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2015高考数学全国2卷(理)


2015 高考数学全国 2 卷 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1、已知集合 A ? ?? 2, ? 1, 0, 1, 2?, B ? ?x ?x ?1??x ? 2? ? 0?,则 A ? B ? A、 ?? 1,0? B、 ?0,1? C、 ??1 , 0, 1? D、 ?0, 1, 2?

2、若 a 为实数,且 ?2

? ai??a ? 2i ? ? ?4i ,则 a ? A、-1 B、0 C、1 D、2

3、根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱 形图,以下结论中不正确的是

A、逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最明显 B、2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 C、2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D、2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 4、已知等比数列 ?an ?满足 a1 ? 3 , a1 ? a3 ? a5 ? 21,则 a3 ? a5 ? a7 ? A、21 B、42 C、63 D、84

?1 ? log2 ?2 ? x ? x ? 1 5、设函数 f ?x ? ? ? , ,则 f ?? 2? ? f ?log2 12? ? x ?1 2 x ?1 ?
A、3 B、6 C、9 D、12

6、一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图 如图所示,则截去部分体积与所剩部分体积的比值为
1 8 1 C、 6

A、

B、

1 7 1 D、 5

7、过三点 A?1, 3? , B?4, 2? , C?1,?7? 的圆与 y 轴交于 M 、 N 两点,则 MN ? A、 2 6 B、 8 C、 4 6 D、 10

8、右边程序框图的算法思路源于我国古代算术名著《九章算术》中的“更相减 损术” ,执行该程序框图,若输入的 a , b 分别为 14,18,则输出的 a ? A、0 B、2 C、4 D、14

9、已知 A , B 是球 O 的球面上两点, ?AOB ? 90? ,C 为该球面上的动点。若三 菱锥 O ? ABC 体积的最大值为 36,则求 O 的表面积为 A、 36? D、 256 ? 10、如图,长方形 ABCD 的边 AB ? 2 , BC ? 1 ,O 是 AB 的中点。点 P 沿着 BC , CD 与 DA 运动,记 ?BOP ? x , 将点 P 到 A , B 两点的距离之和表示为 x 的函数 f ?x ? ,则 B、 64? C 、 144 ?

y ? f ?x ? 的图像大致为

A、

B、

C、

D、

11、已知 A 、 B 为双曲线 E 的左右顶点,点 M 在 E 上, ? ABM 为等腰三角形,

且顶角为 120? ,则 E 的离心率为 A、 5 B、2 C、 3 D、 2

12、设函数 f / ?x ? 是奇函数 f ?x ? ?x ? R ? 的导函数, f ?? 1? ? 0 ,当 x ? 0 时,

x ? f / ?x? ? f ?x? ? 0 ,则使得 f ?x ? ? 0 成立的 x 的取值范围是
A、 ?? ?,?1? ? ?0, 1? C、 ?? ?,?1? ? ??1 , 0? 第二卷 二、填空题: 13、设向量 a , b 不平行,向量 ? a ? b 与 a ? 2b 平行,则实数 ? ? _________。
?x ? y ? 1 ? 0 ? 14、若 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 0 ,则 z ? x ? y 的最大值为_________。 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?

B、 ??1, 0? ? ?1, ? ?? D、 ?0, 1? ? ?1, ? ??

15、 ?a ? x??1 ? x? 的展开式中 x 奇数次幂项的系数之和为 32,则 a ? _______。
4

16、设 Sn 是数列 ?an ?的前 n 项和,且 a1 ? ?1 , a n?1? Sn ? Sn?1 ,则 S n? ________。 三、解答题 17、(本小题 12 分) 在 ?ABC 中, D 是 BC 上的点, AD 平分 ?BAC , ?ABD 面积是 ?ADC 面积的 2 倍。 (1)求
sin ?B ; sin ?C

(2)若 AD ? 1 , DC ?

2 ,求 BD 和 AC 的长。 2

18、(本小题 12 分)

某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A 、 B 两地区分别随机调查 了 20 个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:

A 地区:62
78

73 86 83 48

81 95 62 65

92 66 51 81

95 97 91 74

85 78 46 56

74 88 53 54

64 82 73 76

53 76 64 65

76 89 82 79

B 地区:73
93

(1)根据数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两 地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可) ; (2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级: 满意度评分 低于 70 分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 70 分到 89 分 不低于 90 分

记事件 C : “ A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级” ,假 设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据,以事件发生的频率作为相 应事件发生的概率,求 C 的概率。

19、(本小题 12 分) 如 图 , 长 方 体 ABCD ? A1B1C1D1 中 , AB ? 16 ,
BC ? 10 , D1C1 上, 点E、 且 A1E ? D1F ? 4 。 F 分别在 A1B1 、

过点 E 、F 的平面 ? 与此长方体的面相交,交线围成一个 正方形。 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由) ; (2)求直线 AF 与平面 ? 所成角的正弦值。

20、(本小题 12 分) 已知椭圆 C :9 x 2 ? y 2 ? m2 ?m ? 0?, 直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A 和 B ,线段 AB 的中点为 M 。 (1)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值;
?m ? (2)若 l 过点 ? , m ? ,延长线段 OM 与 C 相交于点 P ,四边形 OAPB 能否为 ?3 ?

平行四边形?若能,求出此时 l 的斜率,若不能,说明理由。

21、(本小题 12 分) 设函数 f ?x? ? emx ? x 2 ? mx 。 (1)证明: f ?x ? 在 ?? ?, 0? 单调递减,在 ?0, ? ?? 单调递增; (2)若对于任意 x1 , x2 ? ?? 1,1? ,都有 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? e ?1 ,求 m 的取值范围。

选做题,请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的 第一题计分,做答时请写清题号。 22、(本小题 10 分)几何证明选讲 如图,O 为等腰三角形 ABC 内一点,? O 与 ?ABC 的底边 BC 交 于 M 、N 两点,与底边上的高 AD 交于点 G ,且与 AB 、 AC 分 别相切于 E 、 F 两点。 (1)证明: EF // BC ; (2)若 AG 等于 ? O 的半径,且 AE ? MN ? 2 3 ,求四边形 EBCF 的面积。

23、(本小题 10 分)极坐标与参数方程

? x ? t cos? 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 : ? ,( t 为参数,t ? 0 )其中 0 ? ? ? ? , ? y ? t sin ?
在以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 : ? ? 2 sin ? , C3 :

? ? 2 3 cos? 。
(1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标; (2)若 C1 与 C2 相交于点 A , C1 与 C3 相交于点 B ,求 AB 的最大值。

24、(本小题 10 分)不等式选讲 设 a 、 b 、 c 、 d 均为正数,且 a ? b ? c ? d ,证明: (1)若 ab ? cd ,则 a ? b ? c ? d ; (2) a ? b ? c ? d 是 a ? b ? c ? d 的充要条件。


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