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高中数学必修一第一章 集合与函数概念综合素能检测及答案


第一章 集合与函数概念综合素能检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符号题目要求的。) 1.已知集合 A={0,1,2,3,4,5},B={1,3,6,9},C={3,7,

8},则(A∩B)∪C 等于( A.{0,1,2,6,8} C.{1,3,7,8} [答案] C [解析] A∩B={1,3},(A∩B)∪C={1,3,7,8},故选 C. 2.(09· 陕西文)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足:对任意的 x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有 f(x2)-f(x1) <0,则( x2-x1 ) B.f(1)<f(-2)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2) B.{3,7,8} D.{1,3,6,7,8} )

A.f(3)<f(-2)<f(1) C.f(-2)<f(1)<f(3) [答案] A

[解析] 若 x2-x1>0,则 f(x2)-f(x1)<0, 即 f(x2)<f(x1), ∴f(x)在[0,+∞)上是减函数, ∵3>2>1,∴f(3)<f(2)<f(1), 又 f(x)是偶函数,∴f(-2)=f(2), ∴f(3)<f(-2)<f(1),故选 A. 3.已知 f(x),g(x)对应值如表. x f(x) 0 1 1 0 -1 -1

x

0
1

1

-1

g(x)

-1

0

1

则 f(g(1))的值为( A.-1 C.1 [答案] C

) B .0 D.不存在

[解析] ∵g(1)=0,f(0)=1,∴f(g(1))=1. 4.已知函数 f(x+1)=3x+2,则 f(x)的解析式是( A.3x+2 C.3x-1 [答案] C [解析] 设 x+1=t,则 x=t-1, ∴f(t)=3(t-1)+2=3t-1,∴f(x)=3x-1.
?2x-1 (x≥2) ? 5.已知 f(x)=? 2 ,则 f(-1)+f(4)的值为( ?-x +3x (x<2) ?

)

B.3x+1 D.3x+4

)

A.-7 C.-8 [答案] B [解析] B.

B .3 D.4

f(4)=2×4-1=7,f(-1)=-(-1)2+3×(-1)=-4,∴f(4)+f(-1)=3,故选

6.f(x)=-x2+mx 在(-∞,1]上是增函数,则 m 的取值范围是( A.{2} C.[2,+∞) [答案] C B.(-∞,2] D.(-∞,1]

)

m 2 m2 m m [解析] f(x)=-(x- ) + 的增区间为(-∞, ],由条件知 ≥1,∴m≥2,故选 C. 2 4 2 2 7.定义集合 A、B 的运算 A*B={x|x∈A,或 x∈B,且 x?A∩B},则(A*B)*A 等于( A.A∩B C.A [答案] D
2

)

B.A∪B D.B

[解析] A*B 的本质就是集合 A 与 B 的并集中除去它们的公共元素 后,剩余元素组成的集合. 因此(A*B)*A 是图中阴影部分与 A 的并集,除去 A 中阴影部分后剩 余部分即 B,故选 D. [点评] 可取特殊集合求解. 如取 A={1,2,3},B={1,5},则 A*B={2,3,5},(A*B)*A={1,5}=B. 8.(广东梅县东山中学 2009~2010 高一期末)定义两种运算:a (a-b)2,则函数 f(x)= A.奇函数 B.偶函数 C.奇函数且为偶函数 D.非奇函数且非偶函数 [答案] A [解析] 由运算?与?的定义知, f(x)= , (x-2)2-2 4-x2 为( ) ?b= a2-b2,a?b=

∵4-x2≥0,∴-2≤x≤2, 4-x2 4-x2 ∴f(x)= =- , x (2-x)-2 ∴f(x)的定义域为{x|-2≤x<0 或 0<x≤2}, 又 f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.
? x≤0, ?x+2, 9.(08· 天津文)已知函数 f(x)=? 则不等式 f(x)≥x2 的解集为( ?-x+2, x>0, ?

)

A.[-1,1] C.[-2,1] [答案] A

B.[-2,2] D.[-1,2]

[解析] 解法 1:当 x=2 时,f(x)=0,f(x)≥x2 不成立,排除 B、D;当 x=-2 时,f(x)= 0,也不满足 f(x)≥x2,排除 C,故选 A.
3

解法 2:不等式化为?

?x≤0 ? ?x+2≥x ?
2

?x>0 ? 或? 2 , ?-x+2≥x ?

解之得,-1≤x≤0 或 0<x≤1,即-1≤x≤1. 10. 调查了某校高一一班的 50 名学生参加课外活动小组的情况, 有 32 人参加了数学兴趣 小组,有 27 人参加了英语兴趣小组,对于既参加数学兴趣小组,又参加英语兴趣小组的人数 统计中,下列说法正确的是( A.最多 32 人 C.最少 27 人 [答案] D [解析] ∵27+32-50=9,故两项兴趣小组都参加的至多有 27 人,至少有 9 人. 1 11.设函数 f(x)(x∈R)为奇函数,f(1)= ,f(x+2)=f(x)+f(2),则 f(5)=( 2 A.0 5 C. 2 [答案] C 1 1 [解析] f(1)=f(-1+2)=f(-1)+f(2)= ,又 f(-1)=-f(1)=- ,∴f(2)=1, 2 2 5 ∴f(5)=f(3)+f(2)=f(1)+2f(2)= . 2
?g(x),若f(x)≥g(x), ? 12.已知 f(x)=3-2|x|,g(x)=x2-2x,F(x)=? 则 F(x)的最值是( ? ?f(x),若f(x)<g(x).

) B.最多 13 人 D.最少 9 人

)

B .1 D.5

)

A.最大值为 3,最小值-1 B.最大值为 7-2 7,无最小值 C.最大值为 3,无最小值 D.既无最大值,又无最小值 [答案] B [解析] 作出 F(x)的图象,如图实线部分,知有最大值而无最小值,且最大值不是 3,故 选 B.

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第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上) 13.(2010· 江苏,1)设集合 A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数 a= ________. [答案] -1 [解析] ∵A∩B={3},∴3∈B, ∵a2+4≥4,∴a+2=3,∴a=-1.
?2 (n=1) ? 14.已知函数 y=f(n)满足 f(n)=? ,则 f(3)=________. ?3f(n-1) (n≥2) ?

[答案] 18 [解析] 由条件知,f(1)=2,f(2)=3f(1)=6,f(3)=3f(2)=18. 15 . 已知函数 f(x) = 2-ax ________. [答案] (0,2] [解析] a<0 时,f(x)在定义域上是增函数,不合题意,∴a>0. 2 由 2-ax≥0 得,x≤ , a 2 ∴f(x)在(-∞, ]上是减函数, a 2 由条件 ≥1,∴0<a≤2. a 16. 国家规定个人稿费的纳税办法是: 不超过 800 元的不纳税; 超过 800 元而不超过 4000 元的按超过 800 元的 14%纳税;超过 4000 元的按全部稿酬的 11%纳税.某人出版了一本书,
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(a≠0) 在区间 [0,1] 上是减函数,则实数 a 的取值范围是

共纳税 420 元,则这个人的稿费为________. [答案] 3800 元 [解析] 由于 4000×11%=440>420,设稿费 x 元,x<4000,则(x-800)×14%=420, ∴x=3800(元). 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12 分)设集合 A={x|a≤x≤a+3},集合 B={x|x<-1 或 x>5},分别就下列 条件求实数 a 的取值范围: (1)A∩B≠?,(2)A∩B=A. [解析] (1)因为 A∩B≠?,所以 a<-1 或 a+3>5,即 a<-1 或 a>2. (2)因为 A∩B=A,所以 A?B,所以 a>5 或 a+3<-1,即 a>5 或 a<-4. 18.(本题满分 12 分)二次函数 f(x)的最小值为 1,且 f(0)=f(2)=3. (1)求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求 a 的取值范围. [解析] (1)∵f(x)为二次函数且 f(0)=f(2), ∴对称轴为 x=1. 又∵f(x)最小值为 1,∴可设 f(x)=a(x-1)2+1 (a>0) ∵f(0)=3,∴a=2,∴f(x)=2(x-1)2+1, 即 f(x)=2x2-4x+3. 1 (2)由条件知 2a<1<a+1,∴0<a< . 2 19.(本题满分 12 分)图中给出了奇函数 f(x)的局部图象,已知 f(x)的定义域为[-5,5],试 补全其图象,并比较 f(1)与 f(3)的大小.

[解析] 奇函数的图象关于原点对称,可画出其图象如图.显见 f(3)>f(1).

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20.(本题满分 12 分)一块形状为直角三角形的铁皮,直角边长分别为 40cm 与 60cm 现将 它剪成一个矩形, 并以此三角形的直角为矩形的一个角, 问怎样剪法, 才能使剩下的残料最少? [解析] 如图,剪出的矩形为 CDEF,设 CD=x,CF=y,则 AF=40-y. ∵△AFE∽△ACB. ∴ 40-y x AF FE = 即∴ = AC BC 40 60

2 ∴y=40- x.剩下的残料面积为: 3 1 2 2 S= ×60×40-x· y= x2-40x+1 200= (x-30)2+600 2 3 3 ∵0<x<60∴当 x=30 时,S 取最小值为 600,这时 y=20. ∴在边长 60cm 的直角边 CB 上截 CD=30cm, 在边长为 40cm 的直角边 AC 上截 CF=20cm 时,能使所剩残料最少. 21.(本题满分 12 分) a (1)若 a<0,讨论函数 f(x)=x+ ,在其定义域上的单调性; x a (2)若 a>0,判断并证明 f(x)=x+ 在(0, a]上的单调性. x a [解析] (1)∵a<0,∴y= 在(-∞,0)和(0,+∞)上都是增函数, x a 又 y=x 为增函数,∴f(x)=x+ 在(-∞,0)和(0,+∞)上都是增函数. x a (2)f(x)=x+ 在(0, a]上单调减, x 设 0<x1<x2≤ a,则 f(x1)-f(x2) a(x2-x1) a a =(x1+ )-(x2+ )=(x1-x2)+ x1 x2 x1x2

7

=(x1-x2)(1-

a )>0, x1x2

∴f(x1)>f(x2),∴f(x)在(0, a]上单调减. 22.(本题满分 14 分)设函数 f(x)=|x-a|,g(x)=ax. (1)当 a=2 时,解关于 x 的不等式 f(x)<g(x). (2)记 F(x)=f(x)-g(x),求函数 F(x)在(0,a]上的最小值(a>0). [解析] (1)|x-2|<2x,则
? ? ?x≥2, ?x<2, ? 或? ?x-2<2x. ? ? ?2-x<2x.

2 2 ∴x≥2 或 <x<2.即 x> . 3 3 (2)F(x)=|x-a|-ax,∵0<x≤a, ∴F(x)=-(a+1)x+a. ∵-(a+1)<0, ∴函数 F(x)在(0,a]上是单调减函数,∴当 x=a 时,函数 F(x)取得最小值为-a2.

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