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弧长的公式、扇形面积公式

时间:2014-03-06


【本讲教育信息】
一. 教学内容: 弧长及扇形的面积 圆锥的侧面积 二. 教学要求 1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会运用公式解决具体问题。 2、了解圆锥的侧面积公式,并会应用公式解决问题。 三. 重点及难点 重点: 1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。 2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。 难点: 1、弧长公式、扇形面积公式的推导。 2、圆锥的侧面积、全面积的计算。 [知识要点] 知识点 1、弧长公式 因为 360°的圆心角所对的弧长就是圆周长 C=2 R,所以 1°的圆心角所对的弧长是 , 于是可得半径为 R 的圆中, n°的圆心角所对的弧长 l 的计算公式: , 说明:(1)在弧长公式中,n 表示 1°的圆心角的倍数,n 和 180 都不带单位“度”, 例如,圆的半径 R=10,计算 20°的圆心角所对的弧长 l 时,不要错写成 (2)在弧长公式中,已知 l,n,R 中的任意两个量,都可以求出第三个量。 。

知识点 2、扇形的面积 如图所示,阴影部分的面积就是半径为 R,圆心角为 n°的扇形面积,显然扇形的面积 是它所在圆的面积的一部分,因为圆心角是 360°的扇形面积等于圆面积 为 1°的扇形面积是 又因为扇形的弧长 的另一个计算公式: ,由此得圆心角为 n°的扇形面积的计算公式是 ,扇形面积 。 ,所以圆心角 。

,所以又得到扇形面积

知识点 3、弓形的面积 (1)弓形的定义:由弦及其所对的弧(包括劣弧、优弧、半圆)组成的图形叫做弓形。 (2)弓形的周长=弦长+弧长

(3)弓形的面积 如图所示,每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积,从图中可以看出,只要把 扇形 OAmB 的面积和△AOB 的面积计算出来,就可以得到弓形 AmB 的面积。

当弓形所含的弧是劣弧时,如图 1 所示, 当弓形所含的弧是优弧时,如图 2 所示, 当弓形所含的弧是半圆时,如图 3 所示, 例:如图所示,⊙O 的半径为 2,∠ABC=45°,则图中阴影部分的面积是 ( (结果用 表示)



分析:由图可知 由圆周角定理可知∠ABC= ∠AOC=2∠ABC=90°,所以△OAC 是直角三角形,所以 , 所以 注意:(1)圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。 圆周长 公 式 (2)扇形与弓形的联系与区别 (2)扇形与弓形的联系与区别 弧长 圆面积

∠AOC,所以

扇形面积

图 示

面 积 知识点 4、圆锥的侧面积

圆锥的侧面展开图是一个扇形,如图所示,设圆锥的母线长为 l,底面圆的半径为 r, 那么这个扇形的半径为 l,扇形的弧长为 2 面积 ,圆锥的侧面积 ,圆锥的全

说明:(1)圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。 (2)研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题,关键是理解圆锥的侧面积公式,并 明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。 知识点 5、圆柱的侧面积 圆柱的侧面积展开图是矩形, 如图所示, 其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长, 若圆柱的底面半径为 r,高为 h,则圆柱的侧面积 ,圆柱的全面积

知识小结: 圆锥与圆柱的比较 名称 圆锥 圆柱

图形

图形的形成过程

由一个直角三角形旋转得到 的,如 Rt△SOA 绕直线 SO 旋转一周。 一个底面和一个侧面 扇形

由一个矩形旋转得到的,如矩形 ABCD 绕直线 AB 旋转一周。

图形的组成 侧面展开图的特征 面积计算方法

两个底面和一个侧面 矩形


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