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【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 2.3.2 抛物线的简单几何性质教案 新人教A版选修1-1

时间:2017-03-04


2.3.2

抛物线的简单几何性质

(教师用书独具)

●三维目标 1.知识与技能 (1)理解抛物线的几何性质. (2)与抛物线有关的轨迹的求法,直线与抛物线的位置关系. 2.过程与方法 (1)灵活运用抛物线的性质. (2)培养学生对研究方法的思想渗透及运用数形结合思想解决问题的能力. 3.情感、态度与价值观 (1)训

练学生分析问题、解决问题的能力. (2)培养学生数形结合思想、化归思想及方程的思想,提高学生的综合能力. ●重点、难点 重点:(1)掌握抛物线的几何性质. (2)根据给出的条件求出抛物线的标准方程. 难点:抛物线各个几何性质的灵活应用.

(教师用书独具)

●教学建议 本节课以启发式教学为主,综合运用演示法、讲授法、讨论法、有指导的发现法及练习 法等教学方法.先通过多媒体动画演示,创设问题情境,在抛物线简单几何性质的教学过程 中,通过多媒体演示,有指导的发现问题,然后进行讨论、探究、总结、运用,最后通过练

1

习加以巩固提高. 学法上,本节课注重调动学生积极思考、主动探索,尽可能地增加学生参与教学活动的 时间和空间,结合教法和学生的实际,在多媒体辅助教学的基础上,主要采用“复习——类 比——探索——应用”的探究式学习方法, 增加学生参与的机会, 使学生在掌握知识形成技 能的同时, 培养逻辑推理、 理性思维的能力及科学的学习方法, 增强自信心. 学法指导包括: 联想法、观察分析法、练习巩固法. 这样,本节课的重点与难点就迎刃而解了. ●教学流程 提出问题:你能说出抛物线y =2px?p>0?的几何性质吗? 引导学生结合图象得出抛物线四种形式的几何性质,并对比它们的区别与联系. 通过引导学生回顾直线与椭圆的位置关系问题,引出直线与抛物线的位置关系知识. 通过例1及其变式训练,使学生掌握抛物线的性质及应用问题. 通过例2及其变式训练,使学生掌握抛物线的焦点弦问题. 错误!? 错误!? 错误!
2

? ? ? ? ?

(对应学生用书第 39 页)

课标解读

1.掌握抛物线的几何性质及抛物线性质的应用.(重点) 2.掌握直线与抛物线的位置关系.(难点)

抛物线的几何性质 【问题导思】 类比椭圆、双曲线的几何性质,结合图象,你能说出抛物线 y =2px(p>0)的范围、 对称性、顶点坐标吗? 【提示】 范围 x≥0,关于 x 轴对称,顶点坐标(0,0).
2

标准方程

y2=2px
(p>0)

y2=-2px
(p>0)

x2=2py
(p>0)

x2=-2py
(p>0)
2

图形

续表 标准方程 (p>0) (p>0) (p>0) (p>0) 性质 范围 对称轴 顶点 离心率

y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py

x≥0,y∈R x轴 O(0,0) e=1

x≤0,y∈R y轴

x∈R,y≥0

x∈R,y≤0

直线与抛物线的位置关系 【问题导思】 1.直线与抛物线有哪几种位置关系? 【提示】 三种:相离、相切、相交. 2.若直线与抛物线只有一个交点,直线与抛物线一定相切吗? 【提示】 不一定,当平行或重合于抛物线的对称轴的直线与抛物线相交时,也只有一 个交点. 直线与抛物线的位置关系与公共点 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 有两个或一个公共点 有且只有一个公共点 无公共点

(对应学生用书第 40 页)

3

抛物线简单几何性质的应用 如图 2-3-3 所示,已知抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,A
2

图 2-3-3 是抛物线上的一点,其横坐标为 4,且在 x 轴的上方,点 A 到抛物线的准线的距离等于 5,过 A 作 AB⊥y 轴,垂足为 B,OB 的中点为 M. (1)求抛物线的方程; (2)过 M 作 MN⊥FA,垂足为 N,求直线 MN 的方程. 【思路探究】 (1)根据题意你能求出 p 的值吗? (2)M 点的坐标是多少?直线 MN 的斜率呢? 【自主解答】 (1)抛物线 y =2px(p>0)的准线为 x=- , 2 于是 4+ =5,p=2,∴抛物线的方程为 y =4x. 2 (2)由题意知 A(4,4),B(0,4),M(0,2),F(1,0), 4 ∴kFA= . 3 3 又 MN⊥FA,∴kMN=- , 4 4 则直线 FA 的方程为 y= (x-1), 3 3 直线 MN 的方程为 y-2=- x,即 3x+4y-8=0. 4
2

p

p

2

研究抛物线的性质时要注意它们之间的关系: 抛物线的焦点始终在对称轴上, 顶点就是 抛物线与对称轴的交点, 准线始终与对称轴垂直, 准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称, 离心率不变总为 1.

已知抛物线的焦点 F 在 x 轴上,直线 l 过 F 且垂直于 x 轴,l 与抛物线交于 A、B 两 点,O 为坐标原点,若△OAB 的面积等于 4,求此抛物线的标准方程.
4

? ? 2 【解】 由题意,抛物线方程为 y =2px(p≠0),焦点 F? ,0?,直线 l:x= , 2 ?2 ?
p p

? ? ? ? ∴A、B 两点坐标为? ,p?,? ,-p?, ?2 ? ?2 ?
p p
∴|AB|=2|p|. ∵△OAB 的面积为 4, 1 ?p? ∴ ?? ??2|p|=4,∴p=±2 2. 2 ?2? ∴抛物线标准方程为 y =±4 2x. 直线与抛物线的位置关系问题 已知:直线 l:y=kx+1,抛物线 C:y =4x,当 k 为何值时,l 与 C 有:(1) 一个公共点;(2)两个公共点;(3)没有公共点? 【思路探究】 (1)联立直线 l 与抛物线 C 的方程,得到的关于 x 的方程是什么形式? (2)能直接用判别式法判断公共点的情况吗? 【自主解答】 由?
?y=kx+1, ? ? ?y =4x,
2 2 2



k2x2+(2k-4)x+1=0.(*)
1 当 k=0 时,方程变为-4x+1=0,x= ,此时 y=1. 4 1 ∴直线 l 与 C 只有一个公共点( ,1), 4 此时直线 l 平行于 x 轴. 当 k≠0 时,方程(*)是一个一元二次方程: Δ =(2k-4) -4k ?1=16-16k ①当 Δ >0,即 k<1,且 k≠0 时,l 与 C 有两个公共点,此时 l 与 C 相交; ②当 Δ =0,即 k=1 时,l 与 C 有一个公共点,此时 l 与 C 相切; ③当 Δ <0,即 k>1 时,l 与 C 没有公共点,此时 l 与 C 相离. 综上所述,(1)当 k=1 或 k=0 时,直线 l 与 C 有一个公共点; (2)当 k<1,且 k≠0 时,直线 l 与 C 有两个公共点; (3)当 k>1 时,直线 l 与 C 没有公共点.
2 2

1.直线与抛物线的位置关系判断方法. 通常使用代数法: 将直线的方程与抛物线的方程联立, 整理成关于 x 的方程 ax +bx+c =0.
2

5

(1)当 a≠0 时,利用判别式解决. Δ >0? 相交;Δ =0? 相切;Δ <0? 相离. (2)当 a=0 时,方程只有一解 x=- ,这时直线与抛物线的对称轴平行或重合. 2.直线与抛物线相切和直线与抛物线公共点的个数的关系:直线与抛物线相切时,只 有一个公共点, 但是不能把直线与抛物线有且只有一个公共点统称为相切, 这是因为平行于 抛物线的对称轴的直线与抛物线只有一个公共点,而这时抛物线与直线是相交的.

c b

若过点(-3,2)的直线与抛物线 y =4x 有两个公共点,求直线的斜率 k 的取值范围. 【解】 设直线方程为 y-2=k(x+3). 由?
? ?y-2=k?x+3? ?y =4x ?
2

2

消去 x,整理得

ky2-4y+8+12k=0.①
(1)当 k=0 时,方程①化为 y=2, 直线 y=2 与抛物线 y =4x 相交,有一个公共点,不合要求; (2)当 k≠0 时,Δ =16-4k(8+12k)>0. 1 1 ∴-1<k< ,因此-1<k< 且 k≠0. 3 3 1 综上可知,斜率 k 的取值范围为{k|-1<k< 且 k≠0}. 3 抛物线的焦点弦问题 π 已知抛物线的顶点在原点,x 轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为 的直线 l 被 4 抛物线所截得的弦长为 6,求抛物线方程. 【思路探究】 (1)焦点在 x 轴上的抛物线方程如何设? π (2)过焦点且倾斜角为 的直线方程怎么求?它被抛物线截得的弦长问题能联系抛物线 4 的定义吗? 【自主解答】 当抛物线焦点在 x 轴正半轴上时, 可设抛物线标准方程是 y =2px(p>0), 则焦点 F( ,0),直线 l 为 y=x- . 2 2 设直线 l 与抛物线的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),过 A、B 分别向抛物线的准线作垂线
2 2

p

p

AA1、BB1,垂足分别为 A1、B1.
则|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|

6

=(x1+ )+(x2+ )=x1+x2+p=6, 2 2 ∴x1+x2=6-p.①

p

p

p ? ?y=x- , 2 由? ? ?y2=2px,
2

消去 y,得(x- ) =2px, 2

p

2

即 x -3px+ =0. 4 3 ∴x1+x2=3p,代入①式得 3p=6-p,∴p= . 2 ∴所求抛物线标准方程是 y =3x. 当抛物线焦点在 x 轴负半轴上时,用同样的方法可求出抛物线的标准方程是 y =-3x.
2 2

p2

1.本题是通过抛物线的性质求其方程的典型例题,抛物线的方程有两种形式,解答时 切勿漏掉. 2.过焦点 F 和抛物线相交的弦叫做抛物线的焦点弦,在解决与焦点弦有关的问题时, 一是注意用焦点弦所在的直线方程和抛物线方程联立得方程组,再结合根与系数关系解题, 二是注意抛物线定义的灵活运用,特别应注意整体代入的方法.

本例中,若把直线的倾斜角改为 135°,被抛物线截得的弦长改为 8,其他条件不变, 试求抛物线的方程.

【解】 如图,依题意当抛物线方程设为 y =2px(p>0)时, 1 抛物线的准线为 l,则直线方程为 y=-x+ p. 2 设直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2), 则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1+ +x2+ , 2 2 即 x1+ +x2+ =8.① 2 2 又 A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线和直线的交点,

2

p

p

p

p

7

1 ? ?y=-x+ p, 2 由? ? ?y2=2px,

消去 y 得 x -3px+ =0. 4

2

p2

于是 x1+x2=3p.将其代入①得 p=2. 故所求抛物线方程为 y =4x. 当抛物线方程设为 y =-2px(p>0)时,同理可求得抛物线方程为 y =-4x. 综上所述,抛物线的方程为 y =4x 或 y =-4x.
2 2 2 2 2

8

(对应学生用书第 41 页)

忽略特殊直线致误 求过定点 P(0,1),且与抛物线 y =2x 只有一个公共点的直线方程. 【错解】 设直线方程为 y=kx+1, 由?
?y=kx+1, ? ? ?y =2x
2 2

得 k x +2(k-1)x+1=0.

2 2

当 k=0 时,解得 y=1, 即直线 y=1 与抛物线只有一个公共点; 1 2 2 当 k≠0 时,Δ =4(k-1) -4k =0,解得 k= , 2 1 即直线 y= x+1 与抛物线只有一个公共点. 2 1 综上所述,所求的直线方程为 y=1 或 y= x+1. 2 【错因分析】 本题直接设出了直线的点斜式方程,而忽视了斜率不存在的情况,从而 导致漏解. 【防范措施】 在解直线与抛物线的位置关系时, 往往直接把直线方程设成点斜式方程, 这样就把范围缩小了, 而应先看斜率不存在的情况是否符合要求, 直线斜率为 0 的情况也容 易被忽略,所以解决这类问题时特殊情况要优先考虑,画出草图是行之有效的方法. 【正解】 如图所示,若直线的斜率不存在, 则过点 P(0,1)的直线方程为 x=0, 由?
?x=0, ? ?y =2x ?
2

得?

?x=0, ? ?y=0, ?

即直线 x=0 与抛物线只有一个公共点.

若直线的斜率存在,
9

1 则由错解可知,y=1 或 y= x+1 为所求的直线方程. 2 1 故所求的直线方程为 x=0 或 y=1 或 y= x+1. 2

1.讨论抛物线的几何性质,一定要利用抛物线的标准方程;利用几何性质,也可以求 出抛物线的方程. 2.解决焦点弦问题时,抛物线的定义有广泛的应用,求焦点弦长,一般不用弦长公式. 3.直线和抛物线的位置关系问题的通法与椭圆、双曲线一样,即联立方程消未知数, 产生一元二次方程,用判别式 Δ 、根与系数关系解决问题.

(对应学生用书第 42 页)

1.抛物线 y =ax(a≠0)的对称轴为( A.y 轴 C.x=- 2 B.x 轴

2

)

a
2

D.x=- 4

a

【解析】 形如 y =±2px(p>0)的抛物线的对称轴为 x 轴. 【答案】 B 2. 顶点在原点, 对称轴是 y 轴, 并且顶点与焦点的距离等于 3 的抛物线的标准方程( A.x =±3y
2

)

B.y =±6x
10

2

C.x =±12y 【解析】 依题意, =3,∴p=6. 2 ∴抛物线的标准方程为 x =±12y. 【答案】 C 1 2 3.抛物线 y=ax 的准线方程是 y=- ,则 a=________. 2 1 1 1 1 2 【解析】 抛物线方程可化为 x = y,由题意 = ,∴a= . a 4a 2 2 【答案】 1 2
2 2

2

D.x =±6y

2

p

4.若抛物线 y =x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的距离,求点 P 的坐标.

xF 1 【解】 根据题意可知:|PF|=|PO|,其中 O 为原点,F 为焦点,∴xP= = , 2 8



yP



±

1 8



±

1 2 2 2 4



±

2 4





P(

1 8



±

).

(对应学生用书第 101 页)

一、选择题 1.(2013?泰安高二检测)已知抛物线的顶点在原点,以 x 轴为对称轴,焦点为 F,过 F 且垂直于 x 轴的直线交抛物线于 A、B 两点,且|AB|=8,则抛物线的标准方程为( A.y =8x C.y =±8x
2 2

)

B.y =-8x D.x =±8y
2 2

2

【解析】 由抛物线的定义知,|AB|=|AF|+|BF|=2p=8,∴p=4,故标准方程为 y =±8x. 【答案】 C 2.抛物线 y=ax +1 与直线 y=x 相切,则 a 等于( A. 1 1 B. 8 4
2

)

11

C.

1 2
? ?y=ax +1, 由? ?y=x, ?
2 2

D.1

【解析】

消 y 得 ax -x+1=0.

2

∵直线 y=x 与抛物线 y=ax +1 相切, ∴方程 ax -x+1=0 有两相等实根. 1 2 ∴判别式 Δ =(-1) -4a=0,∴a= . 4 【答案】 B 3.(2013?长沙高二检测)过点 M(2,4)与抛物线 y =8x 只有一个公共点的直线共有 ( ) A.1 C.3 B.2 D.4
2 2

【解析】 由于 M(2,4)在抛物线上,故满足条件的直线共有 2 条,一条是与 x 轴平行 的线,另一条是过 M 的切线,如果点 M 不在抛物线上,则有 3 条直线. 【答案】 B 4.探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,灯口直径为 60 cm,灯深 40 cm,则光源到反射镜顶点的距离是( A.11.25 cm C.20 cm ) B.5.625 cm D.10 cm

【解析】 如图建立直角坐标系,则 A(40,30),设抛物线方程为 y =2px(p>0),将点 45 p (40,30)代入得 p= ,所以 =5.625 即光源到顶点的距离. 4 2 【答案】 B 5.若点 P 在 y =x 上,点 Q 在(x-3) +y =1 上,则|PQ|的最小值为( A. 3-1 B. C.2 D. 10 -1 2
2 2 2

2

)

11 -1 2
2 2

【解析】 设圆(x-3) +y =1 的圆心为 Q′(3,0),要求|PQ|的最小值,只需求|PQ′| 的最小值. 设 P 点坐标为(y0,y0),则|PQ′|= ?y0-3? +y0
12
2 2 2 2

= ?y0? -5y0+9= ∴|PQ′|的最小值为 从而|PQ|的最小值为 【答案】 D 二、填空题

2

2

2

5 2 11 2 ?y0- ? + . 2 4 11 , 2 11 -1. 2

6.(2013?台州高二检测)设抛物线 y =16x 上一点 P 到对称轴的距离为 12,则点 P 与 焦点 F 的距离|PF|=______. 【解析】 设 P(x,12),代入到 y =16x 得 x=9, ∴|PF|=x+ =9+4=13. 2 【答案】 13 7.设抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,点 A(0,2),若线段 FA 的中点 B 在抛物线上, 则点 B 到该抛物线准线的距离为________. 【解析】 由已知得点 B 的纵坐标为 1,横坐标为 ,即 B( ,1)将其代入 y =2px 得 p 4 4
2 2

2

p

p

p

2

p p 3 3 = 2,则点 B 到准线的距离为 + = p= 2. 2 4 4 4
【答案】 3 2 4
2

8.(2012?北京高考)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 过抛物线 y =4x 的焦点 F,且与该 抛物线相交于 A,B 两点.其中点 A 在 x 轴上方,若直线 l 的倾斜角为 60°,则△OAF 的面 积为________. 【解析】 ∵y =4x 的焦点为 F(1,0),又直线 l 过焦点 F 且倾斜角为 60°,故直线 l 的方程为 y= 3(x-1), 将其代入 y =4x 得 3x -6x+3-4x=0, 即 3x -10x+3=0. 1 ∴x= 或 x=3. 3 又点 A 在 x 轴上方,∴xA=3.∴yA=2 3. 1 ∴S△OAF= ?1?2 3= 3. 2 【答案】 三、解答题
13
2 2 2 2

3

9.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F 为焦点,M 为准线与 y 轴的交点,A 为抛物线 上一点,且|AM|= 17,|AF|=3,求此抛物线的标准方程. 【解】 设所求抛物线的标准方程为

x2=2py(p>0),A(x0,y0),由题知 p M(0,- ).
2 ∵|AF|=3,∴y0+ =3, 2 ∵|AM|= 17, ∴x0+(y0+ ) =17, 2 ∴x0=8,代入方程 x0=2py0 得, 8=2p(3- ),解得 p=2 或 p=4. 2 ∴所求抛物线的标准方程为 x =4y 或 x =8y. → → → 2 10.已知 A,B 两点在抛物线 C:x =4y 上,点 M(0,4)满足MA=λ MB(λ ≠0),求证:OA → ⊥OB. 【证明】 设 A(x1,y1)、B(x2,y2). → → ∵MA=λ MB,∴M、A、B 三点共线,即直线 AB 过点 M. 设 lAB∶y=kx+4(易知斜率存在),与 x =4y 联立得,
2 2 2 2 2 2

p

p

2

p

x2-4kx-16=0,
Δ =(-4k) -4?(-16) =16k +64>0, 由根与系数的关系得 x1+x2=4k,x1x2=-16, → → ∴OA?OB=x1x2+y1y2 =x1x2+(kx1+4)(kx2+4) =(1+k )x1x2+4k(x1+x2)+16 =(1+k )?(-16)+4k?(4k)+16=0, → → ∴OA⊥OB. 11.(2013?泰州高二检测)已知抛物线 x =ay(a>0),点 O 为坐标原点,斜率为 1 的直 线与抛物线交于 A,B 两点. (1)若直线 l 过点 D(0,2)且 a=4,求△AOB 的面积;
14
2 2 2 2 2

→ → (2)若直线 l 过抛物线的焦点且OA?OB=-3,求抛物线的方程. 【解】 (1)依题意,直线 l 的方程为 y=x+2,抛物线方程 x =4y, 由?
?x =4y, ? ? ?y=x+2,
2 2

消去 y,得 x -4x-8=0.

2

则 Δ =16-4?(-8)=48>0 恒成立. 设 l 与抛物线的交点坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2),x1<x2. ∴x1=2-2 3,x2=2+2 3. 则|x2-x1|=4 3. 1 1 ∴S△AOB= ?|OD|?|x2-x1|= ?2?4 3=4 3. 2 2 (2)依题意,直线 l 的方程为 y=x+ . 4

a

a ? ?y=x+ , 4 ? 2 ? ?x =ay,

? x -ax- =0, 4

2

a2

∵Δ >0,设直线 l 与抛物线交点 A(x1,y1),B(x2,y2). ∴x1+x2=a,x1x2=- . 4 → → 又已知OA?OB=-3, 即 x1x2+y1y2=-3, ∴x1x2+(x1+ )(x2+ )=-3, 4 4 ∴2x1x2+ (x1+x2)+ =-3, 4 16 ∵a>0,∴a=4.

a2

a

a

a

a2

∴ 4y.









线







x2



(教师用书独具)

15

已知抛物线 y =2x, 2 (1)设点 A 的坐标为( , 0), 求抛物线上距离点 A 最近的点 P 的坐标及相应的距离|PA|; 3 (2)在抛物线上求一点 P,使 P 到直线 x-y+3=0 的距离最短,并求出距离的最小值. 【解】 (1)设抛物线上任一点 P 的坐标为(x,y), 2 2 2 2 2 2 则|PA| =(x- ) +y =(x- ) +2x 3 3 1 2 1 =(x+ ) + . 3 3 ∵x≥0,且在此区间上函数单调递增, 2 ∴当 x=0 时,|PA|min= , 3 距点 A 最近的点的坐标为(0,0). (2)法一 设点 P(x0,y0)是 y =2x 上任一点, 则 P 到直线 x-y+3=0 的距离为 | -y0+3| 2 2 |x0-y0+3| |?y0-1? +5| d= = = , 2 2 2 2 5 5 2 当 y0=1 时,dmin= = , 4 2 2 1 ∴点 P 的坐标为( ,1). 2 法二 设与直线 x-y+3=0 平行的抛物线的切线为 x-y+t=0, 与 y =2x 联立, 消去
2 2 y0 2

2

x 得 y2-2y+2t=0,
1 1 由 Δ =0 得 t= ,此时 y=1,x= , 2 2 1 ∴点 P 坐标为( ,1), 2 两平行线间的距离就是点 P 到直线的最小距离, 5 2 即 dmin= . 4

已知抛物线 y =4x 与直线 x+y-2=0 的交点为 A、B,抛物线的顶点为 O,在 AOB 上 求一点 C,使△ABC 的面积最大,并求出这个最大面积. 【解】 设与直线 AB 平行且与抛物线相切的直线方程为 x+y-b=0,将它与抛物线方

2

16

程 y =4x 联立, 消去 x 得方程 y =4(b-y),即 y +4y-4b=0. 由 Δ =4 -4(-4b)=0 得 b=-1,故切线为 x+y+1=0. 求得切点 C(1,-2). |1+2| 3 2 因直线 x+y+1=0 与 x+y-2=0 的距离 d= = . 2 2 由?
?x+y-2=0, ? ?y =4x, ?
2 2 2 2

2

解得交点坐标为 A(4+2 3,-2-2 3)、B(4-2 3,-2+2 3). ∴|AB|=4 6. 1 1 3 2 于是 S△ABC= |AB|?d= ?4 6? =6 3. 2 2 2 所 以 当

C

点 为 (1 , - 2) 时 , S



ABC

的 最 大 值 为

6 3.

17


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