nbhkdz.com冰点文库

河北省保定市2015届高三上学期期末数学试卷(文科)

时间:2015-12-23


河北省保定市 2015 届高三上学期期末数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1. (5 分)若复数 z= A. B.
x

,则|z|=() C. 1 D.2

2. (5 分)已知集合 M={x|2 ≥1},N={x||x|≤2},则 M∪N=() A. B. D. 3. (5 分)已知函数 f(x)=sin(ωx+ A.1 B.

(0,2) )=()

) (ω>0)的最小正周期为 π,则 f( C.﹣1 D.﹣

4. (5 分)在区间内随机取出一个实数 a,则 a∈(0,1)的概率为() A.0.5 B.0.3 C.0.2 D.0.1 5. (5 分)运行如图所示的程序框图,则输出的结果 S 为()

A.2014

B.2013

C.1008

D.1007

6. (5 分)已知实数 x,y 满足约束条件

,则 z=2x+4y 的最大值是()

A.2 7. (5 分)如图 ,

B. 0

C.﹣10

D.﹣15

为互相垂直的两个单位向量,则| + |=()

A.20

B.

C. 2

D.

8. (5 分) 湖面上飘着一个小球, 湖水结冰后将球取出, 冰面上留下一个半径为 6cm, 深 2cm 的空穴,则取出该球前,球面上的点到冰面的最大距离为() A.20cm B.18cm C.10cm D.8cm 9. (5 分)已知等比数列{an}中,若 4a1,a3,2a2 成等差数列,则公比 q=() A.1 B. 1 或 2 C.2 或﹣1 D. ﹣1 10. (5 分)已知函数 f(x)= 能是() +2ax+c,a≠0,则它们的图象可

A.

B.

C.

D.

11. (5 分)已知函数 f(x)=|log2x|,0<m<n,且 f(m)=f(n) ,若函数 f(x)在区间上 2 的最大值为 2,则 m =() A. B. C. D.

12. (5 分)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 BC 边上的高为 则 + 取得最大值时,内角 A 的值为()

a,

A.

B.

C.

D.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上.. 13. (4 分 )若 x>1 时,x
a﹣1

<1,则 a 的取值范围是.

14. (4 分)下图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的体积是.

15. (4 分)已知圆 C:x ﹣2ax+y =0(a>0)与直线 l:x﹣ 16. (4 分)设互不相等的平面向量组 若 = + +…+ (m≥2) ,则|

2

2

y+3=0 相切,则 a=. |=2;② ? =0,

(i=1, 2, 3, …) ,满足:①| |的取值集合为.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. (12 分)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 bsinC﹣ ccosB=0. (1)求 tanB; (2)若 b=7,求△ ABC 的周长的最大值. 18. (12 分)已知等差数列{an}的前 Sn 项和为 Sn,a1=3,{bn}为等比数列,且 b1=1,bn>0, * b2+S2=10,S5=5b3+3a2,n∈N (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)求数列{an ?bn}的前 n 项和 Tn. 19. (12 分)为了解甲、乙两厂的产品质量,分别从两厂生产的产品中各随机抽取 10 件, 测量产品中某种元素的含量(单位:毫克) ,其测量数据的茎叶图如图:规定:当产品中此 种元素含量大于 18 毫克时,认定该产品为优等品. (1)试比较甲、乙两厂生产的产品中该种元素含量的平均值的大小; (2)现从乙厂抽出的非优等品中随机抽取两件,求至少抽到一件该元素含量为 10 毫克或 13 毫克的产品的概率.

20. (12 分)在棱锥 A﹣BCDE 中,∠BAC= 的中点,AB=AC=BE=2,CD=1. (1)求证:EF⊥AD; (2)求三棱锥 F﹣ADE 的高.

,DC⊥平面 ABC,EB⊥平面 ABC,F 是 BC

21. (13 分)已知函数 f(x)= +lnx,其中 a∈R. (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)若不等式 f(x)≥1 在 x∈(0,e]上恒成立,求实数 a 的取值范围. 22. (13 分)已知:过抛物线 x =4y 的焦点 F 的直线交抛物线于 A,B 两个不同的点,过 A, B 分别作抛物线的切线,且二者相交于点 C. (1)求证: ? =0;
2

(2)求△ ABC 的面积的最小值.

河北省保定市 2015 届高三上学期期末数学试卷(文科)

参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1. (5 分)若复数 z= A. B. ,则|z|=() C. 1 D.2

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数代数形式的乘除运算化简,然后代入复数模的计算公式求解. 解答: 解:∵z= = ,

∴|z|=



故选:C. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数模的求法,是基础的计算题. 2. (5 分)已知集合 M={x|2 ≥1},N={x||x|≤2},则 M∪N=() A. B. D.
x

(0,2)

考点: 并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 M 与 N 中不等式的解集确定出 M 与 N,找出两集合的并集即可. x 0 解答: 解:由 M 中不等式变形得:2 ≥1=2 ,得到 x≥0,即 M=, 则 M∪N= 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据三角函数的周期公式求出 ω 即可. 解答: 解:∵函数 f(x)=sin(ωx+ ∴周期 T= =π,解得 ω=2, ) , + )=sin( + )=sin =1, ) (ω>0)的最小正周期为 π,

即 f(x)=sin(2x+ 则 f( )=sin(2×

故选:A. 点评: 本题主要考查三角函数值的求解,根据函数的周期求出 ω 是解决本题的关键. 4. (5 分)在区间内随机取出一个实数 a,则 a∈(0,1)的概率为() A.0.5 B.0.3 C.0.2 D.0.1

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 本题利用几何概型求概率,首先解得的区间长度以及与区间(0,1)的长度,求比 值即得. 解答: 解:利用几何概型,其测度为线段的长度, 区间的长度为 10,a∈(0,1)的区间长度为 1,由几何概型公式得,a∈(0,1)的概率为 ;

故选 D. 点评: 本题主要考查了几何概型, 简单地说, 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区 域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. 5. (5 分)运行如图所示的程序框图,则输出的结果 S 为()

A.2014

B.2013

C.1008

D.1007

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 根据题意,模拟程序框图的运行过程,即可得出该程序运行的是什么. 解答: 解:根据题意,模拟程序框图的运行过程,得: 该程序运行的是 当 k<2014 时,计算 S=0+1﹣2+3﹣4+…+(﹣1) ∴该程序运行后输出的是: 2012 S=0+1﹣2+3﹣4+…+(﹣1) ?2013 =1× ×=1007. 故选:D. 点评: 本题考查了程序框图的应用问题, 解题时应模拟程序框图的运行过程, 以便得出正 确的结论.
k﹣1

?k;

6. (5 分)已知实数 x,y 满足约束条件

,则 z=2x+4y 的最大值是()

A.2 考点: 专题: 分析: 解答:

B. 0

C.﹣10

D.﹣15

简单线性规划. 不等式的解法及应用. 作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义,利用数形结合即可得到结论. 解:作出不等式组对应的平面区域如图:

由 z=2x+4y 得 y=﹣ x+ , 平移直线 y=﹣ x+ ,由图象可知当直线 y=﹣ x+ 经过点 O 时, 直线 y=﹣ x+ 的截距最大,此时 z 最大, 此时 z=0, 故选:B.

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用 z 的几何意义, 通过数形结合是解决本题的关 键.

7. (5 分)如图



为互相垂直的两个单位向量,则| + |=()

A.20

B.

C. 2

D.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用.

分析: 以



是互相垂直的单位向量,所在的直线分别为 x 轴和 y 轴,建立直角坐标

系,得到向量 , 的终点坐标和起点坐标,从而得到向量 a,b 的坐标,即可得到和向量的 坐标,再由模的公式即可得到答案. 解答: 解:以 , 是互相垂直的单位向量,

所在的直线分别为 x 轴和 y 轴,建立直角坐标系, 则向量 的终点坐标为(3,0) ,起点坐标为(3.5,3.5) , 的终点坐标为(2,3) ,起点坐标为(3.5,3.5) , 则有 =(0.5,3.5) , =(1 .5,0.5) , =(2,4) , 即有| |= =2 .

故选 C. 点评: 本题考查两个向量的加减法的法则,以及其模的公式的运用,考查运算能力,属于 基础题. 8. (5 分) 湖面上飘着一个小球, 湖水结冰后将球取出, 冰面上留下一个半径为 6cm, 深 2cm 的空穴,则取出该球前,球面上的点到冰面的最大距离为() A.20cm B.18cm C.10cm D.8cm 考点: 球的体积和表面积. 专题: 计算题;球. 分析: 先设出球的半径,进而根据球的半径,球面上的弦构成的直角三角形,根据勾股定 理建立等式,求得 r,最后根据球面上的点到冰面的距离的最大值为 2r﹣h,即可得到. 解答: 解:设球的半径为 r, 2 2 依题意可知 36+(r﹣2) =r ,解得 r=10, 则球面上的点到冰面的距离的最大值为 20﹣2=18(cm) . 故选 B. 点评: 本题主要考查了球面上的勾股定理和球面上的点到球的截面的距离的最值, 属基础 题. 9. (5 分)已知等比数列{an}中,若 4a1,a3,2a2 成等差数列,则公比 q=() A.1 B. 1 或 2 C.2 或﹣1 D.﹣1 考点: 专题: 分析: 解答: 等比数列的通项公式. 等差数列与等比数列. 由等差中项的性质和等比数列的通项公式,列出关于公比 q 的方程,再求解即可. 解:设等比数列{an}的公比为 q,

因为 4a1,a3,2a2 成等差数列, 所以 2a3=4a1+2a2,即
2



化简得 q ﹣q﹣2=0,解得 q=2 或 q=﹣1, 故选:C. 点评: 本题考查等差中项的性质,等比数列的通项公式,以及方程思想,属于基础题.

10. (5 分)已知函数 f(x)= 能是()

+2ax+c,a≠0,则它们的图象可

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 求出函数 f(x)的导数,判断导函数的对称轴,排除 选项,利用函数的单调性排 除 C,推出结果. 解答: 解:因为 f(x)= ,f′(x)=ax +2ax+c,
2

则函数 f′(x)即 g(x)图象的对称轴为 x=﹣1,故可排除 A,D; 由选项 C 的 图象可知,当 x>0 时,f'(x)>0,故函数 在(0,+∞)

上单调递增, 但图象中函数 f(x)在(0,+∞)上不具有单调性,故排除 C. 本 题应选 B. 故选:B. 点评: 本题考查函数的图象的判断,导数的应用,考查分析问题解决问题的能力. 11. (5 分)已知函数 f(x)=|log2x|,0<m<n,且 f(m)=f(n) ,若函数 f(x)在区间上 2 的最大值为 2,则 m =()

A.

B.

C.

D.

考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 2 2 分析: 由题意可得﹣log2m=log2n, 从而化得 mn=1; 从而可得 ( f m) =|log2m |=﹣2log2m=2, 从而解得. 解答: 解:∵f(m)=f(n) ,0<m<n; ∴﹣log2m=log2n; 故 mn=1; 故函数 f(x)在区间上的最大值为 f(m )=|log2m |=﹣2log2m=2; 故 m= , 故m = ; 故选 A. 点评: 本题考查了对数函数的应用,属于基础题. 12. (5 分)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 BC 边上的高 为 则 + 取得最大值时,内角 A 的值为() A. B. C. D.
2 2 2

a,

考点: 正弦定理;基本不等式. 专题: 解三角形;不等式的解法及应用. 分析: 利用三角形的面积计算公式可得 理及已知可得 =4sin(A+
2

×

a = bcsinA 即 a =2

2

2

bcsinA,利用余弦定

)≤4,从而可解得 A 的值.

解答: 解:∵ × ∴a =2 ∵cosA=
2 2 2 2

a = bcsinA,

bcsinA. , bcsinA+2bccosA )≤4,

∴b +c =a +2bccosA=2 ∴ ∴ = =2

sinA+2cosA=4sin(A+ =2k

的最大值是 4 时有 A+

,k∈Z

∴可解得:A=2k ∵0<A<π ∴A=

,k∈Z

故选:D. 点评: 本题考查了三角形的面积计算公式、余弦定理、两角和差的正弦计算公式,考查了 推理能力与计算能力,属于中档题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上.. 13. (4 分)若 x>1 时,x
a﹣1

<1,则 a 的取值范围是 a<1.

考点: 指、对数不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用 . 分析: 由 x>1,x <1,可得 x 围可求. 解答: 解:∵x>1,
a﹣1 a﹣1 0 a﹣1 a﹣1

<x ,结合指数函数的单调性得 a﹣1<0,则 a 的范

0

∴由 x <1,得 x <x , 即 a﹣1<0,则 a<1. 故答案为:a<1. 点评: 本题考查了指数不等式的解法,考查了指数函数的单调性,是基础题. 14. (4 分)下图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的体积是 8π.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;压轴题;图表型. 分析: 由三视图及题设条件知, 此几何体为一个圆柱从中挖掉一个同底等高的圆锥, 它们 的高与半径已知,故可用圆柱的体积减去圆锥的体积来求此几何体的体积. 解答: 解:根据三视图,由几何体的定义知:该几何体是底面半径为 2,母线长为 3 的圆 柱, 从中挖掉一个同底等高的圆锥, 圆柱的体积为 3×π×2 =12π,圆锥的体积为 故此空间几何体的体积为 12π﹣4π=8π 故答案为 8π 点评: 本题考点是由三视图求几何体的面积、体积,考查对三视图的理解与应用,主要考 查三视图与实物图之间的关系, 用三视图中的数据还原出实物图的数据, 再根据相关的公式
2

求表面积与体积,本题求的是一个组合体的体积,由于其开关的特殊性,本题采取了割补的 方法求体积, 补充了一个圆锥使几何体成了一个圆柱, 然后用圆柱的体积减去圆锥的体积来 求此几何体的体积.三视图的投影规则是:“主视、俯视 长对正;主视、左视高平齐,左视、 俯视 宽相等”,本题以实际应用题为背景考查立体几何中的三视图.三视图是新课标的新增 内容,在以后的 2015 届高考中有加强的可能 15. (4 分)已知圆 C:x ﹣2ax+y =0(a>0)与直线 l:x﹣ 考点: 圆的切线方程. 专题: 直线与圆. 分析: 联立方程消去 x 由△ =0 解关于 a 的方程可得 a 值. 解答: 解:∵圆 C:x ﹣2ax+y =0(a>0)与直线 l:x﹣ y+3=0 相切, 2 ∴联立方程消去 x 可得 4y ﹣2 (a+3)y+6a+9=0, 2 2 由△ =(2 ) (a+3) ﹣4×4×(6a+9)=0 可得 a=3 或 a=﹣1(舍去) 故答案为:3. 点评: 本题考查直线与圆的位置关系,涉及一元二次方程根的个数问题,属中档题. 16. (4 分) 设互不相等的平面 向量组 若 = + +…+ (m≥2) ,则| (i=1, 2, 3, …) , 满足: ①| |的取值集合为 . |=2; ② =0,
2 2 2 2

y+3=0 相切,则 a=3.

?

考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由| , 4. = |=2, ? =0, (i∈N ) . 可得
*









,且 i 的最大值为 +…+ + ,对 m 分类讨论即可

得出. 解答: 解:∵| ∴ ∴ = , , |=2, , , = ? =0, (i∈N ) . , ,且 i 的最大值为 4. +…+ =4m+ + ,
*

若 m=2 时,

=8,∴|

|=2



若 m=3 时, 若 m=4 时,

=4,∴

=2; =0.

=4×4﹣2×8=0,∴ }.

∴|Tm|的取值集合为{0,2,2

故答案为: . 点评: 本题考查了向量的垂直与数量积的关系、数量积的运算性质、分类讨论思想方法, 考查了推理能力与计算能力,属于难题. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. (12 分)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 bsinC﹣ ccosB=0. (1)求 tanB; (2)若 b=7,求△ ABC 的周长的最大值. 考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 解三角形;不等式的解法及应用. 分析: (1)由已知和正弦定理可得 sinBsinC﹣ (2)由(1)知,B=
2

sinCc osB=0,即可求得 tanB 的值;
2

,由余弦定理可得(a+c) =3ac+49≤ (a+c) +49,即有 a+c≤14(当

且仅当 a=c=7 时取等号) ,即可求△ ABC 的周长的最大值. 解答: 解: (1)∵bsinC﹣ ccosB=0, ∴sinBsinC﹣ sinCcosB=0…(2 分) ∵sinC≠0,cosB≠0 ∴tanB= …(4 分) (2)由(1)知,B= 由 7 =a +c ﹣2accosB,得 49=a +c ﹣ac,…(7 分) ∴(a+c) =3ac+49≤ (a+c) +49 ∴a+c≤14(当且仅当 a=c=7 时取等号) , ∴△ABC 周长的最大值为 21 …(10 分) 点评: 本题主要考察了正弦定理、余弦定理的应用,不等式的解法,综合性强,属于中档 题. 18. (12 分)已知等差数列{an}的前 Sn 项和为 Sn,a1=3,{bn}为等比数列,且 b1=1,bn>0, * b2+S2=10,S5=5b3+3a2,n∈N (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)求数列{an?bn}的前 n 项和 Tn. 考点: 数列的求和;等差数列的性质;等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式即可得出; (2)利用“错位相减法”、等比数列的其前 n 项和公式即可得出. 解答: 解: (1)设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q,
2 2 2 2 2 2 2

由 b2+S2=10,S5=5b3+3a2,n∈N ,可得:

*



解得 q=2 或 q=﹣ ∴d=2.

(舍) ,

∴数列{an}的通项公式是 an=2n+1. 数列{bn}的通项公式是
n﹣1



(2)anbn=(2n+1)×2 . 2 n﹣1 Tn=3+5×2+7×2 +…+(2n+1)×2 , 2 n﹣1 n ∴2Tn=3×2+5×2 +…+(2n﹣1)×2 +(2n+1)×2 , ∴﹣Tn=3+2×(2+2 +…+2
n 2 n﹣1

)﹣(2n+1)×2 =

n

﹣(2n+1)×2 =2

n

n+1

﹣1﹣(2n+1)×2 , n * ∴Tn=(2n﹣1)×2 +1. (n∈N ) . 点评: 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、“错位相减法”,考 查了推理能力与计算能力,属于中档题. 19. (12 分)为了解甲、乙两厂的产品质量,分别从两厂生产的产品中各随机抽取 10 件, 测量产品中某种元素的含量(单位:毫克) ,其测量数据的茎叶图如图:规定:当产品中此 种元素含量大于 18 毫克时,认定该产品为优等品. (1)试比较甲、乙两厂生产的产品中该种元素含量的平均值的大小; (2)现从乙厂抽出的非优等品中随机抽取两件,求至少抽到一件该元素含量为 10 毫克或 13 毫克的产品的概率.

考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率;茎叶图. 专题: 概率与统计. 分析: (1)根据茎叶图的知识,和平均数的定义,求出平均数比较即可; (2)记含量为 10 和 13 毫克的两件为 A,B,其他非优质品分别为 C,D,E,F 则“从六件 非优质品中随机抽取两件”,共 15 个,其中“至少抽到一件含量为 10 毫克或 13 毫克的产品” 所组成的基本事件有 9 个,根据概率公式计算即可 解答: 解: (1)甲厂平均值为 乙厂平均值为 (9+18+15+16+19+13+23+20+25+21)=17.9,

(18+14+15+16+19+10+13+21+20+23)=16.9,

所以甲厂平均值大于乙厂平均值 (2)记含量为 10 和 13 毫克的两件为 A,B,其他非优质品分别为 C,D,E,F 则“从六件 非优质品中随机抽取两件”,基本事件有:AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF, CD,CE,CF,DE,DF,EF,共 15 个. “至少抽到一件含量为 10 毫克或 13 毫克的产品”所组成的基本事件有:AB,AC,AD,AE, AF,BC,BD,BE,BF,共 9 个, 故所求概率 P= =

点评: 本题考查了茎叶图的知识以及等可能事件的概率, 关键是一一列举出所有的基本事 件,属于基础题

20. (12 分)在棱锥 A﹣BCDE 中,∠BAC= BC 的中点,AB=AC=BE=2,CD=1. (1)求证:EF⊥AD; (2)求三棱锥 F﹣ADE 的高.

,DC⊥平面 ABC,EB⊥平面 AB C,F 是

考点: 棱锥的结构特征;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (1)利用线面垂直的判定与性质证明 AF⊥FE,利用勾股定理,证明 DF⊥EF,可 得 EF⊥平面 AFD,即可证明 FE⊥A D; (2)利用等体积法求三棱锥 F﹣ADE 的高. 解答: (1)证明:∵DC⊥平面 ABC,∴DC⊥AF, 又∵AB=AC,F 是 BC 的中点,∴AF⊥BC, ∴AF⊥平面 BCD ∴AF⊥FE…2 分 2 2 2 2 2 2 2 2 2 在△ DEF 中,DE =BC +(EB﹣DC) =9,DF =DC +CF =3,EF =EB +BF =6, 2 2 2 ∴DE =DF +EF ,∴DF⊥EF,…5 分 ∴EF⊥平面 AFD,故 FE⊥AD…6 分 (2)解:由(1)知 DF⊥EF,∴S△ DEF= DF×EF= ∵S△ DEF=S 梯形 BCDE﹣S△ DCF﹣S△ BEF= 在△ DEF 中, ∴由余弦定理得 ,∴ …9 分 …7 分 …7 分)

∴S△ DEA= 设三棱锥 F﹣ADE 的高 h,则 S△ DEF×AF= ∴h=1,即三棱锥 F﹣ADE 的高为 1…12 分. 点评: 证明线线垂直通常利用线面垂直进行证明, 求三棱锥的高可利用等体积法进行转化 求解. 21. (13 分)已知函数 f(x)= +lnx,其中 a∈R. (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)若不等式 f(x)≥1 在 x∈(0,e]上恒成立,求实数 a 的取值范围. 考点: 函数恒成立问题;函数单调性的判断与证明. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)求函数的定义域,利用函数单调性和导数之间的关系即可求出函数的单调区 间, (2)化简不等式,分离参数,构造函数,利用导数求出函数最大值,问题得以解决. 解答: 解: (1)∵定义域为(0,+∞) ∴f′(x)=﹣ + = ,

①当 a≤0,f′(x)≥0,恒成立, ∴f(x)在定义域(0,+∞)单调递增; ②当 a>0,当 x>a 时,f′(x)>0,f(x)单调递增; 当 0<x<a,f′(x)<0,f(x)单调递减. ∴函数 f(x)的单调递增区间: (a,+∞) ,单调递减区间: (0,a) (2)∵f(x)≥1 在(0,e]上恒成立, ∴ +lnx≥1, 即 a≥﹣xlnx+x 任意 x∈(0,e]上恒成立, 令 g(x)=﹣xlnx+x,x∈(0,e], ∴g′(x)=﹣lnx, 令 g′(x)=0,解得 x=1, ∴g(x)在(0,1]递增,在(1,e]递减, ∴g(x)max=g(1)=1, ∴a≥1 点评: 本题主要考查了导数和函数的单调性和最值的关系,以及恒成立问题,分离参数, 求最值是常用的方法,属于中档题 22. (13 分)已知:过抛物线 x =4y 的焦点 F 的直线交抛物线于 A,B 两个不同的点,过 A, B 分别作抛物线的切线,且二者相交于点 C. (1)求证: ? =0;
2

(2)求△ ABC 的面积的最小值.

考点: 抛物线的简单性质;平面向量数量积的运算. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(x0,y0) .设 A B:y=kx+1,代入抛物线方 程得 x ﹣4kx﹣4=0, 由 y=
2

, 可得 y′=

, 分别得出直线 AC, BC 的方程联立解得 x0=2k, ? =0; 若 k=0, 即可得出 ? =0;

y0=﹣1. 对 k 分类讨论, k≠0 时, 可得 kAB?kCF=﹣1, 可得 (2)由(1)知,点 C 到 AB 的距离 d=|CF|=2 |AB|=|AF|+|FB|=y1+y2+2,可得 .

,利用抛物线定义可得:

解答: (1)证明:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(x0,y0) . 2 2 设直线 AB 方程:y=kx+1,代入 x =4y 得 x ﹣4kx﹣4=0, ∴x1+x2=4k,x1x2=﹣4. ,y′= , ,直线 BC 的方程为: , 联立解得 x0=2k,y0=﹣1. ①若 k≠0,则 kCF=﹣ , ∴kAB?kCF=﹣1, ∴ ? =0; =(﹣2k,2) , =(x2﹣x1,k(x2﹣x1) ) , =﹣2k(x2﹣x1)+2k(x2

直线 AC 的方程为:

②若 k=0, ﹣x1)=0, ∴ ? =0;

(2)解:由(1)知,点 C 到 AB 的距离 d=|CF|=2



|AB|=|AF|+|FB|=y1+y2+2=k(x1+x2)+4=4k +4, ∴ = ,

2

∴当 k=0 时,△ ABC 的面积的最小值为 4.

点评: 本题考查了抛物线的定义及其标准方程及其性质、 利用导数研究抛物线的切线、 向 量垂直与数量积的关系、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于难题.


赞助商链接

...2016学年河北省保定市高二(上)期末数学试卷(文科)(...

2015-2016学年河北省保定市高二()期末数学试卷(文科)(解析版)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年河北省保定市高二()期末数学试卷(文科)一...

山东省滨州市2015届高三上学期期末数学试卷(文科)

山东省滨州市2015届高三上学期期末数学试卷(文科)_数学_高中教育_教育专区。山东省滨州市 2015 届高三上学期期末数学试卷(文科)一、选择题(本大题共有 10 个小...

辽宁省葫芦岛市2015届高三上学期期末数学试卷(文科)

(t 是参数)交直线 AB 于点 D,交 y 轴于 辽宁省葫芦岛市 2015 届高三上学期期末数学试卷 (文科)参考答案与试题解析 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 ...

河北省邯郸市2015届高三上学期摸底数学试卷(文科)

河北省邯郸市2015届高三上学期摸底数学试卷(文科)_数学_高中教育_教育专区。河北省邯郸市 2015 届高三上学期摸底数学试卷(文科)一.选择题 1. (5 分)已知集合 ...

山东省青岛市2015届高三上学期期末数学试卷(文科)

山东省青岛市2015届高三上学期期末数学试卷(文科)_数学_高中教育_教育专区。山东省青岛市 2015 届高三上学期期末数学试卷(文科)一、选择题:本题共 10 个小题,...

浙江省金华市十校联考2015届高三上学期期末数学试卷(文科)

(x3) ,求证: x1+x2+x3≥﹣ +1. 浙江省金华市十校联考 2015 届高三上学期期末数学试卷 (文科)参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题...

内蒙古赤峰市2015届高三上学期期末数学试卷(文科)

(x+a)≤1﹣a 成立,求 a 的取值范围. 内蒙古赤峰市 2015 届高三上学期期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 ...

河北省保定市2015年高考数学一模试卷(文科) Word版含解析

河北省保定市2015年高考数学一模试卷(文科) Word版含解析_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2015 年河北省保定市高考数学一模试卷(文科)一、选择题本大题共 12 ...

河北省唐山市2017届高三上学期期末数学试卷(文科) Word...

(x)≥1,求 a 的取值范围. 2016-2017 学年河北省唐山市高三 () 期末数学试卷 (文科)参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 ...

辽宁省葫芦岛市2015届高三上学期期末数学试卷(文科)(Wo...

辽宁省葫芦岛市 2015 届高三上学期期末数学试卷(文科)一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1. (5 分)已知集合 M={x||x﹣1|<2,x∈R}...