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2014届(浙江)高考数学(理)二轮专题训练:第1部分 专题一 第5讲 导数的简单应用(选择、填空题型)

时间:2014-04-17


第五讲 导数的简单应用?选择、填空题型?
[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

考 点 导数的几何意义 导数与函数的单调性
源:Z+xx+k.Com]

考 情 1.高考对导数的考查多以解答题的形式出现. 2.在选择题或填空题中, 以导数的几何意义为考查重点, 如 2013 年广
[来

东 T10 等.

[来源:学科网]

3.利用导数研究函数的单调性、求函数的极值问题也常出现在解答题 导数与函数的极值 中,且难度较小,如 2013 年新课标全国卷ⅡT10,湖北 T10,重庆 T17.
源:Z_xx_k.Com] [来

4.以导数的几何意义为背景,设置导数与解析几何等知识点有关的综 合问题是一类新兴问题,也符合高考要求中关于在不同知识点交汇处 导数与函数的最值 命题的基本思路,希望引起同学们的注意.

1.(2013· 浙江高考)已知函数 y=f(x)的图像是下列四个图像之一,且其 导函数 y=f′(x)的图像如图所示,则该函数的图像是( )

A

B

C

D

解析:选 B 由函数 f(x)的导函数 y=f′(x)的图像自左至右是先增后减,可知函数 y= f(x)图像的切线的斜率自左至右先增大后减小. 2.(2013· 湖北高考)已知 a 为常数,函数 f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点 x1,x2(x1<x2), 则 1 A.f(x1)>0,f(x2)>- 2 1 B.f(x1)<0,f(x2)<- 2 1 C.f(x1)>0,f(x2)<- 2 ( )

1 D.f(x1)<0,f(x2)>- 2 解析:选 D ∵f(x)=x(ln x-ax), ∴f′(x)=ln x-2ax+1. 又函数 f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点 x1,x2, ∴f′(x)=ln x-2ax+1 有两个零点 x1,x2,即函数 g(x)=ln x 与函数 h(x)=2ax-1 有两个交点. ∴a>0,且 0<x1<x2. 设经过点(0,-1)的曲线 g(x)=ln x 的切线与曲线 g(x)=ln x 相切于点(x0,ln x0),则切 1 线方程为 y-ln x0= (x-x0),将点(0,-1)代入,得 x0=1,故切点为(1,0).此时,切线的 x0 斜率 k=1, ∴要使函数 g(x)=ln x 与函数 h(x)=2ax-1 的图像有两个交点, 结合图像可知, 0<2a<1, 1 即 0<a< 且 0<x1<1<x2. 2 由函数的单调性得: (0,x1) f′(x) f(x) - ? x1 0 极小值 (x1,x2) + ? x2 0 极大值 (x2,+∞) - ?

1 ∴f(x1)<0,f(x2)>f(1)=-a>- . 2 3.(2013· 江西高考)设函数 f(x)在(0,+∞)内可导,且 f(ex)=x+ex,则 f′(1)=________. 1 解析:因为 f(ex)=x+ex,所以 f(x)=x+ln x(x>0),所以 f′(x)=1+ ,所以 f′(1)=2. x 答案:2 4.(2012· 新课标全国卷)曲线 y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为____________. 解析:y′=3ln x+4,所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为 4,所以切线方程为 y-1=4(x -1),即 y=4x-3. 答案:y=4x-3 5.(2012 · 浙江高考)定义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离.已知曲线 C1:y=x2+a 到直线 l:y=x 的距离等于曲线 C2:x2+(y+4)2=2 到直线 l:y=x 的距离,则实数 a=____________. 解析: 因曲线 C2: x2+(y+4)2=2 到直线 l: y=x 的距离为 则曲线 C1 与直线 l 不能相交,即 x2+a>x,∴x2+a-x>0. 设 C1:y=x2+a 上一点为(x0,y0), 0-?-4? - 2=2 2- 2= 2, 2

? |x0-y0| -x0+x2 0+a 则点(x0,y0)到 直线 l 的距离 d= = = 2 2
9 所以 a= . 4 9 答案: 4

?x0-1?2+a-1 2? 4 4a-1
2 ≥ 4 2

= 2,

1.四个易误导数公式 (1)(sin x)′=cos x; (2)(cos x)′=-sin x; (3)(ax)′=axln a(a>0); 1 (4)(logax)′= (a>0,且 a≠1). xln a 2.四个重要概念 (1)切线的斜率 函数 f(x)在 x0 处的导数是曲线 f(x)在点 P(x0, f(x0))处的切线的斜率, 因此曲线 f(x)在点 P 处的切线的斜率 k=f′(x0),相应的切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). (2)函数的单调性 在某个区间(a,b)内,如果 f′(x)>0(f′(x)<0),那么函数 y=f(x)在这个区间内单调递增 (单调递减). (3)函数的极值 设函数 f(x)在点 x0 附近有定义,如果对 x0 附近所有的点 x,都有 f(x)<f(x0),那么 f(x0)是 函数的一个极大值,记作 y 极大值=f(x0);如果对 x0 附近的所有的点都有 f(x)>f(x0),那么 f(x0) 是函数的一个极小值,记作 y 极小值=f(x0).极大值与极小值统称为极值. (4)函数的最值 将函数 y=f(x)在(a,b)内的各极值与端点处的函数值 f(a),f(b)比较,其中最大的一个是 最大值,最小的一个是最小值.

热点一

导数的几何意义

[例 1] (1)(2013· 东城检测)曲线 y=xex+1 在点(0,1)处的切线方程是( A.x-y+1=0 C.x-y-1=0 B.2x-y+1=0 D.x-2y+2=0

)

(2)直线 y=kx+1 与曲线 y=x3+ax+b 相切于点 A(1,3),则 a-b 的值为(

)

A.-4

B.-1 C.3

D.-2

[自主解答] (1)y′=ex+xex,y′|x=0=1,∴曲线 y=xex+1 在点(0,1)处的切线方程是 y -1=x,即 x-y+1=0. (2)由题易知,直线 y=kx+1 和曲线 y=x3+ax+b 均过点 A(1,3),则 k=2,a+b=2; 又 y′=3x2+a,则 k=y′|x=1=3+a=2,所以 a=-1,b=3. [答案] (1)A (2)A

——————————————————规律· 总结——————————————

求曲线 y=f(x)的切线方程的三种类型 (1)已知切点 P(x0,y0),求切线方程 求出切线的斜率 f′(x0),由点斜式写出方程; (2)已知切线的斜率 k,求切线方程 设切点 P(x0,y0),通过方程 k=f′(x0)解得 x0,再由点斜式写出方程; (3)已知切线上一点(非切点),求切线方程 设切点 P(x0,y0),利用导数求得切线斜率 f′(x0),再由斜率公式求得切线斜率,列方程 ( 组)解得 x0,再由点斜式或两点式写出方程.

a 1. 已知直线 ax-by-2=0 与曲线 y=x3 在点 P(1,1)处的切线互相垂直, 则 的值为( b 1 A. 3 2 C.- 3 2 B. 3 1 D.- 3

)

解析:选 D 设曲线 y=x3 在点 P(1,1)处的切线斜率为 k,则 k=y′|x=1=3.因为直线 ax a 1 -by-2=0 与曲线 y=x3 在点 P(1,1)处的切线互相垂直,所以 =- . b 3 2.已知函数 y=f(x)的图像如图所示,则其导函数 y=f′(x)的图像可能是( )

A

B

C

D

解析:选 A 函数 f(x)的图像自左向右看,在 y 轴左侧,依次是增、减、增;在(0,+ ∞)上是减. 因此, f′(x)的值在 y 轴左侧, 依次是正、 负、 正, 在(0, +∞)上的取值恒非正. 结 合各选项知,只有 A 项符合题意.

热点二

利用导数研究函数的单调性

1 1 ,+∞?上是增函数,则 a 的取值 [例 2] (1)(2013· 全国高考)若函数 f(x)=x2+ax+ 在? ? x ?2 范围是( ) B.[-1,+∞) D.[3,+∞)

A.[-1,0] C.[0,3]

1 (2)设函数 f( x)=x(ex-1)- x2,则函数 f(x)的单调增区间为________. 2 1 1 ? [自主解答] (1)f′(x)=2x+a- 2,因为函数在? ?2,+∞?是增函数,所以 f′(x)≥0 在 x 1 1 1 2 ?1,+∞?上恒成立, ? 即 a≥ 2-2x 在? 设 g(x)= 2-2x, g′(x)=- 3-2, ?2 ? ?2,+∞?上恒成立. x x x 1 2 ? ?1? 令 g′(x)=- 3-2=0,得 x=-1,当 x∈? ?2,+∞?时,g′(x)<0,故 g(x)max=g?2?=4-1 x =3,所以 a≥3. 1 (2)因为 f(x)=x(ex-1)- x2, 2 所以 f′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1). 令 f′(x)>0,即(ex-1)(x+1)>0, 解得 x∈(-∞,-1)或 x∈(0,+∞). 所以函数 f(x)的单调增区间为(-∞,-1]和[0,+∞). [答案] (1)D 互动探究 (2)(-∞,-1]和[0,+∞)

x 若将本例(2)中的函数 f(x)更换为“f(x)= ”,如何求解? ln x ln x-1 x 解:f(x)= ,则 f′(x)= 2 ,令 f′(x)>0,则 ln x>1,即 x>e. ln x ln x 又∵函数 f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞), ∴函数 f(x)的单调递增区间为[e,+∞).

——————————————————规律· 总结—————————————— 利用导数研究函数单调性的步骤 第一步:确定函数 f(x)的定义域; 第二步:求 f′(x); 第三步:解方程 f′(x)=0 在定义域内的所有实数根; 第四步: 将函数 f(x)的间断点(即 f(x)无定义的点)的横坐标和各实数根按从小到大的顺序 排列起来,分成若干个小区间; 第五步:确定 f′(x)在各小区间内的符号,由此确定每 个区间的单调性.

π 0, ?上的函数 f(x),f′(x)是它的导函数,且恒有 f(x)<f′(x)· 3.定义在? tan x 成立,则 ? 2? ( ) π? ?π? A. 3f? ?4?> 2f?3? π? ?π? C. 2f? ?6?>f?4? π? B.f(1)<2f? ?6?sin 1 π? ?π? D. 3f? ?6?<f?3?

cos xf?x?-f′?x?sin x 解析:选 D 由 f(x)<f′(x)tan x 得 cos xf(x)-f′(x)· sin x<0,则 <0, sin2x f?x? ? π? π π π 即 在 0, 上为单调递增函数,比较其在 x= , , 和 1 时的大小,可知 A、B、C 错, sin x ? 2? 6 4 3 D 正确. 4.若函数 f(x)=2x2-ln x 在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则 实数 k 的取值范围是________. 1 解析:f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=4x- . x 1 ? ?k-1<2<k+1, 1 由 f′(x)=0,得 x= .据题意得? 2 ? ?k-1≥0, 3 解得 1≤k< . 2

3? 答案:? ?1,2?

热点三

利用导数研究函数的极值与最值

[例 3] (1)(2013· 浙江高考)已知 e 为自然对数的底数,设函数 f(x)=(ex-1)(x-1)k(k= 1,2),则( )

A.当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取到极小值 B.当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取到极大值 C.当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取到极小值 D.当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取到极大值 (2)(2013· 安徽高考)若函数 f(x)=x3+ax2+bx+ c 有极值点 x1,x2,且 f(x1)=x1,则关于 x 的方程 3(f(x))2+ 2af(x)+b=0 的不同实根个数是( A.3 C.5
x

) B.4 D.6

[自主解答] (1)当 k=1 时,f(x)=(e -1)(x-1),则 f′(x)=ex(x-1)+(ex-1)=exx-1, 所以 f′(1)=e-1≠0,所以 f(1)不是极值. 当 k=2 时,f(x)=(ex-1)(x-1)2,则 f′(x)=ex(x-1)2+2(ex-1)(x-1)=ex(x2-1)-2(x -1)=(x-1 )· [ex(x+1)-2], 所以 f′(1)=0,当 x>1 时,f′(x)>0;在 x=1 附近的左侧,f′(x)<0,所以 f(1)是极小 值. (2)因为 f′(x)=3x2+2ax+b,3(f(x))2+2af(x)+b=0, 方程 3x2+2ax+b=0 的两根分别为 x1,x2,所以 f(x)=x1 或 f(x)=x2.当 x1 是极大值点时 f(x1)=x1,x2 为极小值点,且 x2>x1,如 图 1 所示可知方程 f(x)=x1 有 2 个实根,f(x)=x2 有 1 个实根,故方程 3(f(x))2+2af(x)+b=0 共有 3 个不同实根. 当 x1 是极小值点时,f(x1)=x1,x2 为极大值点,且 x2<x1,如图 2 可知方程 f(x)=x1 有 2 个实根,f(x)=x2 有 1 个实根,故方程 3(f(x))2+2af(x)+b=0 共有 3 个不同实根. 综上,可知方程 3(f(x))2+2af(x)+b=0 共有 3 个不同实根.

[答案] (1)C

(2)A

——————————————————规律· 总结——————————————

理解可导函数的极值应注意三点 (1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定,有可能极大值小于极小值, 也有可能极小值大于极大值; (2)对于可导函数 f(x), “f(x)在 x =x0 处的导数 f′(x)=0”是“f(x)在 x=x0 处取得极值” 的必要不充分条件; (3)注意导函数的图像与原函数图像的关系,导函数由正变负的零点是原函数的极大值 点,导函数由负变正的零点是原函数的极小值点.

5.设函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R).若 x=-1 为函数 f(x)ex 的一个极值点,则下 列图像不可能为 y=f(x)图像的是( )

A

B

C

D

解析:选 D 若 x=-1 为函数 f(x)ex 的一个极值点,则易得 a=c.因选项 A、B 的函数 为 f(x)=a(x+1)2,则[f(x)ex]′=f′(x)ex+f(x)(ex)′=a(x+1)(x+3)ex,∴x=-1 为函数 f(x)ex b 的一个极值点满足条件;选项 C 中,对称轴 x=- >0,且开口向下,∴a<0,b>0,∴f(- 2a b 1)=2a-b<0,也满足条件;选项 D 中,对称轴 x=- <-1,且开口向上,∴a>0,b>2a, 2a ∴f(-1)=2a-b<0,与图像矛盾. 6.已知函数 f(x)的导数 f′(x)=a(x+1)(x-a),若 f(x)在 x=a 处取得极大值,则 a 的取 值范围是________. 解析: 若 a=0, 则 f′(x)=0, 函数 f(x)不存在极值; 若 a=-1, 则 f′(x)=-(x+1)2≤0, 函数 f(x)不存在极值;若 a>0,当 x∈(-1,a)时,f′(x)<0,当 x∈(a,+∞)时,f′(x )>0, 所以函数 f(x)在 x=a 处取得极小值;若-1<a<0,当 x∈(-1,a)时,f′(x)>0,当 x∈(a,+ ∞)时, f′(x)<0, 所以函数 f(x)在 x=a 处取得极大值; 若 a<-1, 当 x∈(-∞ , a)时, f′(x)<0, 当 x∈(a,-1)时,f′(x)>0,所以函数 f(x)在 x=a 处取得极小值.所以 a∈(-1,0). 答案:(-1,0)


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