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1.3.1单调性与最大(小)值(二)


——最大值与最小值

一、复习

函数的单调性定义

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函 数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的) 单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间. y y y=f(x) y=f(x) f(x1) f(x2) x x2 f(x1) f(x2)

0



x1
图1

0

x1
图2

x2

x

函数的单调性定义
1.增函数
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对

于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,
x2 ,当x1<x2 时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在

区间D上是增函数,如图1 .
2.减函数 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义 域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2 ,当 x1<x2时,都有f(x1)>f(x2) ,那么就说f(x)在区间D上 是减函数 ,如图2.

二、最大值与最小值
下列两个函数的图象:
y
M y

观察

M

x
o x0
图1

o
图2

x0

x

思 考 观察这两个函数图象,图中有个最高
点,那么这个最高点的纵坐标叫什么呢?

思 考

设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M, 则对函数定义域内任意自变量x,f(x)与M的大小 关系如何? f(x)< M

例如函数f ? x? = -x2 +1? x∈R ?
2

1是此函数的最大值
?(0)=1
1

1、对任意的 x ? R都有?(x)≤1. 2、存在0,使得?(0)=1.

O

1、最大值的定义
实数M满足:

知识要 点

一般地,设函数y= f (x)的定义域为I,如果存在

(1)对于任意的x ∈I,都有f (x) ≤M;
(2)存在 x

? I ,使得 f(x0 ) = M . 0

那么我们称M是函数y= f (x)的最大值

(maximum value):
f (x)的最大值可简记为: f(x) max

思 考

能否仿照函数的最大值的定义,给出函数 y=f(x)的最小值的定义呢?

2、最小值的定义
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果实

数M满足:
(1)对于任意的的x∈I,都有f(x) ≥M;

(2)存在 x0 ? I ,使得 f(x0 ) = M ,
那么我们称M是函数y=f(x)的最小值(minimun value). f (x)的最小值可简记为:

f(x)

min

思 考 思 考

函数的最大值是函数值域中的一个元素吗?



如果在函数f(x)定义域内存在x1和 x2,使对 定义域内任意x都有 f(x1 ) ? f(x) ? f(x2 ) 成立,由 此你能得到什么结论?如果函数f(x)的最大值是b, 最小值是a,那么函数f(x)的值域是[a,b]吗? 函数f(x)在定义域中既有最大值b又有最小值a. 那么函数f(x)的值域是[a,b]

探究:

三、函数单调性与函数的最值的关系

(1)若函数y=f (x)在区间[m,n] (m<n)上单调递增,

则函数y=f (x)的最值是什么?

y
f(n)

当x=m时,f (x)有最 小值f (m),当x=n时,f (x) 有最大值f (n).

m
O

n

x
f(m)

(2)若函数y=f(x)在区间[m,n]上单调递减,则函数 y=f(x)的最值是什么?

y
当x=m时,f (x)有最

f(m)

大值f (m),当x=n时,f(x)

n
O

有最小值f (n).

m
f(n)

x

(3)若函数 f(x) = a(x - l)2 + h(a < 0,m < l < n) 则函 数y=f(x)在区间[m,n]上的最值是什么?

y
f(m)

f(l)
最大值f (l)=h,有最小值f (m), f (n)中较小者.

f(n)
O

m

l

n

x

例4 "菊花"烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是 期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度 h米与时间t秒之间的关系为: h ? t ? = -4.9t 2 + 14.7t + 18, 那么烟花冲出后什么时候是 它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少

? 精确到1米 ? ?

h(t) = -4.9t 2 +14.7t +18的图像。显然, 解:做出函数

函数图像的顶点就是烟花上升的最高点,顶点的横 坐标就是烟花爆裂的最佳时刻,纵坐标就是这时距 地面的高度. 由二次函数的知识,对于函数 h h(t) = -4.9t 2 +14.7t +18 ,我们有
20 15 10 5

14.7 当t = = 1.5 时,函 2 ? (-4.9) 数有最大值
1 2 3
4

o

t

4 ? (-4.9) ? 18 -14.72 h= ? 29 4 ? (-4.9)

所以,烟花冲出1.5s是它爆裂的最佳时刻,此 时距离地面的高度约为29m.

1 (x ? [3, 5]) ,求函数的最大 例5 已知函数 f(x) = x-2 值与最小.
分析:由函数的图象可知道,此函数在[3,5]上 递减。所以在区间[3,5]的两个端点上分别取得最大 值与最小值. 解:设 x1 , x 2 是区间[3,5]上的任意两个实数, 且 x1 < x 2,则
(x 2 - 2) - (x1 - 2) x 2 - x1 1 1 f(x1 ) - f(x 2 ) = = = . x1 - 2 x 2 - 2 (x1 - 2)(x 2 - 2) (x1 - 2)(x 2 - 2)

由于 3 ? x1 ? x2 ? 5, 得 x2 - x1 > 0,(x1 - 2)(x2 - 2) > 0,

于是

f(x1 ) - f(x2 ) > 0


f(x1 ) > f(x2 )
所以,此函数在区间[3,5]的两个端点上分别取得 最大值与最小值即在x=3时取得最大值是1,在

x=5时取得最小值为0.5.

课堂小结
1、单调函数的图象特征;

2、函数单调性的定义; 3、证明函数单调性的步骤; 4、函数的最值: 最大值
最小值

?

5、函数的最值的求法
(1)利用二次函数的性质(配方法)求函数的最值;
(2)利用图象求函数的最值; (3)利用函数单调性求函数的最值 .

高考链接
1 在区间??? ???的 ( 2007年广东)函数f ? x ? = 1x 2 最小值为??????? 3

课堂练习
1.填表

y = kx + b(k ? 0)
函数

k y = (k ? 0) x

k >0

k <0

k >0
???? ??? ??? ???

k <0
???? ??? ??? ???

单调区间 (-?, +? ) ???? ??? 单调性 增函数 减函数

减函数

增函数

y = ax2 + bx + c (a ? 0)
函数

a>0
单调区间
? ???? ? ? ?? ? ? ??? ?? ??

a<0
? ? ?? ? ??? ???? ? ? ?? ??

单调性

减函数

增函数

增函数

减函数

1 0.5 2.函数y = ? x ∈? 2, 5??的最大值为??????? x 0.2 最小值为??????

3.已知函数f(x)在 ? -∞, 2? 上单调递增, 在 ? 2, +∞? 上
最大 f(2) 单调递减则f ? x ? 有??????值为???????

4.函数y = x2 + 4x + 2在区间?-3, 5? 上的最小
-2 值为???????

5 . 设b>1为常数,如果当x∈[1,b]时,函数

1 2 3 f(x) = x - x + 的值域也是[1,b],求b的值. 2 2 1 2 3 1 2 解:因为 f(x) = x - x + = (x - 1) + 1 2 2 2
所以f(x)在x=1时取得最小值为1,又因为x∈[1,b],
由f(x)的图像可知道在区间[1,b]上是递增的,所以
y

1 0

1 2 3 f(b) = b - b + = b 2 2 得b=3或b=-1,因为b>1, 所以说b=3.
1 x


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