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高中物理奥林匹克竞赛模拟题及答案


高中物理奥赛模拟试题一
1. (10 分)1961 年有人从高度 H=22.5m 的大楼上向地面发射频率为υ 0 的光子, 并在地面上测 量接收到的频率为υ ,测得υ 与υ 0 不同,与理论预计一致,试从理论上求出

? ??0 的值。 ?0

2. (15 分)底边为 a,高度为 b 的匀质长方体物块置于斜面上,斜面和物块之间的

静摩擦因数 为μ ,斜面的倾角为θ ,当θ 较小时,物块静止于斜面上(图 1),如果逐渐增大θ ,当θ 达 到某个临界值θ 0 时,物块将开始滑动或翻倒。试分别求出发生滑动和翻倒时的θ ,并说明 在什么条件下出现的是滑动情况,在什么条件下出现的是翻倒情况。

a b
θ
图1

3. (15 分)一个灯泡的电阻 R0=2Ω ,正常工作电压 U0=4.5V,由电动势 U=6V、内阻可忽略的 电池供电。利用一滑线变阻器将灯泡与电池相连,使系统的效率不低于η =0.6。试计算滑线 变阻器的阻值及它应承受的最大电流。求出效率最大的条件并计算最大效率。

4. (20 分)如图 2,用手握着一绳端在水平桌面上做半径为 r 的匀速圆周运动,圆心为 O,角 速度为ω 。绳长为 l,方向与圆相切,质量可以忽略。绳的另一端系着一个质量为 m 的小球, 恰好也沿着一个以 O 点为圆心的大圆在桌面上运动,小球和桌面之间有摩擦,试求: ⑴ 手对细绳做功的功率 P; ⑵ 小球与桌面之间的动摩擦因数μ 。 ω rO

· m
v
图2

l

5. (20 分)如图 3 所示,长为 L 的光滑平台固定在地面上,平台中间放有小物体 A 和 B,两 者彼此接触。A 的上表面是半径为 R 的半圆形轨道,轨道顶端距台面的高度为 h 处,有一 个小物体 C,A、B、C 的质量均为 m。在系统静止时释放 C,已知在运动过程中,A、C 始 终接触,试求: ⑴ 物体 A 和 B 刚分离时,B 的速度; R C A B h ⑵ 物体 A 和 B 分离后,C 所能达到的距台面的最大高度; L ⑶ 试判断 A 从平台的哪边落地, 并估算 A 从与 B 分离到落地所经历的 时间。 图3 6. (20 分)如图 4 所示,PR 是一块长 L 的绝缘平板,整个空间有一平行于 PR 的匀强电场 E,

·

在板的右半部分有一个垂直于纸面向外的匀强磁场 B。一个质量为 m、带电量为 q 的物体, 从板的 P 端由静止开始在电场力和摩擦力的作用下向右做匀加速运动,进入磁场后恰能做 匀速运动。当物体碰到板 R 端挡板后被弹回,若在碰撞瞬间撤去电场,物体返回时在磁场 中仍做匀速运动,离开磁场后做匀减速运动停在 C 点,PC= 数为μ 。求: ⑴ 物体与挡板碰撞前后的速度 V1 和 V2; ⑵ 磁感强度 B 的大小; ⑶ 电场强度 E 的大小和方向。

L ,物体与平板间的动摩擦因 4
E B P C
图4

R

7. (20 分)一只蚂蚁从蚂蚁洞沿直线爬出, 已知爬出速度 v 的大小与距蚂蚁洞中心的距离 L 成 反比,当蚂蚁到达距蚂蚁洞中心的距离 L1=1m 的 A 点时,速度大小为 v1=20cm/s,问当蚂蚁 到达距蚂蚁洞中心的距离 L2=2m 的 B 点时,其速度大小为 v2=? 蚂蚁从 A 点到达 B 点所用 的时间 t=?

8. (20 分)在倾角为 30°的斜面上,固定两条足够长的光滑平行导轨,一个匀强磁场垂直于 斜面向上,磁感强度 B=0.4T,导轨间距 L=0.5m,两根金属棒 ab、cd 水平地放在导轨上, 金属棒质量 mab=0.1kg,mcd=0.2kg,两根金属棒总电阻 r=0.2Ω ,导轨电阻不计(如图 5)。现 使金属棒 ab 以 v=2.5m/s 的速度沿斜面向上匀速运动。求: ⑴ 金属棒 cd 的最大速度; a v ⑵ 在 cd 有最大速度时,作用在 ab 上的外力做功的功率。 B c b
30° 30° 图5

d

高中物理奥赛模拟试题一答案
1. 解:光子的重力势能转化为光子的能量而使其频率变大,有 mgH=h(υ -υ 0) 而根据爱因斯坦的光子说和质能方程,对光子有 hυ 0=mc2 解以上两式得:

? ? ? 0 gH 10 ? 22.5 ? 2 ? ? 2.5 ? 10?15 8 2 ?0 c (3 ? 10 )
a
φ

2. 解:刚开始发生滑动时,mgsinθ 0=μ mgcosθ 0 tanθ 0=μ ,即θ 0=arctanμ 刚开始发生翻倒时,如答图 1 所示,有θ 1=φ , a a tanφ = ,φ =arctan b b 即θ 1≥arctan

b

θ
答图 1

a 时,发生翻倒。 b

综上所述,可知: a a 当μ > 时,θ 增大至 arctan 开始翻倒; b b 当μ <

a 时,θ 增大至 arctanμ 开始滑动。 b
R2 R1 R0
答图 2

3. 解:如答图 2 所示,流过灯泡的电流为 I0=U0/R 0=2.25A,其功率为 P0= U0 I0=U02/R 0=10.125W。用 R 1 和 R2 表示变阻器两个部分的电阻值。系统的总电流为 I1,消耗的 E 总功率为 P1= U I1,

P U0 效率为 ? ? 0 ? ………………………① P1 UR0 I 1
因 U0、U 和 R 0 的数值已给定,所以不难看出,效率与电流 I1 成反比。若效率为 0.6, 则有 I 1 ?
2

2

×

U0 ? 2.81A ………………② UR0?

变阻器的上面部分应承受这一电流。利用欧姆定律,有

R2 ?

U ?U0 ? 0.53? ………………③ I1 U0 ? 8? ………………④ I1 ? I 0

变阻器下面部分的阻值为 R1 ?

变阻器的总电阻为 8.53Ω 。 式①表明,本题中效率仅决定于电流 I1。当 I1 最小,即 I1=0 时效率最大,此时 R1= ∞(变阻器下面部分与电路断开连接),在此情形下,我们得到串联电阻为

R2 ?

U ?U0 ? 0.67? , I0

效率为 ? ?

U0 U U ? 0 ? 0 ? 0.75 UR0 I 0 UU 0 U
v

2

2

4. 解:⑴ 设大圆为 R。由答图 3 分析可知 R= r 2 ? l 2 设绳中张力为 T,则 Tcosφ =m Rω 2,cosφ =

r
T φR

ω

l R

ω
答图 3

f

故 T=

m? R , l
2 2

P=T·V=

m? 2 R 2 m? 3 r (r 2 ? l 2 ) ?? ? r ? l l

⑵ f =μ mg=Tsinφ T=

m? 2 R 2 m? 2 (r 2 ? l 2 ) ? l l

sinφ =

r ? R

r r2 ? l2

所以,μ =

? 2r r 2 ? l 2
gl

5. 解:⑴ 当 C 运动到半圆形轨道的最低点时,A、B 将开始分开。在此以前的过程中,由 A、B、C 三个物体组成的系统水平方向的动量守恒和机械能守恒,可得: mVA+mVB +mVC=0 mgR=

1 1 1 mVA2+ mVB2+ mVC2 2 2 2 1 3 gR 3

而 VA=VB 可解得:VB=

⑵ A、B 分开后,A、C 两物体水平方向的动量和机械能都守恒。C 到最高点时,A、 C 速度都是 V,C 能到达的最大高度为 l,则 mVB=2mV mg(l+R-h)+ 可解得:l=h-

1 1 1 (2m)V2= mVA2+ mVC2 2 2 2

R 4
L 2 VB 2

⑶ 很明显,A、C 从平台左边落地。因为 L>>R,所以可将 A、C 看成一个质点,速 度为

1 VB,落下平台的时间 t ? 2

?

3 L gR

6. 解:物体碰挡板后在磁场中做匀速运动,可判断物体带的是正电荷,电场方向向右。

⑴ 物体进入磁场前, 在水平方向上受到电场力和摩擦力的作用, 由静止匀加速至 V1。

(qE ? ?mg ) ?

L 1 2 ? mV1 …………………① 2 2

物体进入磁场后,做匀速直线运动,电场力与摩擦力相等

? (mg ? qV1 B) ? qE …………………②
在碰撞的瞬间,电场撤去,此后物体仍做匀速直线运动,速度为 V2,不再受摩擦力, 在竖直方向上磁场力与重力平衡。

qV2 B ? mg …………………③
离开磁场后,物体在摩擦力的作用下做匀减速直线运动

1 1 2 ? ?mg ? L ? 0 ? mV 2 …………………④ 4 2
由④式可得: V2 ?

2?gL 2

代入③式可得: qB ?

m 2 g / ?L

…………………⑤

解以上各方程可得: V1 ? ⑵ 由③式得: B ? ⑶ 由②式可得:

2?gL

m 2 ?gL mg ? qV 2 q? L

E?

?mg
q

? ?V1 B ?

?mg
q

? ? ? 2?gL ?

m 2?gL 3?mg ? q?L q
1 ,代入已知得:k=vL=0.2× L

7. 解:由已知可得:蚂蚁在距离洞中心上处的速度 v 为 v=k 1m2/s=0.2 m2/s,所以当 L2=2m 时,其速度 v2=0.1m/s 由速度的定义得:蚂蚁从 L 到 L+Δ L 所需时间Δ t 为

?t ?

?L 1 ? ? L ? ?L ……………………① v k
?s ? v ? ?t v ? at ?

类比初速度为零的匀加速直线运动的两个基本公式 ? ?

在 t 到 t+Δ t 时刻所经位移Δ s 为 ?s ? a ? t ? ?t ………………② 比较①、②两式可以看出两式的表述形式相同。 据此可得蚂蚁问题中的参量 t 和 L 分别类比为初速度为零的匀加速直线运动中的 s 和

1 相当于加速度 a。 k 1 1 1 2 于是,类比 s= a t2 可得:在此蚂蚁问题中 t ? ? ? L 2 2 k
t,而

1 2 ? ?t1 ? 2k L1 令 t1 对应 L1,t2 对应 L2,则所求时间为 ? 1 2 ?t 2 ? L2 2k ?
代入已知可得从 A 到 B 所用时间为: Δ t=t2-t1=

1 1 2 2 ( L2 ? L1 ) ? (2 2 ? 12 ) s =7.5s 2k 2 ? 0.2

8. 解:开始时,cd 棒速度为零,ab 棒有感应电动势,此时可计算出回路中的电流,进而求 出 cd 棒所受到的安培力 F(可判断出安培力方向沿斜面向上)。 如果 F>mcdgsin30°,cd 将加速上升,产生一个跟电流方向相反的电动势,回路中的 电流将减小,cd 棒所受到的安培力 F 随之减小,直到 F=mcdgsin30°。 如果 F<mcdgsin30°,cd 将加速下滑,产生一个跟电流方向相同的电动势,回路中的 电流将增大,cd 棒所受到的安培力 F 随之增大,直到 F=mcdgsin30°。 ⑴ 开始时,cd 棒速度为零,回路中的电流

I?

B l v 0.4 ? 0.5 ? 2.5 ? A ? 2.5 A r 0.2

这时 cd 棒受到平行斜面向上的安培力 F=I lB=2.5×0.5×0.4N=0.5N 而 mcdgsin30°=0.2×10×0.5N=1N 故 cd 将加速下滑。当 cd 的下滑速度增大到 vm 时,需要有安培力 F=mcdgsin30° 此时回路中的电流 I m ?

Blv ? Blvm Bl(v ? v m ) ? r r

cd 受到的安培力 F=ImlB=mcdgsin30° 所以 v m ?

mcd g sin 30? ? r 1 ? 0.2 ?v ? ( 2 ? 2.5)m / s ? 2.5m / s 2 2 B l 0.4 ? 0.5 2

即金属棒 cd 的最大速度为 2.5m/s。 ⑵ 当 cd 棒速度达到最大值 vm 时。回路中的电流

Im ?

Bl(v ? v m ) 0.4 ? 0.5 ? (2.5 ? 2.5) ? A ? 5A r 0.2

作用在 ab 棒上的外力 F=ImlB+mabgsin30°=(5×0.5×0.4+0.1×10×0.5)N=1.5N 外力做功的功率 PF=Fv=1.5×2.5W=3.75W


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