组装成一个三者在同一平面内的组合透 镜,使三束光都能全部投射到这个组合透镜上,且经透镜折射后的光线能全部会聚于 z 轴(以 S2 为起点,垂直于三个点光源连线,与光束中心线方向相同的射线)上距离 S2 为 L = 12.0 h 处的 P 点. (加工时可对透镜进行外形的改变,但不能改变透镜焦距. ) 1.求出组合透镜中每个透镜光心的位置. 2.说明对三个透镜应如何加工和组装,并求出有关数据. h 角为? =arctan ?1 4? 的圆锥形光束.请使 h S1 S2 S3

?? ?? ??
L P z

五、(20 分)如图所示,接地的空心导体球壳内半径为 R,在空腔内一直径上的 P1 和 P2 处,放置 电量分别为 q1 和 q2 的点电荷,q1=q2=q,两点电荷到球心的距离均为 a.由静电感应与静电屏 蔽可知: 导体空腔内表面将出现感应电荷分布, 感应电荷电量等于-2q. 空腔内部的电场是由 q1、 q2 和两者在空腔内表面上的感应电荷共同产生的.由于我们尚不知道这些感应电荷是怎样分布 的,所以很难用场强叠加原理直接求得腔内的电势或场强.但理论上可以证明,感应电荷对腔内 电场的贡献,可用假想的位于腔外的(等效)点电荷来代替(在本题中假想(等效)点电荷应为两 个) ,只要假想的(等效)点电荷的位置和电量能满足这样的条件,即:设想将整个导体壳去掉, ? 与 q1 共同产生的电场在原空腔内表面 由 q1 在原空腔内表面的感应电荷的假想(等效)点电荷 q1 所在位置处各点的电势皆为 0;由 q2 在原空腔内表面的感应电荷 A ? 与 q2 共同产生的电场在原空腔内表面所 的假想 (等效) 点电荷 q2 在位置处各点的电势皆为 0.这样确定的假想电荷叫做感应电荷 r P 的等效电荷,而且这样确定的等效电荷是唯一的.等效电荷取代 2 ?? P 1 a O a ? 、 q2 ? 和 q1、q2 来计算原来导体存在 感应电荷后,可用等效电荷 q1 R 时空腔内部任意点的电势或场强.

? 、 q2 ? 的位置及电量. 1.试根据上述条件,确定假想等效电荷 q1
2.求空腔内部任意点 A 的电势 UA.已知 A 点到球心 O 的距离为 r, OA 与 OP1 的夹角为??. ?
2

六、(20 分)如图所示,三个质量都是 m 的刚性小球 A、B、C 位 于光滑的水平桌面上(图中纸面) ,A、B 之间,B、C 之间分别 用刚性轻杆相连,杆与 A、B、C 的各连接处皆为“铰链式”的 (不能对小球产生垂直于杆方向的作用力) .已知杆 AB 与 BC 的 夹角为??? ,??< ?/2.DE 为固定在桌面上一块挡板,它与 AB 连线方向垂直.现令 A、B、C 一起以共同的速度 v 沿平行于 AB 连线方向向 DE 运动,已知在 C 与挡板碰撞过程中 C 与挡板之间 无摩擦力作用,求碰撞时当 C 沿垂直于 DE 方向的速度由 v 变为 0 这一极短时间内挡板对 C 的冲量的大小. 七、 (25 分)如图所示,有二平行 金属导轨,相距 l,位于同一水平 面内(图中纸面) ,处在磁感应强 度为 B 的匀强磁场中,磁场方向 竖直向下(垂直纸面向里) .质量 均为 m 的两金属杆 ab 和 cd 放在 导轨上,与导轨垂直.初始时刻, O d b y c y

D B A
A

????

A

C
A A

E

a v0

x

金属杆 ab 和 cd 分别位于 x = x0 和 x = 0 处.假设导轨及金属杆的电阻都为零,由两金属杆与导轨 构成的回路的自感系数为 L.今对金属杆 ab 施以沿导轨向右的瞬时冲量,使它获得初速 v0 .设 导轨足够长, x0 也足够大,在运动过程中,两金属杆之间距离的变化远小于两金属杆的初始间距

x0 , 因而可以认为在杆运动过程中由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数 L 是恒定不变的. 杆 与导轨之间摩擦可不计. 求任意时刻两杆的位置 xab 和 xcd 以及由两杆和导轨构成的回路中的电流 i 三者各自随时间 t 的变化关系.

3

4


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