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数学归纳法证明不等式


数学归纳法证明不等式
例 1. 用数学归纳法证明不等式 sin n? ≤ n sin? .

证: ⑴当 n ? 1 时,上式左边 sin? ? 右边,不等式成立. ⑵设当 n ? k (k ≥ 1) 时,不等式成立,即有 sin k? ≤ k sin? . 那么,当 n ? k ? 1 时,

sin(k ? 1)? =

/>
例 2 已知 x> ?1,且 x?0,n?N*,n≥2.求证:(1+x)n>1+nx

.

2 2 证明:(1)当 n=2 时,左=(1+x) =1+2x+x 2 ∵ x?0,∴ 1+2x+x >1+2x=右,∴n=2 时不等式成立 k (2)假设 n=k(k≥2)时,不等式成立,即 (1+x) >1+kx 当 n=k+1 时,因为 x> ?1 ,所以 1+x>0,于是 左边=(1+x) k+1 右边=1+(k+1)x.

2 k+1 因为 kx >0,所以左边>右边,即(1+x) >1+(k+1)x. 这就是说,原不等式当 n=k+1 时也成立. 根据(1)和(2),原不等式对任何不小于 2 的自然数 n 都成立.

例 3 证明: 如果 n(n 为正整数)个正数 a1 , a2 , 那么它们的和 a1 ? a2 ?

, an 的乘积 a1a2 an ? 1 ,

? an ≥ n .

证明:⑴当 n ? 1 时,有 a1 ? 1 ,命题成立. ⑵设当 n ? k (k ≥1) 时,命题成立,即若 k 个正数 a1 , a2 , , ak 的乘积 a1a2 那么它们的和 a1 ? a2 ?

ak ? 1 ,

? ak ≥ k .
, ak , ak ?1 满足 a1a2

那么当 n ? k ? 1 时,已知 k ? 1 个正数 a1 , a2 , 若 k ? 1 个正数 a1 , a2 , 若这 k ? 1 个正数 a1 , a2 , (否则与 a1a2

ak ak ?1 ? 1 .

, ak , ak ?1 都相等,则它们都是 1.其和为 k ? 1 ,命题成立. , ak , ak ?1 不全相等,则其中必有大于 1 的数,也有小于 1 的数

ak ak ?1 ? 1 矛盾).不妨设 a1 ? 1, a2 ? 1 .

例4

证明: 1 ?

1 1 1 1 ? 2 ? ?? 2 ? 2 ? ( n ? N , n ≥ 2). 2 2 3 n n

证:(1)当 n=1 时,左边= 1 ?

1 5 1 3 5 3 ? ,右边= 2 ? ? ,由于 ? 2 2 4 2 2 4 2

故不等式成立.

(2)假设 n=k( k ? N , k ≥ 2 )时命题成立,即 1 ?

1 1 1 1 ? 2 ? ?? 2 ? 2 ? . 2 2 3 k k

则当 n=k+1 时, 1 ?

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ?? 2 ? ? 2? ? 2 2 2 3 k ( k ? 1) k ( k ? 1)2

2?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? 2? ? ? 2? ?( ? ) ? 2? . 2 k (k ? 1) k k (k ? 1) k k k ?1 k ?1

即当 n=k+1 时,命题成立. 由(1)、(2)原不等式对一切 n ? N , n ≥ 2 都成立.

例 5.当 n ≥ 2 时,求证: 1 ?

1 2

?

1 3

?

?

1 n

? n

证: (1) 当n ? 2 时,左式 ? 1 ?

1 2

?1?

2 ? 17 . ? 2 ? 右式 2

? 当n ? 2 时,不等式成立

(2)假设当n ? k(? 2) 时,不等式成立,即 1 ?

1 2
?

?

1 3
1 k

?

?
1 k ?1

1 k

? k
1 k ?1

则当n ? k ? 1时, 左式 ? 1 ?

1 2

?

1 3

?

?

? k?

?

k (k ? 1) ? 1 k ?1

?

k?k ?1 k ?1

?

k ?1 k ?1

? k ? 1 ? 右式

? 当n ? k ? 1时,不等式成立。 由(1)(2)可知,对一切n ? N,且n ? 2,不等式都成立。

6、已知 f(n)=(2n+7)· 3n+9,存在自然数 m,使得对任意 n∈ N,都能使 m 整除 f(n),则最大的 m 的
值为( ) A.30 B.26 C.36 D.6

解析:∵f(1)=36,f(2)=108=3× 36,f(3)=360=10× 36 ∴f(1),f(2),f(3)能被 36 整除,猜想 f(n)能被 36 整除. 证明:n=1,2 时,由上得证,设 n=k(k≥2)时, f(k)=(2k+7)· 3k+9 能被 36 整除,则 n=k+1 时, f(k+1)-f(k)=(2k+9)· 3k+1 -(2k+7)· 3k =(6k+27)· 3k-(2k+7)· 3k - =(4k+20)· 3k=36(k+5)· 3k 2 2) ? f(k+1)能被 36 整除 ∵f(1)不能被大于 36 的数整除,∴所求最大的 m 值等于 36. 答案:C

7..观察下列式子: 1 ?
…则可归纳出____

1 3 ? , 2 2

1?

1 1 5 ? ? , 22 32 3
_____.

1?

1 1 1 7 ? ? ? 22 32 42 4

1?
解析:

1 3 1 2 ?1 ? 1 ? 即1 ? ? 2 2 2 1?1 2 (1 ? 1)

1?

1 1 5 1 1 2? 2 ?1 ? 2 ? ,即1 ? ? ? 2 2 2 3 2 ?1 2 3 (1 ? 1) (2 ? 1) 1 1 1 2n ? 1 ? 2 ??? ? 2 2 n ?1 2 3 (n ? 1) (n∈N*)

归纳为 1?

答案 : 1 ?

1 1 1 2n ? 1 ? 2 ??? ? 2 2 n ?1 2 3 (n ? 1) (n∈N*)

8、已知 a1 ?

1 3an , an ?1 ? , 则 a2 , a3 , a4 , a5 的值分别为_____ 2 an ? 3

____,由此猜想

an ? _________.

1 3? 3a1 2 ? 3 ? 3 同理, 3.解析 : a2 ? ? a1 ? 3 1 ? 3 7 2 ? 5 2 3a2 3 3 3 3 3 3 3 a3 ? ? ? , a4 ? ? , a5 ? ? , 猜想an ? a2 ? 3 8 3 ? 5 9 4?5 10 5 ? 5 n?5

答案 :

3 3 3 3 7 、 8 、 9 、 10

3 n?5

9、用数学归纳法证明: An ? 5n ? 2 ? 3n?1 ? 1(n ? N * ) 能被 8 整除.

证:(1)当 n=1 时,A1=5+2+1=8,命题显然成立. (2)假设当 n=k 时,Ak 能被 8 整除,即 Ak ? 5k ? 2 ? 3k ?1 ? 1 是 8 的倍数. 那么: Ak ?1 ? 5
k ?1

? 2 ? 3k ? 1 ? 5(5k ? 2 ? 3k ?1 ?1) ? 4(3k ?1 ?1) ? 5 Ak ? 4(3k ?1 ?1)

因为 Ak 是 8 的倍数,3k-1+1 是偶数即 4(3k-1+1)也是 8 的倍数,所以 Ak+1 也是 8 的倍数, 即当 n=k+1 时,命题成立. 由(1)、(2)知对一切正整数 n, An 能被 8 整除.

10、用数学归纳法证明

1?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ??? 2 3 4 2n ? 1 2n n ? 1 n ? 2 2n

1 1 1 1 证明: 1?当 n=1 时,左边=1- 2 = 2 ,右边= 1 ? 1 = 2 ,所以等式成立。
2?假设当 n=k 时,等式成立,

1?


1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? ??? 2 3 4 2k ? 1 2k k ? 1 k ? 2 2k 。

那么,当 n=k+1 时,

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ? 2 3 4 2k ? 1 2k 2k ? 1 2k ? 2 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? k ?1 k ? 2 2k 2k ? 1 2k ? 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ?( ? ) 2 3 4 k ?2 k ?3 2k 2k ? 1 k ? 1 2k ? 2 1?

?

1 1 1 1 1 ? ??? ? ? k ?2 k ?3 2k 2k ? 1 2(k ? 1)

这就是说,当 n=k+1 时等式也成立。 综上所述,等式对任何自然数 n 都成立。

2n 11、.用数学归纳法证明 4 ?1 +3n+2 能被 13 整除,其中 n∈N

证明:(1)当 n=1 时,42×1+1+31+2=91 能被 13 整除 (2)假设当 n=k 时,42k+1+3k+2 能被 13 整除,则当 n=k+1 时, 42(k+1)+1+3k+3=42k+1· 42+3k+2· 3-42k+1· 3+42k+1· 3 =42k+1· 13+3· (42k+1+3k+2 )

∵ 42k+1· 13 能被 13 整除,42k+1+3k+2 能被 13 整除 ∴ 当 n=k+1 时也成立. 由①②知,当 n∈N*时,42n+1+3n+2 能被 13 整除.

12、求证:

1 1 ? ? n ?1 n ? 2

?

1 5 ? (n ? 2, n ? N ? ) 3n 6

1 1 1 1 5 ? ? ? ? 证明:(1)当 n=2 时,右边= 3 4 5 6 6 ,不等式成立. 1 1 ? ? (2)假设当 n ? k (k ? 2, k ? N ) 时命题成立,即 k ? 1 k ? 2
*

?

1 5 ? 3k 6 .

则当 n ? k ? 1 时,

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? (k ? 1) ? 1 ( k ? 1) ? 2 3k 3k ? 1 3k ? 2 3( k ? 1) 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ?( ? ? ? ) k ?1 k ? 2 3k 3k ? 1 3k ? 2 3k ? 3 k ? 1 5 1 1 1 1 ? ?( ? ? ? ) 6 3k ? 1 3k ? 2 3k ? 3 k ? 1 5 1 1 1 1 ? ?( ? ? ? ) 6 3k ? 3 3k ? 3 3k ? 3 k ? 1 5 1 1 5 ? ? (3 ? ? ) ? . 6 3k ? 3 k ? 1 6
所以则当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. 由(1) , (2)可知,原不等式对一切 n ? 2, n ? N 均成立.
*

1 1 13、已知, Sn ? 1 ? ? ? 2 3

1 ? , n ? N ? , 用数学归纳法证明: n

n ? S2n ? 1 ? (n ? 2 ,n ? N ) 2

证明:

(1)当 n=2 时,

S 22 ? 1 ?

1 1 1 13 2 ? ? ? 1? ? 1? 2 3 4 12 2 ,∴命题成立.

(2)假设当 n ? k (k ? 2, k ? N ) 时命题成立,即
*

S 2k ? 1 ?

1 1 ? ? 2 3

?

1 k ? 1? k 2 2.

则当 n ? k ? 1 时,

S2k ?1 ? 1 ?
? 1?

1 1 ? ? 2 3

?

1 1 1 ? k ? k ? k 2 2 ?1 2 ? 2

?

1 2 k ?1
? 1 2k ?1

k 1 1 1 k 1 1 ? k ? k ? ? k ?1 ? 1 ? ? k ?1 ? k ?1 ? 2 2 ?1 2 ? 2 2 2 2 2 k 1 k 1 k ?1 ? 1 ? ? 2k ? k ?1 ? 1 ? ? ? 1 ? . 2 2 2 2 2
所以则当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. 由(1) , (2)可知,原不等式对一切 n ? 2, n ? N 均成立.
*

n 2 * 14、.求证:用数学归纳法证明 2 ? 2 ? n (n ? N ) .

证明:(1) 当 n=1 时, 2 ? 2 ? 1 ,不等式成立;
1 2

当 n=2 时, 2 ? 2 ? 2 ,不等式成立;
2 2

当 n=3 时, 2 ? 2 ? 3 ,不等式成立.
3 2
k 2 (2)假设当 n ? k (k ? 3, k ? N ) 时不等式成立,即 2 ? 2 ? k .

*

则当 n ? k ? 1 时,
2

2k ?1 ? 2 ? 2(2k ? 2) ? 2 ? 2k 2 ? 2 ? (k ? 1)2 ? k 2 ? 2k ? 3 ,

∵k ? 3 ,∴k ? 2k ? 3 ? (k ? 3)(k ? 1) ? 0 ,(*) 从而 2 ∴2
k ?1 k ?1

? 2 ? (k ? 1)2 ? k 2 ? 2k ? 3 ? (k ? 1)2 ,

? 2 ? (k ? 1)2 .

即当 n ? k ? 1 时,不等式也成立.

n 2 * 由(1),(2)可知, 2 ? 2 ? n 对一切 n ? N 都成立.


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