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浙江省台州市2012年度高二上学期期末数学试卷(文科)

时间:2015-01-08


浙江省台州市 2012 年度高二上学期期末数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分. )
1.双曲线 x ?
2

y2 ? 1 的渐近线方程为( 3
B. x ? ? 3 y C. y ? 3x

) D. x ? 3 y

A. y ?

? 3x

2.点 A(2,-3,1)关于原点对称的点 A′坐标是( ) A. (-4,6,2) B. (-2,-3,-1) C. (-2,3,1) D. (-2,3,-1) 3.已知直线 a ? ? ,则“ l ? a ”是“ l ? ? ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.如图的正方体中,异面直线 A1 B 与 B1C 所成的角是( A.30° B.45° C.60° D.90° 5.设抛物线 y 2 ? 4 x 上一点 P 到 y 轴的距离是 2,则点 P 到该抛物 线焦点的距离是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 6.三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积为 3,P 为侧棱 BB1 上的点,则四 棱锥 P ? ACC1 A1 的体积为( A. ) D.2 )

2 3

B.1

C.

3 2

7.已知点 A,B 的坐标分别是(-1,0) , (1,0) ,直线 AM,BM 相交于点 M,且直线 AM 与直线 BM 的斜率之差是 2,则点 M 的轨迹方程是( ) A. x 2 ? ?( y ? 1) B. x 2 ? ?( y ? 1)(x ? ?1) C. xy ? x 2 ? 1 D. xy ? x 2 ? 1( x ? ?1) )

8.一个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是(

A.

B.

C.

D.

x y2 9.已知抛物线 y ? 8x 的焦点 F 与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点重合,它们在第一 a b
2

2

象限内的交点为 A,且 AF 与 x 轴垂直,则椭圆的离心率为( A. 2 ? 1 B.



1 2

C.

2 2

D.

3 2


10.设直线 l 与平面 ? 相交但不垂直,则下列说法中正确的是(

A.在平面 ? 内有且只有一条直线与直线 l 平行 B.过直线 l 有且只有一个平面与平面平行 C.与直线 l 平行的直线可能与平面 ? 垂直 D.与直线 l 垂直的平面不可能与平面 ? 平行 11.已知圆 C : ( x ? b) 2 ? ( y ? c) 2 ? a 2 (a ? 0) 与 x 轴相交,与轴相离,圆心 C : (b, c) 在第一象 限,则直线 ax ? by ? c ? 0 与直线 x ? y ? 1 ? 0 的交点在( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 12.已知矩形 ABCD,AB=4,BC=3,沿对角线 AC 将矩形 ABCD 折成一个空间四边形,则空间四边形 ABCD 的外接球的体积为( ) A.

125 ? 6

B.

125 ? 4

C.

125 ? 3

D.

125 ? 12

13. 如图, △PAB 所在的平面 ? 和四边形 ABCD 所在的平面β 互相垂直,且 AD ⊥ ? , BC ⊥ ? , AD=4 , BC=8 , AB=6 ,若 tan ?ADP ? 2 tan ?BCP ? 10 ,则点 P 在平面 a 内的轨迹 是( ) A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分 14.在平面直角坐标系 xoy 中,O 是坐标原点,若直线 l : y ? k ( x ? 2) ? 1与x, y 轴分别交于 A,B 两点,则下列命题是假命题的是( )

A.存在正实数 p ,使△AOB 的面积为 p 的直线 l 仅有一条 B.存在正实数 p ,使△AOB 的面积为 p 的直线 l 仅有两条 C.存在正实数 p ,使△AOB 的面积为 p 的直线 l 仅有三条 D.存在正实数 p ,使△AOB 的面积为 p 的直线 l 仅有四条 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分) 15.若直线 ax ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 x ? y ? 2 ? 0 互相垂直,则 a ? __________ 16 .设长方体的长、宽、高分别为 2 , 1 , 1 ,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为 ________________ 17.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是 ________ cm .
3

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,过椭圆中心任作一直线与椭圆交于 P,Q 两点, 18.设 F1 , F2 为椭圆 3 2
则四边形 PF 1QF2 面积的最大值为__________________ 19.平面内称横坐标为整数的点为“次整点” .过函数 y ?

9 ? x 2 图象上任意两个次整点作直

线,则倾斜角大于 60°的直线条数为 _______

? ?4 x ? 3 y ? 12? ? ? ? 20.已知 ( x, y ) x ? y ? 4 ? ?( x, y ) ? y ? kx ? 4 ? 则 k 的取值范围是 _______ ? ?y ? x ? 3 ? ? ? ?

?

2

2

?

三、解答题(本大题共 5 小题,共 40 分. ) 21.已知圆锥的正视图是边长为 2 的正三角形,O 是底面圆心。 (Ⅰ)求圆锥的侧面积; (Ⅱ) 经过圆锥的高 AO 的中点 O 作平行于圆锥底面的截面, 求 截得的两部分几何体的体积比.
'

22.已知 p :过点 M(2,1)的直线与焦点在 x 轴上的椭圆

x2 y2 ? ? 1 恒有公共点; q :方程 6 k

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线.问: p 是 q 的什么条件?并说明理由. k ?4 k ?6

23.已知圆 C1 : x ? y ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 与直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 相交于 A,B 两点.
2 2

(Ⅰ)求弦 AB 的长; (Ⅱ) 若圆 C 2 经过 E (1, -3) , F (0, 4) , 且圆 C 2 与圆 C1 的公共弦平行于直线 l : 2 x ? y ? 1 ? 0 , 求圆 C 2 的方程.

24.已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,△ACD 为等边三角形,AB=1,AD=2,F 为 CD 的中点且 AF∥平面 BCE. (I) 求线段 DE 的长; (II) 求直线 BF 和平面 BCE 所成角的正切值.

25.已知抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 上横坐标为 3 的点 M 到焦点 F 的距离为 4.
2

(I)求抛物线的方程; (II) 若斜率为 ?

3 的直线 l 与抛物线 C 交于 A, B 两点, 且点在直线 l 的右上方, 求证:?MAB 3

的内心在直线 x ? 3 上; (III)在(II)中,若 ?AMB ? 60 ,求 ?MAB 的内切圆半径长.
0

浙江省台州市 2012 年度高二上学期期末数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求) 1 故选 A. 2 故选 D. 3.B 4.C 5.C 6.D 7.B 8.C 9.A 10.D 11.B 12.A 13.B 14.A 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 15. (3 分)若直线 ax+2y+1=0 与直线 x+y﹣2=0 互相垂直,则 a= ﹣2 . 16. (3 分)设长方体的长、宽、高分别为 2,1,1,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为 6π . 3 17. (3 分)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是 6 cm .

18. (3 分)设 F1,F2 为椭圆

的左、右焦点,过椭圆中心任作一直线与椭圆交于 P,Q . 图象上任意两个次整点作

两点,则四边形 PF1QF2 面积的最大值为

19. (3 分)平面内称横坐标为整数的点为“次整点”.过函数 直线,则倾斜角大于 60°的直线条数为 10 .

20. (3 分)已知

,则 k 的取值范围

. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 40 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21. (6 分)已知圆锥的正视图是边长为 2 的正三角形,O 是底面圆心. (Ⅰ)求圆锥的侧面积; (Ⅱ) 经过圆锥的高 AO 的中点 O′作平行于圆锥底面的截面, 求截得的两部分几何体的体积比.

解答:解: (Ⅰ)由题意得圆锥底面半径 r=1,母线长 l=2.∴S 侧=πrl=2π. (Ⅱ)设圆锥的高为 h,则 h= ,r=1, ∴小圆锥的高 h′= ∴ ,小圆锥的底面半径 r′= , . . = .

∴V 圆台=V 圆锥﹣V 小圆锥= Sh﹣ S′h′=





22. (7 分)已知 p:过点 M(2,1)的直线与焦点在 x 轴上的椭圆

恒有公共点,q:方

程 解答:

表示双曲线,问:p 是 q 的什么条件?并说明理由.

解:∵椭圆

的焦点在 x 轴上,∴0<k<6



∵过点 M(2,1)的直线与焦点在 x 轴上的椭圆

恒有公共点

∴点 M(2,1)在椭圆 由①②得 3≤k<6

内或其上,即



∴命题 p 等价于 k∈[﹣3,6) ∵方程 表示双曲线

∴(k﹣4)?(k﹣6)<0?4<k<6, ∴命题 q 等价于 k∈[4,6) ∵[﹣3,6)?[4,6) ∴p 是 q 的必要不充分条件. 23. (8 分)已知圆 与直线 l:x+2y﹣4=0 相交于 A,B 两点.

(Ⅰ)求弦 AB 的长; (Ⅱ)若圆 C2 经过 E(1,﹣3) ,F(0,4) ,且圆 C2 与圆 C1 的公共弦平行于直线 2x+y+1=0,求 圆 C2 的方程. 解答: 解: (Ⅰ)圆心到直线 l 的距离 , (2 分) 所以
2


2

(4 分)

(II)设圆 C2 的方程为 x +y +Dx+Ey+F=0, ∵圆 ∴两方程相减,可得公共弦所在的直线方程为: (D+2)x+(E+2)y+F=0, ∵圆 C2 与圆 C1 的公共弦平行于直线 2x+y+1=0, ∴ ,即 D=2E+6. (6 分)

又因为圆 C2 经过 E(1,﹣3) ,F(0,4) , 所以
2 2

所以圆 C2 的方程为 x +y +6x﹣16=0. (8 分) 24. (9 分)已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,△ACD 为等边三角形,AB=1,AD=2,F 为 CD 的中点且 AF∥平面 BCE. (I) 求线段 DE 的长; (II) 求直线 BF 和平面 BCE 所成角的正切值.

解答:解: (I) 取 CE 的中点 G,连 FG、BG.

∵F 为 CD 的中点, ∴GF∥DE 且 GF= DE. ∵AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD, ∴AB∥DE,∴GF∥AB, ∴A,B,G,F 四点共面. 又 AF∥平面 BCE,面 ABGF∩面 BCE=BG, ∴AF∥BG,∴四边形 GFAB 为平行四边形, ∴GF=AB. ∴DE=2AB=2. (II)∵△ACD 为等边三角形,F 为 CD 的中点,∴AF⊥CD. ∵DE⊥平面 ACD,AF?平面 ACD,∴DE⊥AF. 又 CD∩DE=D,故 AF⊥平面 CDE. ∵BG∥AF,∴BG⊥平面 CDE. ∵BG?平面 BCE, ∴平面 BCE⊥平面 CDE 在平面 CDE 内,过 F 作 FH⊥CE 于 H,连 BH. ∵平面 BCE⊥平面 CDE,∴FH⊥平面 BCE. ∴∠FBH 为 BF 和平面 BCE 所成的角. 在直角△BFH 中, ∴ . . . , ,

∴直线 BF 和平面 BCE 所成角的正切值为

25. (10 分)已知抛物线 C:y =2px(p>0)上横坐标为 3 的点 M 到焦点 F 的距离为 4. (I)求抛物线的方程; (II) 若斜率为 的直线 l 与抛物线 C 交于 A, B 两点, 且点 M 在直线 l 的右上方, 求证: △MAB

2

的内心在直线 x=3 上; (III)在(II)中,若∠AMB=60°,求△MAB 的内切圆半径长. 解 (I)解:∵抛物线 C:y2=2px(p>0)上横坐标为 3 的点 M 到焦点 F 的距离为 4, 答: ∴ ,∴p=2. 所以抛物线 C:y =4x. (3 分) (II)证明:由(I)得 ,设 ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,
2



,消去 x 得

,所以













所以

=0,

因此∠AMB 的角平分线为 x=3,即△MAB 的内心在直线 x=3 上. (7 分) (III) 解: 由 (II) 得, 直线 MA, MB 的倾斜角分别为 60°, 120°, 所以 直线 ,所以 . .

. 同理 , . , , 所以 所以 (10 分) ,

设△MAB 的内切圆半径为 r,因为


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