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高中数学竞赛模拟试题十一


高中数学竞赛模拟试题十一

第一试 一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1.从 ?1,2,?,100? 中任取 5 个数(可以相同) ,则取到合数的个数 的数学期望是 . 2.双曲线的中心为原点 O ,焦点在 x 轴上,两条渐近线分别为 经过右焦点 F 垂直于 l1 的直线分别交 l1,l2 于 A,B 两点. 已知 l1,l2 , ??? ??? ?

?? ? ? ? ??? ? ??? ? OA 、 、 成等差数列,且 BF 与 FA 同向.则双曲线的离心率 AB OB 为 . 3 . 在 ?ABC 中 , 如 果 a2 ? b2 ? 6c2 , 则 (cot A ? cot B) tan C 的 值 等 于 . 4. 已 知 集合 M ? ?1,2,3?, N ? ?1,2,3,4? , 定 义 函 数 f : M ? N . 设 点 A(1, f (1)), B(2, f (2)), C (3, f (3)) , ?ABC 的 外 接 圆 圆 心 为 D , 且 ??? ???? ? ??? ? DA ? DC ? ? DB(? ? R) ,则满足条件的函数 f ( x) 有____个. 5 . 设 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 函 数 , 对 任 意 的 x ? R , 都 有
f ( x ? 3) f ( x) ? 3, ? f ( x ? 2) ? f ( x) ? 2 ,如果 f (1) ? 2010 ,则 f (2011) 的值为

. .

6.数列 ?an ? 满足:

a1 ? 1, an ?1 ?

2010 (n ? 1)an k (n ? N * ) ,则 ? ? 2n ? an k ?1 ak

7.立方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中,点 M , N 分别在线段 AB,BB1 上(不包 括线段的端点) ,满足 AM ? B1 N ,则 A1 M 与 C1 N 所成角的取值范围 是 . 8 . 若 非 负 实 数
( x ? y ? z)min ?
x, y , z

满 足

x 2 ? y 2 ? z 2 ? x ? 2 y ? 3z ?

13 4

, 则

.

二、解答题(共 56 分) 9. (本题满分 16 分) 已知直 线 ? : x ? my ? q 与椭圆 ? : 3x 2 ? 4 y 2 ? 12 交于 不同两点 A、B . 设 A 关于椭圆长轴的对称点为 A1 ,F 为椭圆的右焦点,试 求 A1 、F、B 三点共线的充要条件.

1

10. (本题满分 20 分)
abc 正数 a, b, c 同时满足: ? , 2 ? 1 4 1 a 1 1 ? ? 9. 求证: 存在以 a, b, c b2 c2

为三边长的三角形.

11. (本题满分 20 分) 数列 ?an ? 满足: 1 ? 1, a2 ? 2 , n?2 ? a
a an
2 an ?1 ? 1 , n ? 1, 2,3,?) .试求 ?a2010 ? . ( ? ? 2 an ? 1

(注: ? a ? 表示不大于 a 的最大整数,即 a 的整数部分.) 第二试 一、 (本题满分 40 分) 如图,三角形 ABC 中,M 为 BC 的中点,以 AM 为直径 的圆 O 分别与 AC、AB 交于 D、E 两点,圆 O 在 D、E 两点的 切线交于点 H,证明: HM
? BC .
A

O D E

B

M

C

H

2

二、 (本题满分 40 分) 已知 a, b, c 都是非负实数, a ? b ? c ? 2 , P ? 且 求 的最大值.
ab bc ca ? ? 2 2 1 ? c 1 ? a 1 ? b2

三、 (本题满分 50 分) 设数列 ?an ? 满足: a1 ? a2 ? 1, an?2 ? an?1 ? an (n ? N * ) . 求证:对任意的 n ? N * , a2n?1 都不含 4q ? 3 型质因子( q ? N ) .

四、 (本题满分 50 分) 单位圆内或圆上有 8 个点,任意三点不共线.求证:总有某 三个点为顶点的三角形面积小于 .
? 8

3


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