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2013年新课标 2012年高考题 数学 函数的性质 单调性、奇偶性、周期性


【高考再现】
热点一 函数的单调性
1.(2012 年高考(安徽文) 若函数 f ( x) ?| 2 x ? a | 的单调递 增区间是 [3, ??) ,则 a ? _____ )

【方法总结】
1.对于给出具体解析式的函数,证明其在某区间上的单调性有两种方法: (1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解

. (2)可导函数则可以利用导数解之.但是,对于抽象函数单调性的证明,一般采 用定义法进行. 2.求函数的单调区间与确定单调性的方法一致. (1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区 间.(2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义确定单调区间.(3)图象法:如 果 f(x)是以图象形式给出的,或者 f(x)的图象易作出,可由图象的直观性写出它 的单调区间.(4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间. 3.函数单调性的应用:f(x)在定义域上(或某一单调区间上)具有单调性,则 f(x1)<f(x2) ? f(x1)-f(x2)<0,若函数是增函数,则 f(x1)<f(x2) ? x1<x2,函数不等 式(或方程)的求解, 总是想方设法去掉抽象函数的符号, 化为一般不等式(或方程) 求解,但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行.
[来源:Zxxk.Com]

2.(2012 年高考(天津文) 下列函数中,既是偶函数,又在区间 (1, 2) 内是增函数的为( )



A. y ? cos 2 x

B. y ? log 2 | x |

C. y ?

e x ? e? x 2

D. y ? x ? 1
3

3.(2012 年高考(陕西文) 下列函数中,既是奇函数又是增函数的为 )


[来源:学科网]



A. y ? x ? 1 【答案】D

B. y ? ? x2

C. y ?

1 x

D. y ? x | x |

【解析】该题主要考察函数的奇偶性和单调性,理解和掌握基本函数的性质是关键.A 是增 函数,不是奇函数;B 和 C 都不是定义域内的增函数,排除,只有 D 正确,因此选 D.

热点二 函数的奇偶性
4.(2012 年高考(重庆文) 函数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? 4) 为偶函数,则实数 a ? ________ )

【答案】4 【解析】本题考查函数 奇偶性的应用,若已知一个函数为偶函数,则应有其定义域关于原点

? 成 对 称 , 且 对 定 义 域 内 的 一 切 a 都 有 f ( a) ? f ( a) 立 . 由 函 数 f ( x ) 为 偶 函 数 得 f (a) ? f (?a) 即 (a ? a)(a ? 4) ? (?a ? a)(?a ? 4) ? a ? 4 .
5.(2012 年高考(上海文) 已知 y ? f (x) 是奇函数. 若 g ( x) ? f ( x) ? 2 且 g (1) ? 1 .则 )

g (?1) ? _______ .

6.(2012 年高考(广东文) (函数)下列函数为偶函数的是 )

( D. y ? ln x2 ? 1



A. y ? sin x

B. y ? x3

C. y ? e x

7.(2012 年高考(课标文) 设函数 f ( x ) )

=

(x +1) 2 ? sin x 的最大值为 M ,最小值为 m ,则 x2 ? 1

M ? m = ____
【答案】 2 【解析】本题主要考查利用函数奇偶性、最值及转换与化归思想,是难题.

f ( x) ?

2 x ? sin x ( x ? 1)2 ? sin x 2 x ? sin x ,? g (? x) ? ? g ( x),? g ( x) 为 ? 1? , 设 g ( x) ? 2 2 x2 ? 1 x ?1 x ?1




m


x


















m


x





g(

x) a ?

g ( ? x)m ?i

0 ?, M n

?m

[ g?

(x

) a ?

1

g] ?

x

[? m

( ? n) g i

【方法总结】

热点三 函数的周期性
8.(2012 年高考(浙江文) 设函数 f (x) 是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数 ,当 x∈[0,1]时, )

3 f (x) =x +1 ,则 f ( ) =_______. 2 3 【答案】 2
【解析】本题主要考查了函数的周期性和奇偶性.

3 3 1 1 1 3 f ( ) ? f ( ? 2) ? f (? ) ? f ( ) ? ? 1 ? . 2 2 2 2 2 2
1] 9.(2012 年高考(江苏) 设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间 [?1, 上, )

? ? ax ? 1, 1 ≤ x ? 0 , ? ?1? ?3? f ( x ) ? ? bx ? 2 b 其中 a , ? R .若 f ? ? ? f ? ? ,则 a ? 3b 的值为____. 0 ?2? ?2? ? x ? 1 , ≤ x ≤ 1, ?

【方法总结】
求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法,形如 y=Asin(ωx+φ), 2π 用公式 T=|ω|计算.递推法:若 f(x+a)=-f(x),则 f(x+2a)=f[(x+a)+a]=-f(x +a)=f(x),所以周期 T=2a.换元法:若 f(x+a)=f(x-a),令 x-a=t,x=t+a, 则 f(t)=f(t+2a),所以周期 T=2a.

热点四 函数性质的综合应用
10.(2012 年高考(重庆理) 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,且以 2 为周期,则“ f ( x ) 为 )

[0,1]上的增函数”是“ f ( x ) 为[3,4]上的减函数”的( A.既不充分也不必要的条件 C.必要而不充分的条件



B.充分而不必要的条件 D.充要条件

11. ( 2012 年 高 考 ( 山 东 理 ) 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x ) 满 足 f ( x ? 6)? f ( x ) 当 ) .

?3 ? x ? ?1
时, f ( x) ? ?( x ? 2)2 ,当 ?1 ? x ? 3 时, f ( x) ? x . 则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ??? f (2012) ? A. 335 B.338 C.1678 D.2012

【方法总结】
在解决函数性质有关的问题中,如果结合函数的性质画出函数的简图,根据 简图进一步研究函数的性质, 就可以把抽象问题变的直观形象、复杂问题变得简 单明了,对问题的解决有很大的帮助. (1)一般的解题步骤:利用函数的周期性把大数变小或小数变大,然后利用函

数的奇偶性调整正负号,最后利用函数的单调性判断大小; (2)画函数草图的步骤:由已知条件确定特殊点的位置,然后利用单调性确定 一段区间的图象,再 利用奇偶性确定对称区间的图象,最后利用周期性确定整 个定义域内的图象.

【考点剖析】

二.命题方向
1.利用函数的单调性求单调区间、比较大小、解不等式、求变量的取值是历年高 考考查的热点. 2.函数的奇偶性是高考考查的热点. 3.函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、 周期性求函数值及求参数值等问题是重点,也是难点. 3.题型以选择题和填空题为主,函数性质其他知识点交汇命题.

三.规律总结
一条规律 奇、偶函数的定义域关于原点对称. 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件.

三种方法 判断函数的奇偶性,一般有三种方法:(1)定义法;(2)图象法;(3)性质法. 三条结论 (1)若对于 R 上的任意的 x 都有 f(2a-x)=f(x)或 f(-x)=f(2a+x),则 y=f(x)的图 象关于直线 x=a 对称. (2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a-x)=f(x),且 f(2b-x)=f(x)(其中 a<b),则:y =f(x)是以 2(b-a)为周期的周期函数. (3)若 f(x+a)=-f(x)或 f(x+a)= 1 1 或 f(x+a)=- , 那么函数 f(x)是周期函数, f?x? f?x?

其中一个周期为 T=2a; (3)若 f(x+a)=f(x+b)(a≠b),那么函数 f(x)是周期函数,其中一个周期为 T=2|a -b|.

【基础练习】
1. (课本习题改编)下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是 A.y=|x| 1 C.y= x 【答案】A 1 【解析】y=3-x 在 R 上递减,y= 在(0,+∞)上递减,y=-x2+4 在(0,+∞)上递减. x 2.(经典习题)函数 f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是( 3 A.?-∞,2? ? ? 3 C.?-1,2? ? ? 3 B.?2,+∞? ? ? 3 D.?2,4? ? ? ) B.y=3-x D.y=-x2+4 ( )

x 3. (课本习题改编)若函数 f(x)= 为奇函数,则 a=( ?2x+1??x-a? 1 A. 2 【答案】A 2 B. 3 3 C. 4 D.1

)

x 【解析】∵f(x)= 是奇函数,利用赋值法 ,∴f (-1)=-f(1). ?2x+1??x-a? -1 1 1 ∴ =- ,∴a+1=3(1-a),解得 a= . 2 ?-2+1??-1-a? ?2+1??1-a? 4. (经典习题)设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是 ( ). B.f(x)-|g(x)|是奇函数 D.|f(x)|-g(x)是奇函数

A.f(x)+|g(x)|是偶函数 C.|f(x)|+g(x)是偶函数 【答案】A

【解析】由题意知 f(x)与|g(x)|均为偶函数,A 项:偶+偶=偶;B 项:偶-偶=偶,B 错; C 项与 D 项:分别为偶+奇=偶,偶-奇=奇均不恒成立,故选 A. 5.设 f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的周期函数,如图表示该函数在区间(-2,1]上的图象,则

f(2 011 )+f(2 012)=( A.3

) B.2

6. (经典习题)已知 f(x)在 R 上是奇函数,且满足 f(x+4)=f(x),当 x∈(0,2)时,f(x)=2x 2, 则 f(7)等于________. 【答案】-2 【解析】 f(x+4)=f(x), f(7)=f(3)=f(-1), f(x)为奇函数, 由 得 又 ∴f(-1)=-f(1), f(1)=2×12 =2.∴f(7)=-2.

【名校模拟】
一.基础扎实
1. (北京市西城区 2012 届高三下学期二模试卷文)给定函数:① y ? x3 ;② y ? x2 ?1 ;③

y ? sin x ;④ y ? log2 x ,其中奇函数是(
(A)① ②
[来源:Zxxk.Com]



(B)③ ④(C)① ③(D)② ④

【答案】C 【解析】利用函数图象关于原点对称可知① ③图像满足条件. 2. (2012 年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试理) 已知. A. -3 B. -2 C. -1 D. 0 ,若 ,则 f(-a)的值为

3.(2012 年河南豫东、豫北十所名校阶段性测试(三)理)已知函数. 该函数是 ( A)偶函数,且单调递增(B)偶函数,且单调递减 (C)奇函数,且单调递增(D)奇函数,且单调递减 【答案】C

,则

?x ?x ? 0 ;当 x ? 0 【解析】 注意到当 x ? 0 时,? x ? 0 , f ? ? x ? ? f ? x ? ? 2 ? 1 ? 1 ? 2 x x 时, ? x ? 0 , f ? ? x ? ? f ? x ? ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ? 0 ; f ? 0? ? 0 .因此,对任意 x ? R ,

?

? ?

?

?

? ?

?

均有 f ? ?x ? ? f ? x ? ? 0 ,即函数 f ? x ? 是奇函数.当 x ? 0 时,函数 f ? x ? 是增函数,因此

f ? x ? 是增函数,选 C.

[来源:学_科_网]

4.(2012 洛阳示范高中联考高三理)下列函数中,在 (- 1, 1) 内有零点且单调递增的是 ( ) B. y = 2 - 1
x

A. y = log 1 x
2

C. y = x -

2

1 2

D. y = - x

3

5. ( 浙 江 省 杭 州 学 军 中 学 2012 届 高 三 第 二 次 月 考 理 ) 若 x ? R 、 n ? N ? , 定 义 :
n 5 M x ? x( x ? 1)(x ? 2) ?( x ? n ? 1) ,例如: M ?5 =(-5)(-4)(-3)(-2)(-1) =-120,则函数

f ( x) ? xM 19 9 的奇偶性为( x?
A.是偶函数而不是奇函数 C.既是奇函数又是偶函数

) B. 是奇函数而不是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数
k.Com]

2 6.. (江西省2012届十所重点中学第二次联考文)已知 f ( x) ? 3ax ? bx ? 5a ? b 是偶函数,

且其定义域为 [6a ? 1, a] ,则 a ? b ? (
1 A. 7



B. ?1

C. 1

D. 7

【答案】A 【解析】因为偶函数的定义域关于原点对称,所以 6a ? 1 ? a ? 0, 所以a ?

1 ; 7

又 f ( x ) 为偶函数,所以 3a(? x)2 ? bx ? 5a ? b ? 3ax2 ? bx ? 5a ? b ,得 b ? 0 ,所以

1 a ? b ? 7 ,选 A. 6
7.(海南省洋浦中学 2012 届高三第一次月考数学理)函数 f (x ) 在区间 [?2,3] 是增函数,则

y ? f ( x ? 5) 的递增区间是
A. [3,8]



) C. [0,5] D. [?2,3]

B. [?7,?2]

[来源:Z.xx.k.Com]

8.(海南省洋浦中学 2012 届高三第一次月考数学理)已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函 数,则下列函数中是奇函数的是 ( ) ①y=f(|x|);②y=f(-x);③y=x·f(x);④y=f(x)+x. ? A.①③ B.②③ C.①④ D.②④

9. (湖北省黄冈中学 201 2 届高三五月模拟考试理) 下列函数中既是偶函数, 又是区间[-1, 0]上的减函数的是 A.

y ? cos x

B.

y ? ? x ?1

y ? ln
C. 答案:D

2? x 2? x

D. y ? e ? e
x

?x

解析:由 f ? ? x ? ? e
x 又 f ?? x? ? e ?

?x

? ex ? f ? x ? ,所以函数 f ? x ? ? ex ? e? x 为偶函数;

[来源:Z#xx#k.Com]

1 e2 x ? 1 ? ,当 x?? ?1,0? 时, f ? ? x ? ? 0 ,所以函数为减函数, ex ex

故选 D。

?1 ? 2 ? x ( x ? 0) 10.(2012 黄冈市模拟及答题适应性试理)已知函数 f ( x) ? ? x , 则该函数是 ? 2 ? 1( x ? 0)

A 偶函数,且单调递增 C 奇函数,且单调递增

B 偶函数,且单调递减 D 奇函数,且单调递减

11. (东城区普通高中示范校高三 综合练习(二) (文)) 已知 a ? 0, b ? 0, 函数 f ( x) ? x2 ? (ab ? a ? 4b) x ? ab 是偶函数, 则 f ( x ) 的图象与 y 轴交点纵坐标的最小值为 【答案】 16 【解析】根据函数 f ( x ) 是偶函数可得 ab ? a ? 4b ? 0 ,函数 f ( x ) 的图象与 y 轴交点的纵 坐标为 ab 。由 ab ? a ? 4b ? 0 ,得 ab ? a ? 2b ? 4 ab ,解得 ab ? 16 。 12.(海南省洋浦中学 2012 届高三第一次月考数学理)已知 f ( x) ? ? .

?(3 ? a) x ? 4 a, x ? 1 , 是 log a x, x ? 1 ?

R 上的增函数,那么 a 的取值范围是



13.(海南省洋浦中学 2012 届高三第一次月考数学理)已知函数 f ( x) ? ? 判断它的奇偶性。 【解析】本试题主要考查了函数的奇偶性的判定。 【答案】f(x)的定义域为 R,f(0)=0 设 x>0 则-x<0,又 因为当 x<0 时 f(x)=-x (x+1) 故 f(-x)=-x (-x+1)=x (x-1)=f(x) 设 x<0,则-x>0 又因为当 x>0 时 f(x)=-x (x-1) 故 f(-x)=-x (-x-1)=-x (x+1)=f(x) 综上得,对任意 x ? R,有 f(-x)=f(x)
2 2 2 2 2 2

? x 2 ( x ? 1)(x ? 0) , 2 ?? x ( x ? 1)(x ? 0)

故 f(x)为偶函数 14.(海南省洋浦中学 2012 届高三第一次月考数学理)设函数 y ? f (x) 是定义在 R 上的减 函数,并且满足 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) , f ? ? ? 1 , (1)求 f (1) 的值, (2)如果 f ( x) ? f (2 ? x) ? 2 ,求 x 的取 值范围。 (12 分)
?

?1? ?3?

二.能力拔高
15.(湖北省八校 2012 届高三第一次联考理)定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足:对于任意的

x, y ? R, 都有f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? 2011. 且当 x ? 0时, 有f ( x) ? 2011 ,设 M、N 分
别为 f ( x ) 在[-2012,2012]的最大值与最小值,则 M+N 的值为 A.4022 B.4024 C.2011 D.2012 ( )

因此 f ? x ? ? g ? x ? ? 2011 ,则函数 f ? x ? 的最大值为 m ? 2011 ,最小值为 ? m ? 2011 , 所以 M ? N ? 4022 ,故选 A。
3 16.(江西省2012届十所重点中学第二次联考文)设函数 f ( x ) ? x ? 3x ( x ? R ) ,若

0 ?? ?

?

2 时, f (m sin ? ) ? f (1 ? m) >0恒成立,则实数m的取值范围是(
B. (-∞,0) C. (-∞,0) D. (-∞,1)



A. (0,1)

17. (2012 年 长 春 市 高 中 毕 业 班 第 二 次 调 研 测 试 理 ) 数 f ( x ) 对 任 意 x ? R 都 有 f ( x? 6 )? f ( x )? 2f ( ,) y ? f ( x ? 1) 的 图 象 关 于 点 (1, 0 ) 称 , 且 f (4) ? 4 , 则 3 对

f ( 2 0 1 2? )
A.0 B.-4 C.-8 D.-16

18. (湖北文科数学冲刺试卷(二))

答案:B 解析:由题意得,设 x ? ? 0, 2? ,则 ? x ?? ?2,0? , 又函数为奇数,所以 f ? x ? ? ? f ? ? x ? ? ?2 ,
?x

即 g ? x ? ? log 5 ( x ? 5 ? x ) ? ?2
2

?x

1 ? g ? x ? ? ?( ) x ? log 5 ( x ? 5 ? x 2 ) , 2

利用函数的结论此函数在定义域上位单调递增函数,

所以函数 g ? x ?max ? g ? 2 ? ?

3 ,故答案选 B. 4

19. (中原六校联谊 2012 年高三第一次联考理)已知 f ( x)( x ? R, 且x ? k ? ? 周 期 为

?
2

(k ? Z )) 是

? ? ) 时 , f ( x) ? 2 x ? cos x. 设 ? 的 函 数 , 当 x∈ ( ? ,
2 2

a ? f (?1), b ? f (?2), c ? f (?3) 则
A.c<b<a B.b<c<a C.a<c<b D.c<a<b

20.(山西省 2012 年高考考前适应性训练理)已知 f (x) ? | 2x ? 1| ?2x 的单调减区间为( A. (??, ? 1) B. (?1, 0) C. (??, 0) D. (?1, ? ?)



21. (长春市实验中学 2012 届高三模拟考试(文))已知定义在 R 上的函数 y ? f (x) 是增函 数, 且为奇函数, 若实数 s,t 满足不等式 f (s ? 2s) ? ? f (2t ? t ) , 则当 1≤s≤4 时, 3t+s
2 2

的取值范围是 A. [?2,10] B. [?2,16] C.[4,10] D.[4,16]

【答案】B 【解析】本题考查函数的性质、简单的线性规划问题,考查数形结合的思想。
2 2 2 2 由所给函数性质有 f (s ? 2s) ? f (t ? 2t ) ,于是 s ? 2s ? t ? 2t ,再结合 1 ? s ? 4 ,由

线性规划方法,可求得 3t ? s ? [?2,16] ,选 B 22.(海南省洋浦中学 2012 届高三第一次月考数学理)定义在 R 上的奇函数 f (x) ,满足

f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增函数,则(
A. f (?25) ? f (11) ? f (80) C. f (11) ? f (80) ? f (?25)

).

B. f (80) ? f (11) ? f (?25) D. f (?25) ? f (80) ? f (11)

23. (浙江省杭州学军中学 2012 届高三第二次月考理)

24.(海南省洋浦中学 2012 届高三第一次月考数学理)已知 f ( x) 是定义在 R 上的函数,
f (? ? x) ? ? f (? ? x) , f ( x ? ?) ? ?

? 。 f ( x)

(1)函数 f ( x ) 是不是周期函数,若是,求出周期。 (2)判断 f ( x ) 的奇偶性 【解析】本试题主要考查了函数的周期性以及函数的奇偶性的运用。 【答案】因为函数函数满足 f ( x ? 4) ? f [2 ? ( x ? 2)] ? ? 所以周期为 4, (2) f (? ? x) ? ? f (? ? x) ,令 u=2-x,则 x=2-u 故 f(u)=-f(4-u),即 f ( x) ? ? f (? ? x) 以-x 代 x,得到 f(-x)=-f(x+4)

1 ? f ( x) f ( x ? 2)

结合(1)知, f (? x) ? ? f ( x) 所以函数 f(x)是奇函数

三.提升自我
25.(浙江省 2012 届理科数学高考领先卷—名校精粹重组试卷理)定义在(—1,1)上的函数 f(x) 满足:

x ? y ;当 x, y ? (?1,0) 时,有 f ( x) ? f ( y ) ? f ( ) 1 ? xy

1 1 1 1 ) ?? ? f ( ), f ( x) ? 0 ;若 P ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( 2 2 5 11 r ? r ?1 2012 ? 2012 ? 1 1 Q ? f ( ) ,R=f(0).则 P,Q ,R 的大小关系为 2
A. R ? Q ? P B. P ? R ? Q C. R ? P ? Q D.不能确定

26.(山东省济南市 2012 届高三 3 月(二模)月考理)偶函数 f(x)满足 f(x-1)=f(x+1),且在 x

∈[0,1]时,f(x)=x ,则关于 x 的方程 f(x)= ? A. 1 B. 2

?1? ? ,在 x∈[0,4]上解的个数是 ? 10 ?
C. 3 D. 4

x

【原创预测】
2 1.已知函数 f ( x) ? x ? bx ? 1 是 R 上的偶函数,则实数 b ? _____;不等式 f ( x ? 1) ? | x |

的解集为_____.

2.定义在 R 上的函数 f ( x) ,如果存在函数 g ( x) ? kx ? b( k , b 为常数) ,使得 f ( x) ? g ( x) 对 一切实数 x 都成立 ,则称 g ( x) 为函数 f ( x) 的一个承托函数.现有如下函数: ① f ( x) ? x 3 ② f ( x) ? 2? x
? lg x, x ? 0, ③ f ( x) ? ? x?0 ? 0,

④ f ( x) ? x ? sin x

则存在承托函数的 f ( x) 的序号为 【答案】②④

.(填入满足题意的所有序号)

【解析】 对于①,结合函数 f ? x ? 的图象分析可知,不存在函数 g ? x ? 使得 f ? x ? ? g ? x ? 对一切实数 x 都成立, f ? x ? 不存在承托函数;

3.已知函数 有下列说法: ①m=3; ②若

(m 为常数),对任意的

恒成立.

(b 为常数)的图象关于直线 x=1 对称,则 b=1; 成立,且当 (c 为常数) ,若存在 时, 使得

③已知定义在 R 上的函数 F(x)对任意 x 均有 ;又函数

成立,则 c 的取值范围是(一 1,13).其中说法正确的个数是 (A)3 个 (B)2 个 (C)1 个 (D)O 个


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北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编3:函数的性质(单调性、最值、奇偶性与周期性)(教师版)

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2013高中数学高考题详细分类考点5 函数的单调性与最值、函数的奇偶性与周期性

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2012年新课标版高考题库考点5 函数的单调性与最值、函数的奇偶性与周期性

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2015届高考数学(文、理)复习题库:考点5 函数的单调性与最值、函数的奇偶性与周期性(含详解,13高考题)

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