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2014届高三数学第一轮复习数列专题(三)


2014 届高三数学第一轮复习数列专题(三)
数列通项的求法 方法 1:观察法 例 1.下列公式可作为数列 ? an ? :1,2,1,2,1,2,…的通项公式的是 A.an=1 变式训练: 2 3 4 5 1.数列 1, , , , …的一个通项公式是 3 5 7 9 n A.an= 2n+1 n B.an= 2n-1 ( ) n D.an= 2n+3 ?-1?n+1

B.an= 2 nπ C.an=2-?sin 2 ? ? ? ( )


?-1?n 1+3 D.an= 2

n C.an= 2n-3

2. 数列 ? an ? 中的项为:0,1,0,1,…,则{an}的一个通项公式为________.
? ?0?n为奇数?, ? 1+?-1?n 1+cos nπ? 答案:an=? 或an= 或an= 2 2 ? ? ?1?n为偶数?. ?

3.写出下面数列的一个通项公式. (1)3,5,7,9,…; an=2n+1

2n-1 1 3 7 15 31 (2) , , , , ,…;an= n . 2 4 8 16 32 2 1 (3)3,33,333,3 333,…;an= (10n-1) 3

?-n,n为正奇数, 3 1 3 1 3 (4)-1, ,- , ,- , ,…. a =? 2 3 4 5 6 3 ?n,n为正偶数.
1
n

方法 2:利用 an 与 S n 的关系求数列的通项公式.

方法点拨: an ? ?

(n ? 1) ? S1 ? Sn ? Sn ?1 (n ? 2)
2

例 2.设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ? 2n ,求数列 {a n } 的通项公式.

例 3.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? 3 ? 2 , 求数列 ?an ? 的通项公式.
n

1

例 4.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , S n

? a ? 1? ? n
4

2

? an ? 0 ? ,求数列 ?an ? 的通项 an .

an ? 2n ? 1

例 5.(2007 年福建文 21) .数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1, an ?1 ? 2Sn (n ? N *) . (1)求数列 {an } 的通项 an ; (2)求数列 {nan } 的前 n 项和 Tn 。 解: (1)? an ?1 ? 2Sn ,? Sn ?1 ? 3S n ,?

Sn ?1 ? 3? S1 ? a1 ? 1 Sn
n ?1

数列 {S n } 是首项为1,公比为3的等比数列: Sn ? 3 当 n ? 2 时, an ? 2Sn ?1 ? 2 ? 3
n?2

(n ? N *)

1, n ? 1 (n ? 2),? an ? { n ? 2 2?3 , n ? 2
, n ? 1 时 , T1 ? 1 ; 当 n ? 2 时 , 当

? a 3 ( 2 ) ?Tn ? a1 ? 2a 2 3 ? ? nan
? Tn ? 1 ? 4 0 3 ? 61 ? n ? n2 ? ? ?3 2

3

,

3Tn ? 3 ? 4 ? 31 ? 6 ? 32 ? ?2n3n ?1 , ??2Tn ? ?2 ? 4 ? 2(31 ? 32 ? ?3n ?2 ) ? 2n ? 3n ?1 ? ?1 ? (1 ? 2n)3n ?1

1 1 ? (n ? )3n?1 (n ? 2) 2 2 1 1 ?Tn ? ? (n ? )3n ?1 (n ? N *) 2 2 ?Tn ?
变式训练:

, 又 当

n ?1 时 , 上 式 也 成 立 。

4.设数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n ,则 a8 的值为( )
2

(A) 15

(B) 16
2

(C)

49

(D)64 )

5.已知数列 ? an ? 的前 n 项和 Sn ? n ? 9n ,第 k 项满足 5 ? ak ? 8 ,则 k ? ( A. 9 B. 8 C. 7 D. 6

6. 2012 高考全国文 6】 【 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,a1 ? 1 ,Sn ? 2an?1 ,则 S n ?(B ) , (A) 2
n ?1

(B) ( )
2

3 2

n ?1

(C) ( )

2 3

n ?1

(D)

1 2 n ?1
.

7.若数列 ? an ? 的前 n 项和 S n ? n ? 10n ( n ? 1, 2,3, ??? ) ,则此数列的通项公式为
2

8.(2009 浙江文)设 S n 为数列 {an } 的前 n 项和, Sn ? kn ? n , n ? N * ,其中 k 是常数.
2

(I) 求 a1 及 an ;
*

a1 ? k ? 1, an ? 2kn ? k ? 1

(II)若对于任意的 m ? N , am , a2m , a4m 成等比数列,求 k 的值. k ? 0 或 k ? 1 9.已知点(1, )是函数 f ( x) ? a (a ? 0, 且 a ? 1)的图象上一点,等比数列 {a n } 的前 n
x

1 3

项 和 为 f (n) ? c , 数 列 {bn } (bn ? 0) 的 首 项 为 c , 且 前 n 项 和 S n 满 足 S n -

S n?1 = S n + S n ?1 ( n ? 2 ).
(1)求数列 {a n } 和 {bn } 的通项公式;

?1? an ? ?2 ? ? ; bn ? 2n ? 1 ?3?
112

n

(2)若数列{

1 1000 的最小正整数 n 是多少? } 前 n 项和为 Tn ,问 Tn > bnbn?1 2009

w.w.w. k.

s.

10. (2013 年高考山东卷 (文) 设等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S4 ? 4S2 , a2 n ? 2an ? 1 . )

(Ⅰ)求数列 ? an ? 的通项公式 (Ⅱ)设数列 ?bn ? 满足

b b1 b2 1 ? ? ??? ? n ? 1 ? n n ? N ? ,求 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . a1 a2 an 2

Tn ? 3 ?

2n ? 3 2n

方法 3:公式法求数列的通项公式 例 6.等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S5 ? 45 , S6 ? 60 . (Ⅰ)求 {an } 的通项公式 an ; (Ⅱ)若数列 {an } 满足 bn ?1 ? bn ? an (n ? N *) ,且 b1 ? 3 ,求 { 变式训练: 11.等比数列 {an } 中,已知 a1 ? 2, a4 ? 16 (I)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 a3 , a5 分别为等差数列 {bn } 的第 3 项和第 5 项,

1 } 的前 n 项和 Tn . bn

试求数列 {bn } 的通项公式及前 n 项和 S n 。

3

12.已知等差数列{ a n }的公差不为零,首 a1 =1,a 2 是 a1 和 a 5 的等比中项,求数列 {an } 的 通项公式. 方法 4:用累加法求数列的通项公式 方法点拨::形如 an ?1 ? an ? f (n) ( f ? n ? 可以求和)型用累加法求通项. 例 7. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 3, an ?1 ? an ? 2 ,求 an .
n

an ? 2n ? 1

变式训练: 13.(2011 年四川理 8)数列 ? an ? 的首项为 3, ?bn ? 为等差数列且 bn ? an ?1 ? an n ? N 若 b3 ? ?2 , b10 ? 12 ,则 a8 ? ( (A)0 (B)3 ) (C)8 (D)11 ) ,且 D. 1 ? n ? ln n

?

?

?,

1 14.在数列 {an } 中, a1 ? 2 , an ?1 ? an ? ln(1 ? ) ,则 an ? ( n
A. 2 ? ln n B. 2 ? (n ? 1) ln n C. 2 ? n ln n

15.设数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an ?1 ? an ? n ? 1 ,则数列 ?an ? 的通项为__________. 16.将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 4 7 8 5 3 6 9 10

. . . . . . . 按照以上排列的规律,第 n 行(n ≥3)从左向右的第 3 个数为 __________. 17.已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

1 1 , a n?1 ? an ? 2 ,求 a n . 2 n ?n

an ?

3 1 ? 2 n

方法 5:用累乘法求数列的通项公式.

方法点拨:形如

an ?1 ? f (n) ( f (n) 可以求积)型用累乘法求数列的通项公式. an
2 2

例 8.设 ?an ? 是首项为 1 的正项数列, ?n ? 1?a n ?1 ? nan ? a n ?1 a n ? 0( n =1, 且 2, 3, , …) 则它的通项公式是 a n =________.
4

解:已知等式可化为: (a n ?1 ? a n )?(n ? 1)a n ?1 ? nan ? ? 0

? a n ? 0 ( n? N * )?(n+1) a n ?1 ? nan ? 0 , ? n ? 2 时,
an n ?1 ? a n ?1 n



a n ?1 n ? an n ?1

? an ?

a n a n ?1 a n ?1 n ? 2 1 1 ? ? ? ? 2 ? a1 = ? ? ? ? 1= . a n ?1 a n ? 2 a1 n n ?1 2 n

变式训练: 18.已知 ?an ? 中, an ?1 ?

4 n an ,且 a1 ? 2 ,求数列 ?an ? 的通项公式. an ? n ? ? n ? 1? n?2

方法 6:用构造法求数列的通项公式 类型一: an ?1 ? Aan ? B(其中A,B为常数A ? 0,1) 型 方法点拨: (1)若 A ? 1 时,数列 ?an ? 为等差数列; (2)若 B ? 0, A ? 0 时,数列 ?an ? 为等比数列; (3)若 A ? 0,1 且 B ? 0 时,数列 ?an ? 为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造辅 助数列来求. 可将其转化为 an ?1 ? ? ? A ? an ? ? ? ,其中 ? ? 等于 A 的等比数列,然后求 an 即可。 例 9. 在数列 ? an ? 中, a1 ? 1 ,当 n ? 2 时,有 an ? 3an ?1 ? 2 ,求数列 ? an ? 的通项公式。 解析:设 an ? ? ? 3 ? an ?1 ? ? ? ,则 an ? 3an ?1 ? 2?

B ,则数列 ?an ? ?? 为公比 A ?1

?? ? 1 ,于是 an ? 1 ? 3 ? an ?1 ? 1?
??an ? 1? 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,以 3 为公比的等比数列。

? an ? 2 ? 3n?1 ? 1
变式训练: 19.在数列 ? an ? 中, a1 ? 1 , an ?1 ? 2an ? 3 ,求数列 ? an ? 的通项公式.

an ? 3n ? 2

5

20.已知数列 {a n } 中, a1 ? 2, a n ?1 ? 类型二: an ?1 ?

1 1 a n ? , 求通项 a n . 2 2

1 a n ? ( ) n ?1 ? 1 2

c ? an ( c ? p ? d ? 0 )型 pan ? d c ? an 1 d 1 p ,可用构造法求解. ? ? ? ? (c? p?d ? 0) pan ? d an ?1 c an c 3an 6 ,求数列 {an } 的通项公式. an ? an ? 3 2n ? 1

方法点拨: an ?1 ?

例 10.在数列 ? an ? 中, a1 ? 2, an ?1 ?

变式训练: 21.已知函数 f ? x ? ?

x ,数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an ?1 ? f ? an ? 3x ? 1

?n ? N ? ,
?

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)记 Sn ? a1a2 ? a2a3 ? ? ? anan ?1 ,求 S n . 22.在数列 ? an ? 中, a1 ? (1)求证:数列 ?

2an 2 ? ,且对任意 n ? N ,都有 an ?1 ? . an ? 1 3

?1 ? ? 1? 是等比数列; ? an ?

? (2)若对任意 n ? N ,都有 an ?1 ? pan ,求实数 p 的取值范围.

?6 ? ? , ?? ? ?5 ?

方法 7:作差消去法 例 11.已知数列 ? an ? 满足 a1 ? 2a2 ? 2 a3 ? ? ? 2
2 n ?1

n an ? , n ? N ? . 2

(1)求数列 ? an ? 的通项; an ?

1 ?n ? N ? ? 2n

(2)设 bn ? ? 2n ? 1? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n . Sn ? 3 ? 变式训练:

2n ? 3 2n

23.已知数列 ? an ? 满足 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ? 2 , n ? N ,求数列 ? an ? 的通项公式.
n ?

? 24. 已 知 正 项数 列 ? an ? 的 前 n 项 和 为 S n , 且 对 一切 n ? N 有 a1 ? a2 ? ??? ? an ? S n ,
3 3 3 2

a1 ? a2 ? ??? ? an ? Sn .

6

? (1)求证:对一切 n ? N ,都有 an ?1 ? an ?1 ? 2Sn ;
2

(2)求数列 ? an ? 的通项公式. 25.设数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,已知

1 1 1 n ? ? ??? ? ? ?n ? N ? ? . S1 S2 Sn n ? 1

(1)求 S1 , S 2 及 S n ;
n n 16 ? ?1? ?1 2 (2)设 ? ? ? ,若对一切 n ? N ? ,均有 ? bk ? ? , m ? 6m ? ? ,求实数 m 的取值 3? ?2? ?m k ?1

a

范围.

? ??, 0 ? ? ?5, ?? ?

方法 8:周期数列 例 12.已知数列 {an } 中, a1 = 0, an ?1 ?

an ? 3 3an ? 1
C.

(n ? N ? ) , a20 等于(



A.

0

B.

? 3

3

D.

3 2

变式训练: 26.已知数列 ? an ? 满足 a1 ? 1 , a2 ? 5 , an ? 2 ? an ?1 ? an n ? N A. ?4 B. 4 C. ?5

?

?

? ,则 a

2012

?(



D. 5

27.

?3an ? 5, an为奇数 ? 已知数列 ? an ? 的各项均为正整数,对于 n ? 1, 2,3, ??? ,有 an ?1 ? ? an , ? 2k , an为偶数 ?
.

其中 k 为使 an ?1 为奇数的正整数.那么当 a1 ? 11 时, a2012 ? 28. 已知数列 f ? n ? 满足:f ? n ? 1? ?

?

?

f ?n? ?1

f ? n? ?1

, n ? N ? , f ?1? ? 2 , f ? 2013? ? 则

.

1 3

29.已知数列 ? an ? 满足 an ? 2 ? ?1 ? cos 为
.

? ?

2

n? 2

? 2 n? ,则该数列的前 20 项和 ? an ? sin 2 ?

2101

30. 在数列 ? an ? 中,对任意的 n ? N ? 均有 an ? an ?1 ? an ? 2 为定值,且 a7 ? 2, a9 ? 3, a18 ? 4 , 则此数列的前 100 项和为 .

299

7


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