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线面垂直经典习题

时间:2014-07-28


起航辅导高二数学 7.16
线面垂直及面面垂直 立体几何的垂直问题包括:线线垂直,线面垂直,面面垂直。 立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直,证明线线垂直一般有以下一些方法: 1、通过“平移” 。 3、利用勾股定理。 5、 利用直径所对的圆周角是直角,等等。 基本题型归纳: 一、 通过“平移”,根据若 a // b, 且b ? 平面? , 则a ? 平面?

1.在四棱锥 P-ABCD 中,△PBC 为正三角形,AB⊥平面 PBC,AB∥CD,AB= AE⊥平面 PDC. A E B C A C 6、如图,在三棱锥 P ? ABC 中,⊿ PAB 是等边三角形,∠PAC=∠PBC=90 ?证明:AB⊥PC B 二、利用等腰三角形底边上的中线的性质 5、在三棱锥 P ? ABC 中, AC ? BC ? 2 , ?ACB ? 90 , AP ? BP ? AB , PC ? AC . P (Ⅰ)求证: PC ? AB ; (Ⅱ)求二面角 B ? AP ? C 的大小; 2、利用等腰三角形底边上的中线的性质。 4、利用三角形全等或三角行相似。 E 为 PC 的中点, PA=AD。证明: BE ? 平面PDC ;

1 DC, E为PD中点 .求证: 2
D

P 2.如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是正方形,PA⊥底面 ABCD,∠PDA=45°,点 E 为棱 AB 的中点. 求证:平面 PCE⊥平面 PCD;
P

F

E B

A C

D

3、如图所示,在四棱锥 P ? ABCD 中,

三、利用勾股定理 7、 如图, 四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 1 的正方形, PA ? CD, PA ? 1, PD ? 2. 平面 ABCD ;
P _

AB ? 平面PAD , AB / /CD , PD ? AD , E 是 PB 的中点, F 是
1 CD 上的点,且 DF ? AB , PH 为 ?PAD 中 AD 边上的高。 (1) 2

求证: PA ?

, AD ? 2, FC ? 1 , 证明: PH ? 平面ABCD ; (2)若 PH ? 1 求
三棱锥 E ? BCF 的体积; (3)证明: EF ? 平面PAB .
B _

A _ C _

D _

8、如图 1,在直角梯形 ABCD 中, AB // CD , AB ? AD ,且 AB ? AD ?

1 CD ? 1 . 2

现以 AD 为一边向形外作正方形 ADEF ,然后沿边 AD 将正方形 ADEF 翻折,使平面 ADEF 与平 面 ABCD 垂直,M 为 ED 的中点, 如图 2. (1) 求证:AM ∥平面 BEC ; (2) 求证:BC ? 平面 BDE 。 4. 如 图 所 示 , 四 棱 锥 P ? ABCD 底 面 是 直 角 梯 形
E
E M

D

C

BA ? AD, CD ? AD, CD ? 2 AB, PA ? 底面 ABCD,
F A

F

M D C B

B

A

起航辅导高二数学 7.16
图1 图2

9、如图,四面体 ABCD 中,O、E 分别是 BD、BC 的中点,

13、.如图,已知正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,过点 B 作 B1C 的垂线交侧棱 CC1 于点 E,交 B1C 于
A

CA ? CB ? CD ? BD ? 2, AB ? AD ? 2. 求证: AO ? 平面 BCD;

点 F,求证:A1C⊥平面 BDE;
D

O B E C

10 、 如 图 , 四 棱 锥 S ? ABCD 中 , AB ? BC

, BC ? CD , 侧 面 SAB 为 等 边 三 角 形 , 五、利用直径所对的圆周角是直角 14、AB 是圆 O 的直径,C 是圆周上一点,PA⊥平面 ABC.(1)求证:平面 PAC⊥平面 PBC; (2)若 D 也是圆周上一点,且与 C 分居直径 AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.

AB ? BC ? 2, CD ? SD ? 1.
(Ⅰ)证明: SD ? 平面SAB ; (Ⅱ)求 AB 与平面 SBC 所成角的大小.

15、 如图, 在圆锥 PO 中, 已知 PO = 2 , ⊙O 的直径 AB ? 2 ,C 是弧 AB 的中点,D 为 AC 的中点. 证 明:平面 POD ? 平面 PAC ; 四、利用三角形全等或三角行相似 11.正方体 ABCD—A1B1C1D1 中 O 为正方形 ABCD 的中心,M 为 BB1 的中点, 求证:D1O⊥平面 MAC.

16、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD .以 BD 的中点 O 为球 心、 BD 为直径的球面交 PD 于点 M .求证:平面 ABM ⊥平面 PCD ; P 12.如图,正三棱柱 ABC—A1B1C1 的所有棱长都为 2,D 为 CC1 中点. 求证:AB1⊥平面 A1BD;
M

A

D

O B C


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