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2011-2014年卓越联盟自主招生数学试题(理科)及部分答案


2011 年卓越联盟自主招生数学试题
(1)向量 a,b 均为非零向量,(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则 a,b 的夹角为 (A)

? 6

(B)

? 3

(C)

2? 3

(D)

5? 6

>(2)已知 sin2(?+?)=nsin2?,则

tan(? ? ? ? ? ) 2 2 等于 tan(? ? ? ? ? )
(C)

(A)

n ?1 n ?1

(B)

n n ?1

n n ?1

(D)

n ?1 n ?1

(3)在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E 为棱 AA1 的中点,F 是棱 A1B1 上的点,且 A1F:FB1=1:3, 则异面直线 EF 与 BC1 所成角的正弦值为 (A)

15 3

(B)

15 5

(C)

5 3

(D)

5 5

(4)i 为虚数单位,设复数 z 满足|z|=1,则

z2 ? 2z ? 2 的最大值为 z ?1 ? i
(C) 2 +1 (D)2+ 2

(A) 2 -1

(B)2- 2

(5)已知抛物线的顶点在原点, 焦点在 x 轴上, △ABC 三个顶点都在抛物线上, 且△ABC 的 重心为抛物线的焦点,若 BC 边所在直线的方程为 4x+y-20=0,则抛物线方程为 (A)y =16x
2

(B)y =8x

2

(C)y =-16x

2

(D)y =-8x

2

(6)在三棱锥 ABC—A1B1C1 中,底面边长与侧棱长均等于 2,且 E 为 CC1 的中点,则点 C1 到平 面 AB1E 的距离为 (A) 3 (B) 2 (C)

3 2

(D)

2 2

(7)若关于 x 的方程 (A)(0,1)

|x| 2 =kx 有四个不同的实数解,则 k 的取值范围为( ) x?4 1 1 (B)( ,1) (C)( ,+∞) (D)(1,+∞) 4 4

(8)如图,△ABC 内接于⊙O,过 BC 中点 D 作平行于 AC 的直线 l,l 交 AB 于 E,交⊙O 于 G、F,交⊙O 在 A 点的切线于 P,若 PE=3,ED=2, EF=3,则 PA 的长为 (A) 5 (C) 7 (B) 6 (D)2 2

(9)数列{an}共有 11 项,a1=0,a11=4,且|ak+1-ak|=1,k=1,2,…,10.满足这种条件的 不同数列的个数为( (A)100 ) (B)120 (C)140 (D)160

(10)设?是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为
k

2? 的旋转,?表示坐标平面关于 y 轴的 7
2 3 4

镜面反射. 用??表示变换的复合, 先做?, 再做?, 用? 表示连续 k 次的变换, 则??? ?? ?? 是( (A)?
4

)

(B)?

5

(C)? ?
2

(D)??

2

(11)设数列{an}满足 a1=a,a2=b,2an+2=an+1+an. (Ⅰ)设 bn=an+1-an,证明:若 a≠b,则{bn}是等比数列; (Ⅱ)若 lim (a1+a2+…+an)=4,求 a,b 的值.
n??

(12)在△ABC 中,AB=2AC,AD 是 A 的角平分线,且 AD=kAC. (Ⅰ)求 k 的取值范围; (Ⅱ)若 S△ABC=1,问 k 为何值时,BC 最短?

(13)已知椭圆的两个焦点为 F1(-1,0),F2(1,0),且椭圆与直线 y=x- 3 相切. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过 F1 作两条互相垂直的直线 l1,l2,与椭圆分别交于 P,Q 及 M,N,求四边形 PMQN 面 积的最大值与最小值.

(14)一袋中有 a 个白球和 b 个黑球.从中任取一球,如果取出白球,则把它放回袋中;如 果取出黑球,则该黑球不再放回,另补一个白球放到袋中.在重复 n 次这样的操作后,记袋中 白球的个数为 Xn. (Ⅰ)求 EX1; (Ⅱ)设 P(Xn=a+k)=pk,求 P(Xn+1=a+k),k=0,1,…,b; (Ⅲ)证明:EXn+1=(1-

1 )EXn+1. a?b

(15)(Ⅰ)设 f(x)=xlnx,求 f′(x); (Ⅱ)设 0<a<b,求常数 C,使得

1 b | ln x ? C | dx 取得最小值; b ? a ?a

(Ⅲ)记(Ⅱ)中的最小值为 ma,b,证明:ma,b<ln2.

2012 年卓越联盟自主招生数学试题

2013 年卓越联盟自主招生数学试题
一、选择题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分.在每小题给出的 4 个结论中,只有一项 是符合题目要求的. ) (1)已知 f ( x ) 是定义在实数集上的偶函数,且在 (0, ??) 上递增,则 (A) f (20.7 ) ? f (? log2 5) ? f (?3) (C) f (?3) ? f (? log2 5) ? f (20.7 ) (B) f (?3) ? f (20.7 ) ? f (? log2 5) (D) f (20.7 ) ? f (?3) ? f (? log2 5)

( 2 )已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, 0 ? ? ?

?
2

) 的图象经过点 B (?

?
6

, 0) ,且

f ( x) 的相邻两个零点的距离为

? ,为得到 y ? f ( x) 的图象,可将 y ? sin x 图象上所有点 2 ? 1 (A)先向右平移 个单位长度,再将所得点的横坐标变为原来的 倍,纵坐标不变 2 3 ? 1 (B) 先向左平移 个单位长度,再将所得点的横坐标变为原来的 倍,纵坐标不变 2 3 ? (C) 先向左平移 个单位长度,再将所得点的横坐标变为原来的 2 倍,纵坐标不变 3 ? (D) 先向右平移 个单位长度,再将所得点的横坐标变为原来的 2 倍,纵坐标不变 3

(3)如图,在 A, B, C , D, E 五个区域中栽种 3 种植物,要求同一区域中只种 1 种植物, 相邻两区域所种植物不同,则不同的栽种方法的总数为 (A)21 (B)24 (C)30 ( D)48

(4)设函数 f ( x ) 在 R 上存在导数 f ?( x ) ,对任意的 x ? R ,有

f (? x) ? f ( x) ? x2 ,且在 (0, ??) 上 f ?( x) ? x .若
f (2 ? a) ? f (a) ? 2 ? 2a ,则实数 a 的取值范围为
(A) [1, ??) (B) (??,1] (C) (??, 2] (D) [2, ??)

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) (5)已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点是双曲线
2

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点,则双曲线的渐 8 p

近线方程为



(6)设点 O 在 ?ABC 的内部,点 D , E 分别为边 AC , BC 的中点,且 OD ? 2 DE ? 1 , 则 OA ? 2OB ? 3OC ? .

(7)设曲线 y ?

2 x ? x 2 与 x 轴所围成的区域为 D ,向区域 D 内随机投一点,则该点落
2 2

入区域 {( x, y ) ? D x ? y ? 2} 内的概率为



(8)如图,AE 是圆 O 的切线,A 是切点,AD 与 OE 垂直, 垂 足 是 D , 割 线 EC 交 圆 O 于 B, C , 且

?O D C ? ?,?

DB ?? C,则 ?OEC ?

(用 ? , ? 表示) .

三、解答题(本大题共 4 小题,共 56 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) (9) (本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中,三个内角 A 、 B 、 C 所对边分别为 a 、 b 、 c . 已知 (a ? c)(sin A ? sin C ) ? (a ? b)sin B . (1)求角 C 的大小; (2)求 sin A ? sin B 的最大值.

(10) (本题满分 13 分) 设椭圆

x2 y 2 3 ? ? 1(a ? 2) 的离心率为 ,斜率为 k 的直线 l 过点 E (0,1) 且与椭圆交于 2 a 4 3

(1)求椭圆方程; (2)若直线 l 与 x 轴相交于点 G ,且 GC ? DE ,求 k 的值; C , D 两点. (3)设 A 为椭圆的下顶点, k AC 、 k AD 分别为直线 AC 、 AD 的斜率,证明对任意的 k 恒 有 k AC ? k AD ? ?2 .

(11) (本题满分 15 分) 设x ? 0, (1)证明: e ? 1 ? x ?
x

1 2 x ; 2

(2)若 e ? 1 ? x ?
x

1 2 y x e ,证明: 0 ? y ? x . 2

(12) (本题满分 15 分) 已知数列 {an } 中, a1 ? 3 , an?1 ? an 2 ? nan ? ? , n ? N * ,? ? R . (1)若 an ? 2n 对 ?n ? N 都成立,求 ? 的取值范围;
*

(2)当 ? ? ?2 时,证明

1 1 ? ? a1 ? 2 a2 ? 2

?

1 ? 2(n ? N * ) . an ? 2

2014 年卓越联盟自主选拔考试学科基础测试一(理科)
选择题(每题 5 分,共 20 分) (注:原题是选择题) 1. 不等式 x ? 2 x ? 1 ? 0 的解集为_____________.
2 3

2.

在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 底面 ABC , AC ? BC , AC ? 2 ,二面角 P ? BC ? A 的大 小为 60 ? ,三棱锥 P ? ABC 的体积为 ________.
4 6 ,则直线 PB 与平面 PAC 所成的角的正弦值为 3

3.

当实数 m 变化时,不在任何直线 2mx ? 形成的图形的面积为_____________.

?1 ? m ? y ? 4m ? 4 ? 0 上的所有点 ? x, y ?
2

4.

? 2x ? 1 1? ? ? x 2 , x ? ? ??, ? 2 ? , ? ? ? 已知函数 f ? x ? ? .g 1 ? ? ?ln ? x ? 1? , x ? ? , ?? ? ? 2 ? ? ? ?

? x ? ? x2 ? 4x ? 4 .设 b 为实数,若存

在实数 a ,使 f ? a ? ? g ? b ? ? 0 ,则 b 的取值范围是___________.

填空题(每题 6 分,共 24 分) 5. 已知 0 ? a ? 1 ,分别在区间 ? 0, a ? 和 ? 0, 4 ? a ? 内任取一个数,且取出的两数之和小于 1 的概率为

3 .则 a 的值为_______________. 16 ? )的两个单位向量, O 为平面上的一个固定点, 2

6.

设 e1 , e 2 为平面上夹角为 ? ( 0 ? ? ?

当 OP ? xe1 ? ye2 时, 定义 ? x, y ? 为点 P 的斜坐标. 现有两个点 A , P 为平面上任意一点,

B 的斜坐标分别为 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? .则 A , B 两点的距离为______________.

7.

?? ? ? 若函数 y ? sin ? ? x ? ? 的图象的对称中心与 y 轴距离最小的对称轴为 x ? ,则实数 ? 4 6 ? ?

的值为_____.

8.

已知集合 A , B 满足 A B ? ?1,2,3,

,8? , A

B ? ? .若 A 中元素的个数不是 A 中的

元素, B 中元素的个数不是 B 中的元素,则满足条件的所有不同的集合 A 的个数为 ___________.

解答题(共 56 分) 9. (13 分) 设? ? R , 函数 f ? x ? ? 2 sin 2x cos? ? 2 cos2x sin ? ? 2 cos ? 2x ? ? ? ? cos? ,
?? ?? ? ?? x?R . (1)若 ? ? ? , ? ,求 f ? x ? 在区间 ? 0, ? 上的最大值. ? 4? ?4 2?

(2)若 f ? x ? ? 3 ,求 ? 与 x 的值.

10. (13 分)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的两条渐进线的斜率之积为 ?3 ,左 a 2 b2

右两支上分别由动点 A 和 B . (1)设直线 AB 的斜率为 1,经过点 D ? 0,5a ? ,且 AD ? ? DB ,求实数 ? 的值. (2)设点 A 关于 x 轴的对称点为 M .若直线 AB , MB 分别与 x 轴相交于点 P ,Q ,O 为坐标原点,证明 OP ? OQ ? a2 .

11. (15 分) 已知 f ? x ? 为 R 上的可导函数, 对任意的 x0 ? R , 有 0 ? f ' ? x ? x0 ? ? f ' ? x0 ? ? 4x ,
x?0.

(1)对任意的 x0 ? R ,证明: f ' ? x0 ? ?

f ? x ? x0 ? ? f ? x0 ? x

(x?0) ;

(2)若 f ? x ? ? 1 , x ? R ,证明 f ' ? x ? ? 4 , x ? R .

12. (15 分) 已知实数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,an ?1 ? q an , 常数 q ? 1 . 对任意的 n ? N? , n ? N? , 有 ? ak ? 4 an .设 C 为所有满足上述条件的数列 ?an ? 的集合.
k ?1 n ?1

(1)求 q 的值; (2)设 ?an ? , ?bn ? ? C , m ? N ? ,且存在 n0 ? m ,使 an0

? bn0 .证明:

? ak ? ? bk ;
k ?1 k ?1

m

m

(3)设集合 Am ? ?

?

? a ?a ? ? C ? , m ? N ? ,求 Am 中所有正数之和. ? ? ?
m k ?1 k n

附录 2:2014 年卓越联盟自主招生数学参考 答案 ..
选择题(注:原题是选择题) ? 1? 5 ? ? 1? 5 ? 2 2 1. 答案:? ? ? 2 ? ?1? ? ? ?1? 2 ? ? .提示: x ? x ,把原式视作 x 的三次多项式分解因 ? ? ? ? 式即可. 3 2. 答案: .提示:仔细算算. 3 3. 答案:4 ? .提示:原式视作 m 的二次方程 ym2 ? ? 2x ? 4? m ? 4 ? y ? 0 ,判别式 ? 0 即可. 4. 答案: ? ?1,5? .提示:仔细算算.

填空题 5. 6. 7. 8.

4 .提示:可转化为“线性规划+几何概型”问题. 5 2 2 答案: ? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ? ? 2 ? x1 ? x2 ?? y1 ? y2 ? cos ? .提示:显然. 3 答案: .提示:仔细算算. 2 答案:44.提示:按 A 中元素个数( A ? ? , 1 , 2 ,…)逐个进行分类讨论.
答案:

解答题 9.

3? 答案: (1) 2 ? cos ? ; (2) ? ? 2 k ? , (k ?Z ) ; x ? n? ? ,n?Z . 8 ?? ? 提示: f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? ? ? ? cos ? . 4? ?

2 ; (2)提示: 7 x y ? xB y A xA yB ? xB y A x 2 y 2 ? xB 2 y A2 ,再带入 OP ? OQ ? xP ? xQ ? A B ? ? A B2 yA ? y2B y A ? yB y A ? yB 2 y A2 yB 2 2 2 2 xA ? a ? , xB ? a ? 即可. 3 3 11. 提示:
10. 答案: (1) ? ? (1) 即证 f ? x ? x0 ? ? f ? x0 ? ? f ' ? x0 ? x ? 0 , 构造函数 g ? x ? ? f ? x ? x0 ? ? f ? x0 ? ? f ' ? x0 ? x , 对 g ? x ? 求导证明 g ? x ? 在 ?0, ?? ? 上单增即可. (2)由条件知 f ' ? x ? 是 R 上的单增函数,故 f ' ? x ? 不可能恒等于零. 如果存在正实数 ? ? 0 ,及实数 x0 ,使 f ' ? x0 ? ? ? ,则对任意 x ? 0 , f ? x ? x0 ? ? f ? x0 ? ?? . x ? 1? f ?x ?? 1 ? f ? x0 ? ? 0 ? ? f ? x0 ? ? 1 ,与条 则当 x ? max ?0, ? 时, f ? x ? x0 ? ? ? x ? f ? x0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 件矛盾. 如果存在正实数 ? ? 0 , 及实数 x0 , 使 f ' ? x0 ? ? ?? , 则对任意 x ? 0 , 存在 ? ? ? x ? x0 , x0 ? , f ? x ? x0 ? ? f ? x0 ? ? ? ? f ? x0 ? ? 1? ? f ' ?? ? ? f ' ? x0 ? .则当 x ? min ?0, 满足 ? 时, x ? ? ? ? ? f ? x0 ? ? 1 f ? x ? x0 ? ? ?? x ? f ? x0 ? ? ? ?? ? ? ? f ? x0 ? ? 1 ,与条件也矛盾. ? 总之,题目中的条件永远不成立.故由于前提条件是假命题,从而不论结论是什么,都 是真命题. 12. 提示:
1 1 ? q n ?1 2 ? 4q n ?1 ,可得 n ?1 ? ? q ? 2 ? 对任意正整数 n 成立,左边在 n 无穷大时 q 1? q 是无穷小,所以 q ? 2 .

(1)化简

(2)方法一:假设 l 是 1,2,3,…, m 中满足 an ? bn 中的最大角标.则

? a ? ?b
k ?1 k k ?1

m

m

k

?

? a ? ?b
k ?1 k k ?1

l

l

k

? al ? bl ?

? a ? ?b
k ?1 k k ?1

l ?1

l ?1

k

? 2l ? ? 2k ? 2 .
k ?1

l ?1

方法二:假设 l 是 1,2,3,…, m 中满足 an ? bn 中的最小角标,则

? a ? ?b
k ?1 k k ?1

m

m

k

l ?1 ? al ?1 ? bl ?1 ? ? al ? bl ? ? ?2l ? 2l ? 2l ? . ? 0 ( mod 2 )

(3)显然 ?an ? 的前 m 项和是正数,当且仅当 am ? 0 ,此时 ai ( i ? 1 , 2 ,…, m ? 1 ) 的符号随意.即 ?an ? : ?1 , ?2 , ?4 ,…, ?2 m ? 2 , 2 m ?1 .这样的数列共有 2 m ?1 个,若
ai 与 bi 符号相反,则进行配对( i ? 1 , 2 ,…, m ? 1 ) .于是, Am 中所有元素之和为
2m ?1 ? 2m ?1 ? 22 m ? 2 .

说明: (1)第 11 题中的条件永远是假命题,这一现象不知是出题者有意为之还是无意为之. (2)第 12 题第 2 问中,取角标最大则考虑通常意义下绝对值的差不能为零,取角标最 小则考虑在适当的模下的差不能为零——这是常用的思路,应注意掌握.实际上,前者

对应于 Z 的欧几里得赋值,后者对应于 Z 的 p ? adic 赋值,这两个赋值数学本身的意义 也很大.


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