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人教A版数学必修5教案案

时间:2012-01-07


解三角形
●教学目标 1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用 正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 2、让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生 通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。 ●教学重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用。 教学重点: ●教学难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 教学难点: ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图 1.1-1,固定 ? ABC 的边 CB 及 ∠ B,使边 AC 绕着顶点 C 转动。 思考: ∠ C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系? 显然,边 AB 的长度随着其对角 ∠ C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来? Ⅱ.讲授新课 [探索研究] 探索研究] (图 1.1-1) C B A

在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等 式关系。如图 1.1-2,在 Rt ? ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数 的 A 则 定 义 , 有

a = sin A c c
sin C



b = sin B c





sin C = 1 =

c c

,

a
sin A

=

b
sin B

=

=c =

b

c a (图 1.1-2) B

从而在直角三角形 ABC 中,

a
sin A

b
sin B

=

c
sin C

C

思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? (由学生讨论、分析) 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 如图 1.1-3,当 ? ABC 是锐角三角形时,设边 AB 上的高是 CD,根据任意角三角函数的 定义,有 CD= a sin B = b sin A ,则 同理可得 从而

a
sin A

=

b
sin B

, b A c (图 1.1-3) a B

c
sin C
=

=

b
sin B
=



a
sin A

b
sin B

c
sin C

1

思考: 是否可以用其它方法证明这一等式?由于涉及边长问题, 从而可以考虑用向量来研究 这个问题。

u uuu r r (证法二):过点 A 作 j ⊥ AC ,
由向量的加法可得 则

C

AB = AC + CB
u uur r

uur

uuu uur r u uuu uur r r

j ? AB = j ?(AC + CB )
u uur u uuu u uur r r r r ∴ j ? AB = j ? AC + j ? CB

A

B

j

u r

r uuu r r uuu r j AB cos( 900 ? A ) = 0 + j CB cos( 900 ? C )
∴ c sin A = a sin C ,即

a c = sin A sin C

r uuu r 同理,过点 C 作 j ⊥ BC ,可得
从而

b c = sin B sin C

a
sin A

=

b
sin B

=

c
sin C

类似可推出,当 ? ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立。(由学生课后自己推导) 从上面的研探过程,可得以下定理 正弦定理: 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即

a
sin A
[理解定理] 理解定理]

=

b
sin B

=

c
sin C

(1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即 存在正数 k 使 a = k sin A , b = k sin B , c = k sin C ; (2)

a
sin A

=

b
sin B

=

c
sin C

等价于

a
sin A

=

b
sin B



c
sin C

=

b
sin B



a
sin A

=

c
sin C

从而知正弦定理的基本作用为: ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如 a =

b sin A ; sin B a b

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如 sin A = sin B 。 一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形 解三角形。 解三角形 [例题分析] 例题分析] 例 1.在 ?ABC 中,已知 A = 32.00 , B = 81.80 , a = 42.9 cm,解三角形。 解:根据三角形内角和定理,

C =1800 ? ( A + B) =1800 ? (32.00 + 81.80 )

2

= 66.20 ;
根据正弦定理,

b=

a sin B 42.9sin81.80 = ≈ 80.1(cm) ; sin A sin32.00 a sin C 42.9sin66.20 = ≈ 74.1(cm). sin A sin32.00

根据正弦定理,

c=

评述:对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。 例 2.在 ?ABC 中,已知 a = 20 cm, b = 28 cm, A = 400 ,解三角形(角度精确到 10 ,边 长精确到 1cm)。 解:根据正弦定理,

sin B =

bsin A 28sin400 = ≈ 0.8999. a 20

因为 00 < B < 1800 ,所以 B ≈ 640 ,或 B ≈1160. ⑴ 当 B ≈ 640 时,

C =1800 ? ( A + B) ≈1800 ? (400 + 640 ) = 760 , c= a sin C 20sin760 = ≈ 30(cm). sin A sin400

⑵ 当 B ≈1160 时,

C =1800 ? ( A + B) ≈1800 ? (400 +1160 ) = 240 , c= a sin C 20sin240 = ≈13(cm). sin A sin400

评述:应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形。

Ⅲ.课堂练习 第 4 页练习第 1(1) 、2(1)题。 [补充练习]已知 ? ABC 中, sin A :sin B :sin C = 1:2:3 ,求 a :b :c 补充练习] (答案:1:2:3) Ⅳ.课时小结(由学生归纳总结) 课时小结 (1)定理的表示形式:

a
sin A

=

b
sin B

=

c
sin C

=

a +b +c = k (k > 0) ; sin A + sin B + sin C

或 a = k sin A , b = k sin B , c = k sin C (k > 0) (2)正弦定理的应用范围: ①已知两角和任一边,求其它两边及一角; ②已知两边和其中一边对角,求另一边的对角。
3

Ⅴ.课后作业 第 4 页练习第 1(2) 、2(2)题。

余弦定理
●教学目标 1、掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法,并会运用余弦定理解决两类 基本的解三角形问题。 2、利用向量的数量积推出余弦定理及其推论,并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类 基本的解三角形问题 ●教学重点:余弦定理的发现和证明过程及其基本应用; 教学重点: ●教学难点:勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。 教学难点: ●教学过程 Ⅰ.课题导入 C 如图 1.1-4,在 ? ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c, 已知 a,b 和 ∠ C,求边 c b a

A

c (图 1.1-4)

B

Ⅱ.讲授新课 [探索研究] 探索研究] 联系已经学过的知识和方法,可用什么途径来解决这个问题? 用正弦定理试求,发现因 A、B 均未知,所以较难求边 c。 由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A

uur r uu r uur r r r r r 如图 1.1-5,设 CB = a , CA = b , AB = c ,那么 c = a ? b ,则

b
r

r

c

r

c = c ?c = a ? b a ? b r r r r r r = a ? a + r ? b ?r ar? b 2 r 2 b2 = a + b ? 2a ? b
从而

r2

r r

(

r

r r

)(

r

)
C

a

B

c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab cosC a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A b 2 = a 2 + c 2 ? 2ac cos B
4

(图 1.1-5)

同理可证

于是得到以下定理
余弦定理: 余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角 的余弦的积的两倍。即

a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A b 2 = a 2 + c 2 ? 2ac cos B c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab cosC

思考:这个式子中有几个量?从方程的角度看已知其中三个量,可以求出第四个量,能否由 三边求出一角? (由学生推出)从余弦定理,又可得到以下推论:

cos A = cos B = cosC =
[理解定理] 理解定理]

b2 + c 2 ? a 2 2bc a 2 + c 2 ? b2 2ac b2 + a 2 ? c 2 2ba

从而知余弦定理及其推论的基本作用为: ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边; ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。 思考: 勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系, 余弦定理则指出了一般三角 形中三边平方之间的关系,如何看这两个定理之间的关系? (由学生总结)若 ? ABC 中,C= 900 ,则 cosC = 0 ,这时 c 2 = a 2 + b 2 由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例。 [例题分析] 例题分析] 例 1.在 ? ABC 中,已知 a = 2 3 , c = 6 + 2 , B = 600 ,求 b 及 A ⑴解:∵ b 2 = a 2 + c 2 ? 2ac cos B = (2 3) 2 + ( 6 + 2) 2 ? 2 ? 2 3 ?( 6 + 2) cos 450 = 12 + ( 6 + 2) 2 ? 4 3( 3 +1) =8 ∴ b = 2 2. 求 A 可以利用余弦定理,也可以利用正弦定理: ⑵解法一:∵cos A = ∴ A = 600.

b 2 + c 2 ? a 2 (2 2) 2 + ( 6 + 2 ) 2 ? (2 3) 2 1 = = , 2bc 2 2× 2 2 × ( 6 + 2)

5

a 2 3 解法二:∵sin A = sin B = ?sin450 , b 2 2
又∵ 6 + 2 > 2.4 +1.4 = 3.8,

2 3 < 2×1.8 = 3.6,
∴ a < c ,即 00 < A < 900 , ∴ A = 600. 评述:解法二应注意确定 A 的取值范围。 例 2.在 ? ABC 中,已知 a =134.6cm , b = 87.8cm , c =161.7cm ,解三角形 (见课本第 8 页例 4,可由学生通过阅读进行理解) 解:由余弦定理的推论得: cos A =

b2 + c2 ? a2 2bc 87.82 +161.7 2 ?134.62 2×87.8×161.7

=

≈ 0.5543, A ≈ 56020′ ;
cos B =

c 2 + a 2 ? b2 2ca 134.62 +161.7 2 ? 87.82 2×134.6×161.7

=

≈ 0.8398, B ≈ 32053′ ;

C =1800 ? ( A + B) ≈1800 ? (56020′ + 32053′)
Ⅲ.课堂练习 第 8 页练习第 1(1) 、2(1)题。 [补充练习]在 ? ABC 中,若 a 2 = b 2 + c 2 + bc ,求角 A(答案:A=120 0 ) 补充练习] Ⅳ.课时小结 (1)余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律,勾股定理是余弦定理的特例; (2)余弦定理的应用范围:①.已知三边求三角;②.已知两边及它们的夹角,求第三边。 Ⅴ.课后作业 第 8 页练习第 1(2) 、2(2)题。

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解三角形应用举例 解三角形应用举例
第一课时 ●教学目标 1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题,了解常 用的测量相关术语 2、首先通过巧妙的设疑,顺利地引导新课,为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的 实际情况,采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学 过程, 根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系, 铺开例题, 设计变式, 同时通过多媒体、 图形观察等直观演示,帮助学生掌握解法,能够类比解决实际问题。对于例 2 这样的开放性 题目要鼓励学生讨论,开放多种思路,引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正 ●教学重点:实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后逐个解决三角形,得到实际问题的 教学重点: 解 ●教学难点:根据题意建立数学模型,画出示意图 教学难点: ●教学过程 Ⅰ.课题导入 1、[复习旧知] 复习旧知] 复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形? 2、[设置情境] 设置情境] 请学生回答完后再提问: 前面引言第一章 “解三角形”中, 我们遇到这么一个问题, “遥 不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢?” 在古代, 天文学家没有先进的仪器就已经估算出 了两者的距离,是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢?我们知道,对于未知的距离、高度 等,存在着许多可供选择的测量方案,比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法,或借 助解直角三角形等等不同的方法, 但由于在实际测量问题的真实背景下, 某些方法会不能实 施。 如因为没有足够的空间, 不能用全等三角形的方法来测量, 所以, 有些方法会有局限性。 于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。 今天我们开始学习正弦定理、 余弦定理 在科学实践中的重要应用,首先研究如何测量距离。 Ⅱ.讲授新课 (1)解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意,正确做出图形,把实际问题 里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角,通过建立数学模型来求解 [例题讲解] 例题讲解] (2)例 1、如图,设 A、B 两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在 A 的同
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侧,在所在的河岸边选定一点 C,测出 AC 的距离是 55m, ∠ BAC= 51° , ∠ ACB= 75° 。求 A、B 两点的距离(精确到 0.1m)

启发提问 1: ? ABC 中,根据已知的边和对应角,运用哪个定理比较适当? 启发提问 2:运用该定理解题还需要那些边和角呢?请学生回答。 分析:这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题,题目条 件告诉了边 AB 的对角,AC 为已知边,再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算 出 AC 的对角,应用正弦定理算出 AB 边。 解:根据正弦定理,得
AB sin ∠ACB

=

AC sin∠ABC
ACsin ∠ACB sin∠ABC 55sin ∠ACB sin ∠ABC
55sin75° sin( ° ? 51° ? 75°) 180 55sin75° sin54°

AB = = = =

≈ 65.7(m) 答:A、B 两点间的距离为 65.7 米 变式练习: 两灯塔 A、 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 30 ° , B 灯塔 B 在观察站 C 南偏东 60 ° ,则 A、B 之间的距离为多少? 老师指导学生画图,建立数学模型。 解略: 2 a km ,设计一种测量 A、B 两点间距离的方法。 例 2、如图,A、B 两点都在河的对岸(不可到达) 分析:这是例 1 的变式题,研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造 三角形,所以需要确定 C、D 两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可 求出另两边的方法,分别求出 AC 和 BC,再利用余弦定理可以计算出 AB 的距离。
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解:测量者可以在河岸边选定两点 C、D,测得 CD=a,并且在 C、D 两点分别测得 ∠ BCA= α ,

∠ ACD= β , ∠ CDB= γ , ∠ BDA = δ ,在 ? ADC 和 ? BDC 中,应用正弦定理得
AC = BC =
a sin(γ + δ ) sin[180° ? (β + γ + δ )] a sinγ sin[180° ? (α + β + γ )]

= =

a sin(γ + δ ) sin(β + γ + δ ) a sinγ sin(α + β + γ )

计算出 AC 和 BC 后,再在 ? ABC 中,应用余弦定理计算出 AB 两点间的距离 AB =
AC
2

+ BC

2

? 2 AC × BC cos α

分组讨论:还没有其它的方法呢?师生一起对不同方法进行对比、分析。 变式训练: 若在河岸选取相距 40 米的 C、 两点, D 测得 ∠ BCA=60 ° ,∠ ACD=30 ° ,∠ CDB=45 ° ,

∠ BDA =60 °
略解:将题中各已知量代入例 2 推出的公式,得 AB=20 6 评注:可见,在研究三角形时,灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案,但有些 过程较繁复,如何找到最优的方法,最主要的还是分析两个定理的特点,结合题目条件来选 择最佳的计算方式。 了解测量中基线的概念,并找到生活中的相应例子。 学生阅读课本 4 页,了解测量中基线的概念,并找到生活中的相应例子。 Ⅲ.课堂练习 课本第 14 页练习第 1、2 题 Ⅳ.课时小结 解斜三角形应用题的一般步骤: (1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图 (2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建 立一个解斜三角形的数学模型 (3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解 (4)检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解

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Ⅴ.课后作业 课本第 19 页第 1、2、3 题

解三角形应用举例 解三角形应用举例
第二课时 ●教学目标 1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量 的问题 2、本节课是解三角形应用举例的延伸。采用启发与尝试的方法,让学生在温故知新中学会 正确识图、画图、想图,帮助学生逐步构建知识框架。通过 3 道例题的安排和练习的训练来 巩固深化解三角形实际问题的一般方法。教学形式要坚持引导——讨论——归纳,目的不在于 让学生记住结论,更多的要养成良好的研究、探索习惯。作业设计思考题,提供学生更广阔 的思考空间 ●教学重点:结合实际测量工具,解决生活中的测量高度问题 教学重点: ●教学难点:能观察较复杂的图形,从中找到解决问题的关键条件 教学难点: ●教学过程 Ⅰ.课题导入 提问:现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢?又怎样在水平飞行的飞 机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢?今天我们就来共同探讨这方面的问题 Ⅱ.讲授新课 [范例讲解] 范例讲解] 例 3、AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物,A 为建筑物的最高点,设计一种测量建筑物高度 AB 的方法。

分析:求 AB 长的关键是先求 AE,在 ? ACE 中,如能求出 C 点到建筑物顶部 A 的距离 CA,再 测出由 C 点观察 A 的仰角,就可以计算出 AE 的长。 解:选择一条水平基线 HG,使 H、G、B 三点在同一条直线上。由在 H、G 两点用测角仪器测

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得 A 的仰角分别是 α 、 β ,CD = a,测角仪器的高是 h,那么,在 ? ACD 中,根据正弦定理 可得 AC = AB =
a sin β sin(α ? β )

AE + h AC sin α + h
a sinα sin β + h sin(α ? β )

= =

例 4、如图,在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角 α =54 ° 40′ ,在塔底 C 处测得 A 处 的俯角 β =50 ° 1′ 。已知铁塔 BC 部分的高为 27.3 m,求出山高 CD(精确到 1 m)

师:根据已知条件,大家能设计出解题方案吗? (给时间给学生讨论思考) 若在 ? ABD 中求 CD, 则关键需要求出哪条边呢? 生:需求出 BD 边。 师:那如何求 BD 边呢? 生:可首先求出 AB 边,再根据 ∠ BAD= α 求得。 解:在 ? ABC 中, ∠ BCA=90 ° + β , ∠ ABC =90 ° - α , ∠ BAC= α - β , ∠ BAD = α .根据正弦定 理,

BC AB = sin( ? β) α sin(90° + β )
所以

AB =

BC sin(90° + β ) BCcosβ = sin(α ? β ) sin( ? β) α BC cosβ sinα sin(α ? β )

解 Rt ? ABD 中,得 BD =ABsin ∠ BAD=

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将测量数据代入上式,得 BD =

27.3cos50°1′sin54°40′ sin( °40′ ? 50°1′) 54

=

27.3cos50°1′sin54°40′ sin4°39′

≈177 (m) CD =BD -BC≈177-27.3=150(m) 答:山的高度约为 150 米. 师:有没有别的解法呢? 生:若在 ? ACD 中求 CD,可先求出 AC。 师:分析得很好,请大家接着思考如何求出 AC? 生:同理,在 ? ABC 中,根据正弦定理求得。(解题过程略) 例 5、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到 A 处时测得公路南侧远处一山顶 D 在东偏南 15 ° 的方向上,行驶 5km 后到达 B 处,测得此山顶在东偏南 25 ° 的方向上,仰角为 8 ° , 求此山的高度 CD.

师:欲求出 CD,大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢? 生:在 ? BCD 中 师:在 ? BCD 中,已知 BD 或 BC 都可求出 CD,根据条件,易计算出哪条边的长? 生:BC 边 解:在 ? ABC 中, ∠ A=15 ° , ∠ C= 25 ° -15 ° =10 ° ,根据正弦定理,

BC AB = , sinA sinC
BC =

AB sin A 5 sin 15° = sin C sin 10°

≈ 7.4524(km) CD=BC × tan ∠ DBC≈BC × tan8 ° ≈1047(m)
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答:山的高度约为 1047 米 Ⅲ.课堂练习 课本第 15 页练习第 1、2、3 题 Ⅳ.课时小结 利用正弦定理和余弦定理来解题时,要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的 背景资料中进行加工、抽取主要因素,进行适当的简化。 Ⅴ.课后作业 课本第 19 页练习第 6、7 题

解三角形应用举例 解三角形应用举例 第三课时 ●教学目标 1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题 2、本节课是在学习了相关内容后的第三节课,学生已经对解法有了基本的了解,这节课应 通过综合训练强化学生的相应能力。除了安排课本上的例 1,还针对性地选择了既具典型性 有具启发性的 2 道例题, 强调知识的传授更重能力的渗透。 课堂中要充分体现学生的主体地 位,重过程,重讨论,教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过 程中来,逐步让学生自主发现规律,举一反三。 ●教学重点 能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系 ●教学难点:灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题 教学难点: ●教学过程: 教学过程: Ⅰ.课题导入 [创设情境] 创设情境] 提问: 前面我们学习了如何测量距离和高度, 这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角 求其余边的问题。然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题,在浩瀚无垠的海面上 如何确保轮船不迷失方向,保持一定的航速和航向呢?今天我们接着探讨这方面的测量问 题。 Ⅱ.讲授新课 [范例讲解] 范例讲解] 例 6、如图,一艘海轮从 A 出发,沿北偏东 75 ° 的方向航行 67.5 n mile 后到达海岛 B,然 后从 B 出发,沿北偏东 32 ° 的方向航行 54.0 n mile 后达到海岛 C.如果下次航行直接从 A 出 发到达 C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到 0.1 ° ,距离精确到 0.01n mile)
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学生看图思考并讲述解题思路 教师根据学生的回答归纳分析:首先根据三角形的内角和定理求出 AC 边所对的角 ∠ ABC, 即可用余弦定理算出 AC 边,再根据正弦定理算出 AC 边和 AB 边的夹角 ∠ CAB。 解:在 ? ABC 中, ∠ ABC=180 ° - 75 ° + 32 ° =137 ° ,根据余弦定理, AC= AB 2 + BC 2 ? 2 AB × BC × cos ∠ABC = 67.5 2 + 54.0 2 ? 2 × 67.5 × 54.0 × cos 137 ° ≈113.15 根据正弦定理,
BC = sin ∠CAB AC sin ∠ABC AC

sin ∠ CAB = BC sin ∠ABC =
54 . 0 sin 137 113 . 15
°

≈0.3255, 所以

∠ CAB =19.0 ° ,
75 ° - ∠ CAB =56.0 °

答:此船应该沿北偏东 56.1 ° 的方向航行,需要航行 113.15n mile 补充例、在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为 θ ,沿 BE 方向前进 30m,至点 C 处测 补充例 得顶端 A 的仰角为 2 θ ,再继续前进 10 3 m 至 D 点,测得顶端 A 的仰角为 4 θ ,求 θ 的大小 和建筑物 AE 的高。

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师:请大家根据题意画出方位图。 生:上台板演方位图(上图) 教师先引导和鼓励学生积极思考解题方法, 让学生动手练习, 请三位同学用三种不同方法板 演,然后教师补充讲评。 解法一:(用正弦定理求解)由已知可得在 ? ACD 中, AC=BC=30, AD=DC=10 3 ,

∠ ADC =180 ° -4 θ ,
∴ 10 3 =
sin 2θ

30 。 sin( 180 ° ? 4θ )

因为

sin4 θ =2sin2 θ cos2 θ

∴ cos2 θ =

3 ,得 2

2 θ =30 °

∴ θ =15 ° , ∴ 在 Rt ? ADE 中,AE=ADsin60 ° =15
答:所求角 θ 为 15 ° ,建筑物高度为 15m 解法二:(设方程来求解)设 DE= x,AE=h 在 Rt ? ACE 中,(10 3 + x) 2 + h 2 =30 2 在 Rt ? ADE 中,x 2 +h 2 =(10 3 ) 2 两式相减,得 x=5 3 ,h=15

∴ 在 Rt ? ACE 中,tan2 θ =

h 10 3 + x

=

3 3

∴ 2 θ =30 ° , θ =15 °
答:所求角 θ 为 15 ° ,建筑物高度为 15m 解法三:(用倍角公式求解)设建筑物高为 AE=8,由题意,得
15

∠ BAC= θ ,

∠ CAD=2 θ ,

AC = BC =30m , AD = CD =10 3 m 在 Rt ? ACE 中,sin2 θ = 在 Rt ? ADE 中,sin4 θ =

x 30
4 10 3
,

--------- ①

--------- ②

②÷① 得

cos2 θ =

3 ,2 θ =30 ° , θ =15 ° ,AE=ADsin60 ° =15 2

答:所求角 θ 为 15 ° ,建筑物高度为 15m Ⅲ.课堂练习 课本第 16 页练习 Ⅳ.课时小结 解三角形的应用题时,通常会遇到两种情况: (1)已知量与未知量全部集中在一个三角 形中,依次利用正弦定理或余弦定理解之。 (2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形,这 时需要选择条件足够的三角形优先研究,再逐步在其余的三角形中求出问题的解。 Ⅴ.课后作业 课本第 20 页练习第 9、10 题

解三角形应用举例 解三角形应用举例
●教学目标 1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形 的面积公式的简单推导和应用 2、本节课补充了三角形新的面积公式,巧妙设疑,引导学生证明,同时总结出该公式的特 点, 循序渐进地具体运用于相关的题型。 另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运 用,教师要放手让学生摸索,使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点, 能不拘一格,一题多解。只要学生自行掌握了两定理的特点,就能很快开阔思维,有利地进
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一步突破难点。 ●教学重点:推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目 教学重点: ●教学难点:利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题 教学难点: ●教学过程 Ⅰ.课题导入 [创设情境] 创设情境] 师:以前我们就已经接触过了三角形的面积公式,今天我们来学习它的另一个表达公式。在

? ABC 中,边 BC、CA、AB 上的高分别记为 h a 、h b 、h c ,那么它们如何用已知边和角表
示? 生:h a =bsinC=csinB h b =csinA=asinC h c =asinB=bsinaA

1 ah,应用以上求出的高的公式如 h a =bsinC 代入, 2 1 可以推导出下面的三角形面积公式,S= absinC,大家能推出其它的几个公式吗? 2 1 1 生:同理可得,S= bcsinA, S= acsinB 2 2
师:根据以前学过的三角形面积公式 S= 师: 除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外, 知道哪些条件也可求出三角形的 面积呢? 生:如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解 Ⅱ.讲授新课 [范例讲解] 范例讲解] 例 7、在 ? ABC 中,根据下列条件,求三角形的面积 S(精确到 0.1cm 2 ) (1)已知 a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5 ° ; (2)已知 B=62.7 ° ,C=65.8 ° ,b=3.16cm; (3)已知三边的长分别为 a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm 分析:这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题,与解三角形问题有密切的关系, 我们可以应用解三角形面积的知识,观察已知什么,尚缺什么?求出需要的元素,就可以求 出三角形的面积。 解:(1)应用 S=

1 acsinB,得 2

17

S=

1 × 14.8 × 23.5 × sin148.5 ° ≈90.9(cm 2 ) 2
b sin B

(2)根据正弦定理,

= =

c sin C
b sin C sin B

c S=

1 1 2 sin C sin A bcsinA = b 2 2 sin B

A = 180 ° -(B + C)= 180 ° -(62.7 ° + 65.8 ° )=51.5 °

sin 65.8° sin 51.5° 1 2 S= × 3.16 × ≈4.0(cm 2 ) ° 2 sin 62.7
(3)根据余弦定理的推论,得 cosB =

c2 + a2 ? b2 2ca 2 38.7 + 41.4 2 ? 27.3 2 = 2 × 38.7 × 41.4 ≈0.7697
1 ? cos 2 B ≈ 1 ? 0.7697 2 ≈0.6384 1 acsinB,得 2

sinB = 应用 S= S ≈

1 × 41.4 × 38.7 × 0.6384≈511.4(cm 2 ) 2

例 8、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量 得到这个三角形区域的三条边长分别为 68m,88m,127m,这个区域的面积是多少?(精确到 0.1cm 2 )? 师:你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗? 生:本题可转化为已知三角形的三边,求角的问题,再利用三角形的面积公式求解。 由学生解答,老师巡视并对学生解答进行讲评小结。 解:设 a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论, cosB=

c2 + a2 ? b2 2ca 2 127 + 68 2 ? 88 2 = ≈0.7532 2 × 127 × 68

sinB= 1 ? 0.7532 2 ≈ 0.6578 应用 S=

1 acsinB 2
18

S ≈

1 × 68 × 127 × 0.6578≈2840.38(m 2 ) 2

答:这个区域的面积是 2840.38m 2 。 例 9、在 ? ABC 中,求证: (1)

a 2 + b 2 sin 2 A + sin 2 B = ; c2 sin 2 C

(2) a 2 + b 2 + c 2 =2(bccosA+cacosB+abcosC) 分析:这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题,观察式子左右两边的特点,联想到 用正弦定理来证明 证明:(1)根据正弦定理,可设
a = b = c = k sin A sin B sin C

显然 k ≠ 0,所以 左边=

a 2 + b 2 k 2 sin 2 A + k 2 sin 2 B = c2 k 2 sin 2 C sin 2 A + sin 2 B =右边 sin 2 C

=

(2)根据余弦定理的推论, 右边=2(bc

b2 + c2 ? a2 a2 + b2 ? c2 c2 + a2 ? b2 +ca +ab ) 2bc 2ca 2ab

=(b 2 +c 2 - a 2 )+(c 2 +a 2 -b 2 )+(a 2 +b 2 -c 2 ) =a 2 +b 2 +c 2 =左边 变式练习 1:已知在 ? ABC 中, ∠ B=30 ° ,b=6,c=6 3 ,求 a 及 ? ABC 的面积 S 提示:解有关已知两边和其中一边对角的问题,注重分情况讨论解的个数。 答案:a=6,S=9 3 ;a=12,S=18 3 变式练习 2:判断满足下列条件的三角形形状, (1) acosA = bcosB (2) sinC =

sin A + sin B cos A + cos B

提示:利用正弦定理或余弦定理, “化边为角”或“化角为边” (1) 师:大家尝试分别用两个定理进行证明。
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生 1:(余弦定理)得 a×

b2 + c2 ? a2 c2 + a2 ? b2 =b × 2bc 2ca

∴ c 2 (a 2 ? b 2 ) = a 4 ? b 4 = (a 2 + b 2 )(a 2 ? b 2 )

∴ a 2 = b 2 或c 2 = a 2 + b 2
∴ 根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形
生 2:(正弦定理)得 sinAcosA=sinBcosB,

∴ sin2A=sin2B, ∴ 2A=2B, ∴ A=B ∴ 根据边的关系易得是等腰三角形
师:根据该同学的做法,得到的只有一种情况,而第一位同学的做法有两种,请大家思考, 谁的正确呢? 生:第一位同学的正确。第二位同学遗漏了另一种情况,因为 sin2A=sin2B,有可能推出 2A 与 2B 两个角互补,即 2A+2B=180 ° ,A+B=90 ° (2)(解略)直角三角形 Ⅲ.课堂练习 课本第 18 页练习第 1、2 题 Ⅳ.课时小结 利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式, 然后 化简并考察边或角的关系, 从而确定三角形的形状。 特别是有些条件既可用正弦定理也可用 余弦定理甚至可以两者混用。 Ⅴ.课后作业 课本第 20 页 B 组第 1 题

数列的概念与简单表示法(一 ? 数列的概念与简单表示法 一)?? 一、教学目标 知识与技能: (一)知识与技能:1.理解数列及其有关概念,了解数列和函数之间的关系;2.了解数列的 通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项;3.对于比较简单的数列,会根据其前几项 写出它的通项公式.?? 过程与方法: (二)过程与方法:1.采用探究法,按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法 进行启发式教学;2.发挥学生的主体作用,作好探究性学习;3.理论联系实际,激发学生的 学习积极性.?? 情感态度与价值观: 1.通过日常生活中的大量实例, 鼓励学生动手试验.理论联系实际, (三) 情感态度与价值观:
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激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度,培养学生的辩证唯物主义观点;2.通过 本节课的学习,体会数学来源于生活,提高数学学习的兴趣.?? 二、教学重点 数列及其有关概念,通项公式及其应用.? 三、教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.? 四、教学过程 导入新课? 导入新课? 师 课本图 2.1-1 中的三角形数分别是多少?? 生 1,3,6,10,….? 师 图 2.1-2 中的正方形数呢?? 生 1,4,9,16,25,….? 师 像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些?? 生 -1 的正整数次幂:-1,1,-1,1,…;? 无穷多个数 1 排成一列数:1,1,1,1,….? 生 一些分数排成的一列数:

2 4 6 8 10 , , , , ,….?? 3 15 35 63 99

讲授新课 讲授新课 合作探究] [合作探究]? 折纸问题? 师 请同学们想一想,一张纸可以重复对折多少次?请同学们随便取一张纸试试 生 一般折 5、6 次就不能折下去了,厚度太高了.? 你知道这是为什么吗? 长度单位, 面积单位, 师 你知道这是为什么吗?我们设纸原来的厚度为 1 长度单位,面积为 1 面积单位,随依次 折的次数,它的厚度和每层纸的面积依次怎样?? 生 随着对折数厚度依次为:2,4,8,16,…,256,…;①? 随着对折数面积依次为

1 1 1 1 1 , , , ,…, ,….? 2 4 8 16 256

纸的厚度为原来的 256 倍, 其面积为原来的 1/256, 再折下去太困难了.?? 生 对折 8 次以后, 师 说得很好,随数学水平的提高,我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的 这一列一列的数,看它们有何共同特点?? 生 均是一列数.? 生 还有一定次序.? 师 它们的共同特点:都是有一定次序的一列数.? 教师精讲] [教师精讲]? 1.数列的定义:按一定顺序排列着的一列数叫做数列.? 注意:? (1)数列的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列次序不同, 那么它们就是不同的数列;? (2)定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现.? 2.数列的项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第 1 项(或首 项),第 2 项,…,第 n 项,….同学们能举例说明吗?? 生 例如,上述例子均是数列,其中①中,“2”是这个数列的第 1 项(或首项),“16”是这个数 列中的第 4 项.? 3.数列的分类:? 1)根据数列项数的多少分:? 有穷数列:项数有限的数列.例如数列 1,2,3,4,5,6 是有穷数列.?

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无穷数列:项数无限的数列.例如数列 1,2,3,4,5,6…是无穷数列.? 2)根据数列项的大小分:? 递增数列:从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列.? 递减数列:从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列.? 常数数列:各项相等的数列.? 摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.? 请同学们观察:课本 P 33 的六组数列,哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列? 生 这六组数列分别是(1)递增数列,(2)递增数列,(3)常数数列,(4)递减数列,(5)摆动数列, (6)1.递增数列,2.递减数列.? 知识拓展] [知识拓展]? 师 你能说出上述数列①中的 256 是这数列的第多少项?能否写出它的第 n 项?? 生 256 是这数列的第 8 项,我能写出它的第 n 项,应为 an=2n.? 合作探究] [合作探究]? 同学们看数列 2,4,8,16,…,256,…①中项与项之间的对应关系,? 项 2 4 8 16 32? ↓ ↓ ↓ ↓ ↓? 序号 1 2 3 4 5? 你能从中得到什么启示?? 生 数列可以看作是一个定义域为正整数集 N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函数 an=f(n),当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过来,对于函数 y=f(x),如果 f(i)(i=1、2、3、4…)有意义,那么我们可以得到一个数列 f(1),f(2),f(3),…,f(n),….? 那么这个公 师 说的很好.如果数列{an}的第 n 项 an 与 n 之间的关系可以用一个公式来表示, 式就叫做这个数列的通项公式.? 例题剖析] [例题剖析]? 1.根据下面数列{an}的通项公式,写出前 5 项:? (1)an=

n ;(2)an=(-1)n·n.? n +1

师 由通项公式定义可知,只要将通项公式中 n 依次取 1,2,3,4,5,即可得到数列的前 5 项.? 生 解:(1)n=1,2,3,4,5.a1=

1 2 3 4 5 ;a2= ;a3= ;a4= ;a5= .? 2 3 4 5 6

(2)n=1,2,3,4,5.a1=-1;a2=2;a3=-3;a4=4;a5=-5.? 师 好!就这样解.? 2.根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式:? (1)3,5,7,9,11,…;(2)

2 4 6 8 10 , , , , ,…;? 3 15 35 63 99

(3)0,1,0,1,0,1,…;(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,…;? (5)2,-6,12,-20,30,-42,….? 哪位同学能写出这些数列的一个通项公式?(给学生一定 师 这里只给出数列的前几项的值, 的思考时间)? 生老师,我写好了!? 解:(1)an=2n+1;(2)an=
2n ;(3)an= 1 + (?1) n ;? 2 (2n ? 1)(2n + 1)

(4)将数列变形为 1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,…,?

22

∴an=n+ 1 + (?1) ;?
n

2

(5)将数列变形为 1×2,-2×3,3×4,-4×5,5×6,…,? ∴an=(-1)n+1n(n+1).? 师 完全正确!这是由“数”给出数列的“式”的例子,解决的关键是要找出这列数呈现出的规 律性的东西,然后再通过归纳写出这个数列的通项公式.? 合作探究] [合作探究]? 师 函数与数列的比较(由学生完成此表):? 数列(特殊的函数 特殊的函数) 函数 数列 特殊的函数 * R 或 R 的子集 N 或它的有限子集{1,2,…,n} 定义域 y=f(x) an=f(n) 解析式 点的集合 一些离散的点的集合 图象 师 对于函数,我们可以根据其函数解析式画出其对应图象,看来,数列也可根据其通项公 式来画出其对应图象,下面同学们练习画数列:? 4,5,6,7,8,9,10…;② 1,

1 1 1 , , ,…③的图象.? 2 3 4

生 根据这数列的通项公式画出数列②、③的图象为?

师 数列 4,5,6,7,8,9,10,…②的图象与我们学过的什么函数的图象有关?? 生 与我们学过的一次函数 y=x+3 的图象有关.? 师 数列 1,

1 1 1 , , ,…③的图象与我们学过的什么函数的图象有关?? 2 3 4 1 生 与我们学过的反比例函数 y = 的图象有关.? x

师 这两数列的图象有什么特点?? 生 其特点为:它们都是一群孤立的点.? 生 它们都位于 y 轴的右侧,即特点为:它们都是一群孤立的,都位于 y 轴的右侧?的点.? 本课时的整个教学过程以学生自主探究为主,教师起引导作用,充分体现学生的主体作用, 师 体现新课程的理念.?? 课堂小结] [课堂小结]?对于本节内容应着重掌握数列及有关定义,会根据通项公式求其任意一项, 并会根据数列的前 n 项求一些简单数列的通项公式.?? 布置作业 课本 33 页习题 2.1 A 组第 1、2 题.??

23

数列的概念与简单表示法(二 ? 数列的概念与简单表示法 二)? 一、教学目标 1、了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同;2.会根据数列的递推公式写出 、 数列的前几项.?? 2、过程与方法:1.经历数列知识的感受及理解运用的过程;2.发挥学生的主体作用,作好探 、过程与方法: 究性实验;3.理论联系实际,激发学生的学习积极性.?? 教学重点 根据数列的递推公式写出数列的前几项.? 教学难点 理解递推公式与通项公式的关系.? 二教学过程 导入新课 师 同学们,昨天我们学习了数列的定义,数列的通项公式的意义等内容,哪位同学能谈一 谈什么叫数列的通项公式?? 生 如果数列{an}的第 n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做 这个数列的通项公式.? 师 你能举例说明吗?? * 生 如数列 0,1,2,3,…的通项公式为 an=n-1(n∈N );? 1,1,1 的通项公式为 an=1(n∈N*,1≤n≤3);? 1,

1 1 1 1 , , ,…的通项公式为 an= (n∈N*).? 2 3 4 n

[合作探究]? 合作探究] 数列的表示方法? 师 通项公式是表示数列的很好的方法,同学们想一想还有哪些方法可以表示数列??? 生 图象法,我们可仿照函数图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数 n 为横坐标,相应 的项 an 为纵坐标,即以(n,an)为坐标在平面直角坐标系中作出点(以前面提到的数列 1,

1 1 1 , , ,…为例,作出一个数列的图象),所得的数列的图形是一群孤立的点,因为横坐标 2 3 4
为正整数,所以这些点都在 y 轴的右侧,而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以直观 地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势.? 师 说得很好,还有其他的方法吗?? 生 ……? 师 下面我们来介绍数列的另一种表示方法:递推公式法? 知识都来源于实践,同时还要应用于生活,用其来解决一些实际问题.下面同学们来看右下 图:钢管堆放示意图(投影片).观察钢管堆放示意图,寻其规律,看看能否建立它的一些数学 模型. 生 模型一:自上而下?

第 1 层钢管数为 4,即 1?4=1+3;? 第 2 层钢管数为 5,即 2?5=2+3;? 第 3 层钢管数为 6,即 3?6=3+3;?

24

第 4 层钢管数为 7,即 4?7=4+3;? 第 5 层钢管数为 8,即 5?8=5+3;? 第 6 层钢管数为 9,即 6?9=6+3;? 第 7 层钢管数为 10,即 7?10=7+3.? 若用 an 表示钢管数,n 表示层数,则可得出每一层的钢管数为一数列,且 an=n+3(1≤n≤7). 师 同学们运用每一层的钢管数与其层数之间的对应规律建立了数列模型,这完全正确,运 用这一关系,会很快捷地求出每一层的钢管数.这会给我们的统计与计算带来很多方便.让同 学们继续看此图片,是否还有其他规律可循?(启发学生寻找规律)? 生 模型二:上下层之间的关系? 自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多 1,? 即 a1=4;a2=5=4+1=a1+1;a3=6=5+1=a2+1.? 依此类推:an=a n-1+1(2≤n≤7).? 师 对于上述所求关系,同学们有什么样的理解?? 生 若知其第 1 项,就可以求出第二项,以此类推,即可求出其他项.? 师 看来,这一关系也较为重要,我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式.? 推进新课? 推进新课? 1.递推公式定义:? 如果已知数列{an}的第 1 项(或前几项), 且任一项 an 与它的前一项 an-1(或前 n 项)间的关系可 以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.? 注意:递推公式也是给出数列的一种方法.? 如下列数字排列的一个数列:3,5,8,13,21,34,55,89.? 递推公式为:a1=3,a2=5,an=an-1+a n-2(3≤n≤8).? 2.数列可看作特殊的函数,其表示也应与函数的表示法有联系,函数的表示法有:列表法、 图象法、解析式法.相对于数列来说也有相应的这几种表示方法:即列表法、图象法、解析 式法.? 例题剖析] [例题剖析]? 【例 1】 设数列{an}满足 ? 】
?a1 = 1 1 , n>1 ? ?a n = 1 + a n ?1 ?

.写出这个数列的前五项.?

师 分析:题中已给出{an}的第 1 项即 a1=1,题目要求写出这个数列的前五项,因而只要再 求出二到五项即可.这个递推公式:an=1+

1 我们将如何应用呢?? a n?1

然后依次这样进行就可 生 这要将 n 的值 2 和 a1=1 代入这个递推公式计算就可求出第二项, 以了.? 师 请大家计算一下!? 生 解:据题意可知:a1=1,a2=1+

1 1 2 1 5 8 =2,a3=1+ = ,a4=1+ = ,a5= ? a1 a2 3 a3 3 5

师 掌握递推公式很关键的一点就是其中的递推关系,同学们要注意探究和发现递推公式中 的前项与后项,或前后几项之间的关系.? 【例 2】 已知 a1=2,an+1=2an,写出前 5 项,并猜想 an.? 】 师 由例 1 的经验我们先求前 5 项.?

25

生 师 生 师 生 师

前 5 项分别为 2,4,8,16,32.? 对,下面来猜想第 n 项.? 由 a1=2,a2=2×2=22,a3=2×22=23 观察可得,我猜想 an=2n.? 很好!? 老师,本题若改为求 an 是否还可这样去解呢?? 不能.必须有求解的过程.?
an ?1

生 老师,我由 a n+1=2an 变形可得 an=2a n-1,即 an = 2 ,依次向下写,一直到第一项,然后 将它们乘起来,就有 an × an?1 × an?2 × …× a
a n ?1 a n ?2 a n?3
2 1

a

= 2 n?1

,所以 an=a1·2n-1=2n.?

师 太妙了,真是求解的好方法.你所用的这种方法通常叫迭乘法,这种方法在已知递推公式 求数列通项的问题中是比较常用的方法,对应的还有迭加法.? 知识拓展] [知识拓展]? 已知 a1=2,an+1=an-4,求 an.? 师 此题与前例 2 比较,递推式中的运算改为了减法,同学们想一想如何去求?解呢??? 生 1 写出:a1=2,a2=-2,a3=-6,a4=-10,…? 观察可得:an=2+(n-1)(n-4)=2-4(n-1).? 生 2 他这种解法不行,因为不是猜出 an,而是要求出 an.? 我这样解:由 an+1-an=-4 依次向下写,一直到第一项,然后将它们加起来,? an-a n-1=-4? an-1-an-2=-4? an-2-an-3=-4? ……?
+) a 2 ? a1 = ?4 a n ? a1 = ?4(n ? 1)

∴an=2-4(n-1).? 师 好极了,真是触类旁通啊,这种方法也请同学们课后多体会.? 精讲] [精讲]? (1)数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的,如果只有递推关系而无初始 值,那么这个数列是不能确定的.? 例如,由数列{an}中的递推公式 an+1=2an+1 无法写出数列{an}中的任何一项,若又知 a1=1, 则可以依次地写出 a2=3,a3=7,a4=15,….? (2)递推公式是给出数列的一种方法,由递推公式可能求出数列的通项公式,也可能求不出 通项公式.? 学生活动] [学生活动]? 根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前五项,并归纳出通项公式.? (1)a1 =0,an+1 =an +(2n-1)(n∈N); ?(2)a1 =1,a
n+1 =

an an + 2

(n∈N); ?(3)a1 =3,an+1 =

3an-2(n∈N).? 解:(1)a1=0,a2=1,a3=4,a4=9,a5=16,∴an=(n-1)2.? (2)a1=1,a2= 2 ,a3= 1 = 2 ,a4= 2 ,a5= 1 = 2 ,∴an= 2 .?
3
0

2

4
1

5

3

6
2

n +1

(3)a1=3=1+2×3 ,a2=7=1+2×3 ,a3=19=1+2×3 ,? a4=55=1+2×33,a5=163=1+2×34,∴an=1+2·3 n-1.? 注:不要求学生进行证明归纳出通项公式.? 合作探究] [合作探究]? 一只猴子爬一个 8 级的梯子,每次可爬一级或上跃二级,最多能上跃起三级,从地面上到最

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上一级,你知道这只猴子一共可以有多少种不同的爬跃方式吗?? 析:这题是一道应用题,这里难在爬梯子有多种形式,到底是爬一级还是上跃二级等情况要 分类考虑周到.? 爬一级梯子的方法只有一种.? 爬一个二级梯子有两种,即一级一级爬是一种,还有一次爬二级,所以共有两种.? 若设爬一个 n 级梯子的不同爬法有 an 种,? 则 an=an-1+an-2+an-3(n≥4),? 则得到 a1=1,a2=2,a3=4 及 an=a n-1+an-2+an-3(n≥4),就可以求得 a8=81.?? [课堂小结 ? 课堂小结]? 课堂小结 师 这节课我们主要学习了数列的另一种给出方法,即递推公式及其用法,要注意理解它与 通项公式的区别,谁能说说?? 生 通项公式反映的是项与项数之间的关系,而递推公式反映的是相邻两项(或 n 项)之间的 关系.? 生 对于通项公式,只要将公式中的 n 依次取 1,2,3…,即可得到相应的项.而递推公式则要 已知首项(或前 n 项),才可求得其他的项.? (让学生自己来总结,将所学的知识,结合获取知识的过程与方法,进行回顾与反思,从而 达到三维目标的整合.培养学生的概括能力和语言表达能力)?? [布置作业 ?课本 34 页 6 题 布置作业]? 布置作业

等差数列 一、教学目标 1.知识与技能:通过实例,理解等差数列的概念;探索并掌握等差数列的通 项公式;能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题; 2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析,引导学生通过观察,推 导,归纳抽象出等差数列的概念;由学生建立等差数列模型用相关知识解决一 些简单的问题,进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中 二、教学重、难点 重点:理解等差数列的概念及其性质,探索并掌握等差数列的通项公式; 难点:概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。 三、教学设想 [创设情景] 上节课我们学习了数列。在日常生活中,人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家 以后会接触得比较多的实际计算问题, 都需要用到有关数列的知识来解决。 今天我们先学习 一类特殊的数列。 [探索研究] 由学生观察分析并得出答案: 1、在现实生活中,我们经常这样数数,从 0 开始,每隔 5 数一次,可以得到数列:0,5, ____,____,____,____,…… 2、2000 年,在澳大利亚悉尼举行的奥运会上,女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设 置了 7 个级别。其中较轻的 4 个级别体重组成数列(单位:kg) :48,53,58,63。 3、水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境,用定期放水清理水库的杂鱼。如 果一个水库的水位为 18cm,自然放水每天水位降低 2.5m,最低降至 5m。那么从开始放水 算起,到可以进行清理工作的那天,水库每天的水位组成数列(单位:m) :18,15.5,13,

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10.5,8,5.5 4、我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利,即不把利息加入本金计算下一 期的利息。按照单利计算本利和的公式是:本利和=本金×(1+利率×寸期).例如,按活期 存入 10 000 元钱,年利率是 0.72%。那么按照单利, 5 年内各年末的本利和分别是: 时间 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 年初本金(元) 10 000 10 000 10 000 10 000 10 000 年末本利和(元) 10 072 10 144 10 216 10 288 10 360

各年末的本利和(单位:元)组成了数列:10 072,10 144,10 216, 10 288,10 360。 思考:同学们观察一下上面的这四个数列: 0,5,10,15,20,…… ① 48,53,58,63 ② 18,15.5,13,10.5,8,5.5 ③ 10 072,10 144,10 216, 10 288,10 360 ④ 看这些数列有什么共同特点呢?引导学生观察相邻两项间的关系, 由学生归纳和概括出,以上四个数列从第 2 项起,每一项与前一项的差都等于同一个常数 (即:每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点) 。 [等差数列的概念] 等差数列:一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母 d 表示。那么对于以上四组等差数列,它们 的公差依次是 5,5,-2.5,72。 注意:⑴公差 d 一定是由后项减前项所得,而不能用前项减后项来求; ⑵对于数列{ an},若 an- an-1=d (d 是与 n 无关的数或字母),n≥2,n∈N,则此数列是等差 数列,d 为公差; (3)若 d=0, 则该数列为常数列. 提问: (1)你能举一些生活中的等差数列的例子吗? (2)如果在与中间插入一个数 A,使,A,成等差数列数列,那么 A 应满足什么条件? 由学生回答:因为 a,A,b 组成了一个等差数列,那么由定义可以知道: A-a=b-A 所以就有 A=(a+b)/2 由三个数 a,A,b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,这时,A 叫做 a 与 b 的等 差中项。 不难发现,在一个等差数列中,从第 2 项起,每一项(有穷数列的末项除外) 都是它的前一项与后一项的等差中项。 如数列:1,3,5,7,9,11,13…中 ,5 是 3 和 7 的等差中项,1 和 9 的等差中项。 9 是 7 和 11 的等差中项,5 和 13 的等差中项。 [等差数列的通项公式] 提问:对于以上的等差数列,我们能不能用通项公式将它们表示出来呢? ⑴、 我们是通过研究数列的第 n 项与序号 n 之间的关系去写出数列的通项公式的。 下面由同 学们根据通项公式的定义,写出这四组等差数列的通项公式。 由学生经过分析写出通项公式: ① 猜想得到这个数列的通项公式是:an=5n
28

② 猜想得到这个数列的通项公式是:an=48+5(n-1) ③ 猜想得到这个数列的通项公式是:an=18-2.5(n-1) ④ 猜想得到这个数列的通项公式是:an=10072+72(n-1) ⑵、那么,如果任意给了一个等差数列的首项 a1 和公差 d,它的通项公式是什么呢? 引导学生根据等差数列的定义进行归纳: a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d......... 所以 a2=a1+d.a3=a1+2d,a4=a1+3d,a5=a1+4d,...... 思考:那么通项公式到底如何表达呢? 得出通项公式:以为首项,d 为公差的等差数列的通项公式为:an=a1+(n-1)d 也就是说, 只要我们知道了等差数列的首项和公差 d,那么这个等差数列的通项就可以表示出来了。 [例题分析] 例 1、⑴求等差数列 8,5,2,…的第 20 项. ⑵-401 是不是等差数列-5,-9,-13,…的项?如果是,是第几项? 解:⑴由=8,d=5-8=-3,n=20,得 ⑵由=-5,d=-9-(-5)=-4,得这个数列的通项公式为由题意知,本题是要回答是否存在正 整数 n,使得-401=-4n-1 成立。 解这个关于 n 的方程,得 n=100,即-401 是这个数列的第 100 项。 例 2: (1)在等差数列{an}中,已知,a5=10,a12=31,求首项 a1 与公差 d; 解:(1)解法一:∵a5=10,a12=31, ,则 a1+4d=10,a1+11d=31 所以,这个等差数列的首项是-2,公差是 3. 解法二:∵a12=a5+7d,31=10+7d,d=3, 由得 a1=-2 所以,这个等差数列的首项是-2,公差是 3. 例 3:梯子最高一级宽 33cm,最低一级宽为 110cm,中间还有 10 级,各级的宽度成等差数 列,计算中间各级的宽度. 解:设表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列, 由已知条件,可知:=33, =110,n=12 ∴,即 10=33+11 解得: 因此, 答:梯子中间各级的宽度从上到下依次是 40cm,47cm,54cm,61cm,68cm,75cm,82cm, 89cm,96cm,103cm. 例 4.某市出租车的计价标准为 1.2 元/km,起步价为 10 元,即最初的 4km(不含 4 千米) 计费 10 元。 如果某人乘坐该市的出租车去往 14km 处的目的地, 且一路畅通, 等候时间为 0, 需要支付多少车费? 解:根据题意,当该市出租车的行程大于或等于 4km 时,每增加 1km,乘客需要支付 1.2 元.所以,我们可以建立一个等差数列来计算车费. 令=11.2,表示 4km 处的车费,公差 d=1.2。那么当出租车行至 14km 处时,n=11,此时需 要支付车费 答:需要支付车费 23.2 元。 [随堂练习]:第 39 页 1,2,3,4 [课堂小结]

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①等差数列定义:即(n≥2) ②等差数列通项公式:(n≥1) 推导出公式: 四、作业: 第 39 页 5,第 40 页 1

等差数列的前 n 项和(1) 学习目标 1. 通过预习课本 42 页,小组讨论,能说出等差数列前 n 项和公式的获取思路; 2. 通过同桌互相提问,会背等差数列前 n 项和公式 3. 通过例题及巩固训练会用等差数列的前 n 项和公式解决一些简单的与前 n 项和有关的问 题. 学习重点:等差数列前 项和公式的推导及简单应用; 学习难点:等差数列前 项和公式的推导思路的获得。 学习过程 一、知识准备 等差数列的通项公式是什么? 二、新课导学 创设情景:如图,一个堆放钢管的 V 形架的 最下面一层放一根钢管,往上每一层都比它 下面一层多放一根钢管,最上面一层放 100 根, 这个 V 形架上共放着多少根钢管?

自主探究(一) :特殊的等差数列前 n 项和公式 (自主学习 3 分钟) 预习课本 42 页回答以下问题 1. 计算 1+2+…+100=?

2. 如何求 1+2+…+n=?

新知:数列 {an } 的前 n 项和: 一般地,称 为数列 {an } 的前 n 项的和,用 Sn 表示,即 Sn =

合作探究(二) :一般的等差数列前 n 项和公式(小组合作交流 5 分钟)

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① 如何求首项为 a1 ,第 n 项为 an 的等差数列 {an } 的前 n 项的和?

② 如何求首项为 a1 ,公差为 d 的等差数列 {an } 的前 n 项的和?

小结:
1. 用

. n(n ? 1) d Sn = na1 + 2 2. 用 ,必须已知三个条件: . 完成目标 1 及目标 2 ※ 典型例题 例 1 某长跑运动员7天里每天的训练量(单位:m)是: 7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500

Sn =

n(a1 + an ) 2 ,必须具备三个条件:

这位长跑运动员7天共跑了多少米?

例 2. 等差数列

{a n }中,已知 d = 20, n = 37,S n = 629 ,求 a1 和 a n
2 7
,3

例 3 已知等差数列 5,4 求

4 7

,…

(1)数列{an}的通项公式;

125 (2)数列{an}的前几项和为 7 ?
(3)Sn 的最大值为多少?并求出此时相应的 n 的值 小结:等差数列前 n 项和公式就是一个关于 an、a1、n或者a1、n、d 的方程,可以做到知三求 一,另外体现函数与方程思想。 巩固训练:课本 45 页练习 1.(1)(2) 、 1. 在等差数列 {an } 中, S10 = 120 ,那么 a1 + a10 = ( ). B. 24 C. 36 D. 48 {an } 中, a1 = 2 , d = ?1 ,则 S8 = 2. 在等差数列 A. 12
.

3. 数列{ an }是等差数列,公差为 3, an =11,前 n 和 Sn =14,求 n 和

※ 学习小结 1. 等差数列前 n 项和公式的推导思路及方法; 2. 等差数列前 n 项和两个公式及使用条件。 作业:课本 46 页 A 组 1(1) (2) 2 ,

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等比数列 (一)教学目标 理解等比数列的概念;掌握等比数列的通项公式;理解这种数列的模型应用. (二)教学重、难点 重点:等比数列的定义和通项公式 难点:等比数列与指数函数的关系 (三)教学过程 [创设情景] 分析书上的四个例子,各写出一个数列来表示 [探索研究] 四个数列分别是①1, 2, 4, 8, …

1 1 1 ②1, 2 , 4 , 8 ,…
③1,20 ,202 ,203 ,… ④ 10000 × 1. 0198,10000 × 1. 01982,10000 × 1.01983 10000×1.01984,10000×1.01985[来源:Zxxk.Com] 观察四个数列: 对于数列①,从第 2 项起,每一项与前一项的比都等于 2

1 对于数列②,从第 2 项起,每一项与前一项的比都等于 2
对于数列③,从第 2 项起,每一项与前一项的比都等于 20 对于数列④,从第 2 项起,每一 项与前一项的比都等于 1.0198 可知这些数列的共同特点:从第 2 项 起, 每一项与前一项的比都等于同一常数. 于是得到等比数列的定义: 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个 数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母 q 表示(q≠0)

1 因此,以上四个数列均是等比数列,公比分别是 2, 2 ,20,1.0198.
与等差中项类似,如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等差中项,这时,a,b 一定同号,G2=ab 在归纳等比数列公式时,让学生先回忆等差数列通项公式的归纳,类比这个过程,归纳 如下:a2=a1q a3=a2q=(a1q)q=a1q2 a4=a3q=(a1q2)q=a1q3 … … an=a1qn-1

可得

a1 a1 a1 上式可整理为 an= q qn 而 y= q qx(q≠1)是一个不为 0 的常数 q 与指数函数 qx 的乘

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a1 a1 积,从图象上看,表示数列 { q qn }中的各项的点是函数 y= q qx 的图象上的孤立点
[注意几 点] ① 不要把 an 错误地写成 an=a1qn ② 对于公比 q,要强调它是“从第 2 项起,每一项与它的前一项的比”防止把相邻两项的比的 次序颠倒 ③ 公比 q 是任意常数,可正可负 ④ 首项和公比均不为 0 [例题分析] 例1 某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的这种物质是原来的 84%.这 种物质的半衰期为多长( 精确到 1 年)? 评注:要帮助学生发现实际问题中数列的等比关系,抽象出数学模型;通项公式反映了数列的 本质特征,因此关于等比数列的问题首先应想到它的通项公式 an=a1qn-1 例2 根据图 2.4-2 中的框图,写出所打印数列的前 5 项,并建立数列的递推公式 .这个数列是 等比数列吗?

a n +1 a 评注:要证明一个数列是等比数列,只需证明对于任意正整数 n, n 是一个常数就行了
例3 一个等比数列的第 3 项和第 4 项分别是 12 和 18,求它的第 1 项和第 2 项. 评注:帮助学生再次体会通项公式的作用及其与方程之间的联系 例4 已知{a n }{bn}是项数相同的等比数 列,仿照下表中的例子填写表格,从中你能得出什 么结论?证明你的结论. 评注:两个等比数列的积仍然是等比数列 [随堂练习]第 59 页第 1、2、3 题 [课堂小结] (1) 首项和公比都不为 0 (2) 分别从定义、通项公式、相应图象的角度类比等差数列和等比数列 (五)评价设计 (1)课后思考:课本第 59 页[探究] (2)课后作业:第 60 页第 1、2、6 题

等比数列的前 n 项和 教学目的: 1.掌握等比数列的前 n 项和公式及公式证明思路. 2.会用等比数列的前 n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题 教学重点:等比数列的前 n 项和公式推导 教学难点:灵活应用公式解决有关问题 教材分析:本节是对公式的教学,要充分揭示公式之间的内在联系,掌握与理解公式的来龙
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去脉,掌握公式的导出方法,理解公式的成立条件.也就是让学生对本课要学习的新知识有 一个清晰的、完整的认识、忽视公式的推导和条件,直接记忆公式的结论是降低教学要求, 违背教学规律的做法 教学过程: 一、复习: 首先回忆一下前两节课所学主要内容: 1.等比数列:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么 这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比。 公比通常用字母 q 表示(q≠0) ,即:
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{ “ 2.

a n }成等比数列
an
≠0”是数列{

?
an

a n +1 a n =q( n ∈ N + ,q≠0)

}成等比数列的必要非充分条件(前提条件) 。

等比数列的通项公式: ,

a n = a1 ? q n ?1 (a1 ? q ≠ 0)

a n = a m ? q m ?1 (a1 ? q ≠ 0)

3.既是等差又是等比数列的数列:非零常数列. 4.等比中项:G 为 a 与 b 的等比中项. 即 G=± ab (a,b 同号). 5.性质:若 m+n=p+q,

am ? an = a p ? aq

6.判断等比数列的方法:定义法,中项法,通项公式法 如: 有一个数列满足

an = 5 ? 3n ?1

, 与公式

a n = a1 ? q n ?1 (a1 ? q ≠ 0)

比较我们可以判断

出这个数列为等比数列且 a1 = 5, q = 3 。 二、讲解新课: *创设情境 兴趣导入 【趣味数学问题】 传说国际象棋的发明人是印度的大臣西萨?班?达依尔,舍罕王为了表彰大臣的功绩,准备对 大臣进行奖赏. 国王问大臣: “你想得到什么样的奖赏?” ,这位聪明的大臣达依尔说: “陛下,请您在这张 棋盘的第一个格子内放上 1 颗麦粒,在第二个格子内放上 2 颗麦粒,在第三个格子内放上 4 颗麦粒,在第四个格子内放上 8 颗麦粒,…,依照后一格子内的麦粒数是前一格子内的麦粒 数的 2 倍的规律,放满棋盘的 64 个格子.并把这些麦粒赏给您的仆人吧”. 国王认为这样的奖赏很轻,于是爽快地答应了,命令如数付给达依尔麦粒. 计数麦粒的工作开始了,在第一个格内放 1 粒,第二个格内放 2 粒,第三个格内放 4 粒,第

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四个格内放 8 粒,……,国王很快就后悔了,因为他发现,即使把全国的麦子都拿来,也兑 现不了他对这位大臣的奖赏承诺. 这位大臣所要求的麦粒数究竟是多少呢? 各个格的麦粒数组成首项为 1,公比为 2 的等比数列,大臣西萨?班?达依尔所要的奖赏 就是这个数列的前 64 项和. *动脑思考 探索新知 如何求数列 1,2,4,…262,263 的各项和
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以 1 为首项,2 为公比的等比数列的前 64 项的和,可表示为:

S 64 = 1 + 2 + 4 + 8L + 2 62 + 2 63
2

① ②

S 64 = 2 + 4 + 8 + 16 L + 2 63 + 2 64 S 64 = 2 64 ? 1

由②—①可得:

这种求和方法称为“错位相减法” “错位相减法” ,是研究数列求和的一个重要方法 项和公式: 等比数列的前 n 项和公式: ∴当 q ≠ 1 时, S n =

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a1 (1 ? q n ) ① 1? q

或 Sn =

a1 ? a n q 1? q



当 q=1 时, S n = na1 当已知 a1 , q, n 时用公式①;当已知 a1 , q, a n 时,用公式②. 公式的推导方法一: 一般地,设等比数列

a1 , a 2 + a 3 , L a n L 它的前 n 项和是

S n = a1 + a 2 + a 3 + L a n
?S n = a1 + a 2 + a3 + L a n ? a = a1 q n ?1 由? n ?S n = a1 + a1q + a1 q 2 + L a1 q n ? 2 + a1 q n ?1 ? ? ?qS = a1 q + a1 q 2 + a1q 3 + L a1q n?1 + a1 q n 得? n ∴ (1 ? q ) S n = a1 ? a1 q n
∴当 q ≠ 1 时, 当 q=1 时,

Sn =

a1 (1 ? q n ) 1? q ①

Sn =


a1 ? a n q 1? q



S n = na1
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公式的推导方法二:

S n = a1 + a 2 + a 3 + L a n




a1 + q (a1 + a 2 + a 3 + L a n ?1 )

a1 + qS n ?1



a1 + q ( S n ? a n )

? (1 ? q ) S n = a1 ? a n q (结论同上)
“方程”在代数课程里占有重要的地位,方程思想是应用十分广泛的一种数学思想,利用 方程思想,在已知量和未知量之间搭起桥梁,使问题得到解决
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现在我们看一看本节趣味数学内容中,国王为什么不能兑现他对大臣的奖赏承诺? 国王承诺奖赏的麦粒数为
S64 = 1(1 ? 264 ) = 264 ? 1 ≈ 1.84 × 1019 1? 2 ,
17

据测量,一般麦子的千粒重约为 40g ,则这些麦子的总质量约为 7.36× 10 g,约合 7360 多 亿吨.我国 2000 年小麦的全国产量才约为 1.14 亿吨,国王怎么能兑现他对大臣的奖赏承诺 呢!
*巩固知识 典型例题

例 5 写出等比数列

1,?3,9,?27, L
的前 n 项和公式并求出数列的前 8 项的和.



因为

a1 = 1, q =

?3 = ?3 1 ,所以等比数列的前 n 项和公式为

Sn =

1 × [1 ? ( ?3) n ] 1 ? (?3)n = 1 ? (?3) 4 , S8 = 1 ? (?3)8 = ?1640 4 .



例 6 求等比数列 1,2,4,…从第 5 项到第 10 项的和. 解 由 a1 = 1, a 2 = 2 得q = 2

∴ S4 =

1 × (1 ? 2 4 ) 1 × (1 ? 210 ) = 15 S10 = = 1023 1? 2 1? 2 , S10 S 4 - =1008

从第 5 项到第 10 项的和为

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例 7 一条信息,若一人得知后用一小时将信息传给两个人,这两个人又用一小时各传给未 知此信息的另外两人,如此继续下去,一天时间可传遍多少人?最快几小时全球(67.6 亿) 人都知道这个消息? 解 根据题意可知,获知此信息的人数成首项 a1 = 1, q = 2 的等比数列

则:一天内获知此信息的人数为:

S 24

1 ? 2 24 = = 2 24 ? 1 = 16777215 (人) 1? 2



S 32 =

1 ? 2 32 = 2 32 ? 1 = 4294967295 (人) 1? 2

S 33 =

1 ? 2 33 = 2 33 ? 1 = 8589934591 (人) 1? 2

∴最快 33 个小时全球人都知道这个消息。 *运用知识 强化练习

1 2 4 8 1.求等比数列 9 , 9 , 9 , 9 ,…的前 10 项的和.
2.已知等比数列{

a n }的公比为 2, S 4 =1,求 S 8 .

*归纳小结 强化思想 1. 等比数列求和公式:当 q=1 时,

S n = na1

当 q ≠ 1 时,

Sn =

a1 ? a n q 1? q

Sn =


a1 (1 ? q n ) 1? q



2.这节课我们从已有的知识出发,用多种方法(错位相减法、方程法)推导出了等比数列 的前 n 项和公式,并在应用中加深了对公式的认识. 作业:第 61 页 1,2

3、1、1 不等关系与不等式(第一课时) 教学目标: (1) 、理解不等关系及其在数轴上的几何表示。 (2) 、会用两个实数之间的差运算确定两实数之间的大小关系,能比较两个代数式的大小。 重点:实数大小比较的基本方法:作差法。 难点:判断差的符号 教学过程: 1、新课引入: 现实世界中存在着等量关系,也存在着大量的不等关系,同学们能举出一些例子吗? 如: (1)天气预报说:今天早晨最低温度为 22℃,今天白天的最高温度为 30℃,若用 t 表

37

示气温,那么用数学表达式可写成 22℃≤t≤30℃ (2)上一章学习的等比数列中规定 q≠0 (3)根号 a 中,a 的取值范围是什么?a 非负实数,即 a≥0 (4)提问两同学的身高问题,让全体同学比较其大小关系。如 A>B 又如:P72 速度与食品含量问题。这些问题的表示即是我们今天要研究的问题(板书课题) (1)限制速度 v 不超过 40km/h,即 v≤40km/h (2)题中的不等关系可以表示为( B,C ) 。 A、f≥2.5%或 p≥2.3% B、f≥2.5%且 p≥2.3% C、{ p≥2.3% (强调大括号的作用是同时成立,等同于“且” ) 2、合作探究: (学生思考并回答以下问题) 问题一:不等式的定义 用不等号连接两个解析式(以表示它们之间的不等关系)所得的式子,叫做不等式. 不等号的种类:>、<、≥、≤、≠. (强调“≥、≤”的读法中的“或”引出问题二) 问题二:2≥2,这样写正确吗?( “≥“的含义是什么?) 这样写是对的, “>” “=” 因为 和 只要一个满足就可以了, a≥b 表示 a>b 或 a=b , 即 同样 a≤b 即为 a<b 或 a=b。 问题三:实数与数轴上的点有怎样的对应关系?右边的点表示的实数与左边的点表示的 实数谁大? 与数轴上的点是一一对应的,右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大 问题四:数轴上两点 A、B 有怎样的位置关系?两实数有怎样的大小关系? 点的关系: A B 点 A 在点 B 右侧 点 A 在点 B 左侧 a b 点 A 和点 B 重合 数的关系:a>b、a=b 、a<b 问题五:如何比较两数大小?(小组讨论)

强调: “如果 P,则 q”为正确命题,记作 如果

p?q ,

p?q,同时 q ? p ,则记为 p ?q 。

3、典例剖析: 例1. 比较 x2-x 和 x-2 的大小 解: (x2-x)-(x-2) = x2-2x+2 =(x-1)2+1 因为(x-1)2≥0,所以(x2-x)-(x-2)>0 所以 x2-x>x-2。 变式训练:

38

比较(a+3)(a-5) 与(a+2)(a-4)的大小。 (答案:< )

解:

∴ (备选)例 2.当 p,q 都为正数且 p+q=1 时,试比较代数式(px+qy)2 与(px2+qy2)的大小 解: (px+qy)2-(px2+qy2) =p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxy 又 p+q=1,所以 p-1=-q,q-1=-p (px+qy)2-(px2+qy2) =-pq(x-y)2 因为 p,q 为正数,所以 -pq(x-y)2≤0 所以 ( px + qy ) ≤ 当且仅当 x=y 时,等号成立 做差比较法的一般步骤: (教师引导,学生回答) (1) 作差; (2) 变形; 常采用的手段是因式分解和配方法,因式分解是将“差“化成“积”的形式,配方是将 “差”化为一个或几个完全平方的“和” ,也可两种手段并用; (3) 定号,就是确定是大于 0,还是等于 0,或是小于 0(与具体的值无关) (4) 得出结论。 4、随堂测试 (1)下列命题正确的是 A、若 x≥10,则 x>10 B、若 x2>25,则 x>5 C、若 x>y,则 x2>y2 D、若 x2>y2,则∣x∣>∣y∣ (2)设 m= x2+y2-2x+2y,n=-5,则 m,n 的大小关系是 A、 m>n B、 m<n C 、m=n D 、 与 x、y 取值有关 (3)下列不等式中,恒成立的是
2

px 2 + qy 2

A.a2>0

B.lg(a2+1)>0

a >0 |a| C.

D.2a>0

(4)设 a>0,b>0,且 a≠b,x=a3+b3,y=a2b+ab2 试比较 x,y 的大小 小结: 不等式的定义 不等关系在数轴上的几何表示 做差法确定两数或代数式的大小
39

三、作业:课本 P75 A 组第 2 题,B 组第 1 题

一元二次不等式及其解法 第 1 课时 【教学目标】 1.知识与技能:理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系,掌握图象法解一 元二次不等式的方法;培养数形结合的能力,培养分类讨论的思想方法,培养抽象概括能力 和逻辑思维能力; 2.过程与方法:经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究 一元二次不等式与相应函数、方程的联系,获得一元二次不等式的解法; 3.情态与价值:激发学习数学的热情,培养勇于探索的精神,勇于创新精神,同时体会事 物之间普遍联系的辩证思想。 【教学重点】 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型;一元二次不等式的解法。 【教学难点】 理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。 【教学过程】 1.课题导入 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型: 教材 P84 互联网的收费问题 教师引导学生分析问题、解决问题,最后得到一元二次不等式模型:

x 2 ? 5 x < 0 …………………………(1)
2.讲授新课 1)一元二次不等式的定义 象 x ? 5 x < 0 这样,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式,称为一元
2

二次不等式 2)探究一元二次不等式 x ? 5 x < 0 的解集
2

怎样求不等式(1)的解集呢? 探究: (1)二次方程的根与二次函数的零点的关系 容易知道:二次方程的有两个实数根: 二次函数有两个零点:

x1 = 0, x2 = 5

x1 = 0, x2 = 5

于是,我们得到:二次方程的根就是二次函数的零点。 (2)观察图象,获得解集

40

画出二次函数 y = x ? 5 x 的图象,如图,观察函数图象,可知:
2

当 x<0,或 x>5 时,函数图象位于 x 轴上方,此时,y>0,即 x ? 5 x > 0 ;
2

当 0<x<5 时,函数图象位于 x 轴下方,此时,y<0,即 x ? 5 x < 0 ;
2 2 { x | 0 < x < 5} ,从而解决了本节开始时提出的问题。 所以,不等式 x ? 5 x < 0 的解集是

3)探究一般的一元二次不等式的解法 任 意 的 一 元 二 次 不 等 式 , 总 可 以 化 为 以 下 两 种 形 式 :

ax 2 + bx + c > 0, (a > 0)或ax 2 + bx + c < 0, (a > 0)
一般地,怎样确定一元二次不等式 ax + bx + c >0 与 ax + bx + c <0 的解集呢?
2 2

组织讨论: 从上面的例子出发,综合学生的意见,可以归纳出确定一元二次不等式的解集,关键要考虑 以下两点:
2 2 (1)抛物线 y = ax + bx + c 与 x 轴的相关位置的情况, 也就是一元二次方程 ax + bx + c =0

的根的情况
2 (2)抛物线 y = ax + bx + c 的开口方向,也就是 a 的符号

总结讨论结果:
2 (l)抛物线 y = ax + bx + c (a> 0)与 x 轴的相关位置,分为三种情况,这可以由一元

二次方程 ax + bx + c =0 的判别式 ? = b ? 4ac 三种取值情况(?> 0,?=0,?<0)来确定.
2 2

因此,要分二种情况讨论 (2)a<0 可以转化为 a>0 分 ?>O,?=0,?<0 三种情况,得到一元二次不等式 ax + bx + c >0 与 ax + bx + c <0 的
2 2

解集
2 2 一元二次不等式 ax + bx + c > 0或ax + bx + c < 0(a ≠ 0 ) 的解集: 2 2 设相应的一元二次方程 ax + bx + c = 0(a ≠ 0 ) 的两根为 x1、x2 且 x1 ≤ x2 ,? = b ? 4ac ,

则不等式的解的各种情况如下表:(让学生独立完成课本第 86 页的表格)

?>0

?=0

?<0

41

二次函数

y = ax 2 + bx +

y = ax 2 + bx + c

y = ax 2 + bx +

y = ax 2 + bx + c
( a > 0 )的图 象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

(a > 0)的根

ax + bx + c = 0
2

x1 , x2 ( x1 < x2 )

x1 = x2 = ?

b 2a

无实根

ax 2 + bx + c > 0 (a > 0)的解集

{x x < x 或x > x
1

? b? ?x x ≠ ? ? 2a ? ?
?

R

ax 2 + bx + c < 0
(a > 0)的解集
[范例讲解] 例2

{x x

1

< x <x2}

?

(课本第 87 页)求不等式 4 x ? 4 x + 1 > 0 的解集.
2

解:因为

? = 0 , 方程 4 x 2 ? 4 x + 1 = 0 的解是 x1 = x2 = 1? ? 2?
2

1 2.

? ?x x ≠ 所以,原不等式的解集是 ?
例3

(课本第 88 页)解不等式 ? x + 2 x ? 3 > 0 .
2

解:整理,得 x ? 2 x + 3 < 0 .
2 因为 ? < 0 , 方程 x ? 2 x + 3 = 0 无实数解,

所以不等式 x

2

? 2 x + 3 < 0 的解集是 ? .

从而,原不等式的解集是 ? . 3.随堂练习 课本第 89 的练习 1(1)(3)(5)(7) 、 、 、 4.课时小结 解一元二次不等式的步骤: ① 将二次项系数化为“+” :A= ax + bx + c >0(或<0)(a>0)
2

42

② 计算判别式 ? ,分析不等式的解的情况:

?若A > 0,则x < x1或 > x 2; ? ? >0 时,求根 x1 < x 2 , ?若A < 0,则x1 < x < x 2 . ⅰ.
?若A > 0,则x ≠ x0的一切实数; ? ?若A < 0,则x ∈ φ; ?若A ≤ 0,则x = x . 0 ?

ⅱ. ? =0 时,求根 x1 = x 2 =

x0



?若A > 0,则x ∈ R; ? ? <0 时,方程无解, ?若A ≤ 0,则x ∈ φ . ⅲ.
③ 写出解集. 5.评价设计 课本第 89 页习题 3.2[A]组第 1 题 【板书设计】 一元二次不等式及其解法 第 2 课时 授课类型:新授课 【教学目标】 1.知识与技能:巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系;进一步熟练解一 元二次不等式的解法; 2.过程与方法:培养数形结合的能力,一题多解的能力,培养抽象概括能力和逻辑思维能 力; 3.情态与价值:激发学习数学的热情,培养勇于探索的精神,勇于创新精神,同时体会从 不同侧面观察同一事物思想 【教学重点】 熟练掌握一元二次不等式的解法 【教学难点】 理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系 【教学过程】 1.课题导入 1.一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系 2.一元二次不等式的解法步骤——课本第 86 页的表格 2.讲授新课 [范例讲解] 例 1 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离 s m 和汽车的速度 x km/h 有如下的关系:

s=

1 1 2 x+ x 20 180

在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离大于 39.5m,那么这辆汽车刹车前的速度是多 少?(精确到 0.01km/h)

43

1 1 2 x+ x > 39.5 180 解:设这辆汽车刹车前的速度至少为 x km/h,根据题意,我们得到 20
移项整理得: x + 9 x ? 7110 > 0
2

显然

> 0 ,方程 x 2 + 9 x ? 7110 = 0 有两个实数根,即
。所以不等式的解集为

x1 ≈ ?88.94, x2 ≈ 79.94

{ x | x < ?88.94, 或x > 79.94}

在这个实际问题中,x>0,所以这辆汽车刹车前的车速至少为 79.94km/h. 例 4、一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数量 x (辆)与创造的价值 y(元)之间有如下的关系:

y = ?2 x 2 + 220 x
若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收 6000 元以上,那么它在一个星期内大约 应该生产多少辆摩托车? 解:设在一个星期内大约应该生产 x 辆摩托车,根据题意,我们得到

?2 x 2 + 220 x > 6000
移项整理,得

x 2 ? 110 x + 3000 < 0
因为 = 100 > 0 ,所以方程 x ? 110 x + 3000 = 0 有两个实数根
2

x1 = 50, x2 = 60
由二次函数的图象,得不等式的解为:50<x<60 因为 x 只能取正整数,所以,当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在 51—59 辆之间时,这家工厂能够获得 6000 元以上的收益。 3.随堂练习 1 课本第 89 页练习 2 [补充例题] ▲ 应用一(一元二次不等式与一元二次方程的关系)
2 {x | ?1 < x < 1 } ,求 a b ? 3 例:设不等式 ax + bx + 1 > 0 的解集为

▲ 应用二(一元二次不等式与二次函数的关系)
2 2 例:设 A = {x | x ? 4 x + 3 < 0}, B = {x | x ? 2 x + a ? 8 ≤ 0} ,且 A ? B ,求 a 的取值

范围. 改:设 x ? 2 x + a ? 8 ≤ 0 对于一切 x ∈ (1,3) 都成立,求 a 的范围.
2 2 x ,x x ≥ 3 x2 ≤ 1 改:若方程 x ? 2 x + a ? 8 = 0 有两个实根 1 2 ,且 1 , ,求 a 的范围.

随堂练习 2

44

2 { x | x < 1 或x > 1 } 3 2 ,求关于 x 的不等式 1 、 已 知 二 次 不 等 式 ax + bx + c < 0 的 解 集 为

cx 2 ? bx + a > 0 的解集.
2、若关于 m 的不等式 mx ? (2m + 1) x + m ? 1 ≥ 0 的解集为空集,求 m 的取值范围.
2

改 1:解集非空 改 2:解集为一切实数 4.课时小结 进一步熟练掌握一元二次不等式的解法 一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系 5.评价设计 课本第 89 页的习题 3.2[A]组第 3、5 题 【板书设计】

二元一次不等式(组)与平面区域 第 1 课时 【教学目标】 1.知识与技能:了解二元一次不等式的几何意义,会用二元一次不等式组表示平面区域; 2.过程与方法:经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程,提高数学建模的能力; 3.情态与价值:通过本节课的学习,体会数学来源与生活,提高数学学习兴趣 【教学重点】 用二元一次不等式(组)表示平面区域; 【教学难点】 【教学过程】 1.课题导入 1.从实际问题中抽象出二元一次不等式(组)的数学模型 课本第 91 页的“银行信贷资金分配问题” 教师引导学生思考、探究,让学生经历建立线性规划模型的过程。 在获得探究体验的基础上,通过交流形成共识: 2.讲授新课 1.建立二元一次不等式模型 把实际问题

转化 uuuuu r

数学问题:

设用于企业贷款的资金为 x 元,用于个人贷款的资金为 y 元。 (把文字语言

转化 uuuuu r

符号语言)

45

(资金总数为 25 000 000 元) ? x + y ≤ 25000000

(1)

( 预 计 企 业 贷 款 创 收 12% , 个 人 贷 款 创 收 10% , 共 创 收 30 000 元 以 上 )

? (12%)x+(10%)y ≥ 30000
(2) (用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值) ? x ≥ 0, y ≥ 0 将(1) (3)合在一起,得到分配资金应满足的条件: (2)

即 12 x + 10 y ≥ 3000000

(3)

? x + y ≤ 25000000 ? ?12 x + 10 y ≥ 3000000 ? x ≥ 0, y ≥ 0 ?
2.二元一次不等式和二元一次不等式组的定义 (1)二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的最高次数是 1 的不等式叫做二元一 次不等式。 (2)二元一次不等式组:有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。 (3)二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成有序 实数对(x,y) ,所有这样的有序实数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集。 (4)二元一次不等式(组)的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系: 二元一次不等式(组)的解集是有序实数对,而点的坐标也是有序实数对,因此,有序 实数对就可以看成是平面内点的坐标,进而,二元一次不等式(组)的解集就可以看成是直 角坐标系内的点构成的集合。 3.探究二元一次不等式(组)的解集表示的图形 (1)回忆、思考 回忆:初中一元一次不等式(组)的解集所表示的图形——数轴上的区间 思考:在直角坐标系内,二元一次不等式(组)的解集表示什么图形? (2)探究 从特殊到一般: 先研究具体的二元一次不等式 x-y<6 的解集所表示的图形。 如图:在平面直角坐标系内,x-y=6 表示一条直线。平面内所有的点被直线分成三类: 第一类:在直线 x-y=6 上的点; 第二类:在直线 x-y=6 左上方的区域内的点; 第三类:在直线 x-y=6 右下方的区域内的点。 设点是直线 x-y=6 上的点,选取点,使它的坐标满足不等式 x-y<6,请同学们完成课本 第 93 页的表格, 横坐标 x 点 P 的纵坐标 点 A 的纵坐标 -3 -2 -1 0 1 2 3

y1 y2

并思考: 当点 A 与点 P 有相同的横坐标时,它们的纵坐标有什么关系? 根据此说说, 直线 x-y=6 左上方的坐标与不等式 x-y<6 有什么关系?
46

直线 x-y=6 右下方点的坐标呢? 学生思考、讨论、交流,达成共识: 在平面直角坐标系中, 以二元一次不等式 x-y<6 的解为坐标的点都在直线 x-y=6 的左上 方;反过来,直线 x-y=6 左上方的点的坐标都满足不等式 x-y<6。 因此,在平面直角坐标系中,不等式 x-y<6 表示直线 x-y=6 左上方的平面区域;如图。 类似的:二元一次不等式 x-y>6 表示直线 x-y=6 右下方的区域;如图。 直线叫做这两个区域的边界 由特殊例子推广到一般情况: (3)结论: 二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点 组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线) 4.二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点( x, y ),把它的坐标( x, y )代入 Ax+By+C, 所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点(x0,y0),从 Ax0+By0+C 的正负即可判断 Ax+By+C>0 表示直线哪一侧的平面区域.(特殊地,当 C≠0 时,常把原 点作为此特殊点) 【应用举例】 例 1 画出不等式 x + 4 y < 4 表示的平面区域。 解:先画直线 x + 4 y = 4 (画成虚线). 取原点(0,0) ,代入 x +4y-4,∵0+4×0-4=-4<0, ∴原点在 x + 4 y < 4 表示的平面区域内,不等式 x + 4 y < 4 表示的区域如图: 归纳: 画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界, 特殊点定域”的方法。 特殊地, 当 C ≠ 0 时,常把原点作为此特殊点。 变式 1、画出不等式 4 x ? 3 y ≤ 12 所表示的平面区域。 变式 2、画出不等式 x ≥ 1 所表示的平面区域。

? y < ?3 x + 12 ? x < 2y 例 2 用平面区域表示.不等式组 ? 的解集。
分析: 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集, 因而是各个不 等式所表示的平面区域的公共部分。 解 : 不 等 式 y < ?3 x + 12 表 示 直线 y = ?3 x + 12 右 下 方 的 区 域, x < 2 y 表 示 直 线

x = 2 y 右上方的区域,取两区域重叠的部分,如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。
归纳: 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集, 因而是各个不等式 所表示的平面区域的公共部分。
47

< 变式 1、画出不等式 ( x + 2 y + 1)( x ? y + 4) 0 表示的平面区域。
变式 2、由直线 x + y + 2 = 0 , x + 2 y + 1 = 0 和 2 x + y + 1 = 0 围成的三角形区域(包括边 界)用不等式可表示为 。 3.随堂练习 1、课本第 97 页的练习 1、2、3 4.课时小结 1.二元一次不等式表示的平面区域. 2.二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法. 3.二元一次不等式组表示的平面区域. 5.评价设计 课本第 105 页习题 3.3[A]组的第 1 题 【板书设计】 二元一次不等式(组)与平面区域 第 2 课时 【教学目标】 1.知识与技能:巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域;能根据实际 问题中的已知条件,找出约束条件; 2.过程与方法:经历把实际问题抽象为数学问题的过程,体会集合、化归、数形结合的数 学思想; 3.情态与价值:结合教学内容,培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识,激励学生 创新。 【教学重点】 理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式(组)所表示的平面区域画出来; 【教学难点】 把实际问题抽象化,用二元一次不等式(组)表示平面区域。 【教学过程】 1.课题导入 [复习引入] 二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点 组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线) 判断方法:由于对在直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入 Ax+By+C,所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点(x0,y0),从 Ax0+By0+C 的正负即可判断 Ax+By+C>0 表示直线哪一侧的平面区域.(特殊地,当 C≠0 y 时,常把原点作为此特殊点) 。 随堂练习 1 6 1、画出不等式 2 x +y-6<0 表示的平面区域. 2x+y-6<0

2x+y-6>0

2、画出不等式组 2.讲授新课

?x ? y + 5 ≥ 0 ? ?x + y ≥ 0 ?x ≤ 3 ?

y x+y=0 5 5 B(- , ) 2 2 6 x=3 0 3 C(3,-3) x A(3,8)

0

3

x 2x+y-6=0

表示的平面区域。

x-y+5=0

48

【应用举例】 例 3 某人准备投资 1 200 万兴办一所完全中学,对教育市场进行调查后,他得到了下面的 数据表格(以班级为单位) : 学段 初中 高中 班级学生人数 45 40 配备教师数 2 3 硬件建设/万元 26/班 54/班 教师年薪/万元 2/人 2/人

分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件。 解:设开设初中班 x 个,开设高中班 y 个,根据题意,总共招生班数应限制在 20-30 之间, 所以有 20 ≤ x + y ≤ 30 考虑到所投资金的限制,得到 26 x + 54 y + 2 × 2 x + 2 × 3 y ≤ 1200 即

x + 2 y ≤ 40

另外,开设的班数不能为负,则 x ≥ 0, y ≥ 0 把上面的四个不等式合在一起,得到:

?20 ≤ x + y ≤ 30 ? x + 2 y ≤ 40 ? ? x≥0 ? ? y≥0 ?
用图形表示这个限制条件,得到如图的平面区域(阴影部分) 例 4 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产 1 车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐 18t; 生产 1 车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐 1t,硝酸盐 15t,现库存磷酸盐 10t、硝酸盐 66t, 在此基础上生产两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域。 解:设 x,y 分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数,于是满足以下条件:

? 4 x + y ≤ 10 ?18 x + 15 y ≤ 66 ? ? x≥0 ? ? y≥0 ?
在直角坐标系中可表示成如图的平面区域(阴影部分) 。 [补充例题] 例 1、画出下列不等式表示的区域

x ≤ y ≤ 2x (1) ( x ? y )( x ? y ? 1) ≤ 0 ; (2)
分析:(1)转化为等价的不等式组; (2)注意到不等式的传递性,由 x ≤ 2 x ,得 x ≥ 0 ,又用

? y 代 y ,不等式仍成立,区域关于 x 轴对称。

?x ? y ≥ 0 ?x ? y ≤ 0 ? 0 ≤ x ? y ≤1 ? ? x ? y ?1 ≤ 0 x ? y ≥ 1 矛盾无解,故点 ( x, y ) 在一带形区域内 或? 解:(1) ?
49

(含边界) 。

?x ? y ≤ 0 ? 2 x ? y ≥ 0 点 ( x, y ) 在一条形区域内(边界); (2) 由 x ≤ 2 x ,得 x ≥ 0 ;当 y > 0 时,有 ?
当 y ≤ 0 ,由对称性得出。 指出:把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解

例 2、利用区域求不等式组

?2 x ? y ? 3 > 0 ? ?2 x + 3 y ? 6 < 0 ?3x ? 5 y ? 15 < 0 ?

的整数解

分 析 : 不 等 式 组 的 实 数 解 集 为 三 条 直 线 l1 : 2 x ? y ? 3 = 0 , l 2 : 2 x + 3 y ? 6 = 0 ,

l 3 : 3 x ? 5 y ? 15 = 0 所围成的三角形区域内部(不含边界)。设 l1 ∩ l 2 = A , l1 ∩ l 3 = B , l 2 ∩ l 3 = C ,求得区域内点横坐标范围,取出 x 的所有整数值, 再代回原不等式组转化为 y
的一元不等式组得出相应的 y 的整数值。

l : 3 x ? 5 y ? 15 = 0 l1 ∩ l 2 = A , , 解 : 设 l1 : 2 x ? y ? 3 = 0 , l 2 : 2 x + 3 y ? 6 = 0 , 3 l1 ∩ l 3 = B l 2 ∩ l3 = C

A(
,∴



15 3 75 12 , ) C ( ,? ) 8 4 , B (0,?3) , 19 19 。于是看出区域内点的

? ? y < ?1 ? 4 ? ?y < 3 ? 12 ? 75 (0, ) ?y > ? 5 19 内,取 x =1,2,3,当 x =1 时,代入原不等式组有 ? 横坐标在 ?
? 12 < y < ?1 5 ,得 y =-2,∴区域内有整点(1,-2)。同理可求得另外三个整点(2,0),(2,-1),

(3,-1)。
50

指出: 求不等式的整数解即求区域内的整点是教学中的难点, 它为线性规划中求最优整数解 作铺垫。常有两种处理方法,一种是通过打出网络求整点;另一种是本题解答中所采用的, 先确定区域内点的横坐标的范围,确定 x 的所有整数值,再代回原不等式组,得出 y 的一元 一次不等式组,再确定 y 的所有整数值,即先固定 x ,再用 x 制约 y 。 3.随堂练习 2 1. (1)

y > x +1



(2) .

x > y

; (3) .

x> y

?x + y ? 6 ≥ 0 ?x ? y ≥ 0 ? ? ?y ≤ 3 ?x < 5 表示的平面区域 2.画出不等式组 ?
3.课本第 97 页的练习 4 4.课时小结 进一步熟悉用不等式(组)的解集表示的平面区域。 5.评价设计 1、课本第 105 页习题 3.3[B]组的第 1、2 题 【板书设计】 简单的线性规划 第 3 课时 【教学目标】 1.知识与技能:使学生了解二元一次不等式表示平面区域;了解线性规划的意义以及约束 条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;了解线性规划问题的图解法,并能 应用它解决一些简单的实际问题; 2.过程与方法:经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程,提高数学建模能力; 3.情态与价值:培养学生观察、联想以及作图的能力,渗透集合、化归、数形结合的数学 思想,提高学生“建模”和解决实际问题的能力。 【教学重点】 用图解法解决简单的线性规划问题 【教学难点】 准确求得线性规划问题的最优解 【教学过程】 1.课题导入 [复习提问]

51

1、二元一次不等式 Ax + By + C > 0 在平面直角坐标系中表示什么图形? 2、怎样画二元一次不等式(组)所表示的平面区域?应注意哪些事项? 3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。 2.讲授新课 在现实生产、生活中,经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。 1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题: 引例:某工厂有 A、B 两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件甲产品使用 4 个 A 配件 耗时 1h,每生产一件乙产品使用 4 个 B 配件耗时 2h,该厂每天最多可从配件厂获得 16 个 A 配件和 12 个 B 配件,按每天 8h 计算,该厂所有可能的日生产安排是什么? (1)用不等式组表示问题中的限制条件: 设甲、乙两种产品分别生产 x、y 件,又已知条件可得二元一次不等式组:

?x + 2 y ≤ 8 ? 4 x ≤ 16 ? ? ? 4 y ≤ 12 ? x≥0 ? ? y≥0 ?

……………………………………………

………………….(1) (2)画出不等式组所表示的平面区域: 如图,图中的阴影部分的整点(坐标为整数的点)就代表所有可能的日生产安排。 (3)提出新问题: 进一步,若生产一件甲产品获利 2 万元,生产一件乙产品获利 3 万元,采用哪种生产安排利 润最大? (4)尝试解答: 设生产甲产品 x 件,乙产品 y 件时,工厂获得的利润为 z,则 z=2x+3y.这样,上述问题就转化 为: 当 x,y 满足不等式(1)并且为非负整数时,z 的最大值是多少?

2 z 2 z y = ? x+ ? 3 3 ,这是斜率为 3 ,在 y 轴上的截距为 3 的直线。当 z 把 z=2x+3y 变形为
变化时,可以得到一族互相平行的直线,如图,由于这些直线的斜率是确定的,因此只要给

2 8 z y =? x+ 3 3) 定一个点, (例如(1,2),就能确定一条直线( ) ,这说明,截距 3 可以由 2 z y = ? x+ 3 3 与不等式组(1)的区域 平面内的一个点的坐标唯一确定。可以看到,直线 z 的交点满足不等式组(1) ,而且当截距 3 最大时,z 取得最大值。因此,问题可以转化为 2 z y = ? x+ 3 3 与不等式组(1)确定的平面区域有公共点时,在区域内找一个点 P, 当直线
52

z 使直线经过点 P 时截距 3 最大。
(5)获得结果:

2 z y = ? x+ 3 3 金国直线 x=4 与直线 x+2y-8=0 的交点 M 由上图可以看出, 当实现 (4, 2) z 14 时,截距 3 的值最大,最大值为 3 ,这时 2x+3y=14.所以,每天生产甲产品 4 件,乙产品 2
件时,工厂可获得最大利润 14 万元。 2、线性规划的有关概念: ①线性约束条件:在上述问题中,不等式组是一组变量 x、y 的约束条件,这组约束条 件都是关于 x、y 的一次不等式,故又称线性约束条件. ②线性目标函数: 关于 x、y 的一次式 z=2x+y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、y 的解析式,叫 线性目标函数. ③线性规划问题: 一般地, 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题, 统称为线性规划 问题. ④可行解、可行域和最优解: 满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解. 由所有可行解组成的集合叫做可行域. 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解. 3、 变换条件,加深理解 探究:课本第 100 页的探究活动 (1) 在上述问题中,如果生产一件甲产品获利 3 万元,每生产一件乙产品获利 2 万元, 有应当如何安排生产才能获得最大利润?在换几组数据试试。 (2) 有上述过程,你能得出最优解与可行域之间的关系吗?

3.随堂练习 1. 请同学们结合课本 P103 练习 1 来掌握图解法解决简单的线性规划问题.

y

(1)求 z=2x+y 的最大值,使式中的 x、y 满足约束条件 解:不等式组表示的平面区域如图所示: 当 x=0,y=0 时,z=2x+y=0 点(0,0)在直线 作一组与直线

? y ≤ x, ? ? x + y ≤ 1, ? y ≥ ?1. ?

3 2 1 O x-y=0 1 1 B( 2 , 2 ) x 1 2 -2 -1 A(2,-1) C (-1,-1) -1 x+y-1=0 2x+y=0

l 0 :2x+y=0 上.

l 0 平行的直线

53

l :2x+y=t,t∈R.
可知,在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于 l 的直线 中,以经过点 A(2,-1)的直线所对应的 t 最大. 所以 zmax=2×2-1=3. (2)求 z=3x+5y 的最大值和最小值,使式中的 x、y 满足约束条件

y

?5 x + 3 y ≤ 15, ? ? y ≤ x + 1, ? x ? 5 y ≥ 3. ?

x-y+1=0 9 17 3x+5y=0 ( , ) A 8 8 x-5y-3=0 1 C -1 x O 3 -1 B 5x+3y-15=0

5

解:不等式组所表示的平面区域如图所示: 从图示可知, 直线 3x+5y=t 在经过不等式组所表示的公共区域内的点时, 以经过点 (-2,

9 17 , -1)的直线所对应的 t 最小,以经过点( 8 8 )的直线所对应的 t 最大.
所以 zmin=3×(-2)+5×(-1)=-11.

9 17 zmax=3× 8 +5× 8 =14
4.课时小结 用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤: (1)寻找线性约束条件,线性目标函数; (2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域; (3)在可行域内求目标函数的最优解 5.评价设计 课本第 105 页习题[A]组的第 2 题. 【板书设计】 简单的线性规划 第 4 课时 授课类型:新授课 【教学目标】 1.知识与技能:掌握线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题; 2.过程与方法:经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程,提高数学建模能力; 3.情态与价值:引发学生学习和使用数学知识的兴趣,发展创新精神,培养实事求是、理 论与实际相结合的科学态度和科学道德。 【教学重点】 利用图解法求得线性规划问题的最优解; 【教学难点】 把实际问题转化成线性规划问题, 并给出解答, 解决难点的关键是根据实际问题中的已知条 件,找出约束条件和目标函数,利用图解法求得最优解。 【教学过程】

54

1.课题导入 [复习引入]: 1、二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所 有点组成的平面区域(虚线表示区域不包括边界直线) 2、目标函数, 线性目标函数,线性规划问题,可行解,可行域, 最优解: 2.讲授新课 线性规划在实际中的应用: 线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用,一是在人力、物力、资金等资源一 定的条件下,如何使用它们来完成最多的任务;二是给定一项任务,如何合理安排和规划, 能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务 下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用: [范例讲解] 例5 营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至少提供 0.075kg 的碳水化合物, 0.06kg 的蛋白质,0.06kg 的脂肪,1kg 食物 A 含有 0.105kg 碳水化合物, 0.07kg 蛋白质,0.14kg 脂肪,花费 28 元;而 1kg 食物 B 含有 0.105kg 碳水 化合物,0.14kg 蛋白质,0.07kg 脂肪,花费 21 元。为了满足营养专家指出 的日常饮食要求,同时使花费最低,需要同时食用食物 A 和食物 B 多少 kg?

指出:要完成一项确定的任务,如何统筹安排,尽量做到用最少的资源去完成它,这是线性规划 中最常见的问题之一. 若根据有关部门的规定, 初中每人每年可收取学费 1 600 例6 在上一节例 3 中, 元,高中每人每年可收取学费 2 700 元。那么开设初中班和高中班各多少 个,每年收取的学费总额最高多?

指出:资源数量一定,如何安排使用它们,使得效益最好,这是线性规划中常见的问题之一 结合上述两例子总结归纳一下解决这类问题的思路和方法: 简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解, 无论此类题目是以 什么实际问题提出,其求解的格式与步骤是不变的: (1)寻找线性约束条件,线性目标函数; (2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域; (3)在可行域内求目标函数的最优解 3.随堂练习 课本第 103 页练习 2 4.课时小结 线性规划的两类重要实际问题的解题思路:

55

首先,应准确建立数学模型,即根据题意找出约束条件,确定线性目标函数。然后,用 图解法求得数学模型的解, 即画出可行域, 在可行域内求得使目标函数取得最值的解, 最后, 要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解,即结合实际情况求得最优解。 5.评价设计 课本第 105 页习题 3.3[A]组的第 3 题 【板书设计】 简单的线性规划 第 5 课时 授课类型:新授课 【教学目标】 1.知识与技能:掌握线性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实际问题; 2.过程与方法:经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程,提高数学建模能力; 3.情态与价值:引发学生学习和使用数学知识的兴趣,发展创新精神,培养实事求是、理 论与实际相结合的科学态度和科学道德。 【教学重点】 利用图解法求得线性规划问题的最优解; 【教学难点】 把实际问题转化成线性规划问题, 并给出解答, 解决难点的关键是根据实际问题中的已知条 件,找出约束条件和目标函数,利用图解法求得最优解。 【教学过程】 1.课题导入 [复习引入]: 1、二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所 有点组成的平面区域(虚线表示区域不包括边界直线) 2、目标函数, 线性目标函数,线性规划问题,可行解,可行域, 最优解: 3、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤: 2.讲授新课 1.线性规划在实际中的应用: 例7 在上一节例 4 中,若生产 1 车皮甲种肥料,产生的利润为 10 000 元;生产 1 车皮 乙种肥料,产生的利润为 5 000 元,那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮, 能够产生最大的利润?

2.课本第 104 页的“阅读与思考”——错在哪里? 若实数 x , y 满足

?1 ≤ x + y ≤ 3 ? ? ?1 ≤ x ? y ≤ 1

求 4 x +2 y 的取值范围.

错解:由①、②同向相加可求得:
56

0≤2 x ≤4 即 由②得

0≤4 x ≤8 ③

—1≤ y — x ≤1 ④

将上式与①同向相加得 0≤2 y ≤4 ③十④得 0≤4 x 十 2 y ≤12 以上解法正确吗?为什么? (1)[质疑]引导学生阅读、讨论、分析.

(2)[辨析]通过讨论, 上述解法中, 确定的 0≤4 x ≤8 及 0≤2 y ≤4 是对的, 但用 x 的最大(小) 值及 y 的最大(小)值来确定 4 x 十 2 y 的最大(小)值却是不合理的.X 取得最大(小)值时, y 并不能同时取得最大(小)值。由于忽略了 x 和 y 的相互制约关系,故这种解法不正确. (3)[激励]产生上述解法错误的原因是什么?此例有没有更好的解法?怎样求解? 正解: 因为 4x+2y=3(x+y)+(x-y) 且由已有条件有:

3 ≤ 3( x + y ) ≤ 9 ?1 ≤ x ? y ≤ 1

(5) (6)

将(5) (6)两式相加得 所以 3.随堂练习 1

2 ≤ 4 x + 2 y = 3( x + y ) + ( x ? y ) ≤ 10 2 ≤ 4 x + 2 y ≤ 10

1、求 z = x ? y 的最大值、最小值,使 x 、 y 满足条件

?x + y ≤ 2 ? ?x ≥ 0 ?y ≥ 0 ?

2、设 z = 2 x + y ,式中变量 x 、 y 满足 4.课时小结

? x ? 4 y ≤ ?3 ? ?3x + 5 y ≤ 25 ?x ≥ 1 ?

[结论一]线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得. [结论二]线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得,即满足条件的最优 解有无数多个. 5.评价设计 课本第 105 页习题 3.3[A]组的第 4 题 【板书设计】
57

基本不等式

ab ≤

a+b 2

第 1 课时 授课类型:新授课 【教学目标】 1.知识与技能:学会推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定 理中的不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等; 2.过程与方法:通过实例探究抽象基本不等式; 3.情态与价值:通过本节的学习,体会数学来源于生活,提高学习数学的兴趣 【教学重点】

应用数形结合的思想理解不等式,并从不同角度探索不等式 【教学难点】

ab ≤

a+b 2 的证明过程;

基本不等式

ab ≤

a+b 2 等号成立条件

【教学过程】 1.课题导入

基本不等式

ab ≤

a+b 2 的几何背景:

如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标, 会标是根据中国古代数学 家赵爽的弦图设计的, 颜色的明暗使它看上去象一个风车, 代表中国人民热情好客。 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗? 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。 2.讲授新课 1.探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图,在正方形 ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三 角形的两条直角边长为 a,b 那么正方形的边长为 a + b 。这样,4 个直角三角形的面积的
2 2

和是 2ab,正方形的面积为 a + b 。由于 4 个直角三角形的面积小于正方形的面积,我们
2 2

就得到了一个不等式: a + b ≥ 2ab 。
2 2

58

当直角三角形变为等腰直角三角形,即 a=b 时,正方形 EFGH 缩为一个点,这时有

a 2 + b 2 = 2ab 。
2 2 2.得到结论:一般的,如果 a, b ∈ R, 那么a + b ≥ 2ab(当且仅当a = b时取" =" 号)

3.思考证明:你能给出它的证明吗? 证明:因为

a 2 + b 2 ? 2ab = (a ? b) 2


a ≠ b时, (a ? b) 2 > 0, 当a = b时, (a ? b) 2 = 0,
所以, ( a ? b) ≥ 0 ,即 ( a + b ) ≥ 2ab.
2 2 2

ab ≤
4.1)从几何图形的面积关系认识基本不等式

a+b 2

特别的,如果 a>0,b>0,我们用分别代替 a、b ,可得 a + b ≥ 2 ab ,

通常我们把上式写作:

ab ≤

a+b (a>0,b>0) 2 ab ≤ a+b 2

2)从不等式的性质推导基本不等式 用分析法证明:

要证 只要证 要证(2) ,只要证 要证(3) ,只要证

a+b ≥ ab 2
a+b ≥ a+b( -

(1) (2) (3) (4)

≥0

2

显然, (4)是成立的。当且仅当 a=b 时, (4)中的等号成立。

ab ≤
3)理解基本不等式

a+b 2 的几何意义

探究:课本第 110 页的“探究” 在右图中,AB 是圆的直径,点 C 是 AB 上的一点,AC=a,BC=b。过点 C 作垂直

于 AB 的弦 DE, 连接 AD、 BD。 你能利用这个图形得出基本不等式 的几何解释吗? 易证Rt△ACD∽Rt△DCB,那么CD2=CA·CB

ab ≤

a+b 2

59

即CD= ab .

a+b a+b ≥ ab ,其中当且仅当点 C 与 这个圆的半径为 2 ,显然,它大于或等于 CD,即 2
圆心重合,即 a=b 时,等号成立.

因此:基本不等式

ab ≤

a+b 2 几何意义是“半径不小于半弦”

a+b 评述:1.如果把 2 看作是正数 a、b 的等差中项, ab 看作是正数 a、b 的等比中项,那
么该定理可以叙述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

a+b 2.在数学中,我们称 2 为 a、b 的算术平均数,称 ab 为 a、b 的几何平均数.本节
定理还可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. [补充例题] 例 1 已知 x、y 都是正数,求证:

y x + (1) x y ≥2;
(2)(x+y) (x2+y2) (x3+y3)≥8x3y3.

a+b ≥ ab 分析:在运用定理: 2 时,注意条件 a、b 均为正数,结合不等式的性质(把
握好每条性质成立的条件),进行变形.

解:∵x,y 都是正数

x y y >0, x >0,x2>0,y2>0,x3>0,y3>0 ∴

x y x y x y + ≥2 ? + y x y x =2 即 y x ≥2. (1)
(2)x+y≥2 >0 ∴(x+y) (x2+y2) (x3+y3)≥2

xy >0

x2+y2≥2

x2 y2

>0

x3+y3≥2

x3 y3

xy ·2 x 2 y 2 ·2 x 3 y 3 =8x3y3

即(x+y) (x2+y2) (x3+y3)≥8x3y3. 3.随堂练习 1.已知 a、b、c 都是正数,求证 (a+b) (b+c) (c+a)≥8abc

a+b ≥ ab (a>0,b>0)灵活变形,可求得结果. 分析:对于此类题目,选择定理: 2
60

解:∵a,b,c 都是正数 ∴a+b≥2 ab >0 b+c≥2 bc >0 c+a≥2 ac >0 ∴(a+b) (b+c) (c+a)≥2 ab ·2 bc ·2 ac =8abc 即(a+b) (b+c) (c+a)≥8abc. 4.课时小结

a+b 本节课,我们学习了重要不等式 a2+b2≥2ab;两正数 a、b 的算术平均数( 2 ) , a+b 几何平均数( ab )及它们的关系( 2 ≥ ab ).它们成立的条件不同,前者只要求 a、
b 都是实数,而后者要求 a、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具,又是求函数最值 的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题:

a 2 + b2 a+b 2 ,ab≤( 2 )2. ab≤
5.评价设计 课本第 113 页习题[A]组的第 1 题

基本不等式 【教学目标】

ab ≤

a+b 2

第 2 课时

ab ≤
1.知识与技能:进一步掌握基本不等式 能够解决一些简单的实际问题

a+b 2 ;会应用此不等式求某些函数的最值; a+b 2 ,并会用此定

ab ≤
2.过程与方法:通过两个例题的研究,进一步掌握基本不等式

理求某些函数的最大、最小值。 3.情态与价值:引发学生学习和使用数学知识的兴趣,发展创新精神,培养实事求是、理 论与实际相结合的科学态度和科学道德。 【教学重点】

基本不等式

ab ≤

a+b 2 的应用
61

【教学难点】

利用基本不等式 【教学过程】 1.课题导入

ab ≤

a+b 2 求最大值、最小值。

1.重要不等式: 如果 a, b ∈ R, 那么a + b ≥ 2ab(当且仅当a = b时取" =" 号)
2 2

a+b ≥ ab (当且仅当a = b时取" =" 号). 2.基本不等式:如果 a,b 是正数,那么 2 a+b 为a , b ?我们称 2 ? 的算术平均数,称 ab为a, b 的几何平均数?
a 2 + b 2 ≥ 2ab和 a+b 2

≥ ab
成立的条件是不同的:前者只要求 a,b 都是实数,而后者

要求 a,b 都是正数。 2.讲授新课 例 1(1)用篱笆围成一个面积为 100m 的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时, 所用篱笆最短。最短的篱笆是多少? (2)段长为 36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少 时,菜园的面积最大,最大面积是多少? 解: (1)设矩形菜园的长为 x m,宽为 y m,则 xy=100,篱笆的长为 2(x+y) m。由
2

x+ y ≥ xy 2 ,
可得

x + y ≥ 2 100 ,

2( x + y ) ≥ 40 。等号当且仅当 x=y 时成立, 此时 x=y=10.

因此,这个矩形的长、宽都为 10m 时,所用的篱笆最短,最短的篱笆是 40m.

1 (2)解法一:设矩形菜园的宽为 x m,则长为(36-2x)m,其中 0<x< 2 ,其 1 1 2 x + 36 ? 2 x 2 362 ( ) = 2 8 面积 S=x(36-2x)= 2 ·2x(36-2x)≤ 2
当且仅当 2x=36-2x,即 x=9 时菜园面积最大,即菜园长 9m,宽为 9 m 时菜园面积最 大为 81 m2 解法二:设矩形菜园的长为 x m.,宽为 y m ,则 2(x+y)=36, x+y=18,矩形菜园的面积为 xy m 。由
62
2

xy ≤

x + y 18 = =9 2 2 ,可得

xy ≤ 81

当且仅当 x=y,即 x=y=9 时,等号成立。 因此,这个矩形的长、宽都为 9m 时,菜园的面积最大,最大面积是 81m
2

归纳:1.两个正数的和为定值时,它们的积有最大值,即若 a,b∈R+,且 a+b=M,

M2 M 为定值,则 ab≤ 4 ,等号当且仅当 a=b 时成立.
2.两个正数的积为定值时,它们的和有最小值,即若 a,b∈R+,且 ab=P,P 为定值,则 a+b≥2 P ,等号当且仅当 a=b 时成立. 例 2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池, 其容积为 4800m3,深为 3m, 如果池底每 1m2 的造价为 150 元,池壁每 1m2 的造价为 120 元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总 造价是多少元? 分析:此题首先需要由实际问题向数学问题转化,即建立函数关系式,然后求函数的最 值,其中用到了均值不等式定理。 解:设水池底面一边的长度为 xm,水池的总造价为 l 元,根据题意,得

l = 240000 + 720( x +

1600 ) x

≥ 240000 + 720 × 2 x ?

1600 x = 240000 + 720 × 2 × 40 = 297600 x= 1600 , 即x = 40时, l有最小值2976000. x



因此,当水池的底面是边长为 40m 的正方形时,水池的总造价最低,最低总造价是 297600 元 评述:此题既是不等式性质在实际中的应用,应注意数学语言的应用即函数解析式的建立, 又是不等式性质在求最值中的应用,应注意不等式性质的适用条件。 归纳:用均值不等式解决此类问题时,应按如下步骤进行: (1)先理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数; (2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题; (3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值; (4)正确写出答案. 3.随堂练习

81 2 1.已知 x≠0,当 x 取什么值时,x2+ x 的值最小?最小值是多少?
63

2.课本第 113 页的练习 1、2、3、4 4.课时小结 本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值 问题。在用均值不等式求函数的最值,是值得重视的一种方法,但在具体求解时,应注意考 查下列三个条件:(1)函数的解析式中,各项均为正数;(2)函数的解析式中,含变数的各项 的和或积必须有一个为定值;(3)函数的解析式中,含变数的各项均相等,取得最值 即用均 值不等式求某些函数的最值时,应具备三个条件:一正二定三取等。 5.评价设计 课本第 113 页习题[A]组的第 2、4 题
新疆 王新敞
奎屯

基本不等式 【教学目标】

ab ≤

a+b 2

第 3 课时

ab ≤
1.知识与技能:进一步掌握基本不等式

a+b 2 ;会用此不等式证明不等式,会应用此 a+b 2 ,并会用此定理求

不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题;

ab ≤
2.过程与方法:通过例题的研究,进一步掌握基本不等式

某些函数的最大、最小值。 3.情态与价值:引发学生学习和使用数学知识的兴趣,发展创新精神,培养实事求是、理 论与实际相结合的科学态度和科学道德。 【教学重点】

掌握基本不等式

ab ≤

a+b 2 ,会用此不等式证明不等式,会用此不等式求某些函数的最值

【教学难点】 利用此不等式求函数的最大、最小值。 【教学过程】 1.课题导入

a+b ≥ ab (当且仅当a = b时取" =" 号). 1.基本不等式:如果 a,b 是正数,那么 2 ab ≤
2.用基本不等式

a+b 2 求最大(小)值的步骤。

2.讲授新课 1)利用基本不等式证明不等式

24 + 6m ≥ 24 。 例 1 已知 m>0,求证 m
64

24 [思维切入]因为 m>0,所以可把 m 和 6m 分别看作基本不等式中的 a 和 b, 直接利用基本不等
式。 [证明]因为 m>0,,由基本不等式得

24 24 + 6m ≥ 2 × × 6m = 2 24 × 6 = 2 ×12 = 24 m m
24 当且仅当 m = 6m ,即 m=2 时,取等号。 24 × 6m 规律技巧总结 注意:m>0 这一前提条件和 m =144 为定值的前提条件。
3.随堂练习 1 [思维拓展 1] 已知 a,b,c,d 都是正数,求证 (ab + cd )( ac + bd ) ≥ 4abcd .

2 2 2 2 2 [思维拓展 2] 求证 ( a + b )(c + d ) ≥ ( ac + bd ) .

4 +a ≥7 例 2 求证: a ? 3 .
[思维切入] 由于不等式左边含有字母 a,右边无字母,直接使用基本不等式,无法约掉字母 a,

4 4 +a = + (a ? 3) + 3 a ?3 而左边 a ? 3 .这样变形后,在用基本不等式即可得证.

[证明]

4 4 4 +3= + (a ? 3) + 3 ≥ 2 (a ? 3) + 3 = 2 4 + 3 = 7 a ?3 a ?3 a?3

4 当且仅当 a ? 3 =a-3 即 a=5 时,等号成立.
规律技巧总结 通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式. 2)利用不等式求最值

例 3 (1) 若 x>0,求

f ( x) = 4 x +

9 x 的最小值; 9 x 的最大值.
65

f ( x) = 4 x +
(2)若 x<0,求

[思维切入]本题(1)x>0 和

4x ×

9 x =36 两个前提条件;(2)中 x<0,可以用-x>0 来转化.

解 1) 因为 x>0 由基本不等式得

f ( x) = 4 x +
小值 12. (2)因为

9 9 9 3 9 ≥ 2 4 x + = 2 36 = 12 4x = f ( x) = 4 x + x x x 即 x= 2 时, x 取最 ,当且仅当

x<0, 所以 -x>0, 由基本不等式得:

9 9 9 ? f ( x) = ?(4 x + ) = (?4 x) + (? ) ≥ 2 (?4 x) ? (? ) = 2 36 = 12 x x x ,
所以

f ( x) ≤ 12 . ?4x = ? 9 3 9 f ( x) = 4 x + x 即 x=- 2 时, x 取得最大-12.

当且仅当

规律技巧总结 利用基本不等式求最值时,个项必须为正数,若为负数,则添负号变正. 随堂练习 2

[思维拓展 1] 求

f ( x) = 4 x +

9 x ? 5 (x>5)的最小值.

2 8 + =1 x y [思维拓展 2] 若 x>0,y>0,且 ,求 xy 的最小值.

4.课时小结

用基本不等式

ab ≤

a+b 2 证明不等式和求函数的最大、最小值。

5.评价设计 1.证明: a + b + 2 ≥ 2a + 2b
2 2

2.若 x > ?1 ,则 x 为何值时

x+

1 x + 1 有最小值,最小值为几?

66


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