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东北三省三校2014届高三第一次高考模拟考试学 word版含答案

时间:2014-04-04


2014 年哈师大附中第一次高考模拟考试

理 科 数 学
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 150 分,考 试时间 120 分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码 准确粘贴在条形码区域内。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的 签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答 案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正 带、刮纸刀。

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1.设集合 A ? {x | x 2 ? 2 x ? 0} , B ? {x | ?4 ? x ? 0} ,则 A ? CR B ? B. {x ? R | x ? 0} A.R 2.若复数 z 满足 iz = 2 + 4i,则复数 z = A.2 + 4i B.2 - 4i
1 3.在 ( x 2 ? )5 的二项展开式中,第二项的系数为 x

C.{x | 0 ? x ? 2} C.4 - 2i

D. ? D.4 + 2i

A.10 B.-10 C.5 4.执行如图所示的程序框图,若输入如下四个函数: ① f ( x) ? sin x ,② f ( x) ? cos x ,③ f ( x) ? 则输出的函数是 A. f ( x) ? sin x B. f ( x) ? cos x C. f ( x ) ?
1 x 1 ,④ f ( x) ? x 2 , x

D.-5

D. f ( x ) ? x 2 5.直线 m,n 均不在平面 α,β 内,给出下列命题: 其中正确命题的个数是 ① 若 m∥n,n∥α,则 m∥α; ② 若 m∥β,α∥β,则 m∥α; ③ 若 m⊥n,n⊥α,则 m∥α; ④ 若 m⊥β,α⊥β,则 m∥α。 A.1 B.2 C.3 D.4 A.21 B.24 C.28 D.7 6.等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,若 a2 + a4 + a6 = 12,则 S7 的值是 7.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为 A. C.
?

2? 3 2? 9
x dx ? 2

? 3 16? D. 9
B.

8. ? 2 sin 2
0

A.0 C.

B.
? 1 4

?
4

?

1 2

?
4

D.

?
2

?1

? y ? ?1, ? 9.变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2, 若使 z = ax + y 取得最大值的最优解有 ?3 x ? y ? 14, ?

无穷多个,则实数 a 的取值集合是 A. {?3,0} B. {3, ?1} C. {0,1} D. {?3,0,1}

A.110

B.137

C.145

D.146

10. 一个五位自然数 a1a2 a3 a4 a5 ,ai ?{0,1, 2,3, 4,5} ,i ? 1, 2,3, 4,5 , 当且仅当 a1 > a2 > a3,a3 < a4 < a5 时称为―凹数‖(如 32014,53134 等) ,则满足条件的五位 自然数中―凹数‖的个数为 11.双曲线 C :
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F (c,0) ,以原点为圆心,c 为 a 2 b2

半径的圆与双曲线在第二象限的交点为 A, 若此圆在 A 点处切线的斜率为 则双曲线 C 的离心率为

3 , 3

A. 3 ? 1

B. 6

C. 2 3

D. 2

? ?log 2 (1 ? x) ? 1, ?1 ? x ? k 12.已知函数 f ( x) ? ? 3 ,若存在 k 使得函数 f ( x) 的值域 k?x?a ? ? x ? 3x ? 2,

是 [0, 2] ,则实数 a 的取值范围是
1 B. [ , 3] 2

A. [ 3, ??)

C. (0, 3]

D. {2}

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题 ~ 第 21 题为必考题,每个试 题考生都必须作答,第 22 题 ~ 第 24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13 . 若 向 量 a , b 满 足 | a |? 1, | b |? 2 , 且 a 与 b 的 夹 角 为
| 2a ? b ? | __________。

? ,则 3

? 3 3 5? 14.若 cos(? ? ) ? sin ? ? ,则 sin(? ? ) ? __________。 6 5 6 15.正四面体 ABCD 的棱长为 4,E 为棱 BC 的中点,过 E 作其外接球的截面, 则截面面积的最小值为__________。
16.已知数列 {an } 的通项公式为 an ? n,不等式 S2n ? Sn ?
1 ,前 n 项和为 Sn。若对于任意正整数 n ?1

m 恒成立,则常数 m 所能取得的最大整数为__________。 16

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 三角形 ABC 中,内角 A,B,C 所对边 a,b,c 成公比小于 1 的等比数列, 且 sin B ? sin( A ? C) ? 2sin 2C 。 (1)求内角 B 的余弦值; (2)若 b ? 3 ,求 ΔABC 的面积.

18. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 S—ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,AD 垂直于 AB 和 DC, 侧棱 SA⊥底面 ABCD, 且 SA = 2, AD = DC = 1。 (1)若点 E 在 SD 上,且 AE⊥SD,证明:AE⊥平面 SDC; (2) 若三棱锥 S—ABC 的体积 VS ? ABC ? 所成二面角的正弦值大小。 19. (本小题满分 12 分) 某城市随机抽取一年 (365 天) 内 100 天的空气质量指数 API 的监测数据, 结果统计如下: (100,150] [0,50] (50,100] (150, 200] (200, 250] (250,300] ? 300 API 空气质量 天数 优 4 良 13 轻微污染 18 轻度污染 30 中度污染 9 中度重污染 11 重度污染 15
1 , 求面 SAD 与面 SBC 6

(1)若某企业每天由空气污染造成的经济损失 S(单位:元)与空气质量 指数 API(记为 ω)的关系式为:
0 ? ? ? 100, ?0, ? S ? ?4? ? 400, 100 ? ? ? 300, ?2000, ? ? 300. ?

试估计在本年内随机抽取一天,该天经济损失 S 大于 200 元且不超过 600 元的概率; (2)若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季,其中有 8 天为重度污染, 完成下面 2× 2 列联表, 并判断能否有 95%的把握认为该市本年空气重度污染与 供暖有关? 附: P(K2 ≥ k0) k0
K2 ?

0.25 1.323

0.15 2.072
2

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

n(ad ? bc) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

非重度污染 供暖季 非供暖季 合计 20. (本小题满分 12 分)

重度污染

合计

100

椭圆 M :

2 2 x2 y 2 ,且经过点 P (1, ) 。直线 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 2 a b

C 两点, 直线 l1 : y ? k2 x ? m2 与椭圆 M 交于 B, l1 : y ? k1 x ? m1 与椭圆 M 交于 A, D 两点,四边形 ABCD 是平行四边形。 (1)求椭圆 M 的方程; (2)求证:平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于原点 D; (3)若平行四边形 ABCD 为菱形,求菱形 ABCD 面积的最小值。 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? 1)e? x (e 为自然对数的底数) 。 (1)求函数 f ( x) 的单调区间; ( 2 )设函数 ? ( x) ? xf ( x) ? tf' ( x) ? e? x ,存在函数 x1 , x2 ? [0,1] ,使得成立
2? ( x1 ) ? ? ( x2 ) 成立,求实数 t 的取值范围。

请考生在第 22,23,24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一 题计分,作答时请写清题号。 22. (本小题满分 10 分) 选修 4 – 1:几何证明选讲 如图,PA,PB 是圆 O 的两条切线,A,B 是切点,C 是劣弧 AB(不包括 端点)上一点,直线 PC 交圆 O 于另一点 D,Q 在弦 CD 上,且∠DAQ = ∠PBC。求证: (1)
BD BC ; ? AD AC

(2)ΔADQ ∽ ΔDBQ。 23. (本小题满分 10 分) 选修 4 – 4:坐标系与参数方程
? x ? 1 ? 4cos ? 已知在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ? (θ 为参 ? y ? 2 ? 4sin ?

数) ,直线 l 经过定点 P(3,5) ,倾斜角为

? 3 (1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的标准方程; (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,求 | PA | ? | PB | 的值。

22. (本小题满分 10 分) 选修 4 – 5:不等式选讲

设函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x ? 2 | 。 (1)求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? t 2 ? 3t 在 [0,1] 上无解,求实数 t 的取值范围。

2014 年东北三省三校第一次高考模拟考试

理科数学参考答案
一、选择题 题号 答案 1 C 2 C 3 D 4 A 5 D 6 C 7 D 8 B 9 B 10 D 11 A 12 B

二、填空题 13. 2 3 三、解答题 17.解:(Ⅰ) sin B ? sin( A ? C) ? 2sin 2C 14.
3 5

15.4π

5

? sin( A ? C ) ? sin( A ? C ) ? 4sin C cos C ? sin A ? 2sin C ………………
……….2 分

? a ? 2c
………………………4 分 又因为 b ? ac ? 2c
2 2

所以 cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 3 ? ……………………….6 分 2ac 4

(Ⅱ) b ? 3 ? a ? 又因为

6, c ?

3 ……………………….8 分 2

sin B ? 1 ? cos 2 B ?
所以

7 ……………………….10 4

z 分 S E D

1 3 S? ABC ? ac sin B ? 7 ……………………….12 2 8
分 18.(Ⅰ)证明:?侧棱 SA ? 底面 ABCD ,CD ? 底 面 ABCD

y C

A

B x

? SA ? CD . ……………………….1 分 又?底面 ABCD 是直角梯形, AD 垂直于 AB 和 DC ? AD ? CD ,又 AD ? SA ? A ? CD ? 侧面 SAD ,……………………….3 分 AE ? 侧面 SAD

? AE ? CD, AE ? SD, CD ? SD ? D

? AE ? 平面 SDC ……………………….5 分 (Ⅱ) 连结 AC ,?底面 ABCD 是直角梯形, AD 垂直于 AB 和 DC , ? SA ? 2, AD ? DC ? 1. ? AC ? 2 , ?CAB ? ,设 AB ? t ,则 4
S ?ABC ? 2 1 AC ? t ? t ,?三棱锥 4 2

1 2 1 1 ? ? t ,? t ? AB ? .……………………….7 分 6 3 2 2 1 如图建系,则 A(0,0,0), S (0,0,2), D(0,1,0), B( ,0,0), C (1,1,0) ,由题意平面 2 VS ? ABC ?

SAD 的一个法向量为 m ? (1,0,0) ,不妨设平面 SBC 的一个法向量为
1 n ? ( x, y, z ) , SB ? ( ,0,?2) 2

?x ? 4z ? 0 SC ? (1,1,?2) ,则 n ? SB ? 0, n ? SC ? 0 ,得 ? ,不妨令 z ? 1 , ?x ? y ? 2z ? 0
则 n ? (4,?2,1) ……………………….10 分

cos? m, n? ?

m?n | m || n |

?

4 21

,……………………….11 分

设面 SAD 与面 SBC 所成二面角为 ? ,则

sin ? ?

105 ……………………….12 分 21

19.解: (Ⅰ)设―在本年内随机抽取一天,该天经济损失 S 大于 200 元且不超过 600 元‖为事件 A……1 分 由 200 ? S ? 600 ,得 150 ? w ? 250 ,频数为 39,……3 分

P( A) ?

39 ……………………….4 分 100

(Ⅱ)根据以上数据得到如下列联表:

非重度污染 供暖季 非供暖季 合计 22 63 85

重度污染 8 7 15

合计 30 70 100 ………

……………….8 分 K2









k?

1

?? 8 ?

0

?
5

2

? 4 ?

0

? 6 ? 3 ?……………………….10 . 5 ?分 1 ? 5

3

7

8

所以有 95%的把握认为空气重度污染与供暖有关. ……………………….12 分 20.解:

? 2 c, ?a ? 2 ? a 2 ? 2, ? ? 2 2 2 (Ⅰ)依题意有 ? ,又因为 a ? b ? c ,所以得 ? 2 9 ? ?b ? 1. ?1 4 ? 2 ? 2 ?1 ?a b 故 椭 圆 的 方 程 为 C

x2 ? y 2 ? 1. 2
? x2 2 ? ? y ? 1, (Ⅱ)依题意,点 A, C 满足 ? 2 ?y ? k x ? m , ? 1 1

……3 分

所以 xA , xC 是方程 (2k1 ? 1) x ? 4k1m1 x ? 2m1 ? 2 ? 0 的两个根.
2 2 2

? ? ? 8 ? (2k12 ? 1 ? m12 ) ? 0, ? 得? 4k1m1 ? x A ? xC ? ? 2k 2 ? 1 . ? 1 2k1m1 m , 21 ) . 所以线段 AC 的中点为 (? 2 2k1 ? 1 2k1 ? 1 同 理 , 所 以 线 段 BD 2k m2 m2 (? 2 , ) .……………………….5 分 2 2k 2 ? 1 2k 2 2 ? 1









2k 2 m2 ? 2k1m1 ? ? 2k 2 ? 1 ? ? 2k 2 ? 1 , ? 1 2 因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以 ? m m 1 2 ? ? . 2 2 ? ? 2k1 ? 1 2k2 ? 1
解得, m1 ? m2 ? 0 或 k1 ? k2 (舍). 即 平 行 四 边 形 ABCD 的 对 角 线 AC 和 BD 相 交 于 原 点 ……7 分 O.

? x2 2 ? ? y ? 1, (Ⅲ)点 A, C 满足 ? 2 ? y ? k x, ? 1
所以 xA , xC 是方程 (2k1 ? 1) x ? 2 ? 0 的两个根, 即 xA ? xC ?
2 2

2

2

2 2k12 ? 1

故 | OA |?| OC |? 1 ? k1 ? 同

2

2 2k1 ? 1
.
2

. , ……………………….9 分


2

| OB |?| OD |? 1 ? k2 ?

2 2k 2 ? 1
2

又因为 AC ? BD ,所以 | OB |?| OD |? 1 ? (

1 2 2 ) ? ,其中 1 2 k1 2( ) ? 1 k1

k1 ? 0 .
从而菱形 ABCD 的面积 S 为

S ? 2 | OA | ? | OB |
1 2 ? 1 ? ( )2 ? , 1 k1 2( ) 2 ? 1 k1
整理得 S ? 4

? 2 1 ? k1 ?

2

2 2k1 ? 1
2

1 2? 1 (k1 ? 1 2 ) k1

,其中 k1 ? 0 .……………………….10 分

故,当 k1 ? 1 或 ? 1时,菱形 ABCD 的面积最小,该最小值为

8 . 3

……12

分 21. 解: (Ⅰ)∵函数的定义域为 R, f ?( x) ? ? 分 ∴当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 。 ∴ f ( x) 在 (??, 0) 上单调递增,在 (0, ? ?) 上单调递 减。……………………….4 分 (Ⅱ)假设存在 x1 , x2 ? [0, 1] ,使得 2? ( x1 ) ? ? ( x2 ) 成立,则

x ……………………….2 ex

2[? ( x)]min ? [? ( x)]max 。
∵ ? ( x) ? xf ( x) ? tf ?( x) ? e
?x

?

x 2 ? (1 ? t ) x ? 1 ex

∴ ? ?( x) ?

? x 2 ? (1 ? t ) x ? t ( x ? t )( x ? 1) ?? ………………………6 分 x e ex
① 当 t ? 1 时, ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 在 [0, 1] 上单调递减, ∴ 2? (1) ? ? (0) ,即 t ? 3 ?

e ? 1。 2
………

……………….8 分 ②当 t ? 0 时, ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 在 [0, 1] 上单调递增, ∴ 2? (0) ? ? (1) ,即 t ? 3 ? 2e ? 0 。 …… ………………….10 分 ③当 0 ? t ? 1 时, 在 x ? ?0, t ? , ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 在 [0, t ] 上单调递减 在 x ? ?t ,1? , ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 在 [t , 1] 上单调递增 所以 2? (t ) ? max{? (0), ? (1)} , 即2

t ?1 3?t ? max{1, } —— (*) t e e

t ?1 在 [0,1] 上单调递减 et 4 t ?1 2 3?t 3 故 ? 2 t ? 2 ,而 ? ? ,所以不等式 (*) 无解 e e e e e e 综上所述,存在 t ? (??,3 ? 2e) ? (3 ? , ??) ,使得命题成 2
由(Ⅰ)知, g (t ) ? 2 立. ………………………12 分 22.证明: (Ⅰ)连结 AB .因为△ PBC ∽△ PDB ,所以

A

BD PD . ? BC PB
D

AD PD 同理 . ? AC PA
又 因 . 为

O Q B C

P ?A
C C

, P

所 B



B B

D ? C

A D , 即 A C

B A

D ? D

B A

……5 分

(Ⅱ)因为 ?BAC ? ?PBC ? ?DAQ , ?ABC ? ?ADQ , 所以△ ABC ∽△ ADQ ,即

BC DQ . ? AC AQ



BD DQ . ? AD AQ

又因为 ?DAQ ? ?PBC ? ?BDQ , 所 △ ADQ ∽△ DBQ . 23.解: (Ⅰ)圆 C: ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 16 ,直线 l:
2 2

以 ……10 分

1 ? x ? 3? t ? 2 ? , t为参数 ……………………….5 分 ? ?y ? 5? 3 t ? ? 2
( Ⅱ ) 将 直 线 的 参 数 方 程 代 入 圆 的 方 程 可 得

t 2 ? (2 ? 3 3)t ? 3 ? 0 ,……………………….8 分 设 t1 , t 2 是 方 程 的 两 个 根 , 则

t1t2 ? ?3







| P A | |? P 1 B|
24.解:

2

? |t

1

| t……………………….10 |? |t t | | 3分 2

1 ? x? ? x ? 3, 2 ? 1 ? (Ⅰ) f ( x ) ? ? ?3 x ? 1, ?2 ? x ? , 2 ? x ? ?2 ? 3 ? x, ? ?
? 1 1 ? ? x ? ?2 ? x? ??2 ? x ? 所以原不等式转化为 ? ……3 分 2 或? 2或? 3 ? x ? 3 ? ?x ? 3 ? 3 ? ? ?3 x ? 1 ? 3 ?
所以原不等式的解集为 ? ??, ? ? ? ? 6, ?? ? ………………….6 分 3

? ?
2

4? ?

(Ⅱ)只要 f ( x) max ? t ? 3t ,……………………….8 分











f(

m

x) ? a

x

?

2

1? t

? 3t 得 解

t?

3? 5 2



t?

3? 5 ……………………….10 分 2


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