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2011年全国高中数学联赛试题

时间:2012-02-16


2011 年全国高中数学联合竞赛一试试题(A 卷)
考试时间:2011 年 10 月 16 日 8:00—9:20 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分。把答案填在横线上.
1 . 设 集 合 A = {a1 , a 2 , a 3 , a 4 } , 若 A 中 所 有 三 元 子 集 的 三 个 元 素 之 和 组 成 的 集 合

为 B = {?1, 3, 5, 8} ,则集合 A = . 2.函数 f ( x) =
x 2 +1 的值域为 x ?1

. . .

3.设 a, b 为正实数,

1 1 + ≤ 2 2 , (a ? b) 2 = 4(ab) 3 ,则 log a b = a b

4.如果 cos 5 θ ? sin 5 θ < 7(sin 3 θ ? cos 3 θ ) , θ ∈ [0,2π ) ,那么 θ 的取值范围是

5.现安排 7 名同学去参加 5 个运动项目,要求甲、乙两同学不能参加同一个项目,每个项 目都有人参加, 每人只参加一个项目, 则满足上述要求的不同安排方案数为 . (用 数字作答) 6.在四面体 ABCD 中,已知 ∠ADB = ∠BDC = ∠CDA = 60° , AD = BD = 3 , CD = 2 ,则四面 . 体 ABCD 的外接球的半径为 7.直线 x ? 2 y ? 1 = 0 与抛物线 y 2 = 4 x 交于 A, B 两点, C 为抛物线上的一点, ∠ACB = 90° , 则点 C 的坐标为 8.已知 a n = C n ? 3 6 200 .

( )

200 ? n

? 1 ? ? (n = 1,2, L ,95) ,则数列 {a n } 中整数项的个数为 ?? ? ? ? 2?

n



二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.
9. (本小题满分 16 分)设函数 f ( x) =| lg( x + 1) | ,实数 a, b(a < b) 满足 f (a) = f (?
f (10a + 6b + 21) = 4 lg 2 ,求 a, b 的值. b +1 ), b+2

10 .( 本 小 题 满 分 20 分 ) 已 知 数 列 {a n } 满 足 : a1 = 2t ? 3 (t ∈ R 且 t ≠ ±1) ,
a n +1 = (2t n +1 ? 3)a n + 2(t ? 1)t n ? 1 a n + 2t n ? 1 (n ∈ N * ) .

(1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)若 t > 0 ,试比较 an +1 与 a n 的大小. 11. (本小题满分 20 分)作斜率为 的直线 l 与椭圆 C : 示) ,且 P(3 2 , 2 ) 在直线 l 的左上方. (1)证明:△ PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上; (2)若 ∠APB = 60° ,求△ PAB 的面积.
1 3
x2 y2 + = 1 交于 A, B 两点(如图所 36 4

y P O A x B

2011 年全国高中数学联合竞赛加试试题(A 卷)
考试时间:2011 年 10 月 16 日 9:40—12:10
(本题满分 一、 本题满分 40 分)如图,P, Q 分别是圆内接四边形 ABCD 的对角线 AC, BD 的中点.若 ( ∠BPA = ∠DPA ,证明: ∠AQB = ∠CQB . D

A

Q

P B C

(本题满分 二、 本题满分 40 分)证明:对任意整数 n ≥ 4 ,存在一个 n 次多项式 (
f ( x) = x n + a n ?1 x n ?1 + L + a1 x + a 0

具有如下性质: (1) a 0 , a1 , L , a n ?1 均为正整数; (2)对任意正整数 m ,及任意 k (k ≥ 2) 个互不相同的正整数 r1 , r2 , L , rk ,均有 f (m) ≠ f (r1 ) f (r2 ) L f (rk ) . (本题满分 三、 本题满分 50 分)设 a1 , a 2 , L , a n (n ≥ 4) 是给定的正实数, a1 < a 2 < L < a n .对任意正实 ( 数 r ,满足
a j ? ai ak ? a j = r (1 ≤ i < j < k ≤ n) 的三元数组 (i, j , k ) 的个数记为 f n (r ) .

证明: f n (r ) <

n2 . 4

(本题满分 四、 本题满分 50 分)设 A 是一个 3× 9 的方格表,在每一个小方格内各填一个正整数.称 A ( 中的一个 m × n (1 ≤ m ≤ 3, 1 ≤ n ≤ 9) 方格表为“好矩形” ,若它的所有数的和为 10 的倍数.称 A 中 的一个 1×1 的小方格为“坏格” ,若它不包含于任何一个“好矩形” .求 A 中“坏格”个数的最大 值.


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