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2013年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)理科数学试题答案


2013 年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)
数学试题(理科)参考答案和评分标准
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 B 8 A A C B C D C 答案 二、填空题:本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.

? 9. 1

r />? 10. 4

11. ?(2 分) 3 (3 分) , 2

12.

9 5

13.

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 5 2 6 12 20 30
15. 1: 4

14. 2? sin(? ?

?

) ? 1 (或 2 ? cos(? ? ) ? 1、 ? cos ? ? 3? sin ? ? 1 ) 6 3

?

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 解析: (1)∵ cos 2? ? 2cos 2 ? ? 1 ? ? ∵ ? ? (0,

?

7 9 ,∴ cos2 ? ? , 25 25
-----------------5 分

3 ) ,∴ cos ? ? . 2 5 4 , 5

(2)方法一、由(1)得 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? ∵ ?CAD ? ?ADB ? ?C ? ? ? 45 ,
?

∴ sin ?CAD ? sin(? ?

?
4

) ? sin ? cos

?
4

? cos ? sin

?
4

?

2 , 10

-----------------9 分

在 ?ACD 中,由正弦定理得:

CD AD , ? sin ?CAD sin ?C

CD ? sin ?C ∴ AD ? ? sin ?CAD

1?

2 2 ? 5, 2 10

-----------------11 分

A

4 ? 4. 5 方法二、如图,作 BC 边上的高为 AH
则高 h ? AD ? sin ?ADB ? 5 ? 在直角△ ADH 中,由(1)可得 cos ? ?

-----------------12 分

DB 3 ? , AD 5

C

D

B

第 16 题图

H

则不妨设 AD ? 5m, 则 DH ? 3m, AH ? 4m 注意到 ?C =45 ,则 ?AHC 为等腰直角三角形,所以 CD ? DH ? AH ,
?

-----------------8 分

则 1 ? 3m ? 4m 所以 m ? 1,即 AH ? 4

-----------------10 分 -----------------12 分

理科试题参考答案

第 1 页 共 6 页

17. (本题满分 12 分)
n ?1 n n 解析: (1)当 n ? 2 ,时 an ? Sn ? Sn ?1 ? 2 ? 2 ? 2 , 1?1 1 又 a1 ? S1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ,也满足上式, n 所以数列{ an }的通项公式为 an ? 2 .

-----------------2 分

-----------------3 分

b1 ? a1 ? 2 ,设公差为 d ,则由 b1, b3 , b11 成等比数列,
得 (2 ? 2d )2 ? 2 ? (2 ?10d ) , 解得 d ? 0 (舍去)或 d ? 3 , 所以数列 {bn } 的通项公式为 bn ? 3n ?1 . (2)由(1)可得 Tn ? -----------------4 分 ----------------5 分 -----------------6 分

b b1 b2 b3 2 5 8 3n ?1 ? ? ?? ? n ? 1 ? 2 ? 3 ??? n , a1 a2 a3 an 2 2 2 2

-----------------7 分

2Tn ? 2 ?
两式式相减得

5 8 3n ? 1 ? 2 ? ? ? n?1 , 1 2 2 2

-----------------8 分

Tn ? 2 ?

3 3 3 3n ? 1 ? 2 ? ? ? n?1 ? n , 1 2 2 2 2 3 1 (1 ? n ?1 ) 3n ? 1 3n ? 5 2 Tn ? 2 ? 2 ? n ? 5? n , 1 2 2 1? 2

-----------------11 分

-----------------12 分

18. (本题满分 14 分) 解析: (Ⅰ)法 1:连接 CO ,由 3AD ? DB 知,点 D 为 AO 的中点, 又∵ AB 为圆 O 的直径,∴AC ? CB , 由 3AC ? BC 知, ?CAB ? 60 ,
?

P

∴?ACO 为等边三角形,从而 CD ? AO .-----------------3 分 ∵ P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , 点 ∴PD ? 平面 ABC ,又 CD ? 平面 ABC , ∴PD ? CD ,-----------------5 分 由 PD ? AO ? D 得, CD ? 平面 PAB , C D O

A

B

又 PA ? 平面 PAB ,∴PA ? CD . -----------------6 分 PAB 时,也可以由平面 PAB ? 平面 ACB 得到,酌情给分. (注:证明 CD ? 平面 ) 法 2:∵AB 为圆 O 的直径,∴AC ? CB , 在 Rt?ABC 中设 AD ? 1 ,由 3AD ? DB , 3AC ? BC 得, DB ? 3 , AB ? 4 , BC ? 2 3 ,

理科试题参考答案

第 2 页 共 6 页



BD BC 3 ,则 ?BDC ∽ ?BCA , ? ? BC AB 2
-----------------3 分

∴?BCA ? ?BDC ,即 CD ? AO . ∵ P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , 点 ∴PD ? 平面 ABC ,又 CD ? 平面 ABC , ∴PD ? CD , 由 PD ? AO ? D 得, CD ? 平面 PAB , 又 PA ? 平面 PAB ,∴PA ? CD . 法 3:∵AB 为圆 O 的直径,∴AC ? CB , 在 Rt?ABC 中由 3AC ? BC 得, ?ABC ? 30 ,
?

-----------------5 分

-----------------6 分

设 AD ? 1 ,由 3AD ? DB 得, DB ? 3 , BC ? 2 3 ,
2 2 2 ? 由余弦定理得, CD ? DB ? BC ? 2DB ? BC cos30 ? 3 , 2 2 2 ∴CD ? DB ? BC ,即 CD ? AO .

-----------------3 分

∵ P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , 点 ∴PD ? 平面 ABC ,又 CD ? 平面 ABC , ∴PD ? CD , 由 PD ? AO ? D 得, CD ? 平面 PAB , 又 PA ? 平面 PAB ,∴PA ? CD . (Ⅱ)法 1: (综合法)过点 D 作 DE ? PB ,垂足为 E ,连接 CE . 由(1)知 CD ? 平面 PAB ,又 PB ? 平面 PAB , ∴CD ? PB ,又 DE ?CD ? D , ∴PB ? 平面 CDE ,又 CE ? 平面 CDE , ∴CE ? PB ,-----------------9 分 ∴?DEC 为二面角 C ? PB ? A 的平面角. -----------------10 分 由(Ⅰ)可知 CD ? 3 , PD ? DB ? 3, A (注:在第(Ⅰ)问中使用方法 1 时,此处需要设出线段的长度,酌情给分. ) ∴PB ? 3 2 ,则 DE ? D O B E -----------------6 分 -----------------7 分 P -----------------5 分

PD ? DB 9 3 2 ? ? , PB 2 3 2

C

∴ Rt?CDE 中, tan ?DEC ? 在

CD 3 6 , ? ? DE 3 2 3 2
-----------------14 分

∴cos ?DEC ?

15 15 ,即二面角 C ? PB ? A 的余弦值为 . 5 5
理科试题参考答案 第 3 页 共 6 页

法 2: (坐标法)以 D 为原点, DC 、 DB 和 DP 的方向分别为 x 轴、 y 轴和 z 轴的正向,建立如图所示的 空间直角坐标系. -----------------8 分 (注:如果第(Ⅰ)问就使用“坐标法”时,建系之前先要证明 CD ? AB ,酌情给分. ) 设 AD ? 1 ,由 3AD ? DB , 3AC ? BC 得, PD ? DB ? 3, CD ? 3 , ∴D (0, 0, 0) , C ( 3, 0, 0) , B(0,3, 0) , P(0, 0,3) , ∴PC ? ( 3, 0, ?3) , PB ? (0,3, ?3) , CD ? ( ? 3, 0, 0) , 由 CD ? 平面 PAB ,知平面 PAB 的一个法向量为 CD ? ( ? 3, 0, 0) . 设平面 PBC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 z P

????

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

-----------------10 分

??? ? ?n ? PC ? 0 ? 3x ? 3 y ? 0 ? ? ,即 ? ,令 y ? 1 ,则 x ? 3 , z ? 1 , ? ? ??? ?3 y ? 3z ? 0 ? ?n ? PB ? 0 ?
∴n ? ( 3,1,1) ,-----------------12 分 设二面角 C ? PB ? A 的平面角的大小为 ? ,

??? ? n ? CD ?3 15 ??? ? ? ?? 则 cos ? ? ,-----------------13 分 5 | n | ? | CD | 5? 3
∴ 二面角 C ? PB ? A 的余弦值为 19. (本题满分 14 分) 解析: (Ⅰ)由题意可得: L ? ?

A

D O C x B y

15 .-----------------14 分 5

k ? ? 2,0 ? x ? 6 ?2 x ? , x ?8 ?11 ? x, x ? 6 ?
k ? 2. 2 ?8

-----------------2 分

因为 x ? 2 时, L ? 3 ,所以 3 ? 2 ? 2 ? 解得 k ? 18 . (Ⅱ)当 0 ? x ? 6 时, L ? 2 x ?

-----------------4 分 -----------------5 分

18 ? 2 ,所以 x ?8

L ? (x ? 8) 2 ?

18 18 18 ? 18= ? [2(8 ? x) ? ] ? 18 ≤ ?2 ( ? x) 28 ? ? 18 ? 6 .-----------------8 分 x ?8 8? x 8? x
-----------------10 分 -----------------12 分 -----------------14 分

18 ,即 x ? 5 时取得等号. 8? x 当 x ? 6 时, L ? 11? x ? 5 . 所以当 x ? 5 时, L 取得最大值 6 . 所以当日产量为 5 吨时,每日的利润可以达到最大值 6 万元.
当且仅当 2(8 ? x) ?

理科试题参考答案

第 4 页 共 6 页

20. (本题满分 14 分) 解析: (1)由题意可得 a ? 2 , e ?
2 2 2 ∴ b ? a ? c ? 1,

c 3 ,∴ c ? 3 , ? a 2

-----------------2 分

所以椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

-----------------4 分

? x0 ? x ? x ? x0 ? (2)设 C ( x, y ) , P( x0 , y0 ) ,由题意得 ? ,即 ? 1 , y0 ? x ? y ? 2 y0 ? ? 2

2 x0 x2 1 2 ? y0 ? 1 ,代入得 ? ( y ) 2 ? 1,即 x2 ? y2 ? 4 . 4 4 2

-----------------6 分

即动点 C 的轨迹 E 的方程为 x2 ? y2 ? 4 . (3)设 C (m, n) ,点 R 的坐标为 (2, t ) , ∵ A, C , R 三点共线,∴ AC // AR , 而 AC ? (m ? 2, n) , AR ? (4, t ) ,则 4n ? t ( m ? 2) , ∴t ?

-----------------8 分

??? ??? ? ?

????

??? ?

4n , m?2 4n 2n ) ,点 D 的坐标为 (2, ), m?2 m?2
n? 2n m ? 2 ? (m ? 2)n ? 2n ? mn , m?2 m2 ? 4 m2 ? 4
-----------------10 分

∴点 R 的坐标为 (2,

∴直线 CD 的斜率为 k ?

2 2 2 2 而 m ? n ? 4 ,∴ m ? 4 ? ?n ,

∴k ?

mn m ?? , 2 ?n n

-----------------12 分

∴直线 CD 的方程为 y ? n ? ?

m ( x ? m) ,化简得 mx ? ny ? 4 ? 0 , n
4 m ?n
2 2

∴圆心 O 到直线 CD 的距离 d ? 所以直线 CD 与圆 O 相切.

?

4 ? 2 ? r, 4
-----------------14 分

理科试题参考答案

第 5 页 共 6 页

21. (本题满分 14 分) 解析: (1)∵ f ?( x) ? ? g ?[? x ? (1 ? ? )a] ? ? g ?( x) , 由 f ?( x) ? 0 得, g ?[? x ? (1 ? ? )a] ? g ?( x) , ∴ ? x ? (1 ? ? )a ? x ,即 (1 ? ? )( x ? a) ? 0 ,解得 x ? a ,-----------------3 分 故当 x ? a 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? a 时, f ?( x) ? 0 ; ∴当 x ? a 时, f ( x ) 取极大值,但 f ( x ) 没有极小值.-----------------4 分 -----------------1 分

(2)∵

ex ?1 ex ? x ?1 , ?1 ? x x

又当 x ? 0 时,令 h( x) ? ex ? x ?1 ,则 h?( x) ? ex ?1 ? 0 , 故 h( x) ? h(0) ? 0 ,

ex ? x ?1 ? a ,即 ex ? (1? a) x ?1 ? 0 , x 令 g( x) ? ex ? (1? a) x ?1,则 g?( x) ? ex ? (1? a) , x 由 g ?( x) ? 0 得: e ? 1 ? a ,解得 x ? ln(1 ? a) , 当 0 ? x ? ln(1 ? a) 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? ln(1 ? a) 时, g ?( x) ? 0 . 故当 x ? ln(1 ? a) 时, g ( x) 取最小值 g[ln(1 ? a)] ? a ? (1 ? a) ln(1 ? a) , 1 1 a a ? ?? ?0. 令 s ( a) ? ? ln(1 ? a), a ? 0 ,则 s?(a) ? 2 (1 ? a) 1 ? a (1 ? a) 2 1? a 故 s(a) ? s(0) ? 0 ,即 g[ln(1 ? a)] ? a ? (1 ? a) ln(1 ? a) ? 0 . 因此,存在正数 x ? ln(1 ? a) ,使原不等式成立.
因此原不等式化为 (3)对任意正数 a1 , a2 ,存在实数 x1 , x2 使 a1 ? e 1 , a2 ? e 2 ,
x x

-----------------6 分

-----------------8 分

-----------------10 分

则 a1 1 a2 2 ? e
?

?

?

?1 x1

? e?2 x2 ? e?1x1 ? ?2 x2 , ?1a1 ? ?2 a2 ? ?1e x1 ? ?2 e x2 ,
?1 x1 ? ?2 x2

原不等式 a1 1 a2 2 ? ?1a1 ? ?2 a2 ? e

?

? ?1e x1 ? ?2 e x2 ,
-----------------14 分

? g(?1x1 ? ?2 x2 ) ? ?1g(x1 ) ? ?2 g(x2 )
由(1) f ( x) ? (1 ? ? ) g (a) 恒成立, 故 g[? x ? (1 ? ? )a] ? ? g ( x) ? (1 ? ? ) g (a) , 取 x ? x1, a ? x2 , ? ? ?1,1? ? ? ?2 , 即得 g(?1x1 ? ?2 x2 ) ? ?1g( x1 ) ? ?2 g(x2 ) , 即e
?1 x1 ? ?2 x2

? ?1e x1 ? ?2e x2 ,故所证不等式成立.

-----------------14 分

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第 6 页 共 6 页


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