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基本初等函数的图形及性质


初等函数
1、

幂函数

y ? x? , ?

是常数;

1.当 u 为正整数时,函数的定义域为区间 x ? (??,??) ,他们的 图形都经过原点,并当 u>1 时在原点处与 X 轴相切。且 u 为奇数 时,图形关于原点对称;u 为偶数时图形关于 Y 轴对称; 2.当 u 为

负整数时。函数的定义域为除去 x=0 的所有实数。 3.当 u 为正有理数 m/n 时,n 为偶数时函数的定义域为(0, + ? ),n 为奇数时函数的定义域为(- ? + ? )。函数的图形均经过 原点和(1 ,1). 如果 m>n 图形于 x 轴相切,如果 m<n,图形于 y 轴相切,且 m 为 偶数时,还跟 y 轴对称;m,n 均为奇数时,跟原点对称 . 4.当 u 为负有理数时,n 为偶数时,函数的定义域为大于零的一

切实数;n 为奇数时,定义域为去除 x=0 以外的一切实数.
(2)

指数函数

y ? ax

( a 是常数且 a ? 0,a ? 1 ), x ? (??,??) ;

1. 当 a>1 时函数为单调增,当 a<1 时函数为单调减. 3.当 x=0 时,y=1,所以他的图形通过(0,1)点.

2、 不论 x 为何值,y 总是正的,图形在 x 轴上方.

(3) 对数函数

y ? loga x ( a 是常数且 a ? 0,a ? 1 ), x ? (0, ??) ;

1. 他的图形为于 y 轴的右方.并通过 点(1,0) 2. 当 a>1 时在区间(0,1),y 的值为负. 图 形 位 于 x 的 下 方 , 在 区 间 (1, + ? ),y 值为正,图形位于 x 轴上方. 在定义域是单调增函数 .a<1 在实 用中很少用到。

(4) 三角函数 正弦函数
y ? sin x , x ? (??,??) , y ? [?1,1] ,

余弦函数 y ? cos x , x ? (??,??) , y ? [?1,1] ,

正切函数

y ? tan x ,

x ? k? ?

?
2 , k ? Z , y ? (??,??) ,

余切函数 y ? cot x , x ? k? , k ? Z , y ? (??,??) ;

反正弦函数

y ? arcsin x

, x ? [?1,1] ,

y ? [?

? ?

, ] 2 2 ,

反余弦函数

y ? arccos x , x ? [?1,1] , y ? [0, ? ] ,

反正切函数

y ? arctan x

, x ? (??,??) ,

y ? (?

? ?

, ) 2 2 ,

反余切函数

y ? arc cot x

, x ? (??,??) , y ? (0, ? ) .

函数名称

函数的记号

函数的图形

函数的性质 a):不论 x 为何值,y 总为正数;

指数函数 b):当 x=0 时,y=1. a):其图形总位于 y 轴右侧,并过(1,0)点 对数函数 b):当 a>1 时,在区间(0,1)的值为负;在区间 (-,+∞)的值为正;在定义域内单调增. 令 a=m/n a):当 m 为偶数 n 为奇数时,y 是偶函数; 幂函数 a 为任意实数 这里只画出部分函数 图形的一部分。 (正弦函数) 三角函数 这里只写出了正弦函 数 b):当 m,n 都是奇数时,y 是奇函数; c):当 m 奇 n 偶时,y 在(-∞,0)无意义.

a):正弦函数是以 2π 为周期的周期函数 b):正弦函数是奇函数且


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