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立体几何题型的解题技巧适合总结提高用

时间:2016-10-21


第六讲 立体几何新题型的解题技巧
考点 1 点到平面的距离 例 1(2007 年福建卷理)如图,正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所有棱长都为 2 , D 为 CC1 中点. (Ⅰ)求证: AB1 ⊥平面 A1BD ; (Ⅱ)求二面角 A ? A1D ? B 的大小; (Ⅲ)求点 C 到平面 A1BD 的距离. B C D A

A1


C1 B1

P

例 2.( 2006 年湖南卷 ) 如图 , 已知两个正四棱锥 P-ABCD 与 Q-ABCD 的高分别为 1 和 2,AB=4. (Ⅰ)证明 PQ⊥平面 ABCD; (Ⅱ)求异面直线 AQ 与 PB 所成的角; (Ⅲ)求点 P 到平面 QAD 的距离.
Q A M D O B C

考点 2 异面直线的距离 例 3 已知三棱锥 S ? ABC ,底面是边长为 4 2 的正三角形,棱

SC 的长为 2,且垂直于底面. E、D 分别为 BC 、AB 的中点,求
CD 与 SE 间的距离.

考点 3 直线到平面的距离 例 4. 如图,在棱长为 2 的正方体 AC1 中,G 是 AA 1 的中点,求 BD 到平面 GB1 D1 的距离.

D1

O1

C1 B1

A1
H G D A O

C B

考点 4 异面直线所成的角 例 5(2007 年北京卷文) 如图,在 Rt△ AOB 中, ?OAB ? π ,斜边 AB ? 4 . Rt△ AOC 可以通过 Rt△ AOB
6

A

D 是 AB 的中点. 以直线 AO 为轴旋转得到, 且二面角 B ? AO ? C 的直二面角. (I)求证:平面 COD ? 平面 AOB ; (II)求异面直线 AO 与 CD 所成角的大小.

D

O
C

E

B

例 6. (2006 年广东卷)如图所示,AF、DE 分别是⊙O、⊙O1 的直径.AD 与两圆所在的平 面均垂直,AD=8,BC 是⊙O 的直径,AB=AC=6,OE//AD. (Ⅰ)求二面角 B—AD—F 的大小; (Ⅱ)求直线 BD 与 EF 所成的角.

考点 5 直线和平面所成的角 例 7.(2007 年全国卷Ⅰ理) 四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,侧面 SBC ? 底面 ABCD .已知∠ABC ? 45? ,

S

AB ? 2 , BC ? 2 2 , SA ? SB ? 3 .
(Ⅰ)证明 SA ? BC ; (Ⅱ)求直线 SD 与平面 SAB 所成角的大小.
C D A B

考点 6 二面角 例 8. (2007 年湖南卷文) 如图,已知直二面角 ? ? PQ ? ? , A ? PQ , B ? ? , C ? ? , CA ? CB , ?BAP ? 45 ,
?

直线 CA 和平面 ? 所成的角为 30 .
?

? C
P A B Q

(I)证明 BC ⊥ PQ ; (II)求二面角 B ? AC ? P 的大小.

?

例 9.( 2006 年重庆卷)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA ? 底面 ABCD, ? DAB 为直角,AB‖CD,AD=CD=2AB, E、F 分别为 PC、 CD 的中点. (Ⅰ)试证:CD ? 平面 BEF; (Ⅱ)设 PA=k·AB,且二面角 E-BD-C 的平面角大于 30 ? ,求 k 的取 值范围.

考点 7 利用空间向量求空间距离和角 例 10. (2007 年江苏卷)

D1
C 1
F M D

3 如图,已知 ABCD ? A 1B 1C1D 1 是棱长为 的正方体,
点 E 在 AA1 上,点 F 在 CC1 上,且 AE ? FC1 ? 1 . (1)求证: E,B,F,D1 四点共面; (2)若点 G 在 BC 上, BG ?

B1

A1

E
A

2 ,点 M 在 BB1 上, 3

C

H

G

B

GM ⊥ BF ,垂足为 H ,求证: EM ⊥ 平面 BCC1B1 ;
(3)用 ? 表示截面 EBFD1 和侧面 BCC1B1 所成的锐二面角的大小,求 tan ? .

例 11. (2006 年全国Ⅰ卷) 如图,l1、l2 是互相垂直的两条异面直线,MN 是它们的公垂线段,点 A、B 在 l1 上,C 在 l2 上,AM=MB=MN (I)证明 AC ? NB; (II)若 ?ACB ? 60 ,求 NB 与平面 ABC 所成角的余弦值.
?
A M B N C

考点 8 简单多面体的有关概念及应用,主要考查多面体的概念、性质,主要以填空、选择 题为主,通常结合多面体的定义、性质进行判断. 例 12 . 如图(1) ,将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚 线折起, 做成一个无盖的正六棱柱容器, 当这个正六棱柱容器的底面边长为 容积最大. 例 13 .如图左,在正三角形 ABC 中,D、E、F 分别为各边的中点,G、H、I、J 分别为 AF、 AD、BE、DE 的中点,将△ABC 沿 DE、EF、DF 折成三棱锥后,GH 与 IJ 所成角的度数为 ( ) A H J D I B A、90° B、60° C、45° E D J E D、0° G F C H I F (A、B、C) G 时

例 14.长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, ① 设对角线 D1B 与自 D1 出发的三条棱分别成α 、β 、 ? 角 求证:cos2α +cos2β +cos2 ? =1 ② 设 D1B 与自 D1 出发的三个面成α 、β 、 ? 角,求证: cos2α +cos2β +cos2 ? =2 D A B A1 D1 B1 C1

C A

考点 9.简单多面体的侧面积及体积和球的计算 例 15. 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB= 2 a,BC=CA=AA1=a, A1 在底面△ABC 上的射影 O 在 AC 上 ① 求 AB 与侧面 AC1 所成角; ② 若 O 恰好是 AC 的中点,求此三棱柱的侧面积. B1 A1 C1

A D

O

C

B

A

例 16. 等边三角形 ABC 的边长为 4,M、N 分别为 AB、AC 的中点,沿 MN 将△AMN 折起,使得面 AMN 与面 MNCB 所成 的二面角为 30°,则四棱锥 A—MNCB 的体积为 ( ) A、 B

M

K

N

L A

C

3 2

B、

3 2

C、 3

D、3

N M K L B

C

例 17.如图,四棱锥 P—ABCD 中,底面是一个矩形,AB=3,AD=1,又 PA⊥AB,PA=4, ∠PAD=60° ① 求四棱锥的体积; ② 求二面角 P-BC-D 的大小. P

H D A B C

E

例 18 .(2006 年全国卷Ⅱ)已知圆 O1 是半径为 R 的球 O 的一 个小圆,且圆 O1 的面积与球 O 的表面积的比值为 OO1 与 R 的比值为 . O O1 r R A

2 ,则线段 9

【专题训练与高考预测】 一、选择题 1.如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,已知 AB=1,D 在 BB1 上, 且 BD=1,若 AD 与侧面 AA1CC1 所成的角为 ? ,则 ? 的值为 ( A. )

? 3
arctan 10 4

B.

? 4
6 4


C1

A1

B1
D

C.

D. arcsin

2.直线 a 与平面 ? 成 ? 角,a 是平面 ? 的斜线,b 是平面 ? 内与 a 异面的任意直线,则 a 与 b 所成的角( A. 最小值 ? ,最大值 ? ? ? C. 最小值 ? ,无最大值

C A

B

B. 最小值 ? ,最大值

? 2 ? D. 无最小值,最大值 4

3.在一个 45 ? 的二面角的一平面内有一条直线与二面角的棱成 45 ? 角,则此直线与二面角 的另一平面所成的角为( A. ) B.

30 ?

45 ?

C.

60 ?

D. D1 A1

90 ?
C1 B1

4.如图,直平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长均为 2,

?BAD ? 60? ,则对角线 A1C 与侧面 DCC1D1 所成
的角的正弦值为( A. ) B.

1 2

3 2 3 4
) A

D B

C

C.

2 2

D.

5.已知在 ?ABC 中,AB=9,AC=15, ?BAC ? 120 ? ,它所在平面外一点 P 到 ?ABC 三顶 点的距离都是 14,那么点 P 到平面 ?ABC 的距离为( A. 13 B. 11 C. 9 ) D. 7 N D1 M D A B B1 C1

6.如图,在棱长为 3 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别 是棱 A1B1、A1D1 的中点,则点 B 到平面 AMN 的距离是( A.

9 2

A1

B.

3

C.

6 5 5

D. 2

A

7.将 ?QMN ? 60? ,边长 MN=a 的菱形 MNPQ 沿对角线 NQ 折成 60 ? 的二面角,则 MP 与 NQ 间的距离等于( A. ) D.

3 a 2

B.

3 a 4

C.

6 a 4

3 a 4

8.二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 120 ? ,在 ? 内, AB ? l 于 B,AB=2,在 ? 内,CD ? l 于 D, CD=3,BD=1, M 是棱 l 上的一个动点,则 AM+CM 的最小值为( ) A.

2 5

B.

2 2

C.

26

D.

2 6

9.空间四点 A、B、C、D 中,每两点所连线段的长都等于 a, 动点 P 在线段 AB 上, 动点 Q 在线段 CD 上,则 P 与 Q 的最短距离为( ) A.

1 a 2

B.

2 a 2

C.

3 a 2

D. a

10.在一个正四棱锥,它的底面边长与侧棱长均为 a ,现有一张正方形包装纸将其完全包 住(不能裁剪纸,但可以折叠) ,那么包装纸的最小边长应为( A. ( 2 ? 6 )a B. ) D.

2? 6 a 2

C.

(1 ? 3)a

1? 3 a 2

11.已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,A1A=AB=2,若棱 AB 上存在点 P,使 D1 P ? PC ,则 棱 AD 的长的取值范围是 ( A.

?0,1?


B.

?0, 2 ?
45 ?

)

C.

?0,2?

D.

?1, 2 ?

12.将正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,使点 D 在平面 ABC 外,则 DB 与平面 ABC 所成的 角一定不等于( A. D. 90 ? 二、填空题 1.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E 是 A1B1 的中点,则下列四个命题: ① E 到平面 ABC1D1 的距离是

30 ?

B.

C.

60 ?
D1 A1 E B1 C1

1 ; 2

D A B

C

② 直线 BC 与平面 ABC1D1 所成角等于 45 ? ; ③ 空间四边形 ABCD1 在正方体六个面内的射影围成 面积最小值为

1 ; 2

④ BE 与 CD1 所成的角为 arcsin

10 10
D1 P A1 B1 C1

2.如图,在四棱柱 ABCD---A1B1C1D1 中,P 是 A1C1 上的动点,E 为 CD 上的动点,四边形 ABCD 满 足___________时,体积 VP ? AEB 恒为定值(写上 你认为正确的一个答案即可) 3.边长为 1 的等边三角形 ABC 中,沿 BC 边高线 AD 折起,使得折后二面角 B-AD-C 为 60°,则点 A 到 BC 的距离为_________,点 D 到平面 ABC 的距离 为__________. 4.在水平横梁上 A、B 两点处各挂长为 50cm 的细绳, AM、BN、AB 的长度为 60cm,在 MN 处挂长为 60cm 的木条,MN 平行于横梁,木条的中点为 O,若木条 绕过 O 的铅垂线旋转 60°,则木条比原来升高了 _________. 5.多面体上,位于同一条棱两端的顶点称为相邻的.如图正 方体的一个顶点 A 在 ? 平面内.其余顶点在 ? 的同侧, 正方体上与顶点 A 相邻的三个顶点到 ? 的距离分别是 ①3;②4;③5;④6;⑤7. 以上结论正确的为 (写出所有正确结论的编号 ) .. . A D

E B

C

1、2 和 4. P 是正方体其余四个顶点中的一个,则 P 到平面 ? 的距离可能是:

? O1
6. 如图,棱长为 1m 的正方体密封容器的三个面上有三个锈蚀的小孔 (不计小孔直径)O1、O2、O3 它们分别是所在面的中心.如果恰当放置容 器,容器存水的最大容积是_______m3. 三、解答题 1.在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中, 底面边长为 a,D 为 BC 为中点, M 在 BB1 上, 且 BM= 又 CM⊥AC1; (1) 求证:CM⊥C1D; (2) 求 AA1 的长.

? O3

? O2

1 B1M, 3

2 . 如 图 , 在 四 棱 锥 P-ABCD 中 , 底 面 是 矩 形 且 AD=2 , AB=PA= 2 ,PA⊥底面 ABCD,E 是 AD 的中点,F 在 PC 上. (1) 求 F 在何处时,EF⊥平面 PBC; (2) 在(1)的条件下,EF 是不是 PC 与 AD 的公垂线段.若是,求 出公垂线段的长度;若不是,说明理由; (3) 在(1)的条件下,求直线 BD 与平面 BEF 所成的角.

3.如图,四棱锥 S—ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,SD 垂直于底面 ABCD,SB= 3 . (1)求证 BC ? SC; (2)求面 ASD 与面 BSC 所成二面角的大小; (3)设棱 SA 的中点为 M,求异面直线 DM 与 SB 所成角的 大小.

4. 在直角梯形 ABCD 中, ?D=?BAD=90?,AD=DC= 1 AB=a,(如图一)将△ADC 沿 AC 折起,
2

使 D 到 D ? .记面 AC D ? 为 ?,面 ABC 为 ?.面 BC D ? 为 ?. (1)若二面角 ??AC?? 为直二面角(如图二) ,求二面角 ??BC?? 的大小; (2)若二面角 ??AC?? 为 60?(如图三) ,求三棱锥 D ? ?ABC 的体积.

5.如图,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直,AB= 2 ,AF=1,M 是线 段 EF 的中点. (1)求证 AM//平面 BDE; (2)求二面角 A?DF?B 的大小; (3)试在线段 AC 上确定一点 P,使得 PF 与 BC 所成的角是 60?.


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