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高一立体几何练习题

时间:2017-11-07


东城中学第五周周练(立几)
一.选择题: (12*5=60) 1.设有两条直线 a、b 和两个平面

? 、?

,则下列命题中错误的是





A.若 a // ? ,且 a // b ,则 b ? ? 或 b // ? C.若 ? (A)棱台

/>B.若 a // b ,且 a ? ? , b ? ? ,则 ? D.若 a ? b ,且 a // ? ,则 b ? ? ) (D)都不对

// ?

// ? ,且 a ? ? , b ? ? ,则 a // b
(B)棱锥 (C)棱柱

2.有一个几何体的三视图如下图所示,这个几何体应是一个(

3、正三棱锥 S — ABC 的侧棱长和底面边长相等, 如果 E、F 分别为 SC,AB 的中点, 那么异面直线 EF 与 SA 所成角为 A. 9 00 B. 6 00 ( ) D. 3 00

C. 4 50

4.右图是正方体的平面展开图,在这个正方体中: ①BM 与 DE 平行; ②CN 与 BE 是异面直线; ③CN 与 BM 成 60°角 ④DM 与 BN 垂直 以上四个命题中,正确的是 A.①②③ B.②④ ( ) C.②③④

D.③④

王新敞
奎屯

新疆

D.③④
?

5、一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45 , 腰和上底边均为 1 的等腰梯形,则这个平面图形的面积是 ( ) A.

1 2 ? 2 2

B.

2? 2

C.

1? 2

D.

1?

2 2

6、给出下列关于互不相同的直线 m, n, l 和平面 ? , ? 的四个命题:

( 1 )

m ? ? , l ? ? ? A, 点A ? m,



l

与 m 不 共 面 ;( 2 )

l

、 m 是 异 面 直 线 , ;( 4 ) 若

l // ? , m // ? , 且n ? l , n ? m, 则n ? ?

;( 3 ) 若

l // ? , m // ? , ? // ? , 则l // m
,其中为错误的命题是 (

l ? ? , m ? ? , l ? m ? 点A, l // ? , m // ? ,则 ? // ?
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

)个.

7、设 a、b 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面,则下列四个命题: ① 若a

? b , a ? ? , b ? ? ,则 b // ? ;②若 a // ?
,?

,

? ? ? ,则 a ? ?



③若 a

??

? ? ,则 a // ?
A.0

或 a ? ? ;④若 a B.1 C.2

? b , a ? ? , b ? ? ,则 ? ? ?
D.3 ( )

其中正确命题的个数为

8. 定点 P 不在△ABC 所在平面内,过 P 作平面α ,使△ABC 的三个顶点到α 的距离相等,这样的平面共 有( ) (A)1个 (B)2个
S P
P
P

(C)3个

(D)4个

9、下列各图是正方体或正四面体,P,Q,R,S 分别是所在棱的中点,这四个点中不共面 的一个图是 ...
S P
S

S P
P

S
S
P

Q

Q
Q Q

R

R

S

P

S

R

R
R

R

P

P
P
Q

R

R P

Q

Q
P

Q
P

P
R

P
SS
Q R

R

R

Q

Q

Q Q

S

SS S

R

R RR S

S
Q

Q Q

(A)

(B)

(C)

(D)

10、如图,在一根长 11cm,外圆周长 6cm 的圆柱形柱体外表面,用一根细铁丝缠绕,组成 10 个螺旋, 如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上,则铁丝长度的最小值为 (A) 61cm (B) 157 cm (C) 1021 cm (D)10 37 cm

11.如图,在长方体

BC、 A1F 的两 C ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? 6, AD ? 4, AA1 ? 3 ,分别过 D D1 1 1 1
A1 D E B F E1 B1 C

个平行截面将长方体分成三部分, 其体积分别记为 V1 若 V1

? VAEA1 ?DFD1 , V3 ? VB1E1B?C1F1C 。

: V2 : V3 ? 1 : 4 : 1 ,则截面 A1 EFD1 的面积为 10
(B) 8

A

(A) 4

3

(C) 4

13

(D) 16

12. 已知球的两个平行截面的面积分别为 5π 和 8π ,它们位于球心的 同一侧且相距是 1,那么这个球的半径是( A.4 B.3 C.2 二.填空题: (4*6=24) 13 已知a、b为不垂直的异面直线,α 是一个平面,则a、b在 α 上的射影有可能是.①两条平行直 线 号是 ②两条互相垂直的直线 ③同一条直线 ④一条直线及其外一点在一面结论中,正确结论的编 (写出所有正确结论的编号). 中点,将△ ADE 与△ BEC 分别沿 ED、EC 向上折起,使 A、B 重 合于点 P, 则三棱锥 P-DCE 的外接球的体积为________ __ S F ) D.5

14.如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB=2DC=2,∠DAB=60° ,E 为 AB 的

D

C
A

D E B C

A

E

B

15如图,一个盛满水的三棱锥容器,不久发现三条侧棱上各有一个小洞

D, E, F

,且知

SD : DA :? SE : EB ? CF : FS ? 2 : 1 ,若仍用这个个容器盛水,则最多可盛水的体积是原来的__
16. 平面??∥平面??,过平面??、??外一点 P 引直线 PAB 分别交??、??于 A、B 两点,PA=6,AB=2,引直 线 PCD 分别交??、??于 C、D 两点.已知 BD=12,则 AC 的长等于_______

三.解答题:

例 1 如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD, AC⊥CD,∠ABC=60° ,PA=AB=BC,E 是 PC 的中点. 证明:(1)CD⊥AE;(2)PD⊥平面 ABE.

例 2.如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, ?DAB ? 60? , AB ? 2 AD , PD ? 底面 ABCD. ( 1)证明: PA ? BD ; ( 2)设 PD=AD=1,求棱锥 D-PBC 的高 .

? ?DAB ? 60?, AB ? 2 AD, 证明: ( 1)

由余弦定理得 BD ? 3 AD

P

故 BD⊥AD. 从而BD2+AD2= AB2,
又 PD⊥底面ABCD, 得 BD⊥PD ∴ BD⊥平面PAD. 故 PA⊥BD.
A
D B C

由(1)知 BD⊥AD. (2)解: ∴ AD//BC, 故 BD⊥BC. 由底面ABCD为平行四边形, 又 PD⊥底面ABCD, 可得 BC⊥PD, ∴ BC⊥平面PBD. 又 BC ? 平面PBC, ∴平面PBD⊥平面PBC. 如图,作DE⊥PB,垂足为E.
A D B P E C

则由面面垂直的性质知 DE⊥平面PBC, 则 PD=1, 即 DE就是棱锥D-PBC的高. 由题设知,
3 BD ? 3 , PB=2, 得 DE ? , 由 DE· PB=PD· BD, 2 3 . 即棱锥D—PBC的高为 2

例 2(2012· 江苏)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1B1=A1C1,D,E 分别 是棱 BC,CC1 上的点(点 D 不同于点 C),且 AD⊥DE,F 为 B1C1 的中点. 求证:(1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1;(2)直线 A1F∥平面 ADE.

变式 2:(2011· 江苏)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD, AB=AD,∠BAD=60° ,E,F 分别是 AP,AD 的中点. 求证:(1)直线 EF∥平面 PCD;(2)平面 BEF⊥平面 PAD.

例 3 如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中, 平面 PAD⊥平面 ABCD,AB∥DC,△PAD 是 等边三角形,已知 BD=2AD=8,AB=2DC=4 5. (1)设 M 是 PC 上的一点,求证:平面 MBD⊥平面 PAD; (2)求四棱锥 P—ABCD 的体积.

例 3.如图 1,在 Rt ?ABC 中, ?C ? 90? , D, E 分别为 AC, AB 的中点,点 F 为线段 CD 上的一点,将 ?ADE 沿

DE 折起到 ?A1 DE 的位置,使 A1F ? CD ,如图 2.
( 1)求证: A1F ? BE ; ( 2)线段 A ? 平面 DEQ ? 1B 上是否存在点 Q ,使 AC 1 说明理由 .
A A1 D F C B C
图1

E D F
图2

E B

(1)证明:由已知得 AC⊥BC且DE//BC,∴ DE⊥AC.

? DE ? A1 D, DE ? CD. ∴ DE⊥平面A1DC.
? DE ? A1F . 而A1F ? 平面A1DC,
又 A1 F ? CD , 故 A1F⊥平面BCDE. ? A1F ? BE .
A A1 D F C B C
图1

E D F
图2

E B

线段A1B上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ. (2)解:

理由如下: 如图,分别取A1C, A1B的中点P,Q, 则PQ//BC.
又DE//BC, ∴ DE//PQ. 所以平面DEQ 即为平面DEP.

由(1)知, DE⊥平面A1DC,

? DE ? A1C .
又P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点,

? A1C ? DP , ∴ A1C⊥平面DEP.
从而 A1C⊥平面DEQ.

故线段A1B上存在点Q,使得A1C⊥平面DEQ.

二、重难点突破
考点1 线面平行的判定与性质 例 1.如图 ,在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中 , AD ? AA 1 ? a, AB ? 2a ,E 是 BC 的中点 , M , N 分别是 AE, CD1 的中点 .
求证: MN // 面 ADD1 A 1.

证明: 如图,取AD的中点F,AF的中点M1,DD1的中点N1,
D1 ∵ M、N分别为AE、CD1的中点, A1 1 ? MM1 / / EF / / 1 CD / / NN N1 1 2 2 D F ∴MNN1M1为平行四边形, M
1

C1 N M B B1 C E

∴ MN//M1N1,

A

又 MN ? 平面 ADD1A1, ∴ MN//面ADD A . 1 1

例 1.如图 ,在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中 , AD ? AA 1 ? a,

AB ? 2a ,E 是 BC 的中点 , M , N 分别是 AE, CD1 的中点 . 求证: MN // 面 ADD1 A 1.
如图,取CD的中点K,连结MK,NK. 证明2:
∵M,N,K分别为AE,CD1,CD的中点, A1 ∴ MK//AD,NK//DD1.
D1 N K M B E B1 C C1

∴MK//面ADD1A1,NK//面ADD1A1, D ∴面MNK//面ADD1A1.
∴ MN//面ADD1A1.
A

法三:以 D 为原点, DA, DC, DD1 所在直线分别 为 x 轴, y 轴, z 轴,建立直角坐标系.则 A? a,0,0? , B ? a,2a,0? , C ? 0,2a,0? , A1 ? a,0, a ? , D1 ? 0,0, a ? 3a a ∵M,N分别是AE,CD1的中点,则 M ( , a , 0), N (0, a , ), ???? ? 4 2 3 a ? MN ? ( ? a , 0 , ). 4 2 ? ???? ? ? 又面ADD1A1的一法向量为 n ? (0,1,0), 且 MN ? n ? 0 z ???? ? ? ? MN ? n D1 C1
又 MN ? 平面 ADD1A1,
∴ MN//面ADD1A1. x
A A1 N D B1

C M
B E

y

考点2 面面平行的判定与性质 例2.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形, E、F、G分别是AB、PC、CD的中点. 求证: (1)平面EFG//平面PAD; P (2)EF//平面PAD. 证明: (1)取AC的中点O, 则OF//PA, 又PA ?平面PAD,OF ? 平面PAD, H
F A E B

∴OF//平面PAD. O ∵F、G分别是PC、CD的中点, D G C ∴在△PCD中FG//PD, 又PD? 平面PAD,GF ? 平面PAD, ∴ GF//平面PAD. 又 GF ? OF ? F 且 GF ? 面 EFG, OF ? 面 EFG,

∴ 平面EFG//平面PAD.

(2)如图取PD中点H, 连结FH、AH. 由点F为PC中点知 1 FH / / CD , CD / / AB, 2 1 ? FH / / AB , 2
又点E为AB中点, ? FH / / AE ,
P

H

F A O E B

故AEFH为平行四边形,
∴ EF//平面PAD.

D

G

C

∴EF//AH.又 AH ? 平面 PAD,EF ? 平面 PAD,

方法二: (2)由(1)知平面EFG//平面PAD,且EF ?平面EFG, ∴ EF//平面PAD.
P

H

F A O E B

D

G

C

例 3.如图 ,几何体 E ? ABCD 是四棱锥 ,△ ABD 为正三角形, CB ? CD, EC ? BD . 已知 ?BCD ? 120? , M 为线段 AE 中点, 求证: DM ∥平面 BEC .

证明: 如图取AB的中点N,连接DM,DN,MN.

∵ M为AE的中点, ∴ MN//BE
M. 又 MN ? 平面 BEC, BE ? 平面 BEC,

∴ MN∥平面BEC.

又△ABD为正三角形,

? ?BDN ? 30? .

N

?BCD ? 120? , ? ?CBD ? 30? . ∴ DN∥BC. 又 CB=CD,

又 DN ? 平面 BEC , BE ? 平面 BEC ,

∴ DN∥平面BEC. 又 MN ? DN ? N ∴平面DMN∥平面BEC.
又 DN ? 平面 DMN ,
M.

∴ DM∥平面BEC.

N

方法二:如图,延长AD,BC交于点F,连接EF.

? CB ? CD, ?BCD ? 120? , ? ?CBD ? 30? .
∵△ABD为正三角形,

? ?BAD ? 60? , ?ABC ? 90? . 1 ? ?AFB ? 30? . ? AB ? AF 2 又 AB=AD, ∴ D为线段AF的中点.
连DM,由M是线段AE的中点,
得 DM∥EF.
又 DM ? 平面 BEC , EF ? 平面 BEC ,

∴ DM∥平面BEC.

例3

如图所示,在四面体 ABCD 中,截面 EFGH 平行于对棱 AB 和 CD, 试问截面在什么位置时其截面面积最大?

变式 3 如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 为底面 ABCD 的中心,P 是 DD1 的中点,设 Q 是 CC1 上的点, 问:当点 Q 在什么位置时,平面 D1BQ∥平面 PAO?

例3. 如图,四棱锥P-ABCD的侧面PAD 是正三角形且垂直于底面, 底面ABCD是矩形,E是PD的中点. (1)求证:平面ACE⊥平面PCD; (2)若PB⊥AC,求PB与底面AC所成的角.
解: (1)∵ △PAD是正三角形,
E为PD的中点, ∴ AE⊥PD . 又平面PAD⊥平面ABCD , 且ABCD是矩形, CD⊥AD ,
A

P E D C B

∴ CD⊥平面PAD. (面面垂直的性质定理)

∴ CD⊥AE . ∴ AE⊥平面PCD.

? AE ? 平面ACE ,

∴ 平面ACE⊥平面PCD . (面面垂直的判定定理)

连 PO、BO,则 PO⊥AD, (2)设AD的中点为O, ∵平面PAD⊥平面AC , ∴ PO⊥平面AC , ∴ ∠PBO就是PB与底面AC所成的角.

设 AO = a,AC与OB的交点为F, 则 FB = 2OF
∵ PB⊥AC , 由三垂线定理得: AF⊥OB.
2 ? AO ? OF ? OB ? 1 OB , 3 ? OB ? 3a .
2

P

E D O A F B C

? PO ? 3 AO ? 3a ,
∴ ∠PBO = 45° 故 PB与底面AC所成的角为45°.

17.如图,在四面体 ABCD 中,已知所有棱长都为 a,点 E、F 分别是 AB、CD 的中点. (1)求线段 EF 的长;(EF 是两异面直线 AB 与 CD 的公垂线); (2)求异面直线 BC、AD 所成角的大小.12分

18 12分 如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,PQ 分别是线段 AD1 和 BD 上的 点,且 D1P∶PA=DQ∶QB=5∶12.
(1) 求证 PQ∥平面 CDD1C1; (2) 求证 PQ⊥AD;.

19 12分 如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AA1=4,AB=5,点 D 是 AB 的中点, (I)求证:AC⊥BC1; (II)求证:AC 1//平面 CDB1;

20、如图,平面 ABCD ⊥平面 ABEF ,ABCD 是正方形, ABEF 是矩形,且

AF ?

1 AD ? a, G 是 EF 的中点, (1)求证平面 AGC⊥平面 BGC; 2
.13 分

(2)求 GB 与平面 AGC 所成角的正弦值.

21.(13分)如图所示的一组图形为某一四棱锥 S—ABCD 的侧面与底面, (1)请画出四棱锥 S—ABCD 的示意 图,使 SA⊥平面 ABCD,并指出各侧棱长; (2)在(1)的条件下,过 A 且垂直于 SC 的平面分别交于 SB、 SC、SD 于 E、F、G.求证 AE⊥平面 SBC.

22、 (本小题满分 14分)如图,直二面角 D—AB—E 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,AE=EB, F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE. (Ⅰ)求证 AE⊥平面 BCE; (Ⅱ)求二面角 B—AC—E 的大小; (Ⅲ)求点 D 到平面 ACE 的距离.

答案 1-4 DACD ; 5-8BADD 9-12DACB

13 ①②④

14.

6? 8

15

23 27

16,

AC=9.18

17. (1)连 CE、DE,在等边△ABC 中,EC=DE=

3 a, 2

∴EF 是等腰△ECD 底边上的高,EF⊥CD,

EF=

EC 2 ? CF 2

=

2 2

a

(2)方法一: 取 BC 中点 G,连 AG、DG,易知 BC⊥AG、BC⊥DG, ∴BC⊥面 AGD,则 BC⊥AD,∴BC,AD 所成角为 900, 方法二: 取 AC 中点 H,连 EH、FH,则θ =∠EHF 是 BC、AD 所成的角, 由余弦定理得 cosθ =

EH 2 ? HF 2 ? EF 2 2 EH ? HF

=0,θ =900,

18.讲解:

(1)在平面 AD1 内,作 PP1∥AD 与 DD1 交于点 P1,在平面 AC 内,作

QQ1∥BC 交 CD 于点 Q1,连结 P1Q1. ∵

D1 P DQ 5 ? ? , PA QB 12

∴PP1 // QQ1 .? 知 PQ∥P1Q1 ? ?

由四边形 PQQ1P1 为平行四边形, 而 P1Q1 ? 平面 CDD1C1, (2)? AD⊥平面 D1DCC1, 又∵PQ∥P1Q1,

所以 PQ∥平面 CDD1C1 ? ∴AD⊥P1Q1,?

∴AD⊥PQ.?

19.解法一: (I)直三棱柱 ABC-A1B1C1,底面三边长 AC=3,BC=4AB=5, ∴ AC⊥BC,且 BC1 在平面 ABC 内的射影为 BC,∴ AC⊥BC1; (II)设 CB1 与 C1B 的交点为 E,连结 DE,∵ D 是 AB 的中点, E 是 BC1 的中点,∴ DE//AC1, ∵ DE ? 平面 CDB1,AC1 ? 平面 CDB1,∴ AC1//平面 CDB1; 20. (1)证明:正方形 ABCD ? CB ABEF 且交于 AB, ∴CB⊥面 ABEF CB⊥BG 又 AD=2a,AF= a,ABEF 是矩形,G 是 EF 的中点, ∵AG,GB ? 面 ABEF, ∴CB⊥AG,

? AB

∵面 ABCD⊥面

∴AG=BG= AGC,

2a ,AB=2a,

AB2=AG2+BG2,∴AG⊥BG ∵CG∩BG=B ∴AG⊥平面 CBG

而 AG ? 面

故平面 AGC⊥平面 BGC ∴∠BGH 是 GB 与平面 AGC 所成的角

(2)解:如图,由(Ⅰ)知面 AGC⊥面 BGC,且交于 GC,在平面 BGC 内作 BH⊥GC,垂足为 H, 则 BH⊥平面 AGC, ∴在 Rt△CBG 中 BH

?

BC ? BG ? CG

BC ? BG BC ? BG
2 2

?

2 3 a 3

又 BG=

2a ,

∴ sin ?BGH

?

BH 6 ? BG 3

21. (1)画出示意图如右,其中,SA=

2a, SB ? SD ? 3a, SC ? 2a.

(2)∵SC⊥平面 AEFG,A 又 AE ? 平面 AEFG,∴AE⊥SC,∵SA⊥平面 BD,又 BC ? 平 面 BD,∴SA⊥BC.又 AB⊥BC,SA∩AB=A, ∴BC⊥平面 SBA,∴ BC┻AE ∴AE⊥平面 SBC, 22. .解: (Ⅰ)? BF

? 平面 ACE. ? BF ? AE . ∵二面角 D—AB—E 为直二面角,且 CB ? AB , ? CB ? 平面 ABE.

? CB ? AE . ? AE ? 平面B C E . …………4 分
(Ⅱ)连结 BD 交 AC 于 C,连结 FG,

∵正方形 ABCD 边长为 2,∴BG⊥AC,BG=

2,

? BF ? 平面 ACE,
由三垂线定理的逆定理得 FG⊥AC.

? ?BGF

是二面角 B—AC—E 的平面角. …….6 分

由(Ⅰ)AE⊥平面 BCE, 又? AE ∴在等腰直角三角形 AEB 中,BE= 又? 直角 ?BCE中, EC

? EB ,

2.

? BC 2 ? BE 2 ? 6 ,

BF ?

BC ? BE 2 ? 2 2 3 , ? ? EC 3 6

BF ? 直角?BFG中, sin ?BGF ? ? BG
∴二面角 B—AC—E 等于 arcsin (Ⅲ)过点 E 作 EO

2 3 3 ? 6. 3 2
………………………………………9 分

6 . 3

? AB 交 AB 于点 O. OE=1.

∵二面角 D—AB—E 为直二面角,∴EO⊥平面 ABCD. 设 D 到平面 ACE 的距离为 h,?VD? ACE

1 1 ? VE ? ACD , ? S ?ACB ? h ? S ?ACD ? EO. 3 3

1 1 AD ? DC ? EO ? 2 ? 2 ?1 2 3 ? AE ? 平面 BCE,? AE ? EC . ? h ? 2 ? 2 ? . 1 1 3 AE ? EC 2? 6 2 2
∴点 D 到平面 ACE 的距离为

2 3 . 3

………..12 分


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