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3.1.1两角差的余弦公式1


聪明原于勤奋,
天才在于积累。 ——华罗庚
华罗庚勤于思索,一有所得便记在身边的物 品上,他的扇子、请柬等都有他辛勤思考的记录。 这张照片摄于1985年6月1日他赴日访问前夕。

3.1.1 两角差的余弦公式

不查表,求cos( – 375°)的值.
解:cos(–375 ° ) =cos375 ° =c

os(360 ° +15 °)=cos15 ° 1. 15 °能否写成两个特殊角的和或差的形式? 2. cos15 ° =cos(45 ° - 30 °)=cos45 ° + cos30 ° 成立吗? 3. 究竟cos15 ° = ? 4. cos (45 ° - 30 °)能否用45 °和30 °的角的 三角函数来表示? 5. 如果能,那么一般地cos(α-β)能否用α 、β的 角的三角函数来表示?

(向量法探讨)cos(? ? ? ) ? ? 如图在单位圆中
??? ? OA ? ? cos ? ,sin ? ?, ??? ? OB ? ? cos ? ,sin ? ?,

y

A

α

B

β
1 x

o
-1

由向量数量积的定义,有

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OA ? OB ? OA OB cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ).

??? ? ??? ? ?OA ? OB ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? .

由向量数量积的坐标表示,有

?cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? .

两角差的余弦公式
对于任意?,? , 有

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? .
称为差角的余弦公式,简记为

C?

( ?? )

.

说明: (余余,正正,号相反)
1.公式中两边的符号正好相反. 2.公式右边同名三角函数相乘再加减,且余弦在 前正弦在后.

应用举例
解:cos(– 375 °)=cos15 ° =cos(45 ° - 30 °) =cos45 °?cos30 °+ sin45 °?sin30 °
2 3 2 1 ? ? + ? 2 2 2 2
? 6+ 2 4

例1.不查表,求cos(–375°)的值.

练习
不查表,求cos105 °的值.
答案:cos105°=
2? 6 4

完成本题后,你会求 sin 75? 的值吗?

2? 6 sin 75 ? cos15 ? . 4
? ?

4 ? 5 例2 已知 sin ? ? , ? ? ( , ? ),cos ? ? ? , 5 2 13

? 是第三象限角,求 cos(? ? ? )的值.

分析:要计算 cos(? ? ? ), 应作哪些准备?
4 ? 解:由 sin ? ? , ? ? ( , ? ), 5 2
2

3 得cos? =- 1 ? sin ? ? ? ; 5

5 又由 cos ? ? ? , ? 是第三象限角,得 13 12 2 sin ? ? ? 1 ? cos ? ? ? . 13

? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 3 5 4 12 ? (? ) ? (? ) ? ? (? ) 5 13 5 13 33 ?? . 65
归纳总结:
先求两角的正、余弦值,再代入差角余弦公式求值.

3 ? ? 3? ? 练习:已知cos? = ,? ? ? ,2? ?,求cos(? ? ). 5 3 ? 2 ?

例3.求值: (1)cos13 ? cos17 ? sin 13 ? sin 17 ;
? ? ? ?

3 2

   ( 2)cos 160 ? cos 50 ? sin 160 ? cos 40
? ? ?

?

(3)-sin 167°sin 223°+sin 257°sin 313°.
【解析】原式=-sin(180°-13°)sin(180°+43°)+ sin(180°+77°)sin(360°-47°)=sin 13°sin 43°+ sin 77°sin 47°=sin 13°sin 43°+cos 13°cos 43° =cos(13°-43°)=cos(-30°)=
3 . 2

3 ;= ? . 2

公式的逆用: cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? cos(? ? ? ).

【例4】
(1)已知cos α =- 12 ,α ∈ ( ?, 3? ),则cos(α - ? )=(

2 13 4 17 2 7 2 7 2 17 2 A.- ????????B.- ????????C. ????????D. 26 26 26 26 (2) 2cos 10?-sin 20? 的值是( C ) sin 70?
1 3 A. ???????B. ???????C. 3???????D. 2 2 2 (3)(2013·淮北高一检测)设 cos(? ? ? ) ? ? 1 ,

A

)

2 9 ? 2 ? ? ? ?? sin( ? ?) ? ,其中? ? ( ,?),?? (0, ),求cos . 2 3 2 2 2

7 5 . 27

【方法技巧】给值求值问题的解题策略 (1)从角的关系中找解题思路 已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数 值,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,根据 需要灵活地进行拆角或凑角的变换. (2)常见角的变换 ①α=(α-β)+β;②α= ? ? ? ? ? ? ?; 2 2 ③2α=(α+β)+(α-β);④2β=(α+β)-(α-β).

1 3 ? 思考题:已知 cos ? = , cos(? ? ? )=- , 0 ? ? ,? ? , 2 5 2 求 cos ? .

提示:拆角思想:cos ? ? cos[(? ? ? ) ? ? ].
1 ? 3 解: 由 cos ? = , 0 ? ? ? , 得 sin ? ? , 2 2 2 3 由 cos(? ? ? )=- , 0 ?? ? ? ??,
5 4 得sin(? +? )= . 5 cos ? ? cos ? (? ? ? ) ? ? ?

? cos(? ? ? ) cos ? ? sin(? ? ? )sin ? 3 1 4 3 ?3 ? 4 3 ?? ? ? ? ? . 5 2 5 2 10

归纳小结:
利用差角公式求值时,常常进行角的分拆与组合.

即公式的变用. 三角函数中一定要注意观察角度之间的关系,
例如:

? =? α +β ? ? ? ? =(? - ? )+ ?

【思考2】已知α 、β 均为锐角,且cosα =
cosβ = 10 , 求α -β 的值.

2 5 , 5

【审题指导】由题目知α、β均为锐角且给出了两角的
余弦值,欲求α-β的值,需先求出cos(α-β)的值,

10

结合α-β的范围,进而求出α-β的值.
【规范解答】∵α、β均为锐角, ∴sinα=
5 sinβ= 3 10 , . 5 10

∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ = 2 5 创 10 + 5 3 10 = 2 .
5 10 5 10 π π 又∵sinα<sinβ,∴0<α<β< , ∴ - <α-β<0. 2 2 π 故α-β= - . 4 2

1.两角差的余弦公式:

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

2.已知一个角的正弦(或余弦)值,求该角的余 弦(或正弦)值时, 要注意该角所在的象限,从

而确定该角的三角函数值符号.

?,? 既可以是单角,也可 3.在差角的余弦公式中,

(? ? ?) ?? 以是复角,运用时要注意角的变换,如 ? ?
? ? ?? (? ? ) ? 等. 同时,公式的应用具有灵活性, 3 3 解题时要注意正向、逆向和变式形式的选择.

课后作业:

课本:P137 A.2.3 4 预做:世纪金榜:25


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