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湖北省枣阳市育才高中2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理


湖北省枣阳市育才中学高二年级 2015-2016 学年度下学期期中考试数学(理科) 试题
★ 祝考试顺利 ★ 时间:120 分钟 分值 150 分_ 第 I 卷(选择题共 60 分) 一.选择题(本题有 12 个小题,每小题 5 分) 1.已知 且 a ? 1 ,命题“ x>1, ”的否定是( )

A、 n ? ? ?1, ?1,1?
<

br />?

B、 n ? ? ? , ? , ?

?

?1 ?3

1 1? 3 3?

C、 n ? ? ?

?

? 3 3 3? ? 3 , 3 , 3 ? ? ? ?

D、 n ? ? ?

r

? 3 3 3? ? 3 ,? 3 , 3 ? ? ? ?

8.已知抛物线 x 2 ? 4 y ,过焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A , B 两点(点 A 在第一象限) ,若直线 l 的倾斜 角为 30? ,则

| AF | 等于( ) | BF |
B.

(A) ? x≤1, log a x ? 0 (C) ? x≤1, log a x ? 0
2

(B) ? x>1, log a x ? 0 (D) ? x>1, log a x ? 0

A. 3

5 2

C. 2

D.

3 2

1 , f ? ? x ? 为 f ( x) 的导函数,已知函数 y=f ? ? x ? 的图象如图所 9.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ? 4 ?=
示.若两正数 a,b 满足 f (2a+b) ? 1 ,则

2.设抛物线 C:y =2px(p≥0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5.若以 M F 为直径的圆过点(0,2),则 C 的方程为( ) 2 2 2 2 A.y =4x 或 y =8x B.y =2x 或 y =8x 2 2 2 2 C.y =4x 或 y =16x D.y =2x 或 y = 16x 3.在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,D 是 AC 的中点,AB1⊥BC1,则平面 DBC1 与平面 CBC1 所成的角为( ) A.30° B.45° C. 60° D.90°

b?2 的取值范围是( ) a?2

A. ? ,

?1 1? ? ?3 2?

B. ? ??,

? ?

1? ? ? (3,+?) 2? ? ?

ln x ? ln x, f ? x ? 在 x ? x0 处取得最大值,以上各式中正确的序号是( x ?1 1 1 ① f ? x0 ? ? x0 ② f ? x0 ? ? x0 ③ f ? x0 ? ? x0 ④ f ? x0 ? ? ⑤ f ? x0 ? ? 2 2
4.已知 f ? x ? ? A.①④ B.②④ C.②⑤ 与 ) D.③⑤ 相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分) ,则 5.如图,函数 该闭合图形的面积是(



C. (??, ?3)

D. ? ,3 ?
3

?1 ?2

10.已知函数 f ( x) ? x ? 3 x ? m 只有一个零点,则实数 m 的取值范围是( ) A. ?? 2, 2? C. ?? 2, 2 ? 11.已知函数 f ? x ? ? B. ?? ?, ? 2 ? ∪ ?2, ? ? ? D. ?? ?, ? 2? ∪ ?2, ? ? ?

A.1

B.
2

C.
2

D.2 )

1 2 x ? 2ax, g ? x ? ? 3a 2 ln x ? b ,设两曲线 y ? f ? x ? , y ? g ? x ? 有公共点,且在该 2


6.直线 y ? x ? 1 被椭圆 x ? 2 y ? 4 所截得的弦的中点的坐标是(

点处的切线相同,则 a ? ? 0, ?? ? 时,实数 b 的最大值是(

? 1 2? ?1 2? ? 2 1? , ? B. ? , ? C. ? ? , ? ? 3 3? ?3 3? ? 3 3? ? ? 7.已知 a ? ?1, ?1,1? ,则与向量 a 共线的单位向量是( )
A. ? ?

D. ?? 2,1?

A.

13 6 e 6

B.

1 6 e 6

C.

7 2 e3 2

D.

3 2 e3 2
2

2 12.设函数 f ? x ? ? 3 sin ? x .若存在 f ? x ? 的极值点 x0 满足 x0 2 ? ? ? f ? x0 ? ? ? ? m ,则 m 的取值范围是 m





1

(A) ? ??, ?6 ? ? ? 6, ? ? (B) ? ??, ?4 ? ? ? 4, ? ? (C) ? ??, ?2 ? ? ? 2, ? ? (D) ? ??, ?1? ? ?1, ? ?

x2 y 2 19.已知椭圆 C: 2 ? 2 =1(a>0,b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边 a b
三角形,直线 x+y+2 2 一 1=0 与以椭圆 C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆相切. (I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设点 B,C,D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点,点 B 与点 D 关于原点 O 对称.设直线 CD,CB,OB, OC 的斜率分别为 k1,k2,k3,k4,且 k1k2=k3k4. 2 2 (i)求 k1k2 的值: (ii)求 OB + OC 的值. .

二.填空题(本题 4 个小题,每题 5 分) 13.已知命题 p : ?x ? R , ax 2 ? 2ax ? 1 ? 0 .若命题 ? p 是真命题,则实数 a 的取值范围是 14.若 A(m ? 1, n ? 1,3) , B (2m, n, m ? 2n) , C (m ? 3, n ? 3,9) (m, n ? R ) 三点共线,则 m ? n =

15.点 P 在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上,点 P 到直线 3 x ? 4 y ? 24 的最大距离和最小距离为___________ . 16 9
t

20. (本小题满分 15 分)己知⊙O: x ? y ? 6 , P 为⊙O 上动点,过 P 作 PM ? x 轴于 M , N 为 PM
2 2

上一点,且 PM ?

???? ?

???? ? 2 NM .

16. 若函数 f ( x) ? log t | x ? 1 | 在区间 (?2,?1) 上恒有 f ( x) ? 0 , 则关于 t 的不等式 f (8 ? 1) ? f (1) 的解 集为_______.

(Ⅰ)求点 N 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)若 A(2,1) , B (3,0) ,过 B 的直线与曲线 C 相交于 D 、 E 两点,则 k AD ? k AE 是否为定值?若 是, 求出该值;若不是,说明理由.

三.解答题(本题有 6 个小题,请写出必要的文字说明和解答过程,总分 70 分) 17.已知命题 p:“? x>﹣1,a≤x+ 恒成立”; ,命题 q:“函数 f(x)= x +ax +2ax+1 在 R 上存在
3 2

21.已知函数 f ( x) ?

x ? a ln(1 ? x)(a ? R) , g ( x) ? x 2 e mx (m ? R) . 1? x

极大值和极小值”,若命题“p 且 q”是假命题,“p 或 q”是真命题,求实数 a 的取值范围.

(1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的最大值; (2)若 a ? 0 ,且对任意的 x1 , x2 ? [0,2], f ( x1 ) ? 1 ? g ( x2 ) 恒成立,求实数 m 的取值范围.

18.如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D , M 分别 为 CC1 和 A1 B 的中点, A1 D ? CC1 ,侧面 ABB1 A1 22.已知函数 f ( x) ? a ln x ? x ? 1(a ? R ) . (1)求 f ( x) 的单调区间; (2)若 f ( x) ? 0 在 (0,??) 上恒成立,求所有实数 a 的值; (3)证明:

BC ? 1 . 为菱形且 ?BAA1 ? 60? ,AA1 ? A1 D ? 2 ,
(1)证明:直线 MD / / 平面 ABC ; (2)求二面角 B ? AC ? A1 的余弦值.

ln 2 ln 3 ln 3 ln n n(n ? 1) ? ? ? ??? ? ? (n ? N , n ? 1) . 3 4 5 n ?1 4
2

设 n1=(x,y,z)为平面 DBC1 的一个法向量, 参考答案 1.D 【解 析】 试题分析:根据否命题的定义对条件结论进行否定即可; 由题根据存在的否定为任意,大于的否定为小于等于不难得到选项 D 正确; 考点:命题的关系 2.C 【解析】设 M(x0,y0),A(0,2),MF 的中点为 N. 则 n1· DB =0,n1· DC1 =0. 即?

??? ?

???? ?

? 3ax ? 0 ? 2 2 又 2b =a ,令 z=1, ? ?ay ? 2bz ? 0

解得 n1=(0,- 2 ,1). 同理可求得平面 CBC1 的一个法向量为 n2=(1, 3 ,0). 利用公式 cos θ = 4.B 【解析】 试题分析:由题意得, f ? ? x ? ?

?p ? 由 y =2px,F ? , 0 ? , ?2 ?
2

n1 ? n2 n1 ? n2



p 2 , y0 . ∴N 点的坐标为 2 2 p 由抛物线的定义知,x0+ =5, 2 x0 ?
∴x0=5-

2 ,得 θ =45°. 2

p .∴y0= 2

p? ? 2 p?5 ? ? . 2? ?

x ? 1 ? ln x ,令 g ? x ? ? x ? 1 ? ln x ,则函数由唯一的零点 x0 ,所以 ( x ? 1) 2
ln x0 ?x ?1 ? ln x0 ? 0 ? (? x0 ? 1) ? x0 , 所 以 ② 是 正 确 的 ; 由 x0 ? 1 x0 ? 1

? x0 ? 1 ? ln x0 , 所 以 f ? x0 ? ?
f ? x0 ? ?

∵|AN|=

MF 5 25 2 = ,∴|AN| = . 2 2 4

x0 ?


p 2 2+ y0 -22= 25 . 2 2 4
2

1 1 ?2 x0 ln x0 ? (1 ? x0 ) 1 (1 ? 2 x0 ) ln x0 , ? x0 ? 1 ? ln x0 , 所 以 f ? x0 ? ? ? ,当 x ? 时, ? 2 2 2(1 ? x0 ) 2 2(1 ? x0 )

p p? ? ?5 ? ? ? 2 2? ? 即 + 4

p? ? 2 p?5 ? ? 2? 25 ? 2 -2 = . 2 4

1 1 ? 1 ? ln 1 2 ? 0 ? f ?( x ) , 所 以 x 在 x ? 1 的 左 侧 , 所 以 x ? 1 , 所 以 1 ? 2 x ? 0 , 所 以 f ?( ) ? 2 0 0 0 0 1 2 2 2 ( ? 1) 2 2
(1 ? 2 x0 ) ln x0 1 ? 0 ,即 f ? x0 ? ? ,所以④是正确的,故选 B. 2 2(1 ? x0 )
考点:导数在函数的综合应用. 方法点睛: 本题主要考查了导数的计算、 导致在解答函数问题中的综合应用, 综合性较强, 有一定的难度, 属于难题,着重考查了转化思想和分析、解答问题的能力,本题的解答中,求出导函数 f ? ? x ? ?

p? ? 2 p?5 ? ? 2? ? 2 ∴ -2=0.整理得 p -10p+16=0. 2
解得 p=2 或 p=8.∴抛物线方程为 y =4x 或 y =16x. 3.B 【解析】以 A 为坐标原点, AC , AA1 的方向分别为 y 轴和 z 轴的正方向建立空间直角坐标系. 设底面边长为 2a,侧棱长为 2b, 则 A(0,0,0),C(0,2a,0),D(0,a,0),B( a,a,0),C1(0,2a,2b),B1(
2 2 2

x ? 1 ? ln x , ( x ? 1)2

????

????

令 g ? x ? ? x ? 1 ? ln x ,则函数由唯一的零点 x0 ,得到 ? x0 ? 1 ? ln x0 ,代入 f ? x0 ? ,即可判定②是正确 的,再根据 x0 在 x ? 5.B
3

3
2

3

a,a,2b).

由 AB1 ⊥ BC1 ,得 AB1 · BC1 =0,即 2b =a .

????

???? ?

????

???? ?

1 的左侧,可进而判定④是正确的,其中确定函数 g ? x ? 由唯一的零点是解得关键. 2

【解析】 试 题 分 析 : 可 求 出 两 曲 线 的 交 点 坐 标 为 ( 0 , 1 ),( 2 , 1 ), 所 以 .故选 B。 考点:运用定积分求面积。 6.C 【解析】 试题分析:由 ?

k BD ?

0 ? ?? 2 ? 1 4 ? ?? 2 ? ?1 ? ? , k CD ? ? 3 ,所以斜率的取值范围是 ? , 3 ? ,故选 D. 2 ? ?? 2 ? 2 0 ? ?? 2 ? ?2 ?

?y ? x ?1 ?x ? 2 y ? 4
2 2

消去 y 得 3 x 2 ? 4 x ? 2 ? 0 设方程两根为 x1 , x 2 ,则弦的中点的横坐标为

x1 ? x 2 2 2 1 ? ? ,故所求中点坐标为 (? , ) 2 3 3 3 .
考点:直线与圆相交的相关问题 7.D 【解析】

r a ? r ? ?? 3 ,? 3 , 3 ? r 2 2 2 ? ? ? ? 3 a a ? 1 ? ? ?1? ? 1 ? 3 3 3 ? ? ?, a 试题分析: 由题意知 , 与向量 共线的单位向量为
故答案为 D. 考点:1、共线向量;2、单位向量. 8.A. 【解析】 考点:1.导数的基本应用;2.线性规划. 【方法点睛】本题考查了导数的基本应用与线性规划的简单综合,属于中档题型,本题的一个难点是平时 做线性规划的问题都是关于 x, y 的约束条件和目标函数,现在是关于 a, b 的式子,所以首先要打破做题习 惯的束缚,第二个难点是给出导数的图像,要会分析原函数的单调性,根据函数的单调性会解不等式

1 | AF | 1 ? cos 60? 试题分析:根据抛物线的性质可得, ? ? 3 ,故选 A. 1 | BF | 1 ? cos 60?
考点:抛物线的标准方程及其性质. 9.D 【解析】 试题分析:由导数的图像可知,当 x ? ?? ?,0 ? 时,函数是单调递减函数,当 x ? ?0,?? ? 时,函数是单调

f ?2a ? b ? ? 1 ? f ?4? ,将此不等式转化为关于 a, b 的不等式组,即约束条件,理解 z ?
意义,问题就变得简单了. 10.B 【解析】

b?2 表示的几何 a?2

试题分析:求导得: f ( x) ? 3 x ? 3 ,所以 f ( x) ? x ? 3 x ? m 的极大值为 f (?1) ? 2 ? m ,极小值为
2

3

b?2 递增函数,所以当 a ? 0, b ? 0 时,只需满足 2a ? b ? 4 时,求 的取值范围,看成线性规划问题, a?2

f (1) ? ?2 ? m . 因 为 该 函 数 只 有 一 个 零 点 , 所 以 f (?1) ? 2 ? m ? 0 或 m ? ?2, m ? 2 ,选 B.
考点:1、导数的应用;2、函数的零点;3、解不等式. 11.D 【解析】

f (1) ? ?2 ? m ? 0 , 所 以

?a ? 0 b?2 ? 即 ?b ? 0 时,求 z ? 的取值范围,如图,可行域为如图阴影部分,目标函数表示可行域内的 a?2 ?2 a ? b ? 4 ?

? 2? 点 和 D?? 2,

0? , C ?0, 4? , 斜 率 的 最 小 值 是 连 线 的 斜 率 的 取 值 范 围 , 可 知 B?2,
4

试题分析:设切点为( x0 , y0 ) ,则由切点处的斜率相同且切线相同得, x0 ? 2a ?

3a 2 ??①, x0

时,则 ?

?a ? 0 ? 0 ? a ? 1 ,综上 a ? [0,1) ?? ? 0

1 x0 ? 2ax0 ? 3a 2 ln x0 ? b ? ? ② 。 因 为 a ? (0, ??) , 所 以 由 ① 得 x0 ? a , 并 将 其 代 入 ② 得 , 2

5 5 上单调递增,在区间 (0,e 3) b ? a 2 ? 3a 2 ln a .设 h( a ) ? a 2 ? 3a 2 ln a ,利用导数法求得函数在区间 2 2

1

考点:根据命题的真假求字母的取值范围. 【原创理由】本题考查特称命题的否定、命题真假关系等基本知识,着重考查学生分类讨论思想,本题的 关键是掌握含 有特称命题的否定的形式,一个命题和它的否定,这两个命题中有且只有一个是真命题. 14.0 【解析】 试题分析: AB = (m - 1,1, m - 2n - 3) , AC = (2, - 2, 6) ,两个向量平行的条件,可知 AC = - 2 AB ,故知

( e ,??) 上单调递减,所以 h( a ) max

1 3

2 3 2 3 3 ? h( e ) ? e ,则 bmax ? e 3 .选 D. 2 2

1 3

??? ?

????

????

??? ?

考点:1.导数的几何意义;2.导数在函数求最值中的应用. 【思路点睛】设出切点( x0 , y0 ) ,利用导数求出切点处的导数及函数值,从而得到参数 a,b 的关系, 即b ?

ì ? m- 1= -1 ,解得 m = 0, n = 0 ,故 m + n = 0 . í ? ? m - 2n - 3 = - 3
考点:空间向量共线的条件,根据空间向量共线来判断多点共线. 15.

本题难度稍大,可能不能直接看到已知与所求的关系,在解题中,我们有时不妨采取“走一步看一步”的 策略即一个条件得到一个常规结论,这样可能就会“柳暗花明” . 12.C 【解析】 试题分析:f ' ? x ? ?

5 2 5 a ? 3a 2 ln a ,并 h( a ) ? a 2 ? 3a 2 ln a ,然后利用导数求最值得步骤求出 h( a ) max ,进而求解。 2 2

12 12 2? 2 ; 2? 2 5 5

?

?

?

?

【解析】 试题分析:设点 P 的坐标为(4cosθ ,3sinθ ) ,

3 ? ? ? m 令 f '? x? ? 0 , 则 x ? ? k? , ? k ? Z ? , 解得 x ? ? km, ? k ? Z ? . ? cos x , m m m 2 2

?? ? 12 2 cos ? ? ? ? ? 24 12 cos ? ? 12sin ? ? 24 4? ? ? 可得点 P 到直线 3x-4y=24 的 d ? 5 5
当 cos ? ? ?

m 即 x0 ? ? km, ? k ? Z ? . 2

? ?

??
??

12 2? 2 , ? ? ?1 时,d 取得最大值为 5 4?

?

?

?m ? ? ?m ? ? 2 ?? 2 2?1 x0 ? ? ? f ? x0 ? ? ? ? ? 2 ? km ? ? 3sin ? 2 ? k? ? ? ? 2 ? km ? ? 3cos k? ? m ? 2 ? k ? ? 3 , ? ? ? ? ? ? ? ?
2 2

2

2

2

当 cos ? ? ?

? ?

12 2? 2 . ? ? 1 时,最小值为 5 4?

?

?

m2 ? k ? Z ,? k ? 0 时 x0 ? ? 取得最小值为 ? 3, f x ? ? ? 0 ? ? 4
2 2

考点:圆锥曲线的最值问题;直线与圆锥曲线的关系 16. ( ,1) 【解析】 试题分析:因为 x ? (?2, ?1) ,所以 | x ? 1|? (0,1) .又函数 f ( x) ? log t | x ? 1 | 在区间 (?2,?1) 上恒有

1 3

m2 2 2 2 存在 f ? x ? 的极值点 x0 满足 x0 ? ? 即 m2 ? 4 , 解得 m ? ?2 或 m ? 2 . 故 ? f ? x0 ? ? ? ? m 只需 4 ? 3 ? m ,
2

C 正确. 考点:1 极值点;2 转化思想. 13. [0,1) 【解析】
2 试题分析:若命题 ? p 是假命题,即对于 ?x ? R, ax ? 2ax ? 1 ? 0 ,当 a ? 0 时,显然成立,当 a ? 0

f ( x) ? 0 ,所以 0 ? t ? 1 ,所以函数 f ? x ? 在定义域内为减函数,所以不等式 f (8t ? 1) ? f (1) 等价于

1 8t ? 1 ? 1 ,解得 ? t ? 1 . 3
考点:1、函数的单调性;2、不等式的解法. 【方法点睛】对于带有函数符号“ f ”的不等式,通常不能直接求解,主要有两种途径: (1)利用函数
5

的单调性,去掉函数符号“ f ” ,转化为代数不等式求解; (2)利用数形结合法,即通过作出所涉及到的 图象,根据图象位置进行直观求解. 17.a∈[0,1]∪(2,+∞) . 【解析】 试题分析:分别求出 p,q 为真时的 a 的范围,根据命题“p 且 q”是假命题,“p 或 q”是真命题,得到 p,q 一真一假,从而求出 a 的范围即可. 解;关于命题 p:“? x>﹣1,a≤x+ 令 g(x)=x+ ∴a≤1; 关于命题 q:“函数 f(x)= x +ax +2ax+1 在 R 上存在极大值和极小值”, 即 f′(x)=x +2ax+2a 与 x 轴有 2 个交点, 2 ∴△=4a ﹣8a>0,解得:a>2 或 a<0, 若命题“p 且 q”是假命题,“p 或 q”是真命题, 则 p,q 一真一假, p 真 q 假时: ,解得:0≤a≤1,
2 3 2

∴ B1 (2, 0, 0) , C (0, 0,1) , A(?1, 3, 0) , A1 (1, 3, 0) , C1 (2, 0,1) , D (1, 0,1) , M ( , (1)设平面 ABC 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ,则 m ? BA ? ? x ? 3 y ? 0 ,

1 3 , 0) , 2 2

??

?? ??? ?

恒成立”,

=x+1+

﹣1≥1,当且仅当 x=0 时“=”成立,

?? ??? ? ?? ???? ? ???? ? 1 ?? 3 3 3 m ? BC ? z ? 0 ,取 m ? ( 3,1, 0) , ∵ MD ? ( , ? ? ?0?0, ,1) , m ? MD ? 2 2 2 2 ?? ???? ? ∴ m ? MD ,又∵ MD ? 平面 ABC , ∴直线 MD / / 平面 ABC ; ( 2 )设平面 ACA1 的法向量为

???? ? ???? ?? ???? ?? ???? n ? ( x1 , y1 , z1 ) , AC ? (1, ? 3,1) , AA1 ? (2, 0, 0) ,m ? AC ? x1 ? 3 y1 ? z1 ? 0 ,m ? AA1 ? x1 ? 0 , 取
? ?? n ? (0,1, 3) , 又由(1 )知平面 ABC 的法向量为 m ? ( 3,1, 0) ,设二面角 B ? AC ? A1 为 ? ,

?? ? m?n 1 1 1 ? |? ∵ 二面角 B ? AC ? A1 为锐角,∴ cos ? ?| ?? ? ,∴二面角 B ? AC ? A1 的余弦值为 . 4 | m | ?| n | 2?2 4

p 假 q 真时:

,解得:a>2,

综上,a∈[0,1]∪(2,+∞) . 考点:复合命题的真假. 18. (1)详见解析; (2) 【解析】

1 . 4
考点:空间向量解立体几何题. 19. (Ⅰ)

?? ???? ? ?? 试题分析: (1)建立 空间直角坐标系,求出平面 ABC 法向量 m ,证明 MD ? m 即可; (2)求出两个平
面的法向量,利用空间向量的数量积即可求解. 试题解析:∵ A1 D ? CC1 ,且 D 为中点, AA1 ? A1 D ? 2 ,∴ A1C ? A1C1 ? 5 ? AC , 又 BC ? 1 , AB ? BA1 ? 2 ,∴ CB ? BA , CB ? BA1 ,又∵ BA ? BA1 ? B ,∴ CB ? 平面 ABB1 A1 , 取 AA1 中点 F ,则 BF ? AA1 ,即 BC , BF , BB1 两两互相垂直, 以 B 为原点, BB1 , BF , BC 分别为 x , y , z 轴,建立空间直角坐标系如图,

3 x2 y 2 2 2 ? ? 1 ;(Ⅱ)(i) k1k2 ? ? (ii)OB +OC 4 3 4

【解析】 试题分析: (Ⅰ)利用等边三角形、椭圆的几何元素的关系式以及直线与圆相切求出有关参数值,进而确 定椭圆的标准方程;(Ⅱ)设出相关点的坐标,利用直线的斜率公式求出各自斜率,利用等量关系以及点均 在椭圆上进行求解. 试题解析: (Ⅰ)设椭圆 C 的右焦点 F2 (c, 0) ,则 c ? a ? b (c ? 0)
2 2 2

由题意,以椭圆 C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长 为半径的圆的方程为 ( x ? c) ? y ? a ,
2 2 2

∴圆心到直线 x ? y ? 2 2 ? 1 ? 0 的距离
6

d?

c ? 2 2 ?1 2

? a (*)

? ? ?0 ? 2 ? x0 ? x ? ? x0 ? x ?? ? ???? ? ???? ? ?y ? 2y ?? y 0 ? ? 2 y 由 PM ? 2 NM ,得 ? , ? 0 ,
由于点 P 在圆 O : x ? y ? 6 上,则有 x ?
2 2
2

∵椭圆 C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形, ∴b ?

3c , a ? 2c , 代入(*)式得 c ? 1, b ? 3 , a ? 2 ,
x2 y 2 ? ?1 4 3

? 2 y?

2

x2 y2 ? ?1 ? 6 ,即 6 3 .

故所求椭圆方程为

(Ⅱ) (i) 设 B ( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 ) ,则 D (? x1 , ? y1 ) ,

x2 y2 ? ?1 3 ? 点 N 的轨迹 C 的方程为 6 .
(Ⅱ)设 D? x1 , y1 ? , E ? x 2 , y 2 ? ,过点 B 的直线 DE 的方程为 y ? k ? x ? 3? ,

3 3 2 (4 ? x2 ) ? (4 ? x12 ) y ? y1 y2 ? y1 y ? y 3 4 于是 k1k2 ? 2 ? ? ?4 ?? 2 2 x2 ? x1 x2 ? x1 x ? x x2 ? x1 4
2 2 2 2 2 1 2 1

3 3 (ii)方法一由(i)知, k3 k4 ? k1k2 ? ? ,故 y1 y2 ? ? x1 x2 . 4 4 9 2 2 3 3 2 2 所以, x1 x2 ? y12 y2 ? (4 ? x2 ) ? (4 ? x12 ) 16 4 4
2 2 2 2 即 x12 x2 ,所以, x12 ? x2 ? 16 ? 4( x12 ? x2 ) ? x12 x2 ? 4.

? y ? k ? x ? 3? ? 2 ?x y2 ? ?1 2 2 2 2 ? 3 由? 6 消去 y 得: 2k ? 1 x ? 12k x ? 18k ? 6 ? 0 ,其中 ? ? 0 ,

?

?

? x1 ? x 2 ?

12k 2 18k 2 ? 6 , x x ? 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 ,

? k AD ? k AE ? ?

又2?(

2 2 x12 y12 x2 y 2 x 2 ? x2 y 2 ? y2 2 ? 3. , 故 y12 ? y2 ? )?( 2 ? 2 )? 1 ? 1 4 3 4 3 4 3
2 2

y1 ? 1 y 2 ? 1 kx1 ? ?3k ? 1? kx 2 ? ?3k ? 1? ? ? ? x1 ? 2 x 2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2

所以,OB +OC ? OB ? OC ? x ? y ? x ? y ? 7 .
2 2 2 1 2 1 2 2 2 2

2kx1 x 2 ? ?5k ? 1?? x1 ? x 2 ? ? 4k ? 12 x1 x 2 ? 2? x1 ? x 2 ? ? 4
2k ? 18k 2 ? 6 12k 2 ? ? ? 5 k ? 1 ? ? 4k ? 12 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 18k 2 ? 6 12k 2 ? 2 ? ?4 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

方法二由(i)知, k3 k4 ? k1k2 ? ? 得 x12 ?

3 x2 y 2 .将直线 y ? k3 x 方程代入椭圆 ? ? 1 中, 4 3 4

12 12 2 ? .同理, x2 . 2 3 ? 4k 4 3 ? 4k32
16k32 12 12 12 12 12 ? ? ? ? ? ? 4. 2 3 ? 4k32 3 ? 4k4 3 ? 4k32 3 ? 4(? 3 ) 2 3 ? 4k32 3 ? 4k32 4 k3

?

2 所以, x12 ? x2 ?

?

下同方法一 考点:1.椭圆的标准方程;2.直线与椭圆的位置关系. 20. (Ⅰ) 【解析】

? 4k 2 ? 4 ? ?2 2k 2 ? 2 .

? k AD ? k AE 是定值 ? 2 .
考点:椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系,定值问题. 21. (1) 0 ; (2) (??,? ln 2] .

x y ? ?1 6 3

2

2

(Ⅱ) ? 2

P? x0 , y 0 ? ,则 M ? x0 ,0 ? , PM ? ? 0, y0 ? , NM ? ? x0 ? x, ? y ? 试题解析: (Ⅰ)设 N ? x, y ? ,

???? ?

???? ?

【解析】 试题分析:(1)当 a ? 1 时,函数为 f ( x) ?

x -x ,利用导函 ? ln(1 ? x) ,可先求得导函数 f ?( x) ? 2 1? x (1 ? x)
7

数求出函数的单调区间,进一步求得最大值(或值域) ;(2)因为对任意的 x1 , x2 ? [0,2], f ( x1 ) ? 1 ? g ( x2 ) 恒成立,所以有当 x1 , x2 ? [0,2], f ( x) min ? 1 ? g ( x) max ,所以可通过导函数来求得 [0,2]上f ( x) 的最小值 (关于 a 的表达式)及 g ( x) 的最大值(关于 m 的表达式) ,代入前式,在解不等式,从而求得 m 的取值 范围. 试题解析: (1)函数 f ( x) 的定义域为: x ? (?1,??) , 当 a ? 1 时, f ?( x) ?

③当 ?

2 ? 0 ,即 m ? 0 时,显然在 [0,2] 上 g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递增,所以 g ( x) max ? g (2) ? 4e 2 m , m

4e 2 m ? 1 不成立.
综上所述, m 的取值范围是 (??,? ln 2] . 考点:导函数的运用,解含参数的不等式. 方法点睛: 在求复杂函数的值域 (最值)时, 要充分利用导函数的性质, 通过导函数求得函数的单调区间, 再由单调性求函数的值域(最值) ;而对于有关函数的不等式恒成立求参数范围的问题,首先需要将函数 不等式转化为函数最值的不等式问题,即转化为有关参数的不等式,在进行转化时,因为参数不为定值, 所以在求函数最值时要注意对参数进行分情况讨论. 22. (1)当 a ? 0 时, f ( x) 减区间为 (0,??) ,当 a ? 0 时, f ( x) 递增区间为 (0, a ) ,递减区间为 (a,??) ; (2) a ? 1 ; (3)见解析. 【解析】 试题分析: (1)求出导函数 f '( x) ,由不等式 f '( x) ? 0 确定增区间,由 f '( x) ? 0 确定减区间; (2) 由 (1)

1? x ? x 1 ?x , ? ? 2 (1 ? x) 1 ? x (1 ? x) 2

∴ x ? (?1,0) , f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (?1,0) 上单调递增, ∴ x ? (0,??) , f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (0,??) 上单调递减, ∴ f ( x) max ? f (0) ? 0 . (2)令 ? ( x) ? f ( x) ? 1 ,因为“对任意的 x1 , x2 ? [0,2], f ( x1 ) ? 1 ? g ( x2 ) 恒成立” , 对任意的 x1 , x2 ? [0,2], ? ( x) min ? g ( x) max 成立,由于 ? ?( x) ?

a ? 0 时, f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减,且 f (1) ? 0 ,不合题意,当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0, ??) 上的最大
值是 f (a ) ,要满足题意,则有 f (a ) ? 0 , f (a ) ? a ln a ? a ? 1 ,为此讨论函数 g (a ) ? a ln a ? a ? 1 , 由导数的知识得函数 g (a ) 在 (0,1) 上递减, 在 (1, ??) 上递增,g (a ) min ? g (1) ? 0 , 从而只能有 a ? 1 ; (3) 此不等式的证明与小题进行联系,由(2) f ( x) ? ln x ? x ? 1 ? 0 恒成立,且仅当 x ? 1 时取等号,从而有

1 a ? ax ? a ? 1 , ? ? 2 (1 ? x) 1 ? x (1 ? x) 2

当 a ? 0 时, ?x ? [0,2] 有 ? ?( x) ? 0 ,从而函数 ? ( x) 在 [0,2] 上单调递增, 所以 ? ( x) min ? ? (0) ? 1 ,

ln x ? x ? 1 ,取 x ? k 2 (k ? 1, k ? N *) ,则 ln k 2 ? k 2 ? 1 ,即 2 ln k ? (k ? 1)(k ? 1) ,即
当 k ? 2,3,4,..., n 时,有

g ?( x) ? 2 xe mx ? x 2 e mx ? m ? (mx 2 ? 2 x)e mx ,
当 m ? 0 时, g ( x) ? x , x ? [0,2] 时, g ( x) max ? g (2) ? 4 ,显然不满足 g ( x) max ? 1 ,
2

ln 2 1 ln 3 2 ln 3 3 ln n n ? 1 ,相加后就能证明题设不等式. ? , ? , ? ,? ? ?, ? 3 2 4 2 5 2 n ?1 2 a a?x 试题解析: (1) f ?( x) ? ? 1 ? ( x ? 0) . x x
当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x) 减区间为 (0,??) , 当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? a ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? a , ∴ f ( x) 递增区间为 (0, a ) ,递减区间为 (a,??) . (2)由(1)知:当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0,??) 上为减函数,而 f (1) ? 0 , ∴ f ( x) ? 0 在区间 x ? (0,??) 上不可能恒成立;

ln k k ? 1 , ? k ?1 2

当 m ? 0 时,令 g ?( x) ? 0 得 x1 ? 0, x2 ? ? ①当 ?

2 , m

2 ? 2 , 即 ? 1 ? m ? 0 时 , 在 [0,2] 上 g ?( x) ? 0 , 所 以 g ( x) 在 [0,2] 单 调 递 增 , 所 以 m

g ( x) max ? g (2) ? 4e 2 m ,只需 4e 2 m ? 1 ,得 m ? ? ln 2 ,所以 ? 1 ? m ? ? ln 2 .

2 2 2 即 m ? ?1 时, 在 [0,? ] 上 g ?( x) ? 0 ,g ( x) 单调递增, 在 [? ,2] 上 g ?( x) ? 0 ,g ( x) ? 2, m m m 2 4 4 2 单调递减,所以 g ( x) max ? g (? ) ? 2 2 ,只需 2 2 ? 1 ,得 m ? ? ,所以 m ? ?1 . m me me e
②当 0 ? ?

8

当 a ? 0 时, f ( x) 在 (0, a ) 上递增,在 (a,??) 上递减,

f ( x) max ? f (a ) ? a ln a ? a ? 1 ,令 g (a ) ? a ln a ? a ? 1 ,
依题意有 g (a ) ? 0 ,而 g ?(a ) ? ln a ,且 a ? 0 , ∴ g ( a ) 在 (0,1) 上递减,在 (1,??) 上递增,∴ g (a ) min ? g (1) ? 0 ,故 a ? 1 . (3)由(2)知,当 a ? 1 时, f ( x) ? 0 在 (0,??) 上恒成立,即 ln x ? x ? 1 在 (0,??) 上恒成立,当且仅 当 x ? 1 时等号成立. 令 x ? k (k ? N , k ? 1) ,则有 ln k 2 ? k 2 ? 1 ,即 2 ln k ? (k ? 1)(k ? 1) ,
2

ln k k ? 1 ,当 k ? 2,3,4,..., n 时, ? k ?1 2 ln 2 1 ln 3 2 ln 3 3 ln n n ? 1 分别有 , ? , ? , ? ,? ? ?, ? 3 2 4 2 5 2 n ?1 2 ln 2 ln 3 ln 3 ln n 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? (n ? 1) n(n ? 1) 叠加得 , ? ? ? ??? ? ? ? 3 4 5 n ?1 2 4 ln 2 ln 3 ln 3 ln n n(n ? 1) 即 得证. ? ? ? ??? ? ? 3 4 5 n ?1 4
整理得 考点:导数与函数的单调性、极值,构造法证明不等式. 【名师点睛】本题中难点是第(3)小题不等式的证明,在解题时我们要紧紧抓住出题者的意图,对于一 个较难的问题, 出题人一般都会给出几个从易到难的小问题, 从而能让我们利用简单的结论解决较难的问 题,找出各小题的联系是解决问题的关键.本题中,由( 2 )得即 ln x ? x ? 1 在 (0,??) 上恒成立,令 则有 ln k 2 ? k 2 ? 1 , 变形后有 x ? k 2 (k ? 1, k ? N ) , 联系找到,结论可证.

ln k k ? 1 , 此式左边即为要证不等式左边的各项, ? k ?1 2

9


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