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湖北黄冈中学、黄石二中2011届高三联考(数学文)

时间:2012-03-12


湖北省黄冈中学、黄石二中 2011 届 高 三 联 考

数学试题(文科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.若 A = {2,3,4},B = {x | x = n·m,m,n∈A,m≠n},则集合 B 的元素个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 2

.已知向量 a = (2,3) , b = ( ?1, 2) ,若 ma + nb 与 a ? 2b 共线,则 A. ? 2 ; B. 2 C. ?

1 2

3.为了得到函数 y = sin 2 x 的图象,可以将函数 y = sin(2 x ? A.向右平移 C.向右平移

π
6

m 等于 n 1 D. 2





) 的图象





π
个单位

π

6
个单位

B.向左平移 D.向左平移

π
6

个单位

π
个单位

12

12
( )

4.已知条件 p : { x | 2 x ? 3 > 1} , 条件 q : x | x 2 + x ? 6 > 0 ,则 ?p 是 ?q 的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

{

}

5.已知 S n 是等差数列 {a n } 的前 n 项和,且 S11 = 35 + S 6 , 则S17 的值为 A.117 B.118 C.119 D.120





6.已知 x>0,y>0,x+3y=1,则

1 1 + 的最小值是 x 3y
C.4 D. 2 3





A. 2 2

B.2

7.在 ?ABC 中, AB ? BC = 3, ?ABC 的面积 S ?ABC ∈ [ 是

uuu uuu r r

r uuu uuu r 3 3 , ] ,则 AB 与 BC 夹角的取值范围 2 2

( A. [



π π

, ] 4 3

B. [

π π

, ] 6 4

C. [

π π

, ] 6 3

D. [

π π

, ] 3 2

8.车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数,单位为 辆/分,上班高峰期某十字 路口的车流量由函数 F(t)=50+4sin

t (其中 0≤t≤20)给出,F(t)的单位是辆/ 2
( D.[15,20] )

分,t 的单位是分,则在下列哪个时间段内车流量是增加的 A.[0,5] B.[5,10] C.[10,15]

9.已知 {a n } 是等比数列, a 2 = 2, a 5 = 围是 A. [12,16 ) B. [8,16 )

1 ? ,则 a1 a 2 + a 2 a3 + ? ? ? + a n a n +1 n ∈ N 的取值范 4
( C. ?8, ? ? 3 ? )

(

)

? 32 ?

D. ? , ? ?3 3 ?

?16 32 ?

?3? x ? a( x ≤ 0) 10.已知函数 f ( x) = ? ? f ( x ? 1)( x > 0)
则实数 a 的取值范围是 A. [1, 2] B. ?∞, 2 ) (

若关于 x 的方程 f ( x ) = x 有且仅有二个不等实根, ( C. [2,3) D. (-3,-2] )

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11 . 已 知 函 数 f ( x ) = 是 12.函数 y = e
x +1

x 2 ? 2ax + a 2 ? 1 的 定 义 域 为 A , 2 ? A , 则 a 的 取 值 范 围

; 的反函数是 .

13. 已知两点 P (4, ?9) , Q ( ?2,3) , 则直线 PQ 与 y 轴的交点分有向线段 PQ 的比为 14.若 cos(α + β ) = 15.若数列 {an } 满足

uuu r



1 3 , α ? β ) = ,则 tan α ? tan β = cos( 5 5



1 1 ? = d ( n ∈ N ? , d 为常数) ,则称数列 {an } 为调和数列,已 an +1 an

知数列 ?

?1? ? 为调和数列,且 x1 + x2 + L + x20 = 200 ,则 x1 + x20 = ? xn ?


,若

x5 > 0, x16 > 0, 则x5 ? x16 的最大值为

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 10 分) 已知 f ( x ) = 2 cos 2 x + 2 3 sin x cos x + a , a 为实常数。 (I)求 f ( x ) 的最小正周期; (II)若 f ( x ) 在 [ ?

π π

, ] 上最大值与最小值之和为 3,求 a 的值。 6 3

17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 AB ? AC = BA ? BC (1)判断△ABC 的形状(2)若 cos C =

7 ,求 cos A 的值 25

18. (本小题满分 12 分) 在数列 {an } 中, a1 = 1 ,当 n ≥ 2 时,其前 n 项和 Sn 满足 S n = an ( S n ? ) .
2

1 2

(1)求 an ; (2)令 bn =

Sn ,求数列 {bn } 的前项和 Tn . 2n + 1

19. (本小题满分 14 分) 市政府为招商引资,决定对外资企业第一年产品免税.某外资厂该年 A 型产品出 厂价为每件 60 元,年销售量为 11.8 万件.第二年,当地政府开始对该商品征收税率 为 p%(0<p<100,即销售 100 元要征收 p 元)的税收,于是该产品的出厂价上升为每 件

8000 元,预计年销售量将减少 p 万件. 100 ? p

(Ⅰ)将第二年政府对该商品征收的税收 y(万元)表示成 p 的函数,并指出这个函数 的定义域; (Ⅱ)要使第二年该厂的税收不少于 16 万元,则税率 p%的范围是多少? (Ⅲ)在第二年该厂的税收不少于 16 万元的前提下,要让厂家获得最大销售金额,则 p 应为多少? 20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) = log 4 (4 + 1) + kx ( k ∈ R ) 是偶函数.
x

(1)求 k 的值; (2)设 g ( x ) = log 4 ( a ? 2 ?
x

4 a ) ,若函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有且只有一个公共点,求实 3

数 a 的取值范围. 21. (本小题满分 14 分) 已知数列 {a n } 满足 a1 = 1, a 2 = 3, 且 an + 2 = (1 + 2 cos (Ⅰ)求 a 3 , a 4 ; (Ⅱ)求 a 2 k , a 2 k ?1 ( k ∈ N ? ) ; ( Ⅲ) 设 bk = a 2 k + ( ?1) k ?1 λ ? 2
a 2 k ?1

nπ nπ )an + sin , n ∈ N ?, 2 2

,试 确定 λ 的 值, 使得 对任意 (λ 为非 零整 数)

(k ∈ N ? ) 都有 bk +1 > bk 成立。

参考答案
1-5 BCDAC 11. 1 < a < 3 13.2 14. 6-10CBCCB 12.f 1(x)=lnx-1 (x>0)


1 2

15.20、100

16.解: (I) f ( x ) = 1 + cos 2 x + 3 sin 2 x + a = 2 sin(2 x + 所以 f ( x ) 的最小正周期 T = π ; (II)Q x ∈ [ ?

π
6

) +1+ a
………………………5 分

π π
,

6 3 π 1 ∴ sin(2 x + ) ∈ [? , 1] 6 2

] , 则 2x +

π
6

∈ [?

π 5π
6 , 6

]

所以 f ( x ) 是最大值为 3 + a ,最小值为 a 依题意有: 3 + 2a = 3 ,

∴ a=0

………………………10 分 2分

17.解: (1)Q AB ? AC = cb cos A, BA ? BC = ca cos B

∴ bc cos A = ac cos B ∴ sin B cos A = sin A cos B 即 sin A cos B ? sin B cos A = 0
∴ sin( A ? B ) = 0
6分

4分

Q ?π < A ? B < π ∴A= B

∴ ?ABC 为等腰三角形. 8分 (2)由(1)知 A=B,则: C = π ? 2 A
∴ ∴

cos C = cos(π ? 2 A) = ? cos 2 A = 1 ? 2 cos 2 A = cos 2 A = 9 25
得A<

7 25

9分 10 分

又因为 2A=A+B < π ,

π
2

11 分 12 分

∴ cos A =

3 5

18.解:(1)当 n ≥ 2 时, an = S n ? S n ?1 , ∴ S n = ( S n ? S n ?1 )( S n ? ) = S n ?
2 2

1 2

1 1 S n ? S n S n ?1 + S n ?1 , 2 2

∴ S n ?1 ? S n = 2 S n S n ?1 ,



1 1 ? = 2, S n S n ?1 1 } 为等差数列, S1 = a1 = 1 , Sn

即数列 {



1 1 1 = + (n ? 1) × 2 = 2n ? 1 ,∴ S n = , S n S1 2n ? 1 ………………4 分
1 1 1 ? =? , 2n ? 1 2 n ? 3 (2n ? 1) ? (2n ? 3)

当 n ≥ 2 时, a n = S n ? S n ?1 =

?1, n = 1 ? , n ≥ 2 。………………8 分 ∴ an = ? 1 ?? (2n ? 1)(2n ? 3) ?
(2) bn =

Sn 1 1 1 1 = = ( ? ), 2n + 1 (2n ? 1)(2n + 1) 2 2n ? 1 2n + 1

1 1 1 1 1 1 1 1 n Tn = [(1 ? ) + ( ? ) + L + ( ? )] = (1 ? )= 2 3 3 5 2n ? 1 2n + 1 2 2 n + 1 2n + 1
19.解:依题意,第二年该商品年销售量为(11.8-p)万件, 年销售收入为

8000 (11.8-p)万元, 100 ? p 8000 (11.8-p)p%(万元) 100 ? p

政府对该商品征收的税收 y=

故所求函数为 y=

80 (11.8-p)p 100 ? p

由 11.8-p>0 及 p>0 得定义域为 0<p<11.8………………4 分

(II)解:由 y≥16 得

80 (11.8-p)p≥16 100 ? p

化简得 p2-12p+20≤0,即(p-2) (p-10) ≤0,解得 2≤p≤10. 故当税率在[0.02,0.1]内时,税收不少于 16 万元. ………………9 分 (III)解:第二年,当税收不少于 16 万元时, 厂家的销售收入为 g(p)=

80 (11.8-p) (2≤p≤10) 100 ? p

Q g ( p) =

8000 882 (11.8 ? p ) = 800(10 + ) 在[2,10]是减函数 100 ? p 100 ? p

∴g(p)max=g(2)=800(万元) 故当税率为 2%时,厂家销售金额最大. ………………14 分 20.解: (1)由函数 f ( x ) 是偶函数可知: f ( x ) = f ( ? x )

∴ log 4 (4 x + 1) + kx = log 4 (4 ? x + 1) ? kx log 4 4x + 1 = ?2kx 即 x = ?2kx 对一切 x ∈ R 恒成立 4? x + 1

………………………2 分

………………………4 分

∴k = ?

1 2

………………………5 分

(2)函数 f ( x) 与 g ( x ) 的图象有且只有一个公共点 即方程 log 4 (4 + 1) ?
x

1 4 x = log 4 (a ? 2 x ? a ) 有且只有一个实根 2 3

…………………7



1 4 = a ? 2 x ? a 有且只有一个实根 x 2 3 4 x 2 令 t = 2 > 0 ,则方程 (a ? 1)t ? at ? 1 = 0 有且只有一个正根 ………………9 分 3 3 ① a = 1 ? t = ? ,不合题意; ……………………10 分 4 3 ② ? = 0 ? a = 或 ?3 ………………………11 分 4 3 1 1 若 a = ? t = ? ,不合题意;若 a = ?3 ? t = ………………………12 分 4 2 2 ?1 ③一个正根与一个负根,即 < 0 ? a >1 a ?1
化简得:方程 2 +
x

综上:实数 a 的取值范围是 {?3} ∪ (1, +∞) ………………………13 分 21.解: (1) a3 = (1 + 2 cos
a4 = (1 + 2 cos p p )a1 + sin = a1 + 1 = 2 , 2 2

2p 2p )a2 + sin = 3a2 = 9 ,……………………(2 分) 2 2

(2)①设 n=2k, k ? N* , ∵,又 a2 = 2 ,∴
a2 k + 2 = 3. a2 k

∴当 k ? N* 时,数列{a2k}为等比数列.

∴ a2 k = a2

3k - 1 = 3k .

②设 n = 2k - 1, k  N* . 分) 由 a2 k + 1 = (1 + 2 cos
? a2 k + 1 a2 k - 1 = 1. (2k - 1)p (2k - 1)p ) a2 k - 1 + sin = a2 k - 1 + 1 2 2

……………………(5

∴当 k ? N* 时,数列 {a2 k - 1} 为等差数列. ∴ a2 k - 1 = a1 + ( k - 1) 分) (3) bk = a2 k + (- 1) k - 1 l ∴ bk + 1 - bk = 3k + 1 + (- 1) k l
= 2 = 2 3k + (- 1) k l (2k + 1 + 2k ) 3k + (- 1) k l 3 2k . 2k - 1 = 3k + (- 1) k - 1 l 2k + 1 - 3k - (- 1) k - 1 l 2k 2k 1 = k.

……………………(8

由题意,对任意 k ? N* 都有 bk + 1 > bk 成立, ∴ bk + 1 - bk = 2
? 2 3k 3k + (- 1) k l 3 3 2k > 0 对任意 k ? N* 恒成立

(- 1) k - 1 l

2k 对任意 k ? N* 恒成立. 2 3 3k 2 = 2k 3 3 ( )k 对任意 k ? N* 恒成立. 2

①当 k 为奇数时, 2

3k > l 2 3

3

2k ? l

∵ k ? N* ,且 k 为奇数,∴

3 2 ( )k ≥ 2 3
3

3 = 1. 2
2 3

∴ l < 1.
3k 2 =k 2 3 3 ( ) k 对任意 k ? N* 恒成 2

②当 k 为偶数时, 2

3k > - l

2k ? l

立. ∵ k ? N* ,且 k 为偶数,∴ 综上,有 3 < l < 1. 2
2 3 3 2 ( )k ≤ 2 3 3 3 3 ( )2 = - . ∴ l > - . 2 2 2

∵ l 为非零整数,∴ l = - 1. ……………………(14 分)


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