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山东省东营市2015届高三下学期第二次模拟数学(文)试卷

时间:2016-07-25


2015 年山东省东营市高考数学二模试卷(文科)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.将正确答案填写在答题卷相应位置. 1.已知 i 是虚数单位,则 =( )

A. 1﹣2i B. 2﹣i C. 2+i D. 1+2i 2.若集合 A={x| },B={x|x <2x},则 A∩B=(
2



A. {x|0<x<1} B. {x|0≤x<1} C. {x|0<x≤1} D. {x|0≤x≤1} 3.已知α,β角的终边均在第一象限,则“α>β”是“sinα>sinβ”的( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.一个几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为( ) )

A. 4

B.

C.

D. 2

5.执行如图所示的程序框图,若输入的 x,t 均为 2,则输出的 S=(



A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6.已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6,则数列 项和为( A. ) 或 5 B. 或 5 C. D. 的前 5

7.有下列四种说法: ①命题: “? x0∈R,使得 x ﹣x>0”的否定是“? x∈R,都有 x ﹣x≤0” ; 2 ②已知随机变量 x 服从正态分布 N(1,σ ) ,P(x≤4)=0.7 9,则 P(x≤﹣2)=0.21; ③函数 f(x)=2sinxcosx﹣1, (x∈R)图象关于直线 上是增函数; ④设实数 x,y∈[0,1],则满足:x +y <1 的概率为 其中错误的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2 2 2 2

对称,且在区间



8.已知函数 f(x+1)是偶函数,当 x∈(1,+∞)时,函数 f(x)=sinx﹣x,设 a=f(﹣ ) , b=f(3) ,c=f(0) ,则 a、b、c 的大小关系为( ) A. b<a<c B. c<a<b C. b<c<a D. a<b<c 9.已知 a 是实数,则函数 f(x)=acosax﹣1 的图象不可能是( )

A.

B.

C.

D.

10.已知焦点在 x 轴上的椭圆方程为

+

=1,随着 a 的增大该椭圆的形状(



A. 越接近于圆 B. 越扁 C. 先接近于圆后越扁 D. 先越扁后接近于圆

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.已知 9 =3,lgx=a 则 x=
a



12.某单位员工按年龄分为 A,B,C 三级,其人数之比为 5:4:1,现用分层抽样的方法从 总体中抽取一个容量为 20 的样本,已知 C 组中甲、乙二人均被抽到的概率是 员工总数为 . ,则该单位

13.已知

若 f[f(x0)]=3,则 x0=



14.设 x,t 满足约束条件

,若目标函数 z=4ax+by(a>0,b>0)的最大值

为 8,则 a=

时,

+ 取得最小值.

15. 在平面直角坐标系中, O 为原点 A (﹣1, 0) ,B(0, 则| |的最大值是 .

) ,C (3,0) ,动点 D 满足|

|=1,

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.某中学将 100 名高一新生分成水平相同的甲,乙两个“平行班” ,每班 50 人.陈老师采 用 A,B 两种不同的教学方式分别在甲,乙两个班级进行教改实验.为了解教学效果,期末

考试后, 陈老师分别从两个班级中各随机抽取 20 名学生的成绩进行统计, 作出茎叶图如下,

计成绩不低于 90 分者为“成绩优秀” . (1)从乙班样本的 20 个个体中,从不低于 86 分的成绩中随机抽取 2 个,求抽出的两个均 “成绩优秀”的概率; (2)由以上统计数据填写下面 2x2 列联表,并判断是否有 90%的把握认为“成绩优秀”与 教学方式有关. 甲班(A 方式) 成绩优秀 成绩不优秀 总计 乙班(B 方式) 总计

附:K = P( (K ≥k) k
2

2

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

17.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,其中 c=2,且 (Ⅰ)求 a,b,C. (Ⅱ) 如右图,设圆 O 过 A,B,C 三点,点 P 位于劣弧 最大值.

= =



上,记∠PAB=θ,求△PAC 面积

18.如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD=DC=CB=a,∠ABC=60°,平面 ACFE⊥平面 ABCD,四 边形 ACFE 是矩形,AE=a,点 M 在线段 EF 上. (Ⅰ)求证:BC⊥平面 ACFE; (Ⅱ)当 EM 为何值时,AM∥平面 BDF?证明你的结论.

[来源:学科网 ZXXK] 19. 设公比为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 已知 a3=8, S2=48, 数列{bn}满足 bn=4log2an. (Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式; (Ⅱ)求正整数 m 的值,使得 是数列{bn}中的项.

20.设 A,B 是椭圆 W:

+

=1 上不关于坐标轴对称的两个点,直线 AB 交 x 轴于点 M(与

点 A,B 不重合) ,O 为坐标原点. (Ⅰ)如果点 M 是椭圆 W 的右焦点,线段 MB 的中点在 y 轴上,求直线 AB 的方程; (Ⅱ)设 N 为 x 轴上一点,且 B 与点 C 关 x 轴对称. ? =4,直线 AN 与椭圆 W 的另外一个交点为 C,证明:点

21.已知函数 f(x)= (Ⅰ)若 0<b<2e ,试讨论函数 f(x)在区间(﹣∞,1]上的单调性; (Ⅱ)若函数 f(x)在 x=0 处取得极值 1,求 f(x)在区间[﹣2,2]上的最大值. [来源:学§科§网]
2

2015 年山东省东营市高考数学二模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.将正确答案填写在答题卷相应位置. 1.已知 i 是虚数单位,则 =( )

A. 1﹣2i B. 2﹣i C. 2+i D. 1+2i 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 由题意,可对复数代数式分子与分母都乘以 1+i,再由进行计算即可得到答案. 解答: 解: 故选 D 点评: 本题考查复数代数形式的乘除运算,解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭,复 数的四则运算是复数考查的重要内容,要熟练掌握. 2.若集合 A={x| },B={x|x <2x},则 A∩B=(
2



A. {x|0<x<1} B. {x|0≤ x<1} C. {x|0<x≤1} D. {x|0≤x≤1} 考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 分别求解分式不等式和一元二次不等式化简集合 A 与集合 B,然后直接利用交集运 算求解. 解答: 解:由 所以{x|
2

,得 }={x|0≤x<1},

,解得 0≤x<1.

又 B={x|x <2x}={x|0<x<2}, 所以 A∩B={x|0≤x<1}∩{x|0<x<2}={x|0<x<1}. 故选 A. 点评: 本题考查了交集及其运算,考查了分式不等式及二次不等式的解法,是基础的运算 题.[来源:Z。xx。k.Com] 3.已知α,β角的终边均在第一象限,则“α>β”是“sinα>sinβ”的( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 )

考点:[来源:学科网 ZXXK] 必要条件、充分条件与充要条件的判断;正弦函数的单调性. 专题: 计算题.

分析: 取特值验证可得α>β不是 sinα>sinβ的充分条件; α>β不是 sinα>sinβ的 必要条件,所以α>β是 sinα>sinβ的即不充分也不必要条件. 解答: 解:由题意得 当α=390°,β=60°时有 sinα<sinβ 所以α>β不是 sinα>sinβ的充分条件. 当 sinα= ,sinβ= 时

因为α,β角的终边均在第一象限 所以不妨取α=60°,β=390° 所以α>β不是 sinα>sinβ的必要条件. 因此α>β是 sinα>sinβ的即不充分也不必要条件. 故选 D. 点评: 本题以判断是否是充要条件作为考查工具考查三角函数的知识点,由于本题是选择 题因此可以利用特值的方法判断.特值法是做选择题时一种快速灵活简便的方法. 4.一个几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为( )

A. 4

B.

C.

D. 2

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 首先根据三视图把平面图转换成立体图形, 进一步利用几何体的体积公式求出结果. 解答: 解:根据三视图得知:该几何体是以底面边长为 2 的正方形,高为 的四棱锥, 所以:V= = .

故选:B. 点评: 本题考查的知识要点:三视图和立体图之间的转换,几何体的体积公式的应用,主 要考查学生的空间想象能力和应用能力. 5.执行如图所示的程序框图,若输入的 x,t 均为 2,则输出的 S=( )

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 考点: 专题: 分析: 解答: 程序框图. 算法和程序框图. 根据条件,依次运 行程序,即可得到结论. 解:若 x=t=2, ,S=2+3=5,k=2, ,S=2+5=7,k=3,

则第一次循环,1≤2 成立,则 M= 第二次循环,2≤2 成立,则 M=

此时 3≤2 不成立,输出 S=7, 故选:D. 点评: 本题主要考查程序框图的识别和判断,比较基础. 6.已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6,则数列 项和为( A. ) 或 5 B. 或 5 C. D. 的前 5

考点: 等比数列的前 n 项和;等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用等比数列求和公式代入 9s3=s6 求得 q,进而根据等比数列求和公式求得数列 的前 5 项和.

解答: 解:显然 q≠1,所以 所以 是首项为 1,公比为 的等比数列,



前 5 项和



故选:C 点评: 本题主要考查等比数列前 n 项和公式及等比数列的性质,属于中等题.在进行等比 数列运算时要注意约分,降低幂的次数,同时也要注意基本量法的应用. 7.有下列四种说法: ①命题: “? x0∈R,使得 x ﹣x>0”的否定是“? x∈R,都有 x ﹣x≤0” ; 2 ②已知随机变量 x 服从正态分布 N(1,σ ) ,P(x≤4)=0.79,则 P(x≤﹣2)=0.21; ③函数 f(x)=2sinxcosx﹣1, (x∈R)图象关于直线 上是增函数; ④设实数 x,y∈[0,1],则满足:x +y <1 的概率为 其中错误的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 考点: 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义;命题的真假判断与应用. 专题: 概率与统计;简易逻辑. 分析: ①由全称命题与存在性命题的否定推断;②运用正态分布的特点可计算求得;③运 用正弦函数的对称轴方程和单调增区间判断;④由几何概率知识可得. 解答: 解:由含有一个量词的命题的否定得①显然正确; 由②可得μ=1(即平均数为 1) ,P(x≥4)=1﹣0.79=0.21, 又图象对称轴为 x=μ=1,所以 P(x≤﹣2)=P(x≥4)=0.21,故②正确; ③由于函数 f(x)=2sinxcosx﹣1, (x∈R) , 即 f(x)=sin(2x)﹣1 的对称轴为 x= 单调增区间为[kπ﹣ 且在区间 ,kπ+ , 对称,
2 2 2 2

对称,且在区间



](k∈Z) ,所以 f(x)的图象关于直线

上是增函数,故③正确;

④这是几何概率,区域 D:边长为 1 的正方形,区域 d:第一象限内的 个单位圆, 测度:面积,所以满足:x +y <1 的概率是
2 2

,故④正确.

故选:A 点评: 本题考查简易逻辑的基础知识:命题的否定,以及正弦函数的对称轴和单调区间, 几何概率问题,意在考查学生的综合运用知识的能力,是一道基础题.

8.已知函数 f(x+1)是偶函数,当 x∈(1,+∞)时,函数 f(x)=sinx﹣x,设 a=f(﹣ ) , b=f(3) ,c=f(0) ,则 a、b、c 的大小关系为( )

A. b<a<c B. c<a<b C. b<c<a D . a<b<c 考点: 函数单调性的性质;函数奇 偶性的性质;不等式比较大小. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 易得函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,且当 x∈(1,+∞)时,函数 f(x)=sinx ﹣x 单调递减,由对称性可得 a=f( ) ,c=f(2) ,由单调性可得答案. 解答: 解:∵函数 f(x+1)是偶函数, ∴函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称, 又∵当 x∈(1,+∞)时,函数 f(x)=sinx﹣x, ∴b=f(3) ,a=f(﹣ )=f( ) ,c=f(0)=f(2) , 又 x∈(1,+∞)时,f′(x)=cosx﹣1≤0, ∴当 x∈(1,+∞)时,函数 f(x)=sinx﹣x 单调递减, ∴b<a<c 故选:A 点评: 本题考查函数的单调性和对称性,涉及导数法判函数的单调性,属基础题. 9.已知 a 是实数,则函数 f(x)=acosax﹣1 的图象不可能是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用三角函数的图象和性质,通过周期和最值是否对应进行判断. 解答: 解: A. 最大值为 0<a﹣1<1, 即 1<a<2, 有可能. B.最大值为 0<a﹣1<1,即 1<a<2, ,周期 T= ,有可能. , 周期 T= ,

C.当 a=0 时,f(x)=acosax﹣1=﹣1,图象成立. D.最大值为﹣1<a﹣1<0,即 0<a<1, 周期不对应. 故选 D. ,周期 T= ,由图象可知,D 中的

点评 : 本题主要考查三角函数的图象和性质,利用三角函数的周期和最值之间的关系是否 对应是解决本题的关键.

10.已知焦点在 x 轴上的椭圆方程为

+

=1,随着 a 的增大该椭圆的形状(



A. 越接近于圆 B. 越扁 C. 先接近于圆后越扁 D. 先越扁后接近于圆 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 首先根据椭圆成立的条件求出 a 的取值范围,进一步利用函数的单调性求出椭圆中 的短轴的变化规律,最后确定结果. 解答: 解:椭圆方程 为焦点在 x 轴上的椭圆方程,

所以:

解得: 由于 a 在不断的增大,所以对函数 y=a ﹣1( 源:Z*xx*k.Com] 即短轴中的 b 在不断增大.即离心率不断减小. 所以椭圆的形状越来越接近于圆. 故选:A 点评: 本题考查的知识要点:椭圆成立的条件,椭圆中 a、b、c 的关系及函数的性质的应 用.属于基础题型.[来源:学.科.网] 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.已知 9 =3,lgx=a 则 x=
a 2 2

)为单调递增函数.[来



考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据幂的运算性质求出 a 的值,再根据对数的运算性质求出 x 的值. 解答: 解:∵9 =3, 2a ∴3 =3, ∴a= , ∵lgx=a= =lg ∴x= , 故答案为: ,
a



点评: 本题考查了幂和对数的运算性质,属于基础题. 12.某单位员工按年龄分为 A,B,C 三级,其人数之比为 5:4:1,现用分层抽样的方法从 总体中抽取一个容量为 20 的样本,已知 C 组中甲、乙二人均被抽到的概率是 ,则该单位

员工总数为 100 . [来源:Zxxk.Com] 考点: 等可能事件的概率. 专题: 概率与统计. 分析: 根据分层抽样的定义和方法,应从 C 级的人员中抽取 2 个人,设 C 级的人员共有 m 个,则由题意可得 = ,解得 m 的值,再根据总体中各层的个体数之比等于样本中对应

各层的样本数之比,求得该单位员工总数. 解答: 解:根据分层抽样的定义和方法,应从 C 级的人员中抽取 20× 从 A、B 级的人员中抽取 18 个人. 设 C 级的人员共有 m 个,则由题意可得 = ,解得 m=10. =2 个人,

设总体中员工总数为 x,则由

=

,可得 x=100,

故答案为:100. 点评: 本题主要考查分层抽样的定义和方法,利用了总体中各层的个体数之比等于样本中 对应各层的样本数之比,属于中档题.

13.已知

若 f[f(x0)]=3,则 x0=





考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 计算题. 分析: 当 x0≤0 时,由题意知 f(x0)=x0 ≥0,f[f(x0)]=﹣2sinx0 ,不可能等于 3. 当 π>x0>0 时,由题意知 f(x0)=﹣2sinx0<0,f[f(x0)]=4sin x0=3,解得 sinx0=
2 2 2



可得 x0 的值. 2 2 解答: 解:当 x0≤0 时,由题意知 f(x0)=x0 ≥0,f[f(x0)]=﹣2sinx0 ,不可能等于 3. 当π>x0>0 时,由题意知 f(x0)=﹣2sinx0<0,f[f(x0)]=4sin x0=3,∴sinx0= ∴x0= 或 ,故答案为 或 .
2



点评: 本题考查应用诱导公式化简三角函数式,要特别注意符号的选取,这是解题的易错 点.

14.设 x,t 满足约束条件

,若目标函数 z=4ax+by(a>0,b>0)的最大值

为 8,则 a=

时,

+ 取得最小值.

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用线性规划求出最优解,结合基本不等式求解即 可. 解答:[来源:Z§xx§k.Com] 解:作出不等式组对应的平面区域如图: 由 z=4ax+by 得 y=﹣ ∵a>0,b>0, ∴目标函数的斜率 k=﹣ 平移直线 y=﹣ z 最大为 8, 由 ,解得 ,即 B(1,4) , <0, x+ ,经过点 B 时,直线的截距最大,此时 x+ ,

x+ ,由图象知当直线 y=﹣

此时 4a+4b=8,即 + =1,



+ =

+ = +

+ ≥ +2

= +1= ,

当且仅当

= ,即 b=2a 时取得号,

∵4a+4b=8, ∴4a+8a=8, 解得 a= = ,

故答案为: .

点评: 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,训练了基本不等式 的应用,是中档题.

15. 在平面直角坐标系中, O 为原点 A (﹣1, 0) ,B(0, 则| |的最大值是 4 .

) ,C (3,0) ,动点 D 满足|

|=1,

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 设 D(x,y) ,由题意和两点之间的距离公式求出动点 D 的轨迹方程和轨迹,由向量 的坐标运算求出 解答: 解:设 D(x,y) , 因为 C(3,0) ,动点 D 满足|
2 2

的坐标,再判断出

的几何意义,并求出最大值.

|=1,

所以(x﹣3) +y =1, 则动点 D 的轨迹是以(3,0)为圆心、以 1 为半径的圆, 由 A(﹣1,0) ,B(0, 则 因为点(1,﹣ )得, =(x﹣1,y+ ) ,
2 2

的几何意义是点(1,﹣ )在圆外,所以 +1=4,

)到圆(x﹣3) +y =1 上的点的距离, 的最大值是:

故答案为:4. 点评: 本题考查了向量的坐标运算,两点之间的距离公式,动点的轨迹方程,以及代数式 子的几何意义,属于中档题. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.某中学将 100 名高一新生分成水平相同的甲,乙两个“平行班” ,每班 50 人.陈老师采 用 A,B 两种不同的教学方式分别在甲,乙两个班级进行教改实验.为了解教学效果,期末

考试后, 陈老师分别从两个班级中各随机抽取 20 名学生的成绩进行统计, 作出茎叶图如下,

计成绩不低于 90 分者为“成绩优秀” . (1)从乙班样本的 20 个个体中,从不低于 86 分的成绩中随机抽取 2 个,求抽出的两个均 “成绩优秀”的概率; (2)由以上统计数据填写下面 2x2 列联表,并判断是否有 90%的把握认为“成绩优秀”与 教学方式有关. 甲班(A 方式) 成绩优秀 成绩不优秀 总计 附:K = P( (K ≥k) k
2 2

乙班(B 方式)

总计

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

考点: 独立性检验的应用. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: (1)利用列举法确定基本事件的个数,由此能求出抽出的两个均“成绩优秀”的概 率; (2)由已知数据能完成 2×2 列联表,据列联表中的数据,求出 K ≈3.137>2.706,所以有 90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关. 解答: 解: (1)设“抽出的两个均“成绩优秀” “为事件 A. 从不低于 86 分的成绩中随机抽取 2 个的基本事件为(86,93) , (86,96) , (86,97) , (86, 99) (86,99) , (93,96) , (93,97) , (93,99) , (93,99) , (96,97) , (96,99) , (96, 99) , (97,99) , (97,99) , (99,99) ,共 15 个, 而事件 A 包含基本事件: (93,96) , (93,97) , (93,99) , (93,99) , (96,97) , (96,99) , (96,99) , (97,99) , (97,99) , (99,99) ,共 10 个. 所以所求概率为 P(A)= =
2

(2)由已知数据得: 甲班(A 方式) 乙班(B 方式) 总计 成绩优秀 1 5 6 成绩不优秀 19 15 34 总计 20 20 40 根据 2×2 列联表中数据,K =
2

≈3.137>2.706

所以有 90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关. 点评: 本题考查古典概型概率的求法,考查 2×2 列联表的应用,是中档题.

17.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,其中 c=2,且 (Ⅰ)求 a,b,C. (Ⅱ)如右图,设圆 O 过 A,B,C 三点,点 P 位于劣弧 大值.

= =



上,记∠PAB=θ,求△PAC 面积最

考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)由正弦定理结合已知得 sinAcosA=sinBcosB,即 sin2A=sin2B,然后根据角的 范围求得 b 的值; (Ⅱ)设∠PAB=θ( ) ,则 ,在 Rt△PAB 中,可得 PA=AB? cos ,再由θ的范 ,即 C= ,△ABC 是直角三角形,再由 = ,c=2,结合勾股定理求得 a,

θ=2cosθ,代入三角形面积公式并整理得 S△PAC= 围求得△PAC 面积最大值. 解答: 解: (Ⅰ)由正弦定理得 整理为 sinAcosA=sinBcosB,即 sin2A=sin2B, 又 0<2A,2B<2π,∴2A=2B 或 2A+2B =π,即 A=B 或 A+B= ∵ 由 ∵b= ,∴A=B 舍去,故 可知 C= . . ,

,∴△ABC 是直角三角形;
2 2 2

,c=2,又 a +b =c ,可得 a=1,b= ) ,则

; ,

(Ⅱ)设∠PAB=θ(

在 Rt△PAB 中,PA=AB? cosθ=2cosθ, ∴ =

= = ∵ 当 ,∴ ,即 . , 时,S△PAC 最大值等于 .

点评: 本题考查正弦定理和余弦定理的应用,考查了两角和与差的正弦和余弦,关键是辅 助角公式的应用,是中档题. 18.如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD=DC=CB=a,∠ABC=60°,平面 ACFE⊥平面 ABCD,四 边形 ACFE 是矩形,AE=a,点 M 在线段 EF 上. (Ⅰ)求证:BC⊥平面 ACFE; (Ⅱ)当 EM 为何值时,AM∥平面 BDF?证明你的结论.

考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 综合题. 分析: (Ⅰ)由已知,若证得 AC⊥BC,则据面面垂直的性质定理即可.转化成在平面 ABCD, 能否有 AC⊥BC,易证成立. (Ⅱ)设 AC∩BD=N,则面 AMF∩平面 BDF=FN,只需 AM∥FN 即可.而 CN:NA=1:2.故应有 EM:FM=1:2 解答: 解: (Ⅰ)在梯形 ABCD 中,∵AD=DC=CB=a,∠ABC=60° ∴四边形 ABCD 是等腰梯形, 且∠DCA=∠DAC=30°,∠DCB=120 ∴∠ACB=90,∴AC⊥BC 又∵平面 ACF⊥平面 ABCD,交线为 AC,∴BC⊥平面 ACFE.

(Ⅱ)当 EM=

时,AM∥平面 BDF.

在梯形 ABCD 中,设 AC∩BD=N,连接 FN,则 CN:NA=1:2. ∵EM= 而 EF=AC= ,∴EM:FM=1:2.∴EM∥CN,EM=CN,

∴四边形 ANFM 是平行四边形.∴AM∥NF. 又 NF? 平面 BDF,AM? 平面 BDF.∴AM∥平面 BDF. 点评: 本题考查线面位置关系及判定,考查空间想象能力,计算能力,转化能力. 19. 设公比为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 已知 a3=8, S2=48, 数列{bn}满足 bn=4log2an. (Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式; (Ⅱ)求正整数 m 的值,使得 是数列{bn}中的项.

考点: 等比数列的性质;等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)设{an}的公比为 q,由 a3=8,S2=48 求出 q 的值,进而求出首项,从而求出数 列{an}和{bn}的通项公式. (Ⅱ)化简 为 ,令 t=4﹣m(t≤3,t∈Z) ,则 化



.如果

是数列{bn}中的项,设为第 m0 项,则有

,那么

为小于等于 5 的整数,由此求得正整数 m 的值.

解答: 解: (Ⅰ)设{an}的公比为 q,则有

,解得 q= ,或 q=﹣ (舍) .





,…(4 分)

.…(6 分) 即数列{an}和{bn}的通 项公式为 , bn=﹣4n+24. [来源:学_科_网]

(Ⅱ) ∈Z) , 所以

,令 t=4﹣m(t≤3,t

,…(10 分)

如果

是数列{bn}中的项,设为第 m0 项,则有



那么

为小于等于 5 的整数, ,不合题意;

所以 t∈{﹣2,﹣1,1,2}.当 t=1 或 t=2 时, 当 t=﹣1 或 t=﹣2 时, ,符合题意.

所以,当 t=﹣1 或 t=﹣2 时,即 m=5 或 m=6 时,

是数列{bn}中的项.…(14 分)

点评: 本题主要考查等比数列的定义和性质,等比数列的通项公式,等比数列的前 n 项和 公式,属于中档题.

20.设 A,B 是椭圆 W:

+

=1 上不关于坐标轴对称的两个点,直线 AB 交 x 轴于点 M(与

点 A,B 不重合) ,O 为坐标原点. (Ⅰ)如果点 M 是椭圆 W 的右焦点,线段 MB 的中点在 y 轴上,求直线 AB 的方程; (Ⅱ)设 N 为 x 轴上一点,且 B 与点 C 关 x 轴对称. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)由已知条件推导出点 B 的坐标为(﹣1,± ) ,由此能求出直线 AB(即 MB) 的方程. (Ⅱ)设点 B 关于 x 轴的对称点为 B1(在椭圆 W 上) ,要证点 B 与点 C 关于 x 轴对称,只要 证点 B1 与点 C 重合,又因为直线 AN 与椭圆 W 的交点为 C(与点 A 不重合) ,所以只要证明点 A,N,B1 三点共线. 解答: (Ⅰ)解:椭圆 W: 因为线段 MB 的中点在 y 轴上, 所以点 B 的横坐标为﹣1, + =1 的右焦点为 M(1,0) , ? =4,直线 AN 与椭圆 W 的另外一个交点为 C,证明:点

因为点 B 在椭圆 W 上, 将 x=﹣1 代入椭圆 W 的方程,得点 B 的坐标为(﹣1,± ) . 所以直线 AB(即 MB)的方程为 3x﹣4y﹣3=0 或 3x+4y﹣3=0. (Ⅱ)证明:设点 B 关于 x 轴的对称点为 B1(在椭圆 W 上) , 要证点 B 与点 C 关于 x 轴对称, 只要证点 B1 与点 C 重合, . 又因为直线 AN 与椭圆 W 的交点为 C(与点 A 不重合) , 所以只要证明点 A,N,B1 三点共线. 以下给出证明: 由题意,设直线 AB 的方程为 y=kx+m, (k≠0) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 B1(x2,﹣y2) . 由
2 2


2

得(3+4k )x +8kmx+4m ﹣12=0, 2 2 2 所以△=(8km) ﹣4(3+4k ) (4m ﹣12)>0, , .

在 y=kx+m 中,令 y=0,得点 M 的坐标为(﹣ ,0) , 由 ,得点 N 的坐标为 N(﹣ ,0) , ,

设直线 NA,NB1 的斜率分别为 kNA,



=

=



因为 = =

=2k×(

)+(m+

) (﹣

)+8k

=

=0. 所以 ,

所以点 A,N,B1 三点共线, 即点 B 与点 C 关于 x 轴对称. 点评: 本题考查直线方程的求法,考查两点关于 x 轴对称的证明,解题时要认真审题,注 意等价转化思想的合理运用.

21.已知函数 f(x)= (Ⅰ)若 0<b<2e ,试讨论函数 f(x)在区间(﹣∞,1]上的单调性; (Ⅱ)若函数 f(x)在 x=0 处取得极值 1,求 f(x)在区间[﹣2,2]上的最大值. 考点: 分段函数的应用;函数的最值及其几何意义. 专题: 函数的性质及应用;导数的概念及应用. 分析: (Ⅰ)当 x≤1 时,f′(x)=﹣2e +b,令 f′(x)=0 得导函数有唯一零点 x=
2x 2



讨论各区间上导函数的符号,可得函数 f(x)在区间(﹣∞,1]上的单调性; (Ⅱ)根据函数 f(x)在 x=0 处取得极值 1,可求出 b,c 的值,对 a 进行分类讨论,可得 a 取不同值时,f(x)在区间[﹣2,2]上的最大值. 解答: 解: (Ⅰ)当 x≤1 时,f′(x)=﹣2e +b, 易知函数 f′(x)为(﹣∞,1]上的减函数,令 f′(x)=0 得导函数有唯一零点 x= 因为 0<b<2e ,因此 x= 负, 所以函数 f(x)在(﹣∞, )为增函数,在( ,1]为减函数;
2 2x

, ,1]为

<1,故导数值在(﹣∞,

)为正,在(

(Ⅱ)由题意当 x=0 时,f(0)=c﹣1=1, ∴c=2, 当 x<1 时,f′(x)=﹣2e +b, 依题意得 f′(0)=b﹣2=0, ∴b=2, 经检验 b=2,c=2 符合条件,因此 f(x)= 当﹣2≤x≤1 时,f(x)=﹣e +2x+2,f′(x)=﹣2e +2, 令 f′(x)=0 得 x=0 当 x 变化时,f′(x) ,f(x)的变化情况如下表: x ﹣2 (﹣2,0) 0 (0,1) 1 f′(x) + 0 ﹣ f(x) ﹣e ﹣2 递增 极大值 1 递减 4﹣e 由上表可知 f(x)在[﹣2,1]上的最大值为 1. 当 1<x≤2 时,f(x)=a(x lnx﹣x+1)+1.
2 ﹣4 2 2x 2x 2x

f′(x)=a(2xlnx+x﹣1) , 令 g(x)=2xlnx+x﹣1, 当 1<x≤2 时,显然 g(x)>0 恒成立, 当 a<0 时,f′(x)=a(2xlnx+x﹣1)<0, f(x)在(1,2]单调递减,所以 f(x)<f(1)=1 恒成立. 此时函数在[﹣2,2]上的最大值为 1; 当 a=0 时,在(1,2]上 f(x)=1, 当 a>0 时,在(1,2]上 f′(x)=a(2xlnx+x﹣1)>0 所以在(1,2]上,函数 f(x)为单调递增函数. ∴f(x)在(1,2]最大值为 a(4ln2﹣1)+1, ∵a(4ln2﹣1)+1>1,故函数 f(x)在[﹣2,2]上最大值为 a(4ln2﹣1)+1. 综上:当 a≤0 时,f(x)在[﹣2,2]上的最大值为 1; 当 a>0 时,f(x)在[﹣2,2]最大值为 a(4ln2﹣1)+1. 点评: 本题考查的知识点是分段函数的应用,导数法确定函数的单调性和最值,是分段函 数与导数的综合应用,难度较大,属于难题.


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