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高中数学学业水平测试系列训练之模块二


高中数学学业水平测试系列 训练之模块二
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把 正确答案的代号填在题后的括号内(每小题 5 分,共 50 分) .
1.若一个几何体的三视图都是等腰三角形,则这个几何体可能是 ( ) A.圆锥 B.正四棱锥 C.正三棱锥 D.正三棱台 2.球的体积与其表面积的数值相等,则球的半径等于 ( ) A.<

br />
1 2

B.1

C.2

D.3

3.已知平面α 内有无数条直线都与平面β 平行,那么 ( ) A.α ∥β B.α 与β 相交 C.α 与β 重合 D.α ∥β 或α 与β 相交 4.下列四个说法 ①a//α ,b ? α ,则 a// b ②a∩α =P,b ? α ,则 a 与 b 不平行 ③a ? α ,则 a//α ④a//α ,b //α ,则 a// b 其中错误的说法的个数是 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 5.经过点 P(?2, m) 和 Q(m,4) 的直线的斜率等于 1,则 m 的值是 ( A.4 B.1 C.1 或 3 6.直线 kx-y+1=3k,当 k 变动时,所有直线都通过定点 A.(0,0) B.(0,1) C.(3,1) 7.圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 0 的周长是
2 2



D.1 或 4 ( ) D.(2,1) ( )

A. 2 2?

B. 2?
2 2

C. 2?

D. 4? ( D. 6 )

8.直线 x-y+3=0 被圆(x+2) +(y-2) =2 截得的弦长等于 A.

6 2

B. 3

C.2 3

y 的最大值是 ( ) x 3 3 1 A. B. C. D. 3 3 2 2 10.在空间直角坐标系中,已知点 P(x,y,z) ,给出下列 4 条叙述: ①点 P 关于 x 轴的对称点的坐标是(x,-y,z) ②点 P 关于 yOz 平面的对称点的坐标是(x,-y,-z) ③点 P 关于 y 轴的对称点的坐标是(x,-y,z) ④点 P 关于原点的对称点的坐标是(-x,-y,-z) 其中正确的个数是 ( ) A.3 B.2 C.1 D.0
9.如果实数 x, y 满足等式 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 ,那么

二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 6 分,共 24 分) .
11.已知实数 x,y 满足关系: x ? y ? 2 x ? 4 y ? 20 ? 0 ,则 x ? y 的最小值
2 2 2 2



12. 一直线过点 (-3, , 4) 并且在两坐标轴上截距之和为 12, 这条直线方程是_____ _____. 2 13.一个长方体的长、宽、高之比为 2:1:3,全面积为 88cm ,则它的体积为___________.
-1-

14.在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,D1 到 B1C 的距离为_________, A 到 A1C 的距离 为_______.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76 分).
15.已知:一个圆锥的底面半径为 R,高为 H,在其中有一个高为 x 的内接圆柱. (1)求圆柱的侧面积; (2)x 为何值时,圆柱的侧面积最大.

16.如图所示,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,M、N 分别是 AB、 PC 的中点,PA=AD=a. (1)求证:MN∥平面 PAD; (2)求证:平面 PMC⊥平面 PCD.

17.过点 ?5, ? 4 作一直线 l,使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为 5.

?

?

-2-

18. 分) (12 已知一圆经过点 A (2, -3) B 和 (-2, -5) 且圆心 C 在直线 l:x ? 2 y ? 3 ? 0 , 上,求此圆的标准方程.

19. (12 分)一束光线 l 自 A(-3,3)发出,射到 x 轴上, 2 2 被 x 轴反射到⊙C:x +y -4x-4y+7=0 上. (1)求反射线通过圆心 C 时,光线 l 的方程; (2)求在 x 轴上,反射点 M 的范围.

20. (14 分)如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F分别是BB1 、CD的中点 (1)证明: AD?D1 F ; (2)求 AE与D1 F 所成的角; (3)证明: 面AED?面A1 FD1 .

-3-

高中数学学业水平测试系列训练之模块二(参考答案)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代 号填在题后的括号内(每小题 5 分,共 50 分) . CDDCB CADDC 二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 6 分,共 24 分) .
11. 30 ? 10

5;

12. x ? 3y ? 9 ? 0 或 4 x ? y ? 16 ? 0 ; 13.48cm3; 14. 6 a , 6 a;
2
3

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76 分). 15.解: (1)设内接圆柱底面半径为 r.
S圆柱侧 ? 2?r ? x ①
②代入①

?

r H ?x ? R H

?r ?

R ( H ? x) ② H

S圆柱侧 ? 2?x ?

R 2?R ( H ? x) ? ? x 2 ? Hx (0 ? x ? H ) H H

?

?

(2) S 圆柱侧

2?R ? ? x 2 ? Hx H

?

?x ?

H 时 2

S圆柱侧最大

2 2?R ? ? H? H2? ? ?? ? x ? ? ? ? H ? ? 2? 4 ? ? ? ?RH ? 2

?

16.证明:如答图所示,⑴设 PD 的中点为 E,连结 AE、NE,

// 由 N 为 PD 的中点知 EN ?

1 DC, 2
1 AB 2
P E D A M B N C

// // 又 ABCD 是矩形,∴DC ? AB,∴EN ? // 又 M 是 AB 的中点,∴EN ? AN,
∴AMNE 是平行四边形

∴MN∥AE,而 AE ? 平面 PAD,NM ? 平面 PAD ∴MN∥平面 PAD 证明:⑵∵PA=AD,∴AE⊥PD, 又∵PA⊥平面 ABCD,CD ? 平面 ABCD, ∴CD⊥PA,而 CD⊥AD,∴CD⊥平面 PAD ∴CD⊥AE, ∵PD∩CD=D,∴AE⊥平面 PCD, ∵MN∥AE,∴MN⊥平面 PCD, 又 MN ? 平面 PMC, ∴平面 PMC⊥平面 PCD. 17.分析:直线 l 应满足的两个条件是

(1)直线 l 过点(-5, -4);(2)直线 l 与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为 5.

-4-

如果设 a,b 分别表示 l 在 x 轴,y 轴上的截距,则有 这样就有如下两种不同的解题思路:

1 a ? b ? 5. 2

第一,利用条件(1)设出直线 l 的方程(点斜式),利用条件(2)确定 k ; 第二,利用条件(2)设出直线 l 的方程(截距式),结合条件(1)确定 a,b 的值. 解法一:设直线 l 的方程为

y ? 4 ? k ?x ? 5? 分别令 y ? 0,x ? 0 ,

? 5k ? 4 , b ? 5k ? 4 k ? 5k ? 4 由条件(2)得 ab ? ?10 ? ? ?5k ? 4? ? ?10 k
得 l 在 x 轴,y 轴上的截距为: a ? 得 25k
2

? 30 k ? 16 ? 0 无实数解;或 25k 2 ? 50 k ? 16 ? 0 ,解得 k1 ? 8 ,k 2 ? 2
5 5

故所求的直线方程为: 8x ? 5 y ? 20 解法二:设 l 的方程为

? 0 或 2 x ? 5 y ? 10 ? 0

x y ? ? ? 1 ,因为 l 经过点 ?? 5, 4? ,则有: a b
又? ab ?

?5 ?4 ? ? 1① a b

?10 ②

?? 5 ? b ? ?1 ? 联立①、②,得方程组 ? a b ?ab ? ?10 ?
因此,所求直线方程为: 8x ? 5 y ? 20 18.解:因为 A(2,-3) ,B(-2,-5), 所以线段 AB 的中点 D 的坐标为(0,-4) , 又 k AB

5 ? ?a ? 5 ?a ? ? 解得 ? 2 或? ?b ? ?2 ?b ? 4 ?

? 0 或 2 x ? 5 y ? 10 ? 0 .

y x-2y-3=0 O A x

?5 ? (?3) 1 ,所以线段 AB 的垂直 ? ? ?2 ? 2 2

平分线的方程是

y ? ?2 x ? 4 .
B

联立方程组 ?

? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,解得 ? x ? ?1 . ? ? y ? ?2 x ? 4 ? y ? ?2

所以,圆心坐标为 C(-1,-2),半径 r 所以,此圆的标准方程是 ( x ? 1)
2 2
2

?| CA | ? (2 ? 1) 2 ? (?3 ? 2) 2 ? 10 ,

? ( y ? 2)2 ? 10 .

19.解: ⊙C:(x-2) +(y-2) =1 (Ⅰ)C 关于 x 轴的对称点 C′(2,-2),过 A,C′的方程:x+y=0 为光线 l 的方程. (Ⅱ)A 关于 x 轴的对称点 A′(-3,-3),设过 A′的直线为 y+3=k(x+3),当该直线与⊙C 相切时, 有

2k ? 2 ? 3k ? 3 1? k
2

?1? k ?

3 4或 k? 4 3
-5-

∴ 过 A′ , ⊙ C 的 两 条 切 线 为

y?3?

4 3 ( x ? 3), y ? 3 ? ( x ? 3) 3 4

令 y=0,得

3 x1 ? ? , x2 ? 1 4
∴反射点 M 在 x 轴上的活动范围是 ?? 3 ,1?
? 4 ? ? ?
20. (1)? AC1是正方体 ? AD

? 面DC1 , 又D1 F ? 面DC1 ,? AD ? D1 F

(2) 取AB中点G,连结A1G,FG,? F是CD中点

? GF / / AD 又A1 D1 / / AD
? GF // A1 D1 ? GFD1 A1是平行四边形 ? A1G // D1 F设A1G ? AE ? H 则?AHA1是AE与D1 F所成的角? E是BB1的中点 ? Rt?A1 AG ? Rt?ABE ? ?GA1 A ? ?GAH ? ?A1 HA ? 90 ?即直线AE与D1 F所成角是直角
(3)? AD?D1 F((1) 中已证)

AE ? D1 F , 又AD ? AE ? A,? D1 F ? 面AED, 又 ? D1 F ? 面A1 FD1 , ? 面AED ? 面A1 FD1

-6-


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