2013理科二模-上海市嘉定长宁区高三数学

2013 年上海市 17 区县高三数学二模真题系列卷——嘉定长宁区数学（理科）

2013 年上海市嘉定、长宁区高三年级二模试卷——数学（理科）
2013 年 4 月 （考试时间 120 分钟，满分 150 分）
一．填空题（本大题满分 56 分，共 14 小题，每小题 4 分） 1．函数 f ( x) ? sin( 2 x ?

?
3

) 的最小正周期是__________．

2．若关于 x 的不等式 2 x 2 ? 3 x ? a ? 0 的解集为 ( m , 1 ) ，则实数 m ? _________． 3． （理）已知集合 A ? ?? 1,0, a?, B ? x 1 ? 3 x ? 3 ，若 A ? B ? ? ，则实数 a 的取值范围是 4．已知复数 z 满足

?

?

．

i z ?1

＝3，则复数 z 的实部与虚部之和__________．
开始

1 2 2013 5．求值： 1 ? 2C2013 ? 4C2013 ? ? ? (?2) 2013 C2013 ? ___________．

6．已知向量 a ? (?2,2), b ? (5, k ).若 | a ? b | 不超过 5，则 k 的取值 范围是____________．

k ?1

ax
7．设 a ? 0, a ? 1 ，行列式 D ? 2

1 0 4

3 1 中第 3 行第 2 列的代 ?3

k 2 ? 6k ? 5 ? 0
是 输出 k

否

k ? k ?1

2

数余子式记作 y ，函数 y ? f ? x ? 的反函数图像经过点 ?2,1? ，则

a?

．
结束

8． （理）如图是一个算法框图，则输出的 k 的值是 _______． 9 ．（ 理 ） 已 知

cos(? ? ? ) ?

3 5

, sin ? ? ?

5 13

， 且

理第 8 题

? ? ? ? (0, ), ? ? (? ,0) ，则 sin ? ? ______ ．
2 2
10． （理）设函数 f ( x) ? ?

? 1 ? x 2 , x ? [?1,0) ? ? 1 ? x, x ? [0,1] ?

，则将 y ? f (x) 的曲线绕 x 轴旋转一周所得几何体的体积为

____________． 11． （理）抛掷一枚质 地均匀的骰子，记向上的点数是偶数的事件为 A ，向上的点数大于 2 且小于或等于 5 的事件为 B ，则事件 A ? B 的概率 P ( A ? B ) ? ____________．

? 1 ( x ? 1) ? 12． （理）设定义域为 R 的函数 f ( x) ? ? | x ? 1 | ，若关于 x 的方程 ? 1( x ? 1) ?
2 2 f 2 ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 有三个不同的实数解 x1 , x 2 , x3 ，则 x12 ? x 2 ? x3 ? ____________．

13.（理）函数 f ( x) ?

( x ? 1) 2 ? sin x x2 ?1

的最大值和最小值分别为 M , m ，则 M ? m ? ______．

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14． （理）设 S n 为数列 ?a n ? 的前 n 项和，若不等式 a ?
2 n

2 Sn

n

2

? ma12 对任意等差数列 ?a n ? 及任意正整数 n 都

成立，则实数 m 的最大值为 _______ . 二．选择题（本大题满分 20 分，共 4 小题，每小题 5 分）
??? ??? ? ? 15. 已知 A ( a1 , b1 ) ， B ( a 2 , b2 ) 是坐标平面上不与原点重合的两个点，则 OA ? OB 的充要条件是
A．

b1 b2 ? ? ?1 a1 a 2

B. a1 a 2 ? b1b2 ? 0

C.

a1 a2

?

b1 b2

D. a1b2 ? a 2 b1

16.（理）关于直线， m 及平面 α，β，下列命题中正确的是 A．若 l // ? , ? ? ? ? m, 则 l // m C．若 l // ? , m // ? , 则 l // m 17. 过点 P (1,1) 作直线与双曲线 x ?
2

（

）

B．若 l ? ? , l // ? , 则 ? ? ? D．若 l // ? , m ? l ，则 m ? ?

y2 2

? 1 交于 A、B 两点，使点 P 为 AB 中点，则这样的直线
B．存在无数条 D．不存在

A．存在一条，且方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 C．存在两条，方程为 2 x ? ? y ? 1? ? 0

18. （理）已知 a ? 0 且 a ? 1 ，函数 f ( x) ? log a ( x ? 则函数 g ( x) ? log a | x | ?b 的图象是

x 2 ? b ) 在区间 (??,??) 上既是奇函数又是增函数，
( )

三．解答题（本大题满分 74 分，共 5 小题） 19. （理） （本题满分 12 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分） 如图：已知 AB ? 平面 BCD ， BC ? CD ， AD 与平面 BCD 所成的角为 30? ， 且 AB ? BC ? 2 ． （1）求 AD 与平面 ABC 所成角的大小； （2）求点 B 到平面 ACD 的距离． C D B A

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20. （本题满分 12 分， 第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分） 在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对应的边 a ， b ， c 成等比数列． （1）求证： 0 ? B ? （2）求 y ?

?

； 的取值范围．

3 1 ? sin 2 B

sin B ? cos B

21.（本题满分 14 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 10 分） 设函数 f ( x) ? a ? (k ? 1)a
x ?x

(a ? 0且a ? 1) 是定义域为 R 的奇函数．
2x

（1）求 k 的值； （2） （理）若 f (1) ?

3 2

，且 g ( x) ? a

? a ?2 x ? 2m ? f ( x) 在 [1 , ? ?) 上的最小值为 ? 2 ，求 m 的值．

22.（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 8 分，第 3 小题 满分 6 分） 如图，已知点 F (0 , 1) ，直线 m ： y ? ?1 ， P 为平面上的动点，过

y

F O x

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 点 P 作 m 的垂线，垂足为点 Q ，且 QP ? QF ? FP ? FQ ．
（1）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （2） （理）过轨迹 C 的准线与 y 轴的交点 M 作直线 m? 与轨迹 C 交于

m

不同两点 A 、 B ，且线段 AB 的垂直平分线与 y 轴的交点为 D (0 , y 0 ) ，求 y0 的取值范围； （3） （理）对于（2）中的点 A 、 B ，在 y 轴上是否存在一点 D ，使得△ ABD 为等边三角形？若存在， 求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由．

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23． （本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 8 分，第 3 小题 6 分） （理）已知三个互不相等的正数 a ，b ， c 成等比数列，公比为 q ．在 a ，b 之间和 b ，c 之间共插入 n 个数，使这 n ? 3 个数构成等差数列． （1）若 a ? 1 ，在 b ， c 之间插入一个数，求 q 的值； （2）设 a ? b ? c ， n ? 4 ，问在 a ， b 之间和 b ， c 之间各插入几个数，请说明理由； （3）若插入的 n 个数中，有 s 个位于 a ， b 之间，个位于 b ， c 之间，试比较 s 与的大小．

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上海市嘉定长宁区 2013 年高考二模数学试题（理科） 参考答案
一、填空题（每小题 4 分，共 56 分） 1． ? 2。

1 2

3。 （理） (0 , 1)

4。

4 3

5。 ? 1

6. [?2 , 6]

7。 4

8． （理） 6 11． （理）

9。 （理）

33 65

10 。 （理） ? 13。 （理） 2 14． （理）

5 6

12。 （理） 5

1 5

二、选择题（每小题 5 分，共 20 分） 15．B 16。B 17。D 18。 （理）A （

三、解答题 19． （本题满分 12 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分） （理）解： （1）因为 AB ? 平面 BCD ，所以 AB ? CD ，又 BC ? CD ，所以 CD ? 平面 ABC ， ?DAC 就是 AD 与平面 ABC 所成的角． ………………2 分 因为 AB ? 平面 BCD ， AD 与平面 BCD 所成的角为 30? ，故 ?ADB ? 30? ， 由 AB ? BC ? 2 ，得 AD ? 4 ， AC ? 2 2 ， 所以 cos ?DAC ? ………………4 分

AC AD

?

2 2

， ………………6 分

所以 AD 与平面 ABC 所成角的大小为 45? ．

（2）设点 B 到平面 ACD 的距离为 d ，由（1）可得 BD ? 2 3 ， CD ? 2 2 ， 则 V A? BCD ?

1 3

S ?BCD ? AB ?

1 6

? BC ? CD ? AB ?

4 2 3

，………………8 分

V B ? ACD ?

1 3

S ?ACD ? d ?

1 6

? AC ? CD ? d ?

4 3

d ．………………10 分

由 V A? BCD ? V B ? ACD ，得 d ?

2．

所以点 B 到平面 ACD 的距离为 2 ．………………12 分

（文）解： （1）由题意 S表 ? 2? ? 2 ? ?? ? 2 ? AA1 ? 24? ，解得 AA1 ? 4 .
2

………………2 分

在△ AOP 中， OA ? OP ? 2, ?AOP ? 120 ，所以 AP ? 2 3 ．
0

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在△ BOP 中， OB ? OP ? 2, ?BOP ? 60 ，所以 BP ? 2 ．
0

………………4 分

所以 VA1 ? APB ?

1 3

S ?APB ? AA1 ?

1 1 8 3 ． ? ?2 3 ?2?4 ? 3 2 3

………………6 分

（2）取 AA1 中点 Q ，连接 OQ ， PQ ，则 OQ // A1 B ， 得 ?POQ 或它的补角为异面直线 A1 B 与 OP 所成的角. 又 AP ? 2 3 ， AQ ? AO ? 2 ，得 OQ ? 2 2 ， PQ ? 4 ， 由余弦定理得 cos ?POQ ? ………………8 分

PO 2 ? OQ 2 ? PQ 2 2 PO ? OQ

??

2 4
2

，

………………10 分

所以异面直线 A1 B 与 OP 所成角的大小为 arc cos

．

………………12 分

4

20． （本题满分 12 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分） 解： （1）由已知， b 2 ? ac ，所以由余弦定理， 得 cos B ?

a2 ? c2 ? b2 2ac

?

a 2 ? c 2 ? ac 2ac

………………2 分

由基本不等式 a 2 ? c 2 ? 2ac ，得 cos B ? 所以 cos B ? ?

2ac ? ac 2ac

?

1 2

．………………4 分

? ?1 ? , 1? ．因此， 0 ? B ? ．………………6 分 3 ?2 ?
? (sin B ? cos B ) 2 sin B ? cos B

（2） y ?

1 ? sin 2 B sin B ? cos B

?? ? ? sin B ? cos B ? 2 sin ? B ? ? ， 4? ?
………………9 分 ，所以 sin ? B ?

由（1） 0 ? B ? ， 所以， y ?

?
3

，所以

?
4

? B?

?
4

?

7? 12

? ?

??

1 ? sin 2 B sin B ? cos B

的 取值范围是 1 ,

?

2 ．

?

? 2 ? , 1? ， ??? 4? ? 2 ? ?

………………12 分

21． （本题满分 14 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 10 分） （理）解： （1）由题意，对任意 x ? R ， f (? x) ? ? f ( x) ， 即a
?x

? (k ? 1)a x ? ? a x ? (k ? 1)a ? x ，
x ?x

………………2 分

即 (k ? 1)(a ? a

) ? (a x ? a ? x ) ? 0 ， (k ? 2)(a x ? a ? x ) ? 0 ，
………………4 分

因为 x 为任意实数，所以 k ? 2 ．

解法二：因为 f (x) 是定义域为 R 的奇函数，所以 f (0) ? 0 ，即 1 ? (k ? 1) ? 0 ， k ? 2 ．

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当 k ? 2 时， f ( x) ? a ? a
x

?x

， f (? x) ? a

?x

? a x ? ? f ( x) ， f (x) 是奇函数．
………………4 分

所以 k 的值为 2 ． （2）由（1） f ( x) ? a ? a
x ?x

，因为 f (1) ?

3 2

，所以 a ?

1 a

?

3 2

，

解得 a ? 2 ． 故 f ( x) ? 2 ? 2
x ?x

………………6 分 ， g ( x) ? 2
2x

? 2 ?2 x ? 2m(2 x ? 2 ? x ) ，
?3 ? , ? ?? ， ?2 ?

令 t ? 2 x ? 2 ? x ，则 2 2 x ? 2 ?2 x ? t 2 ? 2 ，由 x ? [1 , ? ?) ，得 t ? ? 所以 g ( x) ? h(t ) ? t ? 2mt ? 2 ? (t ? m) ? 2 ? m ， t ? ?
2 2 2

?3 ? , ? ?? ?2 ?

………………9 分 当m ?

3 2

时， h(t ) 在 ?

9 ?3 ? ?3? , ? ? ? 上是增函数，则 h? ? ? ?2 ， ? 3m ? 2 ? ?2 ， 4 ?2 ? ?2?
………………11 分

解得 m ? 当m ?

25 12

（舍去） ．

3 2

时，则 f (m) ? ?2 ， 2 ? m 2 ? ?2 ，解得 m ? 2 ，或 m ? ?2 （舍去） ． ………………13 分 ………………14 分
?x

综上， m 的值是 2 ．

（文）解： （1）由题意，对任意 x ? R ， f (? x) ? ? f ( x) ，即 a

? (k ? 1)a x ? ? a x ? (k ? 1)a ? x ，

………………2 分 即 (k ? 1)(a ? a
x ?x

) ? (a x ? a ? x ) ? 0 ， (k ? 2)(a x ? a ? x ) ? 0 ，
………………4 分

因为 x 为任意实数，所以 k ? 2 ．

解法二：因为 f (x) 是定义域为 R 的奇函数，所以 f (0) ? 0 ，即 1 ? (k ? 1) ? 0 ， k ? 2 ．
x ?x ?x x 当 k ? 2 时， f ( x) ? a ? a ， f (? x) ? a ? a ? ? f ( x) ， f (x) 是奇函数．

所以 k 的值为 2 ． （2）由（1）知 f ( x) ? a ? a
x ?x

………………4 分 ，由 f (1) ? 0 ，得 a ?

1 a

? 0 ，解得 0 ? a ? 1 ．
………………6 分

x ?x x ?x 当 0 ? a ? 1 时， y ? a 是减函数， y ? ? a 也是减函数，所以 f ( x) ? a ? a 是减函数．

………………7 分 由 f ( x ? tx ) ? f (4 ? x) ? 0 ，所以 f ( x ? tx ) ? ? f (4 ? x) ，………………8 分
2 2

因为 f (x) 是奇函数，所以 f ( x ? tx ) ? f ( x ? 4) ．
2

………………9 分

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因 为 f (x) 是 R 上 的 减 函 数 ， 所 以 x 2 ? tx ? x ? 4 即 x ? (t ? 1) x ? 4 ? 0 对 任 意 x ? R 成
2

立， 所以△ ? (t ? 1) ? 16 ? 0 ，
2

………………11 分 ………………12 分 ………………13 分 ………………14 分

解得 ? 3 ? t ? 5 ． 所以，的取值范围是 (?3 , 5) ．

22． （本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 8 分，第 3 小题满分 6 分） （理）解： （1）设 P ( x , y ) ，由题意， Q ( x , ? 1) ， QP ? (0 , y ? 1) ， QF ? (? x , 2) ，

FP ? ( x , y ? 1) ， FQ ? ( x , ? 2) ，
由 QP ? QF ? FP ? FQ ，得 2( y ? 1) ? x ? 2( y ? 1) ，
2

………………2 分

化简得 x ? 4 y ．所以，动点 P 的轨迹 C 的方程为 x ? 4 y ．
2 2

………………4 分 ………………6 分

（2）轨迹 C 为抛物线，准线方程为 y ? ?1 ， 即直线 m ，所以 M (0 , ? 1) ， 设直线 m ? 的方程为 y ? kx ? 1 （ k ? 0 ） ，由 ? 由△ ? 16k 2 ? 16 ? 0 ，得 k 2 ? 1 ． 设 A( x1 , y1 ) ， B ( x 2 , y 2 ) ，则 x1 ? x 2 ? 4k ， 所以线段 AB 的中点为 (2k , 2k ? 1) ，
2 2

? y ? kx ? 1 , ?x ? 4 y ，
2

得 x 2 ? 4kx ? 4 ? 0 ， ………………8 分 ………………9 分 ………………11 分 ………………12 分

所以线段 AB 垂直平分线的方程为 ( x ? 2k ) ? k[ y ? (2k ? 1)] ? 0 ，………………10 分 令 x ? 0 ，得 y 0 ? 2k 2 ? 1 ． 因为 k 2 ? 1 ，所以 y 0 ? (3 , ? ?) ． （3）由（2） x1 ? x 2 ? 4k ， x1 x 2 ? 4 ，所以 | AB |? ，

( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2

?

(1 ? k 2 )( x1 ? x 2 ) 2 ?

(1 ? k 2 )[( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] ? (1 ? k 2 )(16k 2 ? 16)
………………14 分

? 4 (k 2 ? 1)(k 2 ? 1) ．
假设存在点 D (0 , y 0 ) ，使得△ ABD 为等边三角形， 则 D 到直线 AB 的距离 d ?
2

3 2

| AB | ．

………………15 分

因为 D (0 , 2k ? 1) ，所以 d ?
2 2

| y0 ? 1 | 1? k
2
2

?

2(k 2 ? 1) k ?1
2

? 2 k 2 ? 1 ，………………16 分
4 3
………………18 分 ． ………………17 分

所以 2 k ? 1 ? 2 3 k ? 1 ? k ? 1 ，解得 k 2 ? 所以，存在点 D? 0 ,

? ?

11 ? ? ，使得△ ABD 为等边三角形． 3?

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（文） （1）设 P ( x , y ) ，由题意， Q ( x , ? 1) ， QP ? (0 , y ? 1) ， QF ? (? x , 2) ，

FP ? ( x , y ? 1) ， FQ ? ( x , ? 2) ，
由 QP ? QF ? FP ? FQ ，得 2( y ? 1) ? x 2 ? 2( y ? 1) ，

………………2 分

化简得 x ? 4 y ．所以，动点 P 的轨迹 C 的方程为 x ? 4 y ．………………4 分
2 2

（2）轨迹 C 为抛物线，准线方程为 y ? ?1 ，即直线 m ，所以 M (0 , ? 1) ，……………5 分 当 a ? 0 时，直线 m ? 的方程为 x ? 0 ，与曲线 C 只有一个公共点，故 a ? 0 ．…………6 分 所以直线 m ? 的方程为

? x ? ay ? a , 2 2 2 2 得 a y ? (2a ? 4) y ? a ? 0 ， ? y ? 1 ，由 ? 2 a ?x ? 4 y ，
x
4

由△ ? 4(a ? 2) ? 4a ? 0 ，得 0 ? a 2 ? 1 ．
2 2

………………8 分

设 A( x1 , y1 ) ， B ( x 2 , y 2 ) ，则 y1 ? y 2 ? 所以 x1 ? x 2 ?

4 a2

? 2 ， y1 y 2 ? 1 ，
………………9 分

4 a

， x1 x 2 ? 4 ，

若 FA ? FB ，则 FA ? FB ? 0 ，即 ( x1 , y1 ? 1) ? ( x 2 , y 2 ? 1) ? 0 ，

? 4 ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? ( y1 ? y 2 ) ? 1 ? 0 ， 4 ? 1 ? ? 2 ? 2 ? ? 1 ? 0 ， ?a ?
解得 a 2 ?

………………11 分

1 2

．所以 a ? ?

2 2

．

………………12 分

（3）由（2） ，得线段 AB 的中点为 ? 以 线 段

? ?2 2 ? , 2 ?1? ，线段 AB 的垂直平分线的一个法向量为 n ? (a , 1) ，所 ?a a ?
垂 直 平 分 线 的 方 程 为

AB

的

2? ? 2 ? ? a? x ? ? ? ? y ? 2 ? 1? ? 0 ， a? ? a ? ?
令 x ? 0 ， y0 ?

………………15 分

2 a2

? 1， 2 a2 ?1 ? 3．

………………16 分

因为 0 ? a 2 ? 1 ，所以

所以 y 0 的取值范围是 (3 , ? ?) ．

… ……………18 分

23． （本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 8 分，第 3 小题 6 分）

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（理）解： （1）因为 a ， b ， c 是互不相等的正数，所以 q ? 0 且 q ? 1 ． 由已知， a ， b ， c 是首项为，公比为 q 的等比数列，则 b ? q ， c ? q ，…2 分
2

当插入的一个数位于 b ， c 之间， 设由 4 个数构成的等差数列的公差为 d ，则 ?

?q ? 1 ? d
2 ?q ? 1 ? 3d

，消去 d 得

2q 2 ? 3q ? 2 ? 0 ，
因为 q ? 1 ，所以 q ? 2 ． ………………4 分

（2）设所构成的等差数列的公差为 d ，由题意， d ? 0 ，共插入 4 个数． ………………5 分 若在 a ， b 之间插入个数，在 b ， c 之间插入 3 个数，则 ? 于是

?b ? a ? 2d ?c ? b ? 4d

，

b?a 2

?

c?b 4

， 2b ? 2a ? c ? b ， q ? 3q ? 2 ? 0 ，解得 q ? 2 ．………………7 分
2

若在 a ， b 之间插入 3 个数，在 b ， c 之间插入个数，则 ? 于是

?b ? a ? 4d ?c ? b ? 2d

，

b?a 4

2 ?b ? a ? 3d 若 a ， b 之间和 b ， c 之间各插入 2 个数，则 ? ，b ? a ? c ? b， ?c ? b ? 3d 解得 q ? 1 （不合题意，舍去） ………………11 分 综上， a ， b 之间插入个数，在 b ， c 之间插入 3 个数． ………………12 分
（3）设所构成的等差数列的公差为 d ， 由题意， b ? a ? ( s ? 1)d ， d ? 所以

?

c?b 2

， 2c ? 2b ? b ? a 解得 q ?

1

（不合题意，舍去） ………………9 分 ．

b?a

? q ．………………16 分 s ?1 t ?1 s ?1 t ?1 s ?1 所以，当 q ? 1 ，即 a ? b ? c 时， s ? t ；当 0 ? q ? 1 ，即 a ? b ? c 时， s ? t ．
，即 ，因为 q ? 1 ，所以 ………………18 分 （文） （1）当 n ? 1 时，由已知 a1 ? 2(a1 ? 1) ，得 a1 ? 2 ． 当 n ? 2 时，由 S n ? 2(a n ? 1) ， S n ?1 ? 2(a n ?1 ? 1) ，两式相减得 a n ? 2a n ? 2a n ?1 ， 即 a n ? 2a n ?1 ，所以 {a n } 是首项为 2 ，公比为 2 的等比数列． 所以， a n ? 2 n （ n ? N * ） ． （2）由题意， a n ?1 ? a n ? (n ? 1)d ，故 d ? ………………4 分

b?a

?

c?b

q ?1

?

s ?1 q (q ? 1)

，又 c ? b ? (t ? 1)d ， d ?

b?c t ?1

，…………14 分

t ?1

a n ?1 ? a n n ?1

，即 d ?

2n n ?1

，………………6 分

因为 3 ? d ? 4 ，所以 3 ?

2n n ?1

? 4 ，即 3n ? 3 ? 2 n ? 4n ? 4 ，解得 n ? 4 ，…………8 分

嘉定、长宁区 2013 高三数学二模(理科)

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2013 年上海市 17 区县高三数学二模真题系列卷——嘉定长宁区数学（理科）

所以 d ?

16 5

．所以所得等差数列首项为 16 ，公差为

16 3

，共有 6 项．………………10 分 ………………11 分 ………………12 分

所以这个等差数列所有项的和 T ? 所以， n ? 4 ， T ? 144 ．

6 ? (16 ? 32) 2

? 144 ．

（3）由（1）知 f (n) ? 2 n ，所以 c n ? n ? f (n ? log

2

m) ? n ? 2

n?log

2

m

? n ? 2 n?log 2 m

2

? n ? 2 2 n?log 2 m ? n ? (2 log 2 m ) 2 n ? n ? m 2 n ．………………14 分
由题意， c n ?1 ? c n ，即 (n ? 1) ? m 所以 m 2 ?
2n?2

? n ? m 2 n 对任意 n ? N * 成立，

n n ?1

? 1?
1 n ?1

1 n ?1

对任意 n ? N * 成立．………………16 分

因为 g (n) ? 1 ? 所以 m 2 ?

在 n ? N * 上是单调递增的，所以 g (n) 的最小值为 g (1) ?

1 2

．

1 2

．由 m ? 0 得 m 的取值范围是 ? 0 ,

? ? ?

2? ?． 2 ? ?
………………18 分

所以，当 m ? ? 0 ,

? ? ?

2? ? 时，数列 {c n } 是单调递减数列． 2 ? ?

嘉定、长宁区 2013 高三数学二模(理科)

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