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高中数学人教A版必修二 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 学业分层测评7 Word版含答案

时间:2018-01-14


学业分层测评(七)
(建议用时:45 分钟) [达标必做] 一、选择题 1.(2016· 郑州高一检测)给出下列说法: ①梯形的四个顶点共面; ②三条平行直线共面; ③有三个公共点的两个平面重合; ④三条直线两两相交,可以确定 3 个平面. 其中正确的序号是( A.① 【解析】 B.①④ ) C.②③ D.③④

因为梯形有两边平行,所以梯形确定一个平面,所以

①是正确的;三条平行直线不一定共面,如直三棱柱的三条平行的棱, 所以②不正确;有三个公共点的两个平面不一定重合,如两个平面相 交,三个公共点都在交线上,所以③不正确;三条直线两两相交,可 以确定的平面个数是 1 或 3,所以④不正确. 【答案】 A

2.已知 α,β 为平面,A,B,M,N 为点,a 为直线,下列推理错 误的是( )

A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β?a?β B.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β?α∩β=MN C.A∈α,A∈β?α∩β=A D.A,B,M∈α,A,B,M∈β,且 A,B,M 不共线?α,β 重合 【解析】 选项 C 中,α 与 β 有公共点 A,则它们有过点 A 的一 条交线,而不是点 A,故 C 错.

【答案】 C 3.(2016· 蚌埠高二检测)经过空间任意三点作平面( )

【导学号:09960046】 A.只有一个 C.可作无数多个 【解析】 B.可作两个 D.只有一个或有无数多个

若三点不共线,只可以作一个平面;若三点共线,则

可以作出无数多个平面,选 D. 【答案】 D )

4.空间四点 A、B、C、D 共面而不共线,那么这四点中( A.必有三点共线 B.必有三点不共线 C.至少有三点共线 D.不可能有三点共线

【解析】 如图(1)(2)所示,A、C、D 均不正确,只有 B 正确,如 图(1)中 A、B、D 不共线.

(1) 【答案】 B

(2)

5.如图 217,平面 α∩平面 β=l,A、B∈α,C∈β,C?l,直线 AB∩l=D,过 A、B、C 三点确定的平面为 γ,则平面 γ、β 的交线必过 ( )

图 217 A.点 A B.点 B

C.点 C,但不过点 D

D.点 C 和点 D

【解析】 根据公理判定点 C 和点 D 既在平面 β 内又在平面 γ 内, 故在 β 与 γ 的交线上.故选 D. 【答案】 二、填空题 6.如图 218,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,试根据图形填空: D

图 218 (1)平面 AB1∩平面 A1C1=________; (2)平面 A1C1CA∩平面 AC=________; (3)平面 A1C1CA∩平面 D1B1BD=________; (4)平面 A1C1,平面 B1C,平面 AB1 的公共点为________. 【答案】 (1)A1B1 (2)AC (3)OO1 (4)B1 7.空间三条直线,如果其中一条直线和其他两条直线都相交,那 么这三条直线能确定的平面个数是________.

【解析】 如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中, ①AA1∩AB=A,AA1∩A1B1=A1,直线 AB,A1B1 与 AA1 可以确定 一个平面(平面 ABB1A1). ②AA1∩AB=A,AA1∩A1D1=A1, 直线 AB , AA1 与 A1D1 可以确定两个平面 (平面 ABB1A1 和平面

ADD1A1). ③三条直线 AB,AD,AA1 交于一点 A,它们可以确定三个平面(平 面 ABCD,平面 ABB1A1 和平面 ADD1A1). 【答案】 1 或 2 或 3 三、解答题 8.如图 219 所示,在空间四边形各边 AD,AB,BC,CD 上分 别取 E,F,G,H 四点,如果 EF,GH 交于一点 P,求证:点 P 在直 线 BD 上. 【导学号:09960047】

图 219 【证明】 ∵EF∩GH=P, ∴P∈EF 且 P∈GH. 又∵EF?平面 ABD,GH?平面 CBD, ∴P∈平面 ABD,且 P∈平面 CBD, ∴P∈平面 ABD∩平面 CBD, ∵平面 ABD∩平面 CBD=BD,由公理 3 可得 P∈BD. ∴点 P 在直线 BD 上. 9.求证:两两相交且不共点的三条直线在同一平面内. 【解】 已知:如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.

求证:直线 l1,l2,l3 在同一平面内. 证明:法一 ∵l1∩l2=A,

∴l1 和 l2 确定一个平面 α. ∵l2∩l3=B,∴B∈l2. 又∵l2?α,∴B∈α. 同理可证 C∈α. 又∵B∈l3,C∈l3, ∴l3?α. ∴直线 l1、l2、l3 在同一平面内. 法二 ∵l1∩l2=A,

∴l1、l2 确定一个平面 α. ∵l2∩l3=B, ∴l2、l3 确定一个平面 β. ∵A∈l2,l2?α,∴A∈α. ∵A∈l2,l2?β,∴A∈β. 同理可证 B∈α,B∈β,C∈α,C∈β. ∴不共线的三个点 A、B、C 既在平面 α 内,又在平面 β 内. ∴平面 α 和 β 重合,即直线 l1、l2、l3 在同一平面内. [自我挑战] 10.下列说法中正确的是( )

A.空间不同的三点确定一个平面 B.空间两两相交的三条直线确定一个平面 C.空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形 D.和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内 【解析】

经过同一直线上的三点有无数个平面,故选项 A 不正确;当两两 相交的三条直线相交于一点时,可能确定三个平面,故选项 B 不正确; 有三个角为直角的四边形不一定是平面图形,如在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,四边形 ACC1D1 中∠ACC1=∠CC1D1=∠C1D1A= 90° ,但四边形 ACC1D1 不是平面图形,故选项 C 不正确;和同一直线 相交的三条平行直线一定共面,故选 D. 【答案】 D

11.在正方体 AC1 中,E、F 分别为 D1C1、B1C1 的中点,AC∩BD =P,A1C1∩EF=Q,如图 2110. (1)求证:D、B、E、F 四点共面; (2)作出直线 A1C 与平面 BDEF 的交点 R 的位置.

图 2110 【导学号:09960048】 【解】

(1)证明:由于 CC1 和 BF 在同一个平面内且不平行,故必相交.设 交点为 O,则 OC1=C1C.同理直线 DE 与 CC1 也相交,设交点为 O′, 则 O′C1=C1C,故 O′与 O 重合.由此可证得 DE∩BF=O,故 D、 B、F、E 四点共面(设为 α).

(2)由于 AA1∥CC1, 所以 A1、A、C、C1 四点共面(设为 β). P∈BD,而 BD?α,故 P∈α. 又 P∈AC,而 AC?β,所以 P∈β,所以 P∈α∩β. 同理可证得 Q∈α∩β,从而有 α∩β=PQ. 又因为 A1C?β, 所以 A1C 与平面 α 的交点就是 A1C 与 PQ 的交点. 连接 A1C,则 A1C 与 PQ 的交点 R 就是所求的交点.


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