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江苏省泰州市姜堰区2014-2015学年高二上学期中考试数学(理)试题

时间:2015-01-21


江苏省泰州市姜堰区 2014-2015 学年高二上学期中考试 数学(理)
(考试用时:120 分钟 注意事项: 所有试卷的答案均填写在答题纸上,答案写在试卷上无效。 满分 160 分)

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分)
1.在直角坐标系中,直线 2 x ? y ? 1 ? 0 的斜率是 2.圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 7 ? 0 的半径是 ▲ ▲ . .

3.椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点坐标为 5 4






4.抛物线 x 2 ? 4 y 的准线方程为



5.双曲线
2

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程是 16 9
2 2 2


2



6.若圆 x ? y ? 4 与圆 x ? y ? 2mx ? m ?1 ? 0 相外切,则实数 m ?



. ▲ .

7.已知点 P 为直线 x ? y ? 4 ? 0 上一动点,则 P 到坐标原点的距离的最 小值是

8.若方程

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆,则 k 的取值范围是 9 ? k k ?1
2 2 2 2





9.已知两圆 x ? y ? 10 和 ( x ?1) ? ( y ? 3) ? 10 相交于 A,B 两点,则直线 AB 的方程是





10.已知点 P 在抛物线 y 2 ? 4 x 上运动,F 为抛物线的焦点,点 M 的坐标为(3,2) ,当 PM ? PF 取最小值时, 点 P 的坐标为 ▲ .

11.已知点 P 是圆 C:x2+y 2 - 4ax - 2by -5=0(a ? 0, b ? 0) 上任意一点, 若点 P 关于直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 的 对 称点仍在圆 C 上,则

4 1 ? 的最小值是 a b





12.已知 O 为坐标原点, 点 A(2, 0) , 动点 P 与两点 O、 A 的距离之比为 1∶ 3 , 则 P 点轨迹方程是



.

2 13.设集合 M ? {( x, y ) | y ? x ? b}, N ? {( x, y ) | y ? 3 ? 4 x ? x ,当 M

N ? ? 时,则实数 b 的取值范

围是





14.已知椭圆 C:

x2 y ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别 F1 、 F2 ,过点 F1 的直线交椭圆 C 于 A, B 两点, a 2 b2
3 ,则椭圆 C 的离心率是 ▲ 5
.

2

cos ?AF2 B ? 若 AF1 ? 3F 1B ,且

二、解答题(本题共 6 小题,共 90 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16. (本小题满分 14 分)已知三点 P(5,2) 、 F1 (-6,0) 、 F2 (6,0) . (Ⅰ)求以 F 1 、 F2 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程;

[来源:学。科。网]

(Ⅱ)设点 P、 F1 、 F2 关于直线 y ? x 的对称点分别为 P? 、 F1' 、 F2' ,求以 F1' 、 F2' 为焦点且过点 P? 的双 曲线的标准方程.

17. (本题满分 14 分)某城市交通规划中,拟在以点 O 为圆心,半径为 50m 的高架圆形车道外侧 P 处开 一个出口, 以与圆形道相切的方式, 引申一条直道连接到距圆形道圆心 O 正北 250 2 m 的道路上 C 处 (如 图) ,以 O 为原点,OC 为 y 轴建立如图所示的直角坐标系,求直道 PC 所在的直线方程,并计算出口 P 的 坐标. y
[来源:学科网 ZXXK]

C

北 250 2

P O x

18. (本题满分 16 分)过点 P(–4,4)作直线 l 与圆 O: x 2 ? y 2 ? 4 相交于 A、B 两点. (Ⅰ)若直线 l 变动时,求 AB 中点 M 的轨迹方程; (Ⅱ)若直线 l 的斜率为 ?

1 ,求弦 AB 的长; 2

(Ⅲ)若一直线与圆 O 相切于点 Q 且与 x 轴的正半轴, y 轴的正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最 小时,求点 Q 的坐标. P y

?

A

M O

? ?

Q B x

19. (本题满分 16 分)在平面直角坐标系 xoy 中,抛物线 C 的顶点在原点,经过点 A(1, 2) 其焦点 F 在 x 轴 上. (Ⅰ)求抛物线 C 的标准方程; (Ⅱ)求过点 F 和 OA 的中点的直线的方程 ; (Ⅲ)设点 P(-1, m) ,过点 F 的直线交抛物线 C 于 B、D 两点,记 PB,PF,PD 的斜率分别为 k1 , k2 , k3 ,求证:

k1 ? k3 ? 2k2 .
y P · A O · F D B

x

20.(本题满分 16 分)在平面直角坐标系 xoy 中,已知定点 A(-4,0) ,B(4,0) ,动点 P 与 A、B 连线的 斜率之积为 ?

1 . 4

(Ⅰ)求点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设点 P 的轨迹与 y 轴负半轴交于 点 C,半径为 r 的圆 M 的圆心 M 在线段 AC 的垂直平分线上,且在

y 轴右侧,圆 M 被 y 轴截得弦长为 3r . ⑴求圆 M 的方程; ⑵当 r 变化时,是否存在定直线 l 与动圆 M 均相切?如果存在,求出定直线 l 的方程;如果不存 在, 说明理由.

2014-2015 学年度第一学期期中试卷

高二数学(理科)参考答案
一、填空题 1. 2 2.3 3. (?1,0) 4. y ? ?1 5. y ? ?

3 x 4

6. ?3 11. 18

7. 2 2

8. ( 1, 5)(5, 9)

9. x + 3y – 5 =0

10.(1,) 2

12. x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 ? 0 (或 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 3 ) 13. 1 ? 2 2 ? b ? 3 二、解答题 15. 解:由题意得: (1) ?

14.

2 2

?2 x ? 3 y ? 1 ? 0 ? x ? ?1 ,解得: ? ,所以 P(?1,?1) ………3 分 ? y ? ?1 ?x ? y ? 2 ? 0

因为所求直线与直线 l3 : 3x ? y ? 1 ? 0 平行,所以 k ? ?3 , 则所求直线方程为: 3x ? y ? 4 ? 0 (2)直线 MN 所在直线的斜率为: k MN ? ………………7 分

?5?2 7 ? ?1?1 2
2 7

………………10 分

因为所求直线与两点 M (1,2), N (?1,?5) 所在直线垂直,所以 k ? ? 则所求直线方程为: 2 x ? 7 y ? 9 ? 0

………………14 分

16.解: (1)由题意,可设所求椭圆的标准方程为

x2 y2 + ? 1 (a ? b ? 0) ,其半焦距 c ? 6 . a 2 b2

2a ?| PF1 | ? | PF2 | ? 112 ? 22 ? 12 ? 22 ? 6 5 ,
∴ a ? 3 5 , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 45 ? 36 ? 9 , ………………5 分

故所求椭圆的标准方程为

x2 y2 + ? 1; 45 9

………………7 分

(2)点 P(5,2) 、 F1 (-6,0) 、 F2 (6,0)关于直线 y=x 的对称点分别为:

P ?(2,5) 、 F1 ' (0,-6) 、 F2 ' (0,6)
设所求双曲线的标准方程为

………………9 分

x2 a1
2

-

y2 b1
2

? 1 (a1 ? 0, b1 ? 0) ,由题意知半焦距 c1 ? 6 ,

2a1 ? | P' F1 '| ? | P' F2 '| ? 112 ? 2 2 ? 12 ? 2 2 ? 4 5 ,
2 2 2 ∴ a1 ? 2 5 , b1 ? c1 ? a1 ? 36 ? 20 ? 16 ,

………………12 分

故所求双曲线的标准方程为

y 2 x2 – ? 1. 20 16

………………14 分 ………………2 分 ………………4 分

17. 解:圆形道的方程为 x2+y2=2500, 引伸道与北向道路的交接点 C 的坐标为(0,250 2 ), 设 CP 的方程为 y ? kx ? 250 2 ,由图可知 k ? 0 又 CP 与圆 O 相切,? O 到 CP 距离 解得 k ? ?7 ,

250 2 1? k 2

? 50 ,

? CP 的方程为 y ? ?7 x ? 250 2 ①,
又 OP ? CP ,? k OP k CP ? ?1? k OP ? ? 则 OP 的方程是: y ?

………………8 分

1 1 ? k CP 7
………………10 分 ………………13 分

1 x② 7

由①②解之得 P 点坐标 (35 2 ,5 2 )

∴引伸道在所建坐标系中的方程为 7 x ? y ? 250 2 ,出口 P 的坐标是 (35 2 ,5 2 ) ……………………14 分 18.解: (1)因为点 M 是 AB 的中点,所以 OM⊥AB, 则点 M 所在曲线是以 OP 为直径的圆,其方程为 x( x ? 4) ? y( y ? 4) ? 0 , 即 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 8 ; (2)因为直线 l 的斜率为 ? 即 x ? 2y ? 4 ? 0 , ……………………4 分

1 1 ,所以直线 l 的方程是: y ? 4 ? ? ( x ? 4) , 2 2
……………………6 分
[来源:Zxxk.Com]

设点 O 到直线 l 的距离为 d,则 d ?

4 5



所以 (

AB 2 16 4 ) ? 4 ? d 2 ? 4 ? ? ,解得: AB ? 4 5 ; 2 5 5 5

……………………10 分

(3)设切点 Q 的坐标为 ( x0 , y0 )(x0 ? 0, y0 ? 0) .则切线斜率为 ?

x0 . y0

所以切线方程为 y? y0 ? ?

x0 (x ? x 0 ) .又 x0 2 ? y0 2 ? 4 ,则 y0
……………………12 分

x0 x ? y0 y ? 4
此时,两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积 S ?
2 2

1 4 4 8 ? ? ? .……14 分 2 x0 y0 x0 y0

由 x0 ? y0 ? 4 ? 2x0 y0 知当且仅当 x0 ? y0 ? 2 时, x0 y0 有最大值. 即 S 有最小值.因此点 Q 的坐标为 ( 2, 2) . ……………………16 分

19.解: (Ⅰ)由题意可设抛物线的方程为: y 2 ? 2 px( p ? 0) , 因为抛物线经过点 A(1,2) ,所以 4 ? 2 p ,解得: p ? 2 , 则抛物线 C 的标准方程是: y 2 ? 4 x ; (Ⅱ)由(1)知:F(1,0),OA 的中点 M 的坐标为 ( ,1) , …………………………3 分

1 2



k FM ?

1? 0 ? ?2 ,所以直线 FM 的方程是: 2 x ? y ? 2 ? 0 ; 1 ?1 2

…………6 分

(Ⅲ)当直线的斜率不存在时,则 F (1,0), B(1,2), D(1,?2) 所以 k1 ?

2?m m ?2?m , k 2 ? ? , k3 ? ,则 k1 ? k3 ? 2k2 ;………………8 分 2 2 2

当直线的斜率存在时,设为 k,则直线的方程为 y ? k ( x ? 1) 设 B( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ) ,则 k1 ?

y1 ? m k ( x1 ? 1) ? m 2k ? m ? ?k? , x1 ? 1 x1 ? 1 x1 ? 1

同理可得: k3 ? k ?

2k ? m 1 1 ? ) ,所以 k1 ? k3 ? 2k ? (2k ? m)( x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1

[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

= 2k ? (2k ? m) ?

x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1

…………………12 分

? x2 y 2 ?1 ? ? 由方程组 ? 4 16 消去 y,并整理得: k 2 x 2 ? 2(k 2 ? 2) x ? k 2 ? 0 , ? y ? k ( x ? 1) ?
所以 x1 x2 ? 1 , 则 k1 ? k3 ? 2k ? (2k ? m) ?1 ? ?m ,又 k 2 ? ? 综上所述: k1 ? k3 ? 2k2 20. 解: (Ⅰ)设 P 点的坐标为(x, y),则 k PA ? …………………14 分

m ,所以 k1 ? k3 ? 2k2 , 2
………………………16 分

y y ( x ? ?4), k PB ? ( x ? 4), x?4 x?4 1 y y 1 ? ?? , 因为动点 P 与 A、B 连线的斜率之积为 ? ,所以 4 x?4 x?4 4
化简得:

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ,所以点 P 的轨迹方程为 ? ? 1 (x≠±4) …………6 分 16 4 16 4
……………8 分

[来源:Z*xx*k.Com]

(Ⅱ) (1)由题意知:C(0,– 2),A(–4,0), 所以线段 AC 的垂直平分线方程为 y=2x+3,

设 M(a, 2a+3)(a>0),则⊙M 的方程为 ( x ? a) 2 ? ( y ? 2a ? 3) 2 ? r 2 , 因为圆心 M 到 y 轴的距离 d=a,由 r 2 ? d 2 ? (

r 3r 2 ) ,得: a ? ,…………10 分 2 2

所以圆 M 的方程为 ( x ? ) ? ( y ? r ? 3) ? r 。……………………………………11 分
2 2

r 2

(2)假设存在定直线 l 与动圆 M 均相切, 当定直线 l 的斜率不存在时,不合题意, 当定直线 l 的斜率存在时,设直线 l:y=kx+b,

……………………12 分



|k?

r ?r ?3?b | 2 ? r 对任意 r>0 恒成立, 2 1? k
r ? r ? 3 ? b |? r 1 ? k 2 ,得: 2
………………14 分

由| k ?

k ( ? 1) 2 r 2 ? (k ? 2)( b ? 3)r ? (b ? 3) 2 ? (1 ? k 2 )r 2 , 2

? k 2 2 ?( 2 ? 1) ? 1 ? k 4 ? ? ?k ? 0 ? k ? ? 所以 ?( k ? 2)(b ? 3) ? 0 ,解得: ? 或? 3, ?b ? 3 ?b ? 3 ?(b ? 3) 2 ? 0 ? ? ?
所以存在两条直线 y=3 和 4x+3y – 9=0 与动圆 M 均相切 ………………16 分


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