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高中三角函数公式大全知识

时间:2011-07-12


高中三角函数公式大全 2009 年 07 月 12 日 星期日 19:27 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tanA + tanB tan(A+B) = 1 - tanAtanB tanA ? tanB tan(A-B) = 1 + tanAtanB cotAcotB - 1 cot(A+B) = cotB + cotA cotAcotB + 1 cot(A-B) = cotB ? cotA 倍角公式 2tanA tan2A = 1 ? tan 2 A Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA
tan3a = tana·tan(

π

3

+a)·tan(

π

3

-a)

半角公式
sin( A 1 ? cos A )= 2 2 A 1 + cos A )= 2 2 A 1 ? cos A )= 2 1 + cosA A 1 + cos A )= 2 1 ? cosA

cos(

tan(

cot( tan(

A 1? cos A sin A )= = 2 sin A 1 + cos A 和差化积 a+b a?b sina+sinb=2sin cos 2 2

a+b a?b sin 2 2 a+b a?b cos cosa+cosb = 2cos 2 2 a+b a?b cosa-cosb = -2sin sin 2 2 sin(a + b) tana+tanb= cos a cos b 积化和差 1 sinasinb = - [cos(a+b)-cos(a-b)] 2 1 cosacosb = [cos(a+b)+cos(a-b)] 2 1 [sin(a+b)+sin(a-b)] sinacosb = 2 1 cosasinb = [sin(a+b)-sin(a-b)] 2 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa

sina-sinb=2cos

sin( cos( sin( cos(

π

2

-a) = cosa -a) = sina +a) = cosa

π
2

π

2

+a) = -sina 2 sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa sin a tgA=tanA = cos a 万能公式 a 2 tan 2 sina= a 1 + (tan ) 2 2 a 1 ? (tan ) 2 2 cosa= a 2 1 + (tan ) 2

π

a 2 tana= a 1 ? (tan ) 2 2 其它公式 2 tan a?sina+b?cosa= (a 2 + b 2 ) ×sin(a+c) [其中 tanc=
a?sin(a)-b?cos(a) = 1+sin(a) =(sin

b ] a a ] b

(a 2 + b 2 ) ×cos(a-c) [其中 tan(c)=

a a +cos )2 2 2 a a 2 1-sin(a) = (sin -cos ) 2 2 其他非重点三角函数 1 csc(a) = sin a 1 sec(a) = cos a 双曲函数 e a - e -a sinh(a)= 2 cosh(a)= e a + e -a 2

tg h(a)=

sinh(a ) cosh(a )

公式一: 设 α 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)= sinα cos(2kπ+α)= cosα tan(2kπ+α)= tanα cot(2kπ+α)= cotα 公式二: 设 α 为任意角,π+α 的三角函数值与 α 的三角函数值之间的关系: sin(π+α)= -sinα cos(π+α)= -cosα tan(π+α)= tanα cot(π+α)= cotα 公式三: 任意角 α 与 -α 的三角函数值之间的关系: sin(-α)= -sinα cos(-α)= cosα

tan(-α)= -tanα cot(-α)= -cotα 公式四: 利用公式二和公式三可以得到 π-α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin(π-α)= sinα cos(π-α)= -cosα tan(π-α)= -tanα cot(π-α)= -cotα 公式五: 利用公式-和公式三可以得到 2π-α 与 α 的三角函数值之间的关系: sin(2π-α)= -sinα cos(2π-α)= cosα tan(2π-α)= -tanα cot(2π-α)= -cotα 公式六: π 3π ±α 及 ±α 与 α 的三角函数值之间的关系: 2 2
sin( cos( tan( cot( sin( cos( tan( cot(

π

2

+α)= cosα +α)= -sinα +α)= -cotα +α)= -tanα -α)= cosα -α)= sinα -α)= cotα

π
2

π π π

2 2

2

π
2

π π

2

-α)= tanα 2 3π sin( +α)= -cosα 2 3π cos( +α)= sinα 2 3π tan( +α)= -cotα 2 3π cot( +α)= -tanα 2 3π sin( -α)= -cosα 2

3π -α)= -sinα 2 3π -α)= cotα tan( 2 3π cot( -α)= tanα 2 (以上 k∈Z) 这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用

cos(

A?sin(ωt+θ)+ B?sin(ωt+φ) = A 2 + B 2 + 2 AB cos(θ ? ? ) ×
sin

ωt + arcsin[(Asinθ + Bsin? )
A 2 + B 2 + 2 AB cos(θ ? ? )

三角函数公式证明(全部) 2009-07-08 16:13 公式表达式 乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b
|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a 根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注:韦达定理 判别式 b2-4a=0 注:方程有相等的两实根
b2-4ac>0 注:方程有一个实根 b2-4ac<0 注:方程有共轭复数根

三角函数公式 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 某些数列前 n 项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注: 其中 R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注:角 B 是边 a 和边 c 的夹角 正切定理: [(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}

圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注:(a,b)是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0 抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h 正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h' 圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2 圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式 l=a*r a 是圆心角的弧度数 r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积 V=S'L 注:其中,S'是直截面面积, L 是侧棱长 柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h -----------------------三角函数 积化和差 和差化积公式

记不住就自己推,用两角和差的正余弦: cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB 这两式相加或相减,可以得到 2 组积化和差: 相加:cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2 相减:sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2

sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA 这两式相加或相减,可以得到 2 组积化和差: 相加:sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2

相减:sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2

这样一共 4 组积化和差,然后倒过来就是和差化积了 不知道这样你可以记住伐,实在记不住考试的时候也可以临时推导一下 正加正 正在前 正减正 余在前 余加余 都是余 余减余 没有余还负

正余正加 余正正减 余余余加 正正余减还负 . 3.三角形中的一些结论:(不要求记忆) (1)anA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC (2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2) (3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1 (4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC (5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1 ........................... 已知 sinα=m sin(α+2β), |m|<1,求证 tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ 解:sinα=m sin(α+2β) sin(a+β-β)=msin(a+β+β) sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβ

sin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1) tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ 三角函数(Trigonometric)是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。 它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。 通常的三角函 数是在平面直角坐标系中定义的,其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角 三角形中, 但并不完全。 现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解, 将其定义扩展到复数系。它包含六种基本函数:正弦、余弦、正切、余切、正割、 余割。由于三角函数的周期性,它并不具有单值函数意义上的反函数。三角函数 在复数中有较为重要的应用。在物理学中,三角函数也是常用的工具。 目录 定义 起源 相关概念 高等数学内容 三角函数的性质定理 三角函数在解三次方程中的应用 定义 起源 相关概念 高等数学内容 三角函数的性质定理 三角函数在解三次方程中的应用 展开 编辑本段定义 编辑本段 定义 锐角三角函数

锐角三角函数 (3 张)

在直角三角形 ABC 中,a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边,∠C 为直角。 则定义以下运算方式: sin ∠A=∠A 的对边长/斜边长,sin A 记为∠A 的正弦;sinA=a/c cos∠ A=∠A 的邻边长/斜边长,cos A 记为∠A 的余弦;cosA=b/c

tan∠ A=∠A 的对边长/∠A 的邻边长, tanA=sinA/cosA=a/ b tan A 记为∠A 的正切; 当∠A 为锐角时 sin A、cos A、tan A 统称为“锐角三角函数”。 sinA=cosB sinB=cosA 常见三角函数

在平面直角坐标系 x Oy 中, 从点 O 引出一条射线 OP, 设旋转角为 θ , OP= r , 设 P 点的坐标为( x , y )。 在这个直角三角形中, y 是 θ 的对边, x 是 θ 的邻边, r 是斜边,则 可定义以下六种运算方法:
基本函数 正弦函数 余弦函数 正切函数 余切函数 正割函数 余割函数 英文 表达式 sin θ=y/r cos θ=x/r tan θ=y/x cot θ=x/y sec θ=r/x csc θ=r/y 语言描述 角 θ 的对边比斜边 角 θ 的邻边比斜边 角 θ 的对边比邻边 角 θ 的邻边比对边 角 θ 的斜边比邻边 角 θ 的斜边比对边

Sine Cosine Tangent Cotangent Secant Cosecant

在初高中教学中,主要研究正弦、余弦、正切三种函数。 注:tan、cot 曾被写作 tg、ctg,现已不用这种写法。

sinπ/3

非常见三角函数 除了上述六个常见的函数,还有一些不常见的三角函数,这些运算已趋 于淘汰:
函数名 正矢函数 余矢函数 半正矢函数 半余矢函数 外正割函数 外余割函数 与常见函数转化关系 versinθ=1-cosθ coversθ=1-sinθ haversθ=(1-cosθ)/2; hacoversθ=(1-sinθ)/2; exsecθ=secθ-1 excscθ=cscθ-1

单位圆定义 六个三角函数也可以依据半径为 1 中心为原点的单位圆来定义。 单位圆 定义在实际计算上没有大的价值;实际上对多数角它都依赖于直角三角形。 但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义, 而不只 是对于在 0 和 π/2 弧度之间的角。它也提供了一个图像,把所有重要的 三角函数都包含了。根据勾股定理,

三角函数

单位圆的方程是:x^2+y^2=1 图像中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角, 而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线,同 x 轴正半部分得到一个角 θ ,并与单位圆相交。这个交点的 x 和 y 坐标分别等于 cosθ 和 sinθ 。 图像中的三角形确保了这个公式;半径等于斜边且长度为 1,所以有 sin θ = y /1 和 cos θ = x /1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度, 但保持斜边等于 1 的一种查看无限个三角形的方式。 对于大于 2π 或小于等于 2π 的角度,可直接继续绕单位圆旋转。在 这种方式下,正弦和余弦变成了周期为 2π 的周期函数:对于任何角度 θ 和任何整数 k 。 周期函数的最小正周期叫做这个函数的“基本周期”。正弦、余弦、正 割或余割的基本周期是全圆,也就是 2π 弧度或 360°;正切或余切的基 本周期是半圆,也就是 π 弧度或 180°。上面只有正弦和余弦是直接使用 单位圆定义的,其他四个三角函数的定义如图所示。

其他四个三角函数的定义

在正切函数的图像中, 在角 k π 附近变化缓慢, 而在接近角 (k + 1/2)π 的 时候变化迅速。正切函数的图像在 θ = (k + 1/2)π 有垂直渐近线。这是 因为在 θ 从左侧接进 ( k + 1/2)π 的时候函数接近正无穷,而从右侧接 近 ( k + 1/2)π 的时候函数接近负无穷。 另一方面,所有基本三角函数都可依据中心为 O 的单位圆来定义,类 似于历史上使用的几何定义。特别

三角函数

是,对于这个圆的弦 AB ,这里的 θ 是对向角的一半,sin θ 是 AC (半 弦),这是印度的阿耶波多介入的定义。cos θ 是水平距离 OC,versin θ =1-cos θ 是 CD 。tanθ 是通过 A 的切线的线段 AE 的长度,所以这个函 数才叫正切。cot θ 是另一个切线段 AF。 sec θ = OE 和 csc θ = OF 是割 线(与圆相交于两点)的线段,所以可以看作 OA 沿着 A 的切线分别向水 平和垂直轴的投影。 DE 是 exsec θ = secθ -1(正割在圆外的部分)。通 过这些构造,容易看出正割和正切函数在 θ 接近 π/2 的时候发散,而余 割和余切在 θ 接近零的时候发散。 三角函数线 依据单位圆定义, 我们可以做三个有向线段(向量)来表示正弦、余弦、正切的值。 如图所示,圆 O 是一个单位圆,P 是 α 的终边与单位圆上的交点,M 点 是 P 在 x 轴的投影,S (1,0)是圆 O 与 x 轴正半轴的交点,过 S 点做圆 O 的切 线 l。 那么向量 MP 对应的就是 α 的正弦值,向量 OM 对应的就是余弦值。OP 的延长线(或反向延长线)与 l 的交点为 T,则向量 ST 对应的就是正切值。 向量的起止点不能颠倒 不能颠倒,因为其方向是有意义的。 不能颠倒 借助线三角函数线,我们可以观察到第二象限角 α 的正弦值为正,余 弦值为负,正切值为负。 1、锐角三角函数定义 锐角角 A 的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以 及正割(sec),(余割 csc)都叫做角 A 的锐角三角函数。 正弦(sin)等于对边比斜边; 余弦(cos)等于邻边比斜边;

三角函数 (8 张)

正切(tan)等于对边比邻边; 余切(cot)等于邻边比对边; 正割(sec)等于斜边比邻边; 余割 (csc)等于斜边比对边。 2、互余角的三角函数间的关系 sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα, tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα


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