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数列综合测试题

时间:2012-05-22


宝泉岭高级中学 2010 级 2013 界 高二数学数列综合测试题 数列综合测试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.) a c 1.已知 a,b,c 成等比数列,a,m,b 和 b,n,c 分别成两个等差数列,则 + 等于 ( ) m n A.4 B.3 C.2 D.1 2.已知{an

}是等差数列,a4=15,S5=55,则过点 P(3,a3),Q(4,a4)的直线斜率为 ( ) 1 1 A.4 B. C.-4 D.- 4 4 S6 S9 3.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 =3,则 = ( ) S3 S6 7 8 A.2 B. C. D.3 3 3 1 4.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=an-1,则 a2 等于 ( ) 5 5 5 5 25 A.- B. C. D. 4 16 16 4 5.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 4a1,2a2,a3 成等差数列,若 a1=1,则 S4=( ) A.7 B.8 C.15 D.16 n(n-1)·…·2·1 6.若数列{an}的通项公式为 an= ,则{an}为 ( ) 10n A.递增数列 B.递减数列 C.从某项后为递减 D.从某项后为递增 Sn 7.等差数列{an}的通项公式是 an=1-2n,其前 n 项和为 Sn,则数列{ }的前 11 项和为( ) n A.-45 B.-50 C.-55 D.-66 8.设数列{a n }的前 n 项和为 S n , 已知 a1 = 5 ,且 nSn +1 = 2n ( n + 1) + ( n + 1) Sn ( n∈N*), 则 过点 P(n, a n ) 和 Q(n+2, a n + 2 )( n∈N*)的直线的一个方向向量的坐标可以是 A. (2, ( )

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填写在题中的横线上) ?an,当an为偶数时 ? 13.已知数列{a }满足:a =m(m 为正整数),a + =? 2 ,若 a =1,则 m
n 1 n 1

?3an+1,当an为奇数时 ?

6

所有可能的取值为________. 1 1 14.已知数列{an}满足 a1= ,an=an-1+ 2 (n≥2),则{an}的通项公式为________. 2 n -1 15.已知等差数列{an}的首项 a1 及公差 d 都是整数,前 n 项和为 Sn(n∈N*).若 a1>1,a4>3, S3≤9,则通项公式 an=________. 16.下面给出一个“直角三角形数阵”: 1 4 1 1 , 2 4 3 3 3 , , 4 8 16 … 满足每一列的数成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,且每一行的公比相等, 记第 i 行第 j 列的数为 aij(i≥j,i,j∈N*),则 a83=________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分)已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且第二项,第五项,第十 四项分别是等比数列{bn}的第二项,第三项,第四项. ⑴求数列{an}与{bn}的通项公式. ⑵设数列{cn}对任意正整数 n,均有 的值.

c c1 c2 c3 + + + …… + n = an +1 ,求 c1+c2+c3+…+c2010 b1 b2 b3 bn

2 a9 9.在等比数列{an}中,若 a3a5a7a9a11=32,则 的值为 a11 A.4 B.2 C.-2 D.-4

1 ) 2

B.(-1, -1)

C.( ?

1 , -1)? 2

D. ? (

1 , ?2 ) 2
( )

An 7n+45 an 10.已知两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 An 和 Bn,且 = ,则使得 为整 Bn n+3 bn 数的正整数 n 的个数是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 11.已知{an}是递增数列,对任意的 n∈N*,都有 an=n2+λn 恒成立,则 λ 的取值范围是 ( ) 7 A.(- ,+∞) B.(0,+∞) 2 C.(-2,+∞) D.(-3,+∞) 1 1 ) 12.已知数列{an}满足 an+1= + an-a2,且 a1= ,则该数列的前 2 008 项的和等于 ( n 2 2 A.1 506 B.3 012 C.1 004 D.2 008

18.(本小题满分 12 分)已知数列{an}中,其前 n 项和为 Sn,且 n,an,Sn 成等差数列(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)求 Sn>57 时 n 的取值范围.

19.(本小题满分 12 分)已知二次函数 f(x)=x2-ax+a(a≠0),不等式 f(x)≤0 的解集有且只有 一个元素,设数列{an}的前 n 项和为 Sn=f(n). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设各项均不为 0 的数列{cn}中,满足 ci·ci+1<0 的正整数 i 的个数称作数列{cn}的变号数,令 a cn=1- (n∈N*),求数列{cn}的变号数. an

Sn 1 11 点(n, )在直线 y= x+ 上. 数列{bn} 21. (本小题满分 12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, n 2 2 满足 bn+2-2bn+1+bn=0(n∈N*),b3=11,且其前 9 项和为 153. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; 3 k (2)设 cn= ,数列{cn}的前 n 项和为 Tn,求使不等式 Tn> 对一切 n∈N*都成 57 (2an-11)(2bn-1) 立的最大正整数 k 的值.

1 20.(本小题满分 12 分)已知数列{an}满足:a1=1,a2= ,且[3+(-1)n]an+2-2an+2[(-1)n 2 * -1]=0,n∈N . (1)求 a3,a4,a5,a6 的值及数列{an}的通项公式; (2)设 bn=a2n-1·a2n,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

22.(本小题满分 14 分)在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N). 1 (1)试判断数列{ }是否为等差数列; an 1 (2)若 λan+ ≥λ,对任意 n≥2 的整数恒成立,求实数 λ 的取值范围. a n+ 1

数列综合测试题参考答案 数列综合测试题参考答案
一、选择题 CABDC DDDBD DA 二、填空题 2n+1 5 1 13、4,5,32 14、an= - 15、n+1 16、 4 2n(n+1) 2 三、解答题 - 17.⑴由题意得(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2(d>0) 解得 d=2,∴an=2n-1,bn=3n 1. c ?3(n = 1) ⑵当 n=1 时,c1=3 当 n≥2 时,∵ n = an +1 ? an , ∴ cn = ? 故 cn = 2 ? 3n ?1 n ?1 bn ?2 ? 3 (n ≥ 2)

∴ c1 + c2 + … + c2004 = 3 + 2 × 3 + 2 × 32 + … + 2 × 32003 = 32004
18.解:(1)∵n,an,Sn 成等差数列, ∴Sn=2an-n,Sn-1=2an-1-(n-1) (n≥2), ∴an=Sn-Sn-1=2an-2an-1-1 (n≥2), ∴an=2an-1+1 (n≥2), 两边加 1 得 an+1=2(an-1+1) (n≥2), an+1 =2 (n≥2). ∴ an-1+1 又由 Sn=2an-n 得 a1=1. ∴数列{an+1}是首项为 2,公比为 2 的等比数列, - ∴an+1=2·2n 1,即数列{an}的通项公式为 an=2n-1. + (2)由(1)知,Sn=2an-n=2n 1-2-n, + n+ 2 ∴Sn+1-Sn=2 -2-(n+1)-(2n 1-2-n) + =2n 1-1>0, ∴Sn+1>Sn,{Sn}为递增数列. + 由题设,Sn>57,即 2n 1-n>59. 6 又当 n=5 时,2 -5=59,∴n>5. ∴当 Sn>57 时,n 的取值范围为 n≥6(n∈N*). 19.解:(1)由于不等式 f(x)≤0 的解集有且只有一个元素, ∴?=a2-4a=0?a=4, 故 f(x)=x2-4x+4. 由题 Sn=n2-4n+4=(n-2)2 则 n=1 时,a1=S1=1; n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(n-2)2-(n-3)2=2n-5, ? n=1, ?1 故 an=? ?2n-5 n≥2. ? n=1 ?-3 ? (2)由题可得,cn=? . 4 ?1-2n-5 n≥2 ? 由 c1=-3,c2=5,c3=-3, 所以 i=1,i=2 都满足 ci·ci+1<0,

1 当 n≥3 时,cn+1>cn,且 c4=- , 3 4 同时 1- >0?n≥5, 2n-5 可知 i=4 满足 ci、ci+1<0,n≥5 时,均有 cncn+1>0. ∴满足 cici+1<0 的正整数 i=1,2,4,故数列{cn}的变号数为 3. 1 1 20.解:(1)经计算 a3=3,a4= ,a5=5,a6= . 4 8 当 n 为奇数时,an+2=an+2,即数列{an}的奇数项成等差数列, ∴a2n-1=a1+(n-1)·2=2n-1. 1 当 n 为偶数时,an+2= an,即数列{an}的偶数项成等比数列, 2 1 n- 1 1 n ∴a2n=a2·( ) =( ) . 2 2

?n (n为奇数), ? 因此,数列{an}的通项公式为 an=? 1 n ?(2)2 (n为偶数). ?
1 (2)∵bn=(2n-1)·( )n, 2 1 12 1 1 - 1 ∴Sn=1· +3·( ) +5·( )3+…+(2n-3)·( )n 1+(2n-1)·( )n, 2 2 2 2 2 1 12 13 14 1n 1 n+ 1 S =1·( ) +3·( ) +5·( ) +…+(2n-3)·( ) +(2n-1)·( ) , 2 2 2 2 2 2 n ①②两式相减, 1 1 1 1 1 1 + 得 Sn=1· +2[( )2+( )3+…+( )n]-(2n-1)·( )n 1 2 2 2 2 2 2 1 1 n- 1 ·[1-( ) ] 2 1 2 1 + = + -(2n-1)·( )n 1 2 1 2 1- 2 1 + 3 = -(2n+3)·( )n 1. 2 2 1 ∴Sn=3-(2n+3)·( )n. 2 Sn 1 11 21.解:(1)由已知得 = n+ , 2 n 2 1 2 11 ∴Sn= n + n. 2 2 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1 11 1 11 1 = n2+ n- (n-1)2- (n-1)=n+5; 2 2 2 2 当 n=1 时,a1=S1=6 也符合上式. ∴an=n+5. 由 bn+2-2bn+1+bn=0(n∈N*)知{bn}是等差数列, 9(b1+b9) 由{bn}的前 9 项和为 153,可得 =9b5=153, 2

① ②

得 b5=17,又 b3=11, b5-b3 ∴{bn}的公差 d= =3,b3=b1+2d, 2 ∴b1=5, ∴bn=3n+2. 3 1 1 1 (2)cn= = ( - ), 2 2n-1 2n+1 (2n-1)(6n+3) 1 1 1 1 1 1 - ) ∴Tn= (1- + - +…+ 2 3 3 5 2n-1 2n+1 1 1 = (1- ). 2 2n+1 ∵n 增大,Tn 增大, ∴{Tn}是递增数列. 1 ∴Tn≥T1= . 3 k 1 k Tn> 对一切 n∈N*都成立,只要 T1= > , 57 3 57 ∴k<19,则 kmax=18. 1 1 22.解:(1)∵a1≠0,∴an≠0,∴由已知可得 - =3(n≥2), a n a n- 1 1 故数列{ }是等差数列. an 1 1 1 1 (2)将 an= = 代入 λan+ ≥λ 并整理得 λ(1- )≤3n+1, bn 3n-2 a n+ 1 3n-2 (3n+1)(3n-2) ∴λ≤ ,原命题等价于该式对任意 n≥2 的整数恒成立. 3n-3 (3n+1)(3n-2) (3n+1)(3n-4) 设 Cn= ,则 Cn+1-Cn= >0,故 Cn+1>Cn, 3n-3 3n(n-1) 28 ∴Cn 的最小值为 C2= , 3 28 ∴λ 的取值范围是(-∞, ]. 3


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