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《棱柱、棱锥、棱台和球的表面积体积》


探究 2: 正棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积 公式之间的关系:
c’=c
上底扩大

c’=0
上底缩小

S柱侧 ? ch '

S台侧

1 ? ? c '? c ? h ' 2

S 锥侧

1 ? ch

' 2

四. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积 (1)将圆柱沿一条母线剪开后,展开图 是一个矩形,这个矩形的一边为母线, 另一边为圆柱底面圆的圆周长,设圆柱 底面半径为r,母线长为l,则侧面积 S圆柱侧=2πrl.
O`

O

(2)将圆锥沿一条母线剪开,展开在一 个平面上,其展开图是一个扇形,扇形的 半径为圆锥的母线,扇形的弧是圆锥底面 圆的圆周

S圆锥侧= πrl,其中l为圆锥母线长,r为底
面圆半径。

S

?

c=2 ? r

l

O

r

A

(3)圆台可以看成是用一个平行底面的 平面截圆锥所得,因此圆台的侧面展开图 是一个扇环,设圆台上、下底半径为r、R, 母线长为l,
1 则S圆台侧=π(r+R)l= (c1+c2)l,其中r,R 2

分别为上、下底面圆半径,c1,c2分别为
上、下底面圆周长,l为圆台的母线。

S c1 c2 O1 l R O2 r

三、球的表面积
球面面积(也就是球的表面积)等于

它的大圆面积的4倍,即
S球=4πR2, 其中R为球的半径.

公理1、长方体的体积等于它的长、宽、高的积。

V长方体= abc
推论1 、长方体的体积等于它的底面积s和高h的积。

V长方体= sh
推论2 、正方体的体积等于它的棱长a 的立方。

V正方体= a3

二:柱体的体积

定理1: 柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它 的底面积 s 和高 h 的积。

V柱体= sh
推论 : 底面半径为r,高为h圆柱的体积是

V圆柱= ? r2h

定理︰如果一个锥体(棱锥、圆锥)的底面 积是S,高是h,那么它的体积是: 1 V锥体= Sh 3 推论:如果圆锥的底面半径是r,高是h, 那么它的体积是: 1 V圆锥= πr2h 3
h h

S

S

S

例3:

已知:边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1. C1

求:(1)棱锥B1-A1BC1的体积。 D1
解:

V棱锥B1 ? A1BC1 ? V棱锥B? A1B1C1

A1 O

B1

1 ? ? S ?A1B1C1 ? BB1 3 1 ?1 2 ? ? ?? ? a ?? a 3 ?2 ? 1 ? a3 A 6 1 3 所以棱锥B1-A1BC1的体积为 a 6

D B

C

四.台体的体积
上下底面积分别是s/,s,高是h,则

1 V台体= h(s + ss' + s') 3
x s/

s/ s

h
s

六.球的体积

4 3 V球 = πR 3

例1. 已知正四棱锥底面正方形 长为4cm,高与斜高的夹角为

30°,求正四棱锥的侧面积及
全面积.(单位:cm2 )
D

P

C O

E
B

A

例2. 在球心同侧有相距9cm的两个平行截 面,它们的面积分别为49πcm2和400π cm2, 求球的表面积. 解:由截面圆的面积分别 是49πcm2和400π cm2,

解得AO1=20cm,
BO2=7cm. 设OO1=x, 则OO2=x+9.

O2 O1 O

B A

所以R2=x2+202=(x+9)2+72.
解得x=15(cm).

所以圆的半径R=25(cm).
所以S球=4πR2=2500π(cm2)

练习:
1. 将一个边长为a的正方体,切成27个全
等的小正方体,则表面积增加了( B ) (A)6a2 (B)12a2

(C)18a2

(D)24a2

3. 侧面都是直角三角形的正三棱锥,底面 边长为a,该三棱锥的全面积是( A ) (A)3 + 3 a 2
4

3 2 (B) a 4

S

(C)3 + 3 a 2
2
? (D) 3 + 3 ? a 2 ? ? ? ? ?2 4 ?

A

C

B

5. 侧面都是直角三角形的正三棱锥, 底面边长为a,该三棱锥的全面积是 ( A )
3? 3 2 (A) 4 a 3? 3 2 (C) a 2

3 2 (B) 4 a

(D) 3 ? (
2

3 2 )a 4

6. 球内接正方体的表面积与球的表面积 的比为( A )

(A)2:π (B)3:π
(C)4:π (D)6:π

练习4:
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的(

2 )倍。
2 )。

(2)若球的半径变为原来的2倍,则表面积变为原来的( 4)倍。 (3)若两球表面积之比为1:2,则其体积之比是( : 2 1
(4)若两球体积之比是1:2,则其表面积之比是(1 : 3

4)。

(5)若两球表面积之差为48 ,它们大圆周长之和为12 , 则两球的直径之差为( 4 )

练习5:
1、一个四面体的所有的棱都为 2 ,四个顶点在同

一球面上,则此球的表面积(



A 3л

B 4л

C 3 3?

D 6л

2、若正四体的棱长都为6,内有一球与四个面都相

切。求球的表面积。

? 小结:

1、多面体的侧面积公式及球的表面 积公式 2、公式的应用

3、数学思想方法——转化、类比、
归纳猜想

七.小结:
1.记住常见几何体的体积公式.

V柱体=sh

1 V台体= 3 h(s + ss'+ s')

1 V锥体= sh 3

4 3 1 2 V球 = πR ? ? 4? R ? R 3 3

2.计算组合体的体积时,通常将其转化为计算 柱,锥,台,球等常见的几何体的体积。

谢 谢 大 家!


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